3.3 幂函数 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦幂函数的定义、图象及性质，通过购买蔬菜金额、正方形面积等五个现实情境实例导入，引导学生观察解析式共性，抽象出幂函数概念，衔接函数概念与性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 以情境导入激发兴趣，通过问题链驱动探究，如问题1抽象定义、问题3引导画图、问题5归纳性质，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识）。表格归纳性质助力学生用数学语言表达规律，提升学习效率，为教师提供结构化教学思路。

§3.3幂函数 · 教学目标：1.通过具体实例,了解幂函数的定义，会画五个幂函数的图象，理解它们的性质；2.通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法. · 教学重点：幂函数的概念和图象. · 教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；画出幂函数的图象. · 教学过程 一、引入新知 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的图象观察，研究了函数的一些性质（单调性、奇偶性等）.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.根据下列情境，写出相应的表达式，并分析是否满足函数关系？ 1.如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付的金额p表示为？ 2.如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S表示为？ 3.如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V表示为？ 4.如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c表示为？ 5.如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度表示为？ 【答案】都满足函数关系 问题1 观察这五个函数的解析式，它们有什么共同特征？ 1.; 2.; 3.; 4.，即=; 5.,即. 【答案】实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数. 二、探索新知 幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 注意：只有１项,底数是自变量x，指数是常数,系数是1 例1 判断下列函数是否为幂函数． (1)y=x+1 (2)y=2x2 (3) (4)y=-2x (5) （6） （7） 注意：只有１项,底数是自变量x，指数是常数,系数是1 【答案】是幂函数的有（3）（6）不是幂函数的有（1）（2）（4）（5）（7） 例2（1）已知一次函数，k、b满足什么条件时为幂函数？ （2）已知二次函数，a、b、c满足什么条件时为幂函数？ （3）已知反比例函数，k满足什么条件时为幂函数？ （4）已知是幂函数，则为多少？ 【答案】（1）k=1、b=0 （2） a=1、b=0、c=0 （3） k=1 （4） =-3 结论：判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为(a为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式. 三、再探新知 问题2 有了幂函数的定义，接着应该研究什么？请你根据已有的经验说一说 【答案】研究函数的图象和性质 追问 如何研究呢？ 【答案】画图 问题3关于这五个幂函数，,,的图象我们是熟悉的，如何画出和的图象? 问题4 你能证明幂函数是增函数吗？呢？ 问题5 观察这五个函数的图象及解析式，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？请完成表格. 定义域 R R R [0，+∞） 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在R上单调递增 在（-∞，0）上单调递减 在（0，+∞）单调递增 在R上单调递增 在[0，+∞）单调递增 在（-∞，0）上单调递减 在（0，+∞）上单调递减 定点 过（0,0），（1,1） 过（1,1） 填空 （1）函数，,，和 的图象都通过点 （1,1） ； （2）函数，，是 奇 函数；是 偶 函数； （3）在区间上，函数，， 单调 递增 ，函数  单调 递减 ； （4）在第一象限内,函数的图象向上与 轴 无限接近,向右与 轴 无限接近. 归纳 （1）幂函数在上都有定义，图象都经过定点（1，1）； （2）幂函数的图象一定会出现在第 一 象限，一定不会出现在第 四 象限，若函数为 偶函数 ，函数图象一定出现在第 二 象限，若函数为 奇函数 ，函数图象一定出现在第 三 象限，非奇非偶只出现在第 一 象限. （3）当时,幂函数在区间上单调 递减 ；当时,幂函数的图象过原点 ，在区间上单调 递增 ，且当时，幂函数图象 下凸 ，当时，幂函数的图象 上凸 . （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y=x 对称. （5）幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线 x=1的右侧,图象从上到下,相应的幂指数 由大变小 （指大图高）. 四、回顾新知 你有什么收获？ 1.已知 是幂函数，则_2__. 2.幂函数的图象过点(3,) 则它的单调递增区间是_[0,+）__. 五、巩固新知 2 学科网（北京）股份有限公司 $