3.1.2 第2课时 分段函数-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦分段函数核心知识点，系统讲解分段函数的概念、函数值求解、图象绘制及实际应用。作为函数概念的延伸，通过实际问题导入衔接函数基本定义，为后续复杂函数应用构建学习支架。 资料以公共汽车票价问题导入培养数学眼光，通过分类讨论求函数值与参数（如f(x)>3求x范围）发展数学思维，结合超市促销、节约用水等实例强化数学语言建模。课中助力教师引导探究，课后练习题与母题探究帮助学生查漏补缺。

第2课时　分段函数 课标要求　1.了解分段函数的概念．　2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象并能应用．　3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题． 某市公共汽车的票价按下列规则实施：(1)5千米以内(包含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)，已知每两个相邻的公共汽车站之间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)共有11个汽车站． 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　从起点站出发，公共汽车的行程x(单位：千米)与票价y(单位：元)是函数关系吗？ 提示：是函数关系． 思考2　x与y之间有什么特点？ 提示：当x在不同区间内取值时，x与y的对应关系不同． 知识点　分段函数 1．如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集，各段函数定义域的交集是空集． 　已知函数f(x)＝ (1)求f(－2)，f(3)，f(f(－))； (2)若f(x)>3，求实数x的取值范围． 【解】　(1)由－2∈(－∞，－1]，3∈[1，＋∞)，－∈(－1，1)，知f(－2)＝4＋1＝5， f(3)＝，f(－)＝3×(－)＋5＝， f(f(－))＝f()＝. (2)①当x≤－1时，x2＋1>3，解得x<－或x>， 又x≤－1，所以x<－； ②当－1<x<1时，3x＋5>3，得x>－， 又－1<x<1，所以－<x<1； ③当x≥1时，>3，得x<， 又x≥1，所以此时不等式无解． 综上，实数x的取值范围是(－∞，－)∪(－，1). 母题探究　本例条件不变，若f(a)＝4，求实数a的值． 解：当a≤－1时，f(a)＝a2＋1＝4，a＝－或a＝(舍去). 当－1<a<1时，f(a)＝3a＋5＝4，a＝－，符合题意． 当a≥1时，f(a)＝＝4，a＝，不符合题意，舍去． 综上，当f(a)＝4时，实数a的值为－或－. 【感悟提升】　(1)分段函数求函数值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一区间段，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知函数值求参数的步骤 ①对参数的取值范围作相应分类；②根据不同范围代入不同的解析式中；③通过解方程求出参数的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内． 　1.(2026·河北月考)已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选A．由题意得f(a)＝－f(1)＝－(2×1)＝－2.当a>0时，f(a)＝2a＝－2，解得a＝－1，舍去；当a<0时，f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3，满足题意．综上，a＝－3. 2．(2026·天津期中)设f(x)＝则f(5)＝________． 解析：f(5)＝f(5＋7)＝f(12)＝12－1＝11. 答案：11 应用点一　分段函数的图象及应用 　(对接教材例6)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}，即f(x)和g(x)中的最小者． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域、值域． 【解】　(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象如图1. 由图1中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图2. 令－x2＋2＝x，解得x＝－2或x＝1. 结合图2，得出φ(x)＝ (2)由(1)中图2知，φ(x)的定义域为R，φ(x)的最大值为φ(1)＝1，所以φ(x)的值域为(－∞，1]. 母题探究　在本例中，令u(x)＝max{f(x)，g(x)}，即f(x)和g(x)中的最大者． (1)分别用图象法和解析法表示u(x)； (2)求函数u(x)的定义域、值域． 解：(1)由例2解析图1中函数取值的情况，结合函数u(x)的定义，可得函数u(x)的图象如图所示． 得出u(x)的解析式为u(x)＝ (2)由(1)中图象知，u(x)的定义域为R，值域为R. 【感悟提升】　画分段函数图象的策略 (1)整段作图分段取：先不考虑定义域的限制，用虚线分别作出各段图象，再用实线保留定义域内的图象． (2)端点实虚要明确：一定要明确区间端点是否包含在内，且用实心点或空心圈表示． 　已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1； 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)由(1)得f(x)＝ 由此画出f(x)的图象如图所示， 由图象知，f(x)的值域为[1，3). 应用点二　分段函数的实际应用 　(对接教材例8)某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额． 【解】　设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元， 则y＝ 当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40. 因为60>40，所以x>900.所以0.2(x－900)＋40＝60，解得x＝1 000.所以1 000－60＝940. 故此人购物实际所付金额为940元． 【感悟提升】　利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)当目标在不同区间有不同的计算方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 　某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，求该职工这个月的实际用水量． 解：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为 y＝ 由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13. 故该职工这个月的实际用水量为13立方米． 1．已知函数f(x)＝f(－1)＝f(3)，则a＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：选B．由题意得f(－1)＝－1＋4＝3，f(3)＝9＋3a，则3＝9＋3a，解得a＝－2. 2．(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：选AD．对于B，函数f(x)＝ 当x＝4时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数；对于C，函数f(x)＝当x＝1时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数；只有A，D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数． 3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A．15 B．40 C．25 D．70 解析：选C．令y＝60，若1≤x≤10，则4x＝60，则x＝15>10，不满足题意；若10<x≤100，则2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若x>100，2x＝60，则x＝30<100，不满足题意．故该公司拟录用人数为25. 4．(教材P69 T3改编)已知f(x)＝ (1)作出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由(1)中图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1]. 　 1．已学习：分段函数的概念、图象及应用． 2．须贯通：(1)分段函数求值(范围)应确定自变量属于哪一段区间，用到分类讨论思想． (2)研究分段函数的值域常利用数形结合法． 3．应注意：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实． 学科网（北京）股份有限公司 $