3.3 相似三角形判定定理的证明 家庭作业 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.3 相似三角形判定定理的证明 家庭作业2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在竖格线上．若线段，则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．如图，已知直线，，，，那么_______． 9．在中，点D、E分别在边、上，，，如果，那么的长为_____ 10．如图，矩形中，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为__________．    11．如图，在中，点、、分别在边、、上，，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则______． 三、解答题 12．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM． (2)在图②中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）． 13．如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： (1)的值． (2)的值． 14．已知点，是直线上自左向右的两点，且，点是的中点，点是直线上一点（不与点，重合），直线经过点，直线于点，直线于点，连接，． (1)如图1，当点在点，之间时，求证：； (2)如图2，当点在点的右侧时，若，且，求和的长度． 15．追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）如图1，在中，，，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿边向点A运动（当点D到达点A时，运动停止），此时直线，交于点E．记x秒时的长度是y，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 变式拓展 （2）如图2，在中，，，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动（当点D到达点A时，运动停止），直线，交于点E．记x秒时四边形的面积是S，求出S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 16．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B D D D A C 1．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定． 【详解】解：如图， 若使线段，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项D、B可判定； ＝，即＝，故选项C可判定； 而由不能判断，故A选项答案错误． 故选：A． 2．【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到，，，，再利用平行线的性质证明得到，则，所以，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明得到，则可对C选项进行判断；由于，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断熟练利用平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：由作法得平分， ，所以A选项不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ，所以B选项不符合题意； ， ， ， ， ，所以C选项不符合题意； ， ， ，所以D选项符合题意． 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 7．【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解： ，， ，故①符合题意； ， ，不能判定，故②不符合题意； ③ ，且夹角， ，故③符合题意； ④ ， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤ ，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：C． 8．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出，继而即可得． 【详解】∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例． 9．【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 10．【答案】/ 【知识点】由平行判断成比例的线段、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，      ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵沿着翻折得到， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，点是的中点，，， ∴， ∴，即， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线，则， ∵，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判断和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 11．【答案】/4 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】连接，由已知推出的面积是的面积的4倍，得到的面积的面积，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形的面积恰好是面积的一半， 的面积是的面积的4倍， 的面积的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是连接得到的面积是的面积的4倍． 12．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】（1）利用网格特征寻找点M即可； （2）取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即AM＝3BM， 故图①中，点M即为所求； （2）解：∵， ∴， 即AP＝2BP， 故图②中，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握网格特征解决问题，属于中考常考题型． 13．【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到图形中的平行线． （1）由可得，代入数值计算即可； （2）由可得，计算出的值，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故； （2）∵， ∴， 即，解得， ∴． 14．【答案】(1) 证明：过点作直线于点， ∵直线，直线，直线， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)， 【知识点】线段垂直平分线的性质、由平行判断成比例的线段、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作直线于点，利用平行线分线段成比例定理证明即可； （2）过点作于点，分别求出、，可得的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1） 略 （2）解：如图，过点作于点， ∵直线m，直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】(1)， (2)， 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，勾股定理的逆定理等知识点，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． (1)根据平行可得，利用表示出，代入可得到关于的函数关系式； (2)先证出为直角三角形，求出，然后用表示出，进而即可得解． 【详解】(1)解：由题意可知，则， ， ， 即， ， ， ； (2)，，， ， 为直角三角形， ， 由题意可知，则， ， ， 即， ， ， ， ， ． 16．【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $