3.3 相似三角形判定定理的证明（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以相似三角形判定定理为核心，采用A/B/C组+中考拓展的分层设计，通过基础巩固、能力进阶、思维拔高到中考衔接的路径，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|平行线分线段成比例、平行判定相似的基础应用|以选择、填空为主，如由平行线判断比例线段，夯实概念理解| |B组|相似判定与性质的综合应用|含多步推理题，如结合中位线、四边形的相似计算，发展逻辑推理| |C组|真实情境与分类讨论|融入跨学科（物理小孔成像）、实际测量问题，培养数学应用意识| |拓展|中考真题衔接|选取近年中考题，如正方形中相似计算，对接升学要求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3相似三角形判定定理的证明 目录 A组巩固过关 题型01由平行线判断成比例的线段 题型02由平行截线求相关线段的长或比值 题型03利用平行判定相似 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 由平行线判断成比例的线段 1.A 2.D 3.B4.C 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 20 5. 3 6.20 7.B8.A9.B10.B 11.【解析】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 又因为FH‖AB, 所以DB:BH=DE:EF=3:2, 所以DB:DH=3:5: (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BC:BH=3:2 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为FH‖AB, 所以AC:AF=BC:BH=3:2, 又因为AC=3 所以AF=2. 题型03 利用平行判定相似 12.C 13.4 14.12 15.2:516.A17.30 18.【解析】解：，四边形ABCD为平行四边形，AB=6, ∴，ABCD,AB=CD=6, ∴.△ABE一△FCE ABBE1 ∴CFEC2 ∴.CF=2AB=12, .DF=CD+CF=6+12=18 19.【解析】证明：过点C作CM‖AB,交DF于点M, EM B C 则△FCM一△FBD, BF BD …CFCM ,点D为AB的中点， .'BD=AD BF AD CFCM .CM AB ∴.△ECM一△EAD, AD_AE .CM EC②， BF AE 由①和②可知， EC 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● B组 能力进阶 1.C2.B3.C4.15 5.4 6.号 7.38.(1)7:(2)①② 9.【解析】解：EG=GH=HI=IF, 照 EH=FH, .AD‖BC, ∴.∠EDH=∠FBH, 在△DEH和△BFH中， ∠EDH=∠FBH ∠DHE=∠BHF EH FH ∴.△DEH≌△BFH AAS, ..DE=BF, AD‖BC, ∴，△AEG-△BFG, AE EG 1 BFFG3' AE=BF=号DE. 5 10.【解析】(1)证明：，OD是△ABC的中位线， .OD‖BC且OD=BC, ∴.∠ADO=∠ACB=90, .CQ=OD .OD_1 …BQ3 OD‖BC,即OD‖BQ, ∴.△POD一△PBQ, 08设-5o-照 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PO=号OB=号OA,即P为OA的中点， .OP-OA, .∠AD0=90°， .DP-OA, ∴.OP=PD, ∴.∠PDO=∠POD: (2)证明：连接OC, OD‖BC,PT BC, OPDT :08D0 ∴.△OPT~△OBS,△DTP~△DCQ, PT OP PT DT :BS OB'CO DC :品0 PT_PT ..BS=CQ, .∠ACB=90°，O为AB的中点， 0C=3AB=0B, ∴.∠OBC=∠OCB, ∴∠OBS=∠OCQ, 在△OBS和△OCQ中， OB=OC ∠OBS=∠OCQ BS=CQ .△OBS≌△OCQ|SAS, ∴.0S=0Q 11.【解析】（1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 4111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD‖BC,AD=BC, ∴△FBG△FDA, BG BF AD FD' BF:FD=1:2, .BG_1 AD 2' 又，AD=BC, .BG=1 BC2' 即BG=BC, 点G是BC的中点； (2)解：如图，延长AG交DC延长线于点M, D M G E B 图2 ,四边形ABCD是平行四边形， AB‖CD,AB=CD, ∴.∠BAG=∠CMG,∠ABG=∠MCG, G是BC中点， ∴.BG=CG .△ABG=△MCG(AAS), ..AB=CM,AG=MG, .AB=CD. .DM=CD+CM=AB+AB=2AB. .AB DM, ∴.△AEF一△MDF, AF EF FM DF AS=k,即AF=kFG,则AG=AF+FG=(k+1)FG, 设 .AG=MG. ..MG=(k+1 FG. 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FM=MG+FG=(k+1FG+FG=(k+2FG. Fmk+2FGk中2=n,解得k=2 AF kFG k 1-n AF 2n 即FG1-n 12.【解析】(1)解：，ab‖c,DE=2,EF=3, ABDE2 ∴BCEF3 (2)解：ab,直线m与直线a所成的锐角为60°， ∴.∠BED=∠ADE=60°， .BE=EF=3 ∴，∠FBE=∠BFE, .∠BED=∠FBE+∠BFE=2∠BFE=60°， .∠BFE=30°，即∠BFD=30°： (3)解：当点A在点D的右侧时，如图①， .a b, ∴△ADO一△BEO, .OD_AD_1 ∴OEBE3 0E则OE=2DB=3 OE_3 4 2 .blc, ∴△OBE△OCF, 3 BEOE 3 ∴CFoF, 即CF3+3 解得CF=9; 当点A在点D的左侧时，如图②， B 图② alb, 6111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ADO-△BEO, OD_AD_1 ·OE-BE3' “泥则O6=号DE=3. OE_3 .bllc, ∴.△OBE△OCF, BE OE 33 ∴CF=OF,即CF=3t3 解得CF=6, 综上，CF的长为6或9： (4)解：过F作FG⊥b于G,则∠BGF=90°， ,∠FEG=∠BED=60°，EF=BE=3, ÷∠EFG=30,则EG=EF=3,GF=EF-EG-3EG=3 2 ·BG=BE+EG=9 2 =33, 当E在FB的延长线上时，如图，过点O作OH⊥FB延长线于点H,过点O作OI L BE于点I,过点B作 BJ⊥OE于点J, E G B 由折叠性质得∠OBE=∠OBE,则OH=OI, SABOE= 1-2 BE·OI 50- OE_BE3 1 SABOF 7BFOH OF-RI 一， 则OFBF353 设OE=t,OF=V3t, 由OF-OE=EF得3t-t=3, 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∷ts V3+1_33+3 21 :OE=3/3+3 2 则0D=0E-DB=35+3-2=33-1 2 2 allb, .△OAD一△OBE, 3V3-1 AD OD AD= 2 ·B距=OE,即3 3V3+3 2 AD=5-23: 当E在线段FB上时，如图，过点O作OH⊥FB于点H,过点O作OI⊥b于点I,过点B作BJ⊥DF于 点J, 由折叠性质得∠OBE=∠OBE,则OH=OI, eEor OE.BJ OE_BE_31 ， BF-OH OF-BI 则OFBF333 设OE=t,OF=3t, 由OF+OE=EF得V3t+t=3, :t=33-1-33-3 P 2 0E=33-3 则0D=0E+DE=33-3+2=33+1 2 2 2 alb, ∴.△OAD一△OBE, 33+1 AD OD BEOE即333-3， .AD=5+23, 综上，AD的长为5-2V3或5+2V3. 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.c2.10 3.1.754.A 16 5.2,3,3 6.【解析】(1)依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 依据2：相似三角形的对应边成比例. (2)证明：DE‖BC, ∴.△ADE-△ABC DE_AD BC AB, DE‖AF, ∴.△BDE一△BAF ·DE_BD …AF=AB②， 图2 DE DEAD BDAD+BDAB :.①÷②，得BC+AFAB BA AB AB 式子瓷+ =1两边同时除以DE, 5+1.1 1 得BC+AFDE 1+1=1 即AF+BCDE (3)解：OHMN, ∴.△MON-△MMN, OHMH ①： ·MNMN ,OH‖MN, ∴.△NOH-△NNM, 9111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OH NH MNMN②. ①+②，得0识+0H I_MH NH-1, MN MN M N M N ,1+1=1 MN M N'OH' MN=15cm,OH=6cm, .1+1=1 15MN6 解得MN=10cm. 故答案为：10. P N N 桌面HQM) 图3 拓展 链接中考 1.D2.D 3.C4.A5.20 6.【解析】(1)解：.'∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴.∠BAC=60° 由折叠可得，∠BAD=∠CAD= 2 ∠BAC=30°， ∴.∠ADC=60°，∠ABC=∠BAD=30°， .∴.AD=BD .∠ABC=∠CAD=30°，∠BCA=∠ACD=90°， ∴.△ABC△DAC .AB_AC AB_AC DA DC' 即BDDC' 把铝 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BD 故答案为： AC CD (2)方案O:证明：：DE|AC,∠2=∠ADE,CDAE BD_BE :∠1=∠2，∠1=∠ADE.AE=DE.∴CDDE BD BE 、BE_AB.AB_BD DE|AC,△BDE-△BCA,∴DEAC,小ACCD 方案②：证明：CE‖AD,.∠1=∠E,∠2=∠ACE :∠1=∠2，∴.∠E=∠ACE,AE=AC ea0,0迟沿0 方案③：证明：CF⊥AD,BE⊥AD ∴.∠AFC=∠CFD=∠BED=90°. AB BE ∠1=∠2，△ABE-△ACF,ACCF .∠BDE=∠CDF,∴.△BDE一△CDF, BE_BD AB_BD ∴CF=CD,ACCD (3)证明：AD平分∠BAC, 12把0 .AE=DE, ∴.∠ADE=∠DAE .∠B+∠1=∠2+∠CAE. ∴.∠B=∠CAE 又.∠AEC=∠BEA, ∴.△ABE~△CAE」 AB_AE BD_AE ·ACCE··CDCE BD_DE 又：AE=DE,·CDCE 11/11 分层作业 3 相似三角形判定定理的证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行线判断成比例的线段 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 题型03 利用平行判定相似 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )由平行线判断成比例的线段 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 4．（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )由平行截线求相关线段的长或比值 5．如图，，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E．若，，，则的长为________． 6．如图，，，，，则的长度是_______． 7．（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北张家口·三模）在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． ( 题型0 3 )利用平行判定相似 12．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 13．如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有________对． 14．如图，在中，．若，，则_____． 15．（2026·云南临沧·一模）如图，，，则与的周长之比为________． 16．（2026·宁夏银川·一模）如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，相交于点，且．若图中阴影部分的面积为，则矩形的面积为________． 18．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 19．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 1．已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：； 结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（    ） A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ 2．（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 5．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 6．在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为___________． 7．如图，在四边形中，，，，分别延长，交于点，若，，则的长为______． 8．（2026·湖南益阳·二模）如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 9．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 10．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 11．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 12．如图①，直线，直线m被这组平行线所截，与直线a、b、c分别交于点D、E、F（点D在点E的左上方）．点B是直线b上一点，点B在点E的左侧，且，点A是直线a上的动点，作直线交直线c于点C，交直线m于点O，连接，若，，直线m与直线a所成的锐角为． (1)的值为_________； (2)求的度数； (3)当时，求的长； (4)作点E关于直线的对称点，当B，F，三点共线时，直接写出的长． 1．【真实情境】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 2．【跨学科——物理问题】（2026·江苏淮安·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 3．【真实情境】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，小明打网球时，在距离球网米的位置击球，使球恰好打过网，已知球网高为米，球沿直线前进且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度约为 _________米．（精确到米） 4．【真实情境】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 5．【分类讨论思想】（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 6．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足． 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得． 即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： (1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． (2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 6．（2025·山东东营·中考真题） （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3 相似三角形判定定理的证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行线判断成比例的线段 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 题型03 利用平行判定相似 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )由平行线判断成比例的线段 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 3．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【解析】当时，或，由此可得： A：∵，，∴，∴，，∴，故A错误； B：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 4．（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴，故选项A正确； ∵，∴，，∴，，故选项B正确； ∵，，∴，故选项D正确； ∵，，∴，∴，故选项C错误． ( 题型0 2 )由平行截线求相关线段的长或比值 5．如图，，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】∵，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E，∴，∵，，，∴，∴． 6．如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】20 【解析】，，，，，，，． 7．（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴，． 8．（2026·河北张家口·三模）在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，∵，∴，又∵为的中线，∴，∴，∴． 9．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是的对角线，，为的中点，，，，，即为的中点，是的中位线，． 10．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图，过点作交于点，是的中点，，则，，，，． 11．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【解析】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． ( 题型0 3 )利用平行判定相似 12．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【解析】要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 13．如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有________对． 【答案】4 【解析】∵，∴①．又∵，∴②，∴③．由平行四边形的性质可得④，共有4对相似三角形． 14．如图，在中，．若，，则_____． 【答案】12 【解析】， ， ，，． 15．（2026·云南临沧·一模）如图，，，则与的周长之比为________． 【答案】 【解析】∵，∴，∴，∵，∴． 16．（2026·宁夏银川·一模）如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵在中，点D、E分别是、边的中点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴． 17．（2026·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，相交于点，且．若图中阴影部分的面积为，则矩形的面积为________． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，又∵，∴，∴，∴． 18．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【解析】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【解析】证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 1．已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：； 结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（    ） A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ 【答案】C 【解析】由作图可得，，∴是的中位线，∴，，；故结论Ⅱ和Ⅳ一定正确，结论Ⅰ不能证明，结论Ⅲ错误． 2．（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴，设，，则，∴，∵，∴，∴． 3．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【解析】∵是平行四边形，∴ ，，∴ ，∵，∴，即，是一对特殊的相似，∴相似的两个三角形共有6对． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【解析】四边形为平行四边形，，，，，，，，设，则，，，，，解得，即． 5．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】过点作交于点，∵正方形中，，∴∴，∵点为线段的中点，，∴∴，∴，∵正方形中，，∴. 6．在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】∵，，，∴，∵平分交于点，于点，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理，得． 7．如图，在四边形中，，，，分别延长，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】如图，连接，过作于点，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴． 8．（2026·湖南益阳·二模）如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 【答案】（1）；（2）①② 【解析】（1）记与交于点， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ①∵，∴， ∵，∴，故①说法正确； ②∵，，，∴， ∵，∴，即， ∴，故②说法正确； ③∵，，， 设，∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，即， ∴，故③说法错误； 综上，正确的有①②． 9．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【解析】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【解析】（1）证明： 是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 11．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 12．如图①，直线，直线m被这组平行线所截，与直线a、b、c分别交于点D、E、F（点D在点E的左上方）．点B是直线b上一点，点B在点E的左侧，且，点A是直线a上的动点，作直线交直线c于点C，交直线m于点O，连接，若，，直线m与直线a所成的锐角为． (1)的值为_________； (2)求的度数； (3)当时，求的长； (4)作点E关于直线的对称点，当B，F，三点共线时，直接写出的长． 【解析】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，直线m与直线a所成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：当点A在点D的右侧时，如图①， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当点A在点D的左侧时，如图②， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 综上，的长为6或9； （4）解：过F作于G，则， ∵，， ∴，则，， ∴， ∴， 当在的延长线上时，如图，过点O作延长线于点H，过点O作于点I，过点B作于点J， 由折叠性质得，则， ∴，则， 设，， 由得， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当在线段上时，如图，过点O作于点H，过点O作于点I，过点B作于点J， 由折叠性质得，则， ∴，则， 设，， 由得， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 综上，的长为或． 1．【真实情境】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 【答案】C 【解析】，，，，，，，，解得． 2．【跨学科——物理问题】（2026·江苏淮安·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【答案】 【解析】由题意得：，， 设小孔到的距离为，根据相似三角形相似比等于对应高之比得到，即，解得， 即小孔到的距离为． 3．【真实情境】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，小明打网球时，在距离球网米的位置击球，使球恰好打过网，已知球网高为米，球沿直线前进且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度约为 _________米．（精确到米） 【答案】 【解析】如下图所示，，，，，，，，，解得：． 4．【真实情境】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长交延长线于点，由题意得为的边上高，则为的边上高，，∵，∴，∴，设，则，∴，解得，∴． 5．【分类讨论思想】（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 【答案】2，，3 【解析】①若，则，，∴，∴，∴，∴； ②若，则，，∴，∴，∴，∴； ③若，，∴，∴，∴，∴． 综上，的长为2，，3． 6．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足． 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得． 即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： (1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． (2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【解析】（1）依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 依据2：相似三角形的对应边成比例． （2）证明：， ①， ， ②， ∴，得． 将式子两边同时除以， 得． 即． （3）解：∵， ∴， ∴①； ∵， ∴， ∴②． ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：10． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∵，，∴，∴． 2．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴． 3．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴． 4．（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵四边形是正方形，∴，∵点是的中点，∴，由平移得，∴，∴,又∵，∴． 5．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【解析】如图，连接交于点O，是等边三角形，边长为，，点是边的中点，，．由折叠的性质可知，，，，，∴，∴，∴，∴，∴四边形的周长． 6．（2025·山东东营·中考真题） （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【解析】（1）解： ，， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①：证明：∵，∴，． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴，∴，∴． 方案②：证明：∵，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴，即． 方案③：证明：∵，， ∴． ∵，∴，∴． ∵，∴， ∴，∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．∴． 又∵，∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $