广西南宁市三美学校2026-2027学年秋季学期9月九年级学情调研（一）数学

2026—2027学年秋季学期九年级学情调研（一） 数学学科 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A． B．0 C．1 D．2 2．下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 3．若二次函数，则它的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 4．若将抛物线向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（ ） A．60 B．68 C．70 D．73 7．一元二次方程的解是（ ） A．， B．， C． D． 8．已知一元二次方程，下列判断正确的是（ ） A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 9．根据下列表格中的对应值，可判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 2 1 3.75 6 A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ） A．2 B． C．5 D． 11．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 12．如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．抛物线的开口方向是开口向________．（填“上”或“下”） 14．若一元二次方程有一个根为，则________． 15．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 各组的离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 16．如图，抛物线经过正方形的三个顶点，且点为抛物线的顶点，则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（8分）为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 19.2 （1）直接写出表中，，的值：________，________，________． （2）求出的值； （3）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 19．（10分）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 20．（10分）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低x元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 21．（10分）图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，点是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 22．（12分）阅读下列材料：我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，△的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，△的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_________． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为_________． （2）关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”；请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 23．（12分）综合与探究 问题情境：在一次数学活动课上，同学们用四根长度相等的木条首尾相接，围成了一个可变形的菱形框架，并对菱形角度改变后的线段关系进行探究． 如图，在菱形中，是线段上不与点，重合的点，连接，在射线上取一点，使，连接． （1）如图1，若，在射线上取一点，使，连接． ①求证：． ②判断的形状，并说明理由． （2）如图2，调整菱形框架，使，在射线上取一点，使得，连接．请判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）在菱形中，，．点在射线上运动，且始终满足．在射线上取一点，使得，连接．请直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $20262027学年度秋季学期九年级学情调研（一) 数学学科参考答案 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.） 题号 2 5 6 9 10 11 12 答案 D C D C C A D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分) 13.下 14.8 15.2 16.2 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(1)解：原式=2+(-6) …4分 =-4.…。 …5分 (2)解：x2-4x=-1. x2-4x+4=-1+4,…。 …1分 (x-2)2=3 2分 x-2=±V3 …3分 ∴x=2+5x2=2-V3 …5分 18.证明：(1)86,85,85… …3分 (2)八(1)班的方差 d=[(86-85)}+(85-85)}2+(77-85)2+(92-85)}2+(85-85y2]÷5=22.8 …6分 (3)八(2)班前5名同学的成绩较好，理由如下： ,由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八(2)班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定， ∴八(2)班前5名同学的成绩较好. 8分 19.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .DF∥EB,AB=CD. …l分 又CF=AE, ∴.AB-AE=CD-CF .DF=BE,… …2分 .