3.3 幂函数 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§3.3幂函数

         教学目标：1.通过具体实例,了解幂函数的定义，会画五个幂函数的图象，理解它们的性质；2.通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法.

        教学重点：幂函数的概念和图象.

        教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；画出幂函数的图象.

        教学过程

一、引入新知

前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的图象观察，研究了函数的一些性质（单调性、奇偶性等）.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.根据下列情境，写出相应的表达式，并分析是否满足函数关系？

1.如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付的金额p表示为？

2.如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S表示为？

3.如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V表示为？

4.如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c表示为？

5.如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度表示为？

【答案】都满足函数关系

                           

【答案】实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数.

二、探索新知

幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

注意：只有１项,底数是自变量x，指数是常数,系数是1

 

例1 判断下列函数是否为幂函数．

(1)y=x+1    (2)y=2x2     (3)   (4)y=-2x     (5) （6）  （7）

注意：只有１项,底数是自变量x，指数是常数,系数是1

 

【答案】是幂函数的有（3）（6）不是幂函数的有（1）（2）（4）（5）（7）

 

例2（1）已知一次函数，k、b满足什么条件时为幂函数？

（2）已知二次函数，a、b、c满足什么条件时为幂函数？

（3）已知反比例函数，k满足什么条件时为幂函数？

（4）已知是幂函数，则为多少？

【答案】（1）k=1、b=0

（2）a=1、b=0、c=0

（3）k=1

（4）=-3

结论：判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为(a为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式.

 

三、再探新知

问题2 有了幂函数的定义，接着应该研究什么？请你根据已有的经验说一说

【答案】研究函数的图象和性质

追问 如何研究呢？

【答案】画图

问题3关于这五个幂函数，,,的图象我们是熟悉的，如何画出和的图象?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

问题4 你能证明幂函数是增函数吗？呢？