主题4 第10章 第2节 二项式定理（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦二项式定理核心方法，通过基础巩固与能力提升双模块，系统整合通项公式应用、赋值法、二项式系数性质及求导法，构建从概念到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|10题|通项公式求特定项、赋值法求系数和、二项式系数最值判定|从二项式定理概念出发，通过系数计算、常数项存在性等基础题型，强化通项公式与二项式系数性质的直接应用| |能力提升组|6题|多项式展开项系数综合计算、杨辉三角规律应用、求导法求系数和|结合三项式展开、二项式系数与系数辨析等复杂情境，深化知识迁移，培养数学抽象与逻辑推理能力|

课时冲关63　二项式定理 [基础训练组] 1．在(x＋1)24的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第11项　　　　 B．第12项 C．第13项 D．第14项 解析：C　[因为(x＋1)24的展开式的通项为Tr＋1＝Cx24－r，r＝0,1，…，24， 又当r＝12时，C取最大值， 则系数最大的项是第13项T13＝Cx12.] 2．若n展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是(　　) A．5　　　 B．6 C．7　　　 D．8 解析：A　[易得n的通项Tr＋1＝C()n－rr＝，又展开式中存在常数项则－＝0有解，即3n＝5r，故正整数n的最小值是5，此时r＝3.] 3．若(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为(　　) A．30 B．45 C．60 D．81 解析：B　[令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n.令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6.故该展开式中x4的系数为2C＋C＝45.] 4.4的展开式中的系数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：B　[4＝4的通项公式Tr＋1＝C4－ryr， 令r＝2，则T3＝C2y2＝Cy2，所以的系数为C＝6.] 5．在(x＋1)n(x∈N＋)的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：D　[当n＝7时，(a＋b)7的展开式有8项，(a＋b)7的展开式中二项式系数C，C最大，即第四项和第五项的二项式系数最大； 当n＝8时，(a＋b)8的展开式有9项，(a＋b)8的展开式中二项式系数C最大， 即第五项的二项式系数最大； 当n＝9时，(a＋b)9的展开式有10项，(a＋b)9的展开式中二项式系数C，C最大， 即第五项和第六项的二项式系数最大． 当n＝10时，(a＋b)10的展开式有11项，(a＋b)10的展开式中二项式系数C最大， 即第六项的二项式系数最大．] 6．(多选)已知n的展开式共有13项，则下列说法中正确的有(　　) A．所有奇数项的二项式系数和为212 B．所有项的系数和为312 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 解析：BD　[因为n＋1＝13，所以n＝12，所有奇数项的二项式系数和为211，A不符合题意；令x＝1，得所有项的系数和为312，B符合题意；由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，C不符合题意；因为12展开式通项为Tr＋1＝，当12－r为整数时，r＝0,3,6,9,12，共有5项，D符合题意．] 7．(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值可以为(　　) A．1或－3 B．－1 C．－1或3 D．－3 解析：A　[在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中， 令x＝－2可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝m9， 令x＝0，可得a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9＝(2＋m)9， ∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39， ∴(a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9)[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39， ∴(2＋m)9·m9＝(2m＋m2)9＝39， 整理得2m＋m2＝3，解得m＝1，或m＝－3.] 8．(1－x3)6的展开式中的常数项为(　　) A．60　　 B．4 C．－4　　 D．－64 解析：C　[二项式6的展开式的通项公式为 ，r＝0,1,2,3,4,5,6， 令6－＝0，解得r＝4，令6－＝－3， 解得r＝6， 由于(1－x3)6＝6－x36， 故其展开式中的常数项为(－1)4C·22－(－1)6C·26＝60－64＝－4.] 9．若(x＋y)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为________． 解析：取x＝y＝1，则(x＋y)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为：23×(a＋1)5＝256. 故a＝1，则 (x＋y)3(2x－y＋a)5＝(x＋y)3(2x－y＋1)5，(x＋y)3的展开式：Tm＋1＝Cx3－mym；(2x－y＋1)5的展开式：Tn＋1＝C(2x)5－n(－y＋1)n. 取m＝2，n＝5得到：Cxy2·C(－y＋1)5， 取y＝1得到系数为0； 取m＝3，n＝4得到：Cy3·C·2x(－y＋1)4，取y＝1得到系数为0； 综上所述：该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为0. 答案：0 10．在(3－x)n的展开式中，若x2的系数为an(n≥2)，则＋＋…＋＝________. 解析：由二项式的展开式的通项公式可得第Tr＋1＝C3n－r(－x)r＝C3n－r(－1)rxr， 令r＝2，可得x2的系数为C3n－2(－1)2， 所以an＝C3n－2＝·3n－2， 则＝＝＝－， 则＋＋…＋＝－＋－ ＋…＋－＝18－＝. 答案： [能力提升组] 11．(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　) A．－30 B．－20 C．20 D．30 解析：A　[(x2－x＋y)5＝[(x2－x)＋y]5， 其展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2－x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2－x)3y2， 而(x2－x)3的展开式的通项公式为： Tk＋1＝C(x2)3－k·(－x)k＝(－1)kCx6－k， 令k＝1，则(x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为：C×(－1)1×C＝－30.] 12．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是(　　) 杨辉三角 第0行(a＋b)0　　　　　　　　1 第1行(a＋b)1　　　　　　　　1　1 第2行(a＋b)2　　　　　　　1　2　1 第3行(a＋b)3　　　　　　1　3　3　1 第4行(a＋b)4　　　　　1　4　6　4　1 第5行(a＋b)5　　　　1　5　10　10　5　1 第6行(a＋b)6　　　1　6　15　20　15　6　1 第7行(a＋b)7　　1　7　21　35　35　21　7　1 第8行(a＋b)8　1　8　28　56　70　56　28　8　1 …… A．在第10行中第5个数最大 B．第2 023行中第1 011个数和第1 012个数相等 C．C＋C＋C＋…＋C＝120 D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 解析：D　[对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是C，又C＜C，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2 023行中第1 011个数和第1 012个数分别为C和C， 因1 010＋1 011≠2 023，故C≠C，故B错误； 对于C，因C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝＝1 330， 则C＋C＋C＋…＋C＝1 330－1＝1 329，故C错误； 对于D，因C＋C＋C＝1＋7＋28＝36，而C＝C＝36，故D正确．] 13．(多选)若(2－3x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则下列选项正确的有(　　) A．a0＝22 024 B．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝1 C.＋＋＋…＋＝2 024－22 024 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝6 072 解析：ACD　[令x＝0，得a0＝22 024，故A正确； |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝a0－a1＋a2－…＋a2 024，令展开式中的x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 024＝52 024，故B错误； 令展开式中的x＝，得a0＋＋＋＋…＋＝2 024， 所以＋＋＋…＋＝2 024－22 024，故C正确； 展开式的两边求导，得－3×2 024(2－3x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋2 023a2 023x2 022＋2 024a2 024x2 023， 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝6 072，故D正确．] 14．若(2x＋1)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)－3被8整除的余数为________． 解析：在已知等式中，取x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100， 取x＝－1得a0－a1＋a2－…＋a100＝1， 两式相减得2(a1＋a3＋a5＋…a99)＝3100－1， 即2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)－3＝3100－4， 因为3100－4＝950－4＝(8＋1)50－4 ＝C·850＋C·849＋…＋C·850－r＋…＋C·8＋C－4 ＝C·850＋C·849＋…＋C·850－r＋…＋C·8－3 ＝C·850＋C·849＋…＋C·850－r＋…＋C·8－8＋5，r∈N， 因为C·850＋C·849＋…＋C·850－r＋…＋C·8－8能被8整除， 所以C·850＋C·849＋…＋C·850－r＋…＋ C·8－8＋5被8整除的余数为5， 即2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)－3被8整除的余数为5. 答案：5 15．已知n. (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7或n＝14， 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5. ∴T4的系数为C423＝， T5的系数为C324＝70， 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8. ∴T8的系数为C727＝3 432. (2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大， ∵12＝12(1＋4x)12， ∴ ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项为T11， T11＝C·2·210·x10＝16 896x10. 16．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题． 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N＋)，__________. (1)求＋＋…＋的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值． 解：(1)－1若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8，若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以C＝C⇒n＝8，若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以2n－1＝128，解得n＝8.因为(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝，则有8＝a0＋＋＋…＋，即有a0＋＋＋…＋＝0，令x＝0，得a0＝1，所以＋＋…＋＝－a0＝－1；综上所述：＋＋…＋＝－1. (2)由(1)可知：无论选①，②，③都有n＝8，(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2…＋a8x8，两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2…＋8a8x7，令x＝1，则有16＝a1＋2a2＋3a3…＋8a8，所以a1＋2a2＋3a3…＋8a8＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $