3.3 从不同方向观察立体图形 课时作业 2026-2027学年北京版数学七年级上册

北京版七年级上册　第三章　3.3 从不同方向观察立体图形　课时作业 3.3　从不同方向观察立体图形　课时作业 北京版·七年级上册·第三章　简单的几何图形 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　用时：______分钟 一、学习目标 1．会从正面、左面、上面三个方向观察简单的立体图形，并能画出看到的平面图形。 2．能根据从不同方向看到的平面图形，想象并描述立体图形的形状，会判断搭成几何体所需小正方体的个数。 3．在观察、想象、画图的过程中，发展空间观念和几何直观。 二、知识点梳理 知识点1　从三个方向看立体图形 从不同的方向观察同一个立体图形，看到的平面图形可能不同。通常从三个方向观察： （1）从正面看：从物体的前面向后面看，看到的是物体的长和高； （2）从左面看：从物体的左面向右面看，看到的是物体的宽和高； （3）从上面看：从物体的上面向下面看，看到的是物体的长和宽。 知识点2　三个方向的图形之间的关系 把三个方向看到的图形按位置摆放：从正面看的图形放在左上方，从左面看的图形放在它的正右方，从上面看的图形放在它的正下方。它们之间满足： 长对正：从正面看与从上面看的图形，长度相等且左右对正； 高平齐：从正面看与从左面看的图形，高度相等且上下平齐； 宽相等：从左面看与从上面看的图形，宽度相等。 知识点3　常见立体图形从三个方向看到的图形 正方体：三个方向看到的都是正方形；球：三个方向看到的都是圆； 圆柱（竖放）：从正面、左面看是长方形，从上面看是圆； 圆锥（竖放）：从正面、左面看是三角形，从上面看是带圆心的圆。 图1　常见立体图形从三个方向看到的图形 知识点4　小正方体堆砌问题的方法 （1）由立体图形画平面图形：从正面看，数出每一列最高有几层；从左面看，数出每一行（前后方向）最高有几层；从上面看，画出所有有小正方体的位置。 （2）标数法：在从上面看到的图形的每个小正方形中标出该位置上小正方体的个数，所有数字之和就是小正方体的总数。 （3）求最多、最少个数：已知从正面和从上面看到的图形时，先在从上面看到的图形中按“列”标数，每一列中至少有一个位置要达到该列最高层数；求最多时每个位置都取最高层数，求最少时每列只让一个位置取最高层数，其余取1。 易错提醒：（1）从左面看时，物体的“前面”在所画图形的右侧，“后面”在左侧；（2）看不见的小正方体不能遗漏，要结合实际情况分析；（3）画图时要用直尺，注意对齐。 三、典型例题精讲 例1　如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，请分别画出从正面、左面、上面看到的平面图形。 【分析】从正面看有3列，左列2层，中、右两列各1层；从左面看有2行（前、后），后面一行2层，前面一行1层；从上面看，前排3个，后排1个（在左边）。 【解答】画出的图形如下： 从正面看 从左面看 从上面看 例2　如图是从上面看由若干个小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数。请画出从正面看和从左面看得到的图形，并求小正方体的总个数。 【分析】从正面看：每一列取该列中最大的数；从左面看：每一行取该行中最大的数，后排画在左侧，前排画在右侧。 【解答】从正面看：从左到右三列分别为3层、2层、1层；从左面看：后排3层（左侧），前排2层（右侧）。小正方体的总个数为3＋1＋1＋2＋1＝8（个）。 从正面看 从左面看 例3　用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，使它从正面看和从上面看得到的图形如图所示。搭这样的几何体最少需要多少个小正方体？最多需要多少个？ 从正面看 从上面看 【分析】从上面看可知，左列有前、后两个位置，中列、右列各一个位置（在后排）。结合从正面看，左列最高3层，中列1层，右列2层。 【解答】中列只有1个位置，放1个；右列只有1个位置，放2个；左列两个位置中至少有一个是3个。最少：左列为3＋1＝4个，共4＋1＋2＝7（个）；最多：左列为3＋3＝6个，共6＋1＋2＝9（个）。所以最少需要7个，最多需要9个。 标数示意（左列两个位置的数分别为3和1，或1和3） 例4　一个几何体从正面看和从左面看得到的图形都是三角形，从上面看得到的图形是带圆心的圆，这个几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．三棱柱 【解答】从正面、左面看都是三角形，说明是锥体；从上面看是带圆心的圆，说明底面是圆，所以是圆锥。故选B。 例5　如图，用4个棱长为1 cm的小正方体搭成一个几何体，放在地面上。如果把露在外面的部分（不含与地面接触的部分）涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 【分析】分别从上、前、后、左、右五个方向数露在外面的小正方形个数。 【解答】从上面看有3个面，从正面看有3个面，从后面看有3个面，从左面看有3个面，从右面看有3个面，共3×5＝15（个）面，每个面的面积是1 cm²，所以涂色部分的面积是15 cm²。 四、基础巩固 （一）选择题 1．如图是由8个大小相同的小正方体搭成的几何体，从正面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 2．下列立体图形中，从上面看得到的图形是圆的是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 3．如图是由8个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 4．一个几何体从正面看和从左面看得到的图形都是长方形，从上面看得到的图形是圆，这个几何体是（　　） A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．三棱柱 5．下列立体图形中，从正面、左面、上面看得到的图形都相同的是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．三棱柱 6．如图是从上面看由若干个小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则从正面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 7．如图是从上面看由若干个小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则搭成该几何体的小正方体的个数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．把一个圆锥竖直放在桌面上，从上面看到的图形是（　　） A．一个圆 B．一个三角形 C．一个带圆心的圆 D．一个扇形 （二）填空题 9．从正面、左面、上面看一个正方体，得到的三个图形都是大小相同的______。 10．用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，它从正面看和从左面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体最少需要______个小正方体，最多需要______个小正方体。 从正面看 从左面看 11．如图是从上面看由若干个小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则从正面看到的图形由______个小正方形组成，从左面看到的图形由______个小正方形组成。 12．从三个方向看到的图形之间满足：从正面看与从上面看的图形“长______”，从正面看与从左面看的图形“高______”，从左面看与从上面看的图形“宽______”。 13．如图是由9个大小相同的小正方体搭成的几何体，从正面看到的图形由______个小正方形组成；若小正方体的棱长为2 cm，则从左面看到的图形的面积为______cm²。 14．一个长方体从正面看是长为4 cm、宽为3 cm的长方形，从左面看是长为2 cm、宽为3 cm的长方形，则从上面看到的长方形的面积是______cm²，这个长方体的体积是______cm³。 （三）解答题 15．如图是由8个大小相同的小正方体搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面看到的图形。 16．如图是从上面看由若干个小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，请画出从正面看和从左面看得到的图形。 17．如图，用6个棱长为1 cm的小正方体搭成一个几何体，放在地面上。把露在外面的部分（不含底面）涂上颜色，求涂色部分的面积。 五、能力提升 18．用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，使它从正面看和从上面看得到的图形如图所示。 从正面看 从上面看 （1）搭这样的几何体最少需要多少个小正方体？最多需要多少个？ （2）在从上面看到的图形中标出最少时各位置上小正方体的个数（写出一种即可）。 19．用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体（放在3列、2行的方格范围内），它从正面看和从左面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体最少需要几个小正方体？最多需要几个？ 从正面看 从左面看 20．一个由若干个小正方体搭成的几何体，从正面、左面、上面看得到的图形如图所示，这个几何体由几个小正方体搭成？请在从上面看到的图形中标出各位置上小正方体的个数。 从正面看 从左面看 从上面看 21．一个直三棱柱（底面是三角形，侧棱与底面垂直）从三个方向看得到的图形及相关数据如图所示（单位：cm），其中从上面看到的图形是直角三角形。求这个三棱柱的体积。 六、拓展探究 22．用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体（放在3列、2行的方格范围内），使它从正面看和从左面看得到的图形如图所示。 从正面看 从左面看 （1）这样的几何体最少需要多少个小正方体？最多需要多少个？ （2）分别画出最少和最多时从上面看到的图形，并标出各位置上小正方体的个数。 23．如图，用14个棱长为1 cm的小正方体搭成一个三层的几何体（从上到下各层分别有1个、4个、9个小正方体），放在地面上。现把露在外面的部分（不含底面）都涂上红色，求涂色部分的面积。 参考答案及解析 四、基础巩固 1．D　【解析】从正面看有3列，从左到右分别为1层、2层、3层。A是左右顺序颠倒的错误图形，B是从左面看到的图形，C中右列层数错误。故选D。 2．B　【解析】竖放的圆柱从上面看是圆，正方体、长方体从上面看是长方形（正方形），三棱柱从上面看是三角形或长方形。故选B。 3．C　【解析】从左面看有3行（前、中、后），后排最高3层，中排2层，前排1层。从左面看时后排画在左侧，所以从左到右依次为3层、2层、1层。故选C。 4．C 5．C　【解析】球从任何方向看都是圆。圆柱、圆锥从上面看与从正面看不同，三棱柱同理。故选C。 6．A　【解析】从正面看，每一列取该列中最大的数：左列为max（1，2）＝2，中列为max（3，1）＝3，右列为1。所以从正面看从左到右为2层、3层、1层。故选A。 7．C　【解析】1＋2＋1＋3＋2＝9（个）。故选C。 8．C　【解析】从上面看圆锥，看到的是底面的圆，同时还能看到圆锥的顶点，它位于圆心处，所以是带圆心的圆。 9．正方形 10．3，5　【解析】从正面看，左列2层、右列1层；从左面看，前排2层、后排1层。最少：左前位置放2个，右后位置放1个，共3个；最多：左前2个，左后1个，右前1个，右后1个，共5个。 11．5，5　【解析】从正面看：左列max（1，2，1）＝2，右列max（3，1）＝3，共2＋3＝5个小正方形；从左面看：后排1，中排max（2，3）＝3，前排max（1，1）＝1，共1＋3＋1＝5个小正方形。 12．对正，平齐，相等 13．5，24　【解析】从正面看：左列3层，中列1层，右列1层，共5个小正方形。从左面看：后排3层，中排2层，前排1层，共6个小正方形，面积为6×2×2＝24（cm²）。 14．8，24　【解析】由“长对正、高平齐、宽相等”可知，长方体的长为4 cm，高为3 cm，宽为2 cm，从上面看到的长方形面积为4×2＝8（cm²），体积为4×2×3＝24（cm³）。 15．画出的图形如下： 从正面看 从左面看 从上面看 16．从正面看：左列max（2，1）＝2，中列max（1，2）＝2，右列max（3，1）＝3；从左面看：后排max（1，2，1）＝2（左侧），前排max（2，1，3）＝3（右侧）。画出的图形如下： 从正面看 从左面看 17．19 cm²　【解析】从上面看有5个面，从正面看有4个面，从后面看有4个面，从左面看有3个面，从右面看有3个面，共5＋4＋4＋3＋3＝19（个），每个面的面积为1 cm²，所以涂色部分的面积为19 cm²。 五、能力提升 18．（1）最少8个，最多11个。【解析】从上面看可知：左列、中列各有前后两个位置，右列只有后排一个位置。由从正面看，左列最高2层，中列最高3层，右列1层。最少：左列2＋1＝3，中列3＋1＝4，右列1，共8个；最多：左列2＋2＝4，中列3＋3＝6，右列1，共11个。 （2）如：后排从左到右标2，3，1，前排从左到右标1，1（答案不唯一，只要左列、中列各有一个位置取最高层数即可）。 19．最少6个，最多9个。【解析】从正面看，左、中、右三列最高分别为3，1，2层；从左面看，后排最高1层，前排最高3层。最多时每个位置取所在列与所在行最高层数中较小的数：前排为3，1，2，后排为1，1，1，共9个。最少时：左前放3个（同时满足左列与前排），中列放1个，右列放2个，共6个。 20．6个。【解析】从上面看，四个位置都有小正方体。从左面看前排只有1层，所以前排两个位置都是1个；从正面看左列3层，只能在左后位置放3个；右后位置不超过1层，放1个。所以后排为3，1，前排为1，1，共3＋1＋1＋1＝6（个）。 21．【解答】由三个方向看到的图形可知，该三棱柱的底面是两条直角边分别为3 cm和4 cm的直角三角形，高为5 cm。底面积为×3×4＝6（cm²），体积为6×5＝30（cm³）。 六、拓展探究 22．（1）最少6个，最多11个。【解析】从正面看三列分别为2，3，1层；从左面看后排3层，前排2层。最多：后排为2，3，1，前排为2，2，1，共11个。最少：中后放3个（同时满足中列与后排），左前放2个（同时满足左列与前排），右列放1个，共6个。 （2）最少时与最多时从上面看到的图形如下（第一行表示后排）： 最少（6个） 最多（11个） 23．33 cm²　【解析】从上面看，露出的面积等于从上面看到的图形面积，即3×3＝9个面；从前、后、左、右四个方向看，每个方向露出的面都是1＋2＋3＝6个，共4×6＝24个面。所以涂色部分共9＋24＝33个面，面积为33 cm²。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $