3.3 幂函数教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 3.3　幂函数 一、教学目标 1．理解幂函数的概念，能识别形如的函数为幂函数，明确底数为自变量、指数为常数，能根据定义判断一个函数是否为幂函数，区分幂函数与指数函数。 2．掌握五个常见幂函数、、、和的图象特征与基本性质，能画出图象并归纳定义域、值域、奇偶性和单调性。 3．能运用幂函数的单调性比较两个幂值的大小，能根据幂函数图象过某点求出解析式，体会数形结合与分类讨论的数学思想方法，提升逻辑推理与直观想象素养。 二、教学重难点 教学重点：理解幂函数的概念，掌握五个常见幂函数的图象与性质，能运用性质比较大小。 教学难点：归纳五个幂函数图象随指数变化的规律，运用单调性比较底数在不同区间时的大小。 三、本节内容和内容解析 本课在函数概念之后展开，是具体函数研究的起始。先从五个生活实例引入幂函数概念，再在同一坐标系中画出五个常见幂函数的图象，通过观察图象归纳定义域、值域、奇偶性和单调性等性质，最后运用性质解决比较大小和求解析式等问题，为后续指数函数与对数函数的学习奠定方法基础。 四、学情分析 学生已学过函数概念、定义域、单调性和奇偶性等知识，具备描点画图和从图象读性质的基本能力。困难在于：多个幂函数图象同现一图容易混淆，不同指数对应的图象变化规律难以系统归纳，负指数幂的图象特征理解不够直观。 五、教学准备 教师准备：准备含五个幂函数图象的课件及坐标纸。 学生准备：预习教材幂函数部分，完成观察与思考。 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师活动：回顾已学函数类型，给出五个实际生活中的函数实例，引导学生观察解析式的共同特征，引出幂函数的定义。 学生活动：回顾函数概念与性质，观察五个实例的解析式，思考其共同特征。 (二)新课讲授 教师活动： （1）识别幂函数：判断函数解析式是否为的形式，其中底数为自变量，指数为常数。 （2）画图象定性质：在同一坐标系中用描点法画出五个幂函数的图象，如图1，结合解析式确定定义域、值域、奇偶性和单调性。 （3）用性质比大小：构造对应的幂函数，利用单调性比较两个幂值的大小，注意底数是否在同一单调区间内。 教师活动：1．说明幂函数的定义及与指数函数的区别，强调底数为自变量、指数为常数。 2．展示五个常见幂函数的图象，引导学生填写性质对比表。 常数函数：一般式： 一次幂： 二次幂：，三次幂： 开平方：，反比例： 公共点： 3．教师强调五个幂函数图象都过点，在第一象限内指数大于零时单调递增、指数小于零时单调递减，指数为奇数时为奇函数、指数为偶数时为偶函数。 学生活动：记录五个幂函数的性质对比表，标注各自图象的关键特征。 例题讲评： 例1．已知幂函数的图象过点，求此幂函数的解析式，并说明当自变量表示正方形面积时因变量的实际意义。 答案： 当自变量表示正方形面积时，因变量表示正方形的边长。 解：设幂函数解析式为，因为图象过点，代入得，即，解得。 所以所求幂函数为，定义域为。当自变量表示正方形面积时，因变量表示该正方形的边长，即边长等于面积的算术平方根。 答案： 例1．已知幂函数过点。 （1）求的值与解析式； （2）求的值。 答案：, 答案： 解：将点代入解析式求解。 （1）代入得，因为，所以。 所求解析式为。 （2）将代入解析式。 得。 答案：,, 例1．已知幂函数过点，先求一般表达式，再求和的值。 答案：,, 解：设幂函数为，将点代入，得。 即，解得。 所以幂函数的一般表达式为。 代入特殊值：，。 答案：,, (三)课堂练习 1．下列函数中是幂函数的是 A． B． C． D． 答案： 1．（多选）关于幂函数的性质，下列说法正确的是 A．当时图象都过点；B．当时图象在第一象限单调递减 C．当时函数为奇函数；D．当时定义域为全体实数 答案： 1．（多选）已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是 A．；B．函数的定义域为 C．函数在定义域上单调递增；D． 答案： (四)课堂小结 1．幂函数是形如的函数，底数为自变量，指数为常数，五个常见幂函数的图象都过点。 2．当时为奇函数，当时为偶函数，在第一象限内时单调递增，时单调递减。 3．利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小，关键是要构造正确的幂函数并判断底数是否在同一单调区间内。 (五)布置作业 教材第79页练习第1至3题。 学科网（北京）股份有限公司 $