四边形BFDE是平行四边形，…3分 DE⊥AB, ∴.∠DEB=90° 4分 .四边形BFDE是矩形.… …5分 (2)解：AF平分∠DAB,DC∥AB. ∴.∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB, ∴.∠DAF=∠DFA, DF=5. ∴.AD=FD=5 …6分 AE=CF=3,DE⊥AB, DE=√AD2-AE2=4. 8分 ∴矩形BFDE的面积是：DF.DE=5×4=20. …0分 20.解：(1)y=(80-x-50)(100+5x) 2分 ∴.y=-5x2+50x+3000 3分 (2)当-5x2+50x+3000=3120时， …4分 解得X=6,X2=4, …5分 尽快减少库存， .x=6,此时售价为80-6=74（元）；… 6分 答：每盒月饼的售价应定为74元；… 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。 …7分 (3)“y=-5x2+50x+3000=-5(x-5)2+3125 抛物线的开口向下，当X=5时，函数有最大值为3125；…9分 故当售价为80-5=75元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元.…10分 21,解：(1)抛物线y=-产+bx+C与x轴交于点A(-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),将点A, 点C的坐标分别代入得： -9-3b+c=0 b=-2 c=3 ,解得： c=3 D 0 B 图② 抛物线的解析式为y=x2-2x+3, …3分 (2)过D作DK心轴交AC于K,如图②， 由(-3,0)，C(0,3)得直线AC解析式为y=x+3, 设D飞--21+3)，则K,1+3), DK=-t-2t+3-(t+3)=-2-3t :△ACD的面积为3， 03用f-刘3- 解得：t=-1或t=-2, 六D的坐标为1.4刊段-2,3)。 …6分 (3)点G的坐标为-1，)或(-L,0)威(-1，v6)威(1，-V6) …10分 理由如下： y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 抛物线的对称轴为直线x=-1, :点G是直线x=-1上的一点， 一设点G的坐标为，m川） 当y=0时，得：-(x+12+4=0, 解得：x=-3或x=-1, B(1,0) C(0,3) D 图3 .OB=1,OC=3, :BC=VP+32=0 当GB=GC即GB2=GC时， .1+102+n2=2+3-m)2. 解得：n=1, 六点G的坐标为(1，)」 当GC=BC=10即GC2-10时， .12+(3-m)2=10 解得：n=0或n=6(B、C、G三点共线，舍去)， “点G的坐标为(-1,0)或(1,6)， 当GB=BC=V10即GB2=10时， .(1+1)2+n2=10 解得：n=±v6 点G的坐标为，v6)或(1，-6)】 综上所述，点G的坐标为(，)或(l,0)或(16)威-16)或（山，-6） 1 22.(1)4,-1或3… ……4分 (2)“r-(2m-3)x+m2-4m-5=0 b-4ac=[-(2m-3]-4×1×(m2-4m-5）=4m+29 4<m<15, .45<4m+29<89 其中完全平方数有49、64和81， 当4m+29=49时，m=5, 35 m= 当4m+29=64时，4（不合题意）， 当4m+29=81时，m=13, 当m=5时，原方程为x2-7x=0, 则2(a,么ce)=4ac-b-_49 Aa 4, 当m=13时，原方程为x2-23x+112=0, (a4c）=4ac-b_4x1x112-23281 则 4×1 4, 4981 综上所述：该方程的“关爱码”为4或4： …8分 （3)方程+(1-m)x+m+4=0的“关爱码” Q(a6,c)=4x1x(m+4)-1-m=-m2+6m+15 4×1 4 方程+(n-)r-n=0的“关爱码 Q(p,9）=4x1x-)-a--2-2n- 4×1 4 -m2+6m+15-n2-2n-1 =m+4 由题意得： 4 .(m+n)(m-n-2)=0 .m+n=0或.m-n=2, ,m,n均为正整数， ∴m+n=0不合题意， .m-=2.… …12分 23.(1)①证明：四边形ABCD是菱形，∠A=90° 四边形ABCD是正方形，…1分 ∴.BC=CD.∠BCD=90° 在△BCN和△DCM中， BC=DC ∠CBN=∠CDM, BN=DM :.△BCN≌△DCM(SAS) …3分 ②解：△MCV是等腰直角三角形.理由如下： .△BCN≌△DCM ∴∠BCN=∠DCM,CN=CM 4分 .∠BCN+∠DCN=∠BCD=90° ∴.∠DCM+∠DCN=∠MCN=90°. …5分 .△MCN是等腰直角三角形；…6分 (2)解：MN=V3MC,理由如下： ~四边形ABCD是菱形，∠A=120°， .BC=CD,∠BCD=∠A=120°， 在△BCN和△DCM中， BC=DC ∠CBN=∠CDM, BN=DM ∴.△BCN≌△DCM(SAS) ∴.∠BCN=∠DCM,CN=CM :'∠BCN+∠DCN=∠BCD=120°， ∴.∠DCM+∠DCN=∠MCN=120°. .CM=CN ∴.∠CMN=∠CNM .∠CMN+∠CWM+∠MCN=180°」 .∠CMN=∠CwM=180°-∠MCW=30e 2 如图，作CE⊥BP交BP于E,则ME=NE,∠CEM=90°， P/M B 在Rt△CEM中，∠CME=30°，∠CEM=90°， .CE-CM .EM =CM2-CE2 -cw-c- MN=2EM=2x CM =3CM …l0分 (3)解：MD=9√2-3√6 …12分 如图，过点M作MF⊥CD于点F, 当∠CDM=∠PBC=45°时， 菱形ABCD, .BC=CD :∠CDM=∠NBC=45°，BN=DM, ∴.△CDM≌△CBN(SAS) ∴CM=CN,即点M和点N重合， B C 设MD=x, .MF⊥CD.∠CDM=45° ∴.△DFM为等腰直角三角形， ∴DF=MF .DF2+MF2 MD2, .DF MF 2 x 2”(负值舍去)， ∠MCF=∠BCM-∠BCD 四边形ABCD是菱形，∠A=120°，AB=6, ∴.BC=CD=6,∠BCD=120°. ∠McF=∠BcM=5BcD=60 在Rt△MCF中，∠MCF=60°，∠MFC=90°， .∠CMF=90°-60°=30°， ∴.CM=2CF MF=CM2-CF2=3CF. √2 ..CF=MF -2x6 36, 2t6 DF+CF= x=CD=6 6 .x=9W2-36 .MD=9V2-3√6