精品解析：山东章丘双语学校2026-2027学年八年级上学期第一次学情调研数学试题

2026-2027学年度第一学期 章丘双语学校八年级数学学情调研 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）. A. 3，5，3 B. 4，6，8 C. 7，24，25 D. 6，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要满足勾股定理的逆定理即可． 【详解】A、，故不能组成直角三角形； B、，故不能组成直角三角形； C、，故能组成直角三角形； D、，故不能组成直角三角形． 故选C． 【点睛】考点：勾股定理的逆定理． 2. 下列说法错误的是(　　) A. 5是25的算术平方根 B. 1是1的一个平方根 C. (-4)2的平方根是－4 D. 0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． 【详解】解：A、因为，所以本说法正确； B、因为，所以1是1的一个平方根说法正确； C、因为，所以本说法错误； D、因为，所以本说法正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题的关键是明确运用好定义解决问题． 3. 直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，得，即， 故选：C． 4. 点在一次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式可得一次函数的增减性，再根据增减性可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而增大， ∵点横坐标为，点横坐标为，且， ∴． 5. 已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（ ） A. 1 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论，然后运用勾股定理即可求出边的长． 【详解】解：的两条边的长分别为2、3， 当边为直角边时，则； 当边为斜边时，则； 故选：D． 6. 已知和关于轴对称，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，根据关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而求出答案． 【详解】解：∵和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故选：B． 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 当时， C. 图象经过第一、三、四象限 D. 图象必经过点 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数的增减性、图象与系数的关系，结合代入验证法判断各选项． 【详解】解：A．∵， ∴随的增大而增大，该选项错误； B．当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，，该选项错误； C．∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，该选项正确； D．当时，， ∴一次函数的图象不经过点，该选项错误． 8. 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案. 解：由勾股定理得： ，，， ，即 ∴△ABC是直角三角形， 设BC边上的高为h， 则， ∴. 故选A. 点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键. 9. 一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】x轴上所有点的纵坐标为0，先分别求出两个一次函数与x轴交点的横坐标，由于交点是同一点，因此横坐标相等，整理变形即可得到的值． 【详解】解：∵两个一次函数的图象交于x轴上同一点，交点在x轴上， ∴交点纵坐标， 分别令两个函数的，求解横坐标： 对于，令，得，解得， 对于，令，得，解得， ∵两个交点是同一点，横坐标相等， ∴， 整理得． 10. 已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点，是直线上不重合的两点，则 【答案】D 【解析】 【详解】的图象从左到右上升，则；与轴交点在正半轴，则． 的图象从左到右下降，则；与轴交点在负半轴，则． 对于A，，，，选项A正确，不符合题意； 对于B，当时，，，此时的图象在的上方，即， ，选项B正确，不符合题意； 对于C，已知两条直线的交点横坐标是， 当时，，即， ， ，选项C正确，不符合题意； 对于D，， 随的增大而减小， 若，则，此时，，则， 若，则，此时，，则， ，选项D错误，符合题意． 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 11. 的相反数是______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：的相反数为 ． 12. 直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 【答案】 第二 【解析】 【分析】根据直线经过的象限判断和的符号，再根据符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：∵直线 经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，即， 对于直线，∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限， ∴直线不经过第二象限． 13. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数的计算，根据勾股定理计算出的长度，然后计算点的横坐标即可． 【详解】在矩形中，， ， 点横坐标为：， 即点 14. 如图，长方形纸片，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，由四边形是矩形可得，再根据折叠的性质可得，最后在中，利用勾股定理建立关于的方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，设， 四边形是矩形， ，，， ． 纸片沿对折，点与点重合， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为． 15. 定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数的衍生函数，再根据点横坐标的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得到的值. 【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ， 点在这个“衍生函数”的图象上， 分两种情况讨论： 当时，将点坐标代入得 ， 解得，满足，符合题意. 当时，将点坐标代入得 解得，满足，符合题意. 综上：的值为或. 三、解答题（共10道小题，共计90分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 两边同时除以得， 或， 解得，． 【小问2详解】 解： 两边开立方得， 即， 解得． 17. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把每一项二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果； （2）利用平方差公式展开计算，再做有理数加减运算即可得到结果； （3）分别计算零次幂、立方根、化简绝对值，再依次去括号进行加减运算即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ； 【小问3详解】 解：原式， ， ． 18. 计算 （1）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． （2）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵的平方根是，的算术平方根是， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为； 【小问2详解】 解：根据数轴可知， ∴， ∴ ． 19. 如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为、、、． （1）在给出的图形中，画出四边形关于y轴对称的四边形； （2）求四边形的面积． （3）若点P的坐标为，在x轴上是否存在点Q使得的面积为10．若存在求出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的定义描点连线即可； （2）根据割补法计算即可； （3）设，可知，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：设， ∴， ∵的面积为10，， ∴， ∴， 解得：或， 即点Q的坐标为或． 20. 已知点是平面直角坐标系中的点． （1）若点在轴上，则点的坐标为___________； （2）若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________； （3）已知点，且轴，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查点的坐标特征，根据题意列方程求解是解决问题的关键． （1）由轴上点的坐标特征，令求解即可得到答案； （2）由在第一、三象限的角平分线上点的坐标特征，令求解即可得到答案； （3）由轴时，直线上点的纵坐标相等列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在轴上， 横坐标为，即，解得，则点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在第一、三象限的角平分线上， ，解得，则点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：、，且轴， ，解得，则点的坐标为． 21. 某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． （1）分别写出，与x之间的函数关系式． （2）若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 【答案】（1） （为正整数）；（为正整数）. （2） 选择方式一付费健身的次数更多 【解析】 【分析】（1）根据两种健身付费的方式列出对应的函数关系式即可； （2）求出两个函数的函数值为280时自变量的值，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得（为正整数），（为正整数）； 【小问2详解】 解：当时，则，解得， 当时，则，解得， ∵， ∴选择方式一健身的次数比较多； 答：他选择方式一付费健身的次数比较多． 22. 如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】（1）旗杆距地面3米处折断 （2）在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险 【解析】 【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意知，， 设长为米，则长为， 根据勾股定理得， 解得． 答：旗杆距地面3米处折断； 【小问2详解】 解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为， 连接． （米）， （米）． （米）． 即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险． 在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险． 23. 甲、乙两人从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数关系的图象，根据题意填空： （1）在跑步的全过程中，甲的速度为 米/秒； （2） ； ； ； （3）求乙出发多少秒后与甲第一次相遇． 【答案】（1） （2）；； （3）乙出发秒后与甲第一次相遇 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用：（1）根据图象，利用速度、时间及路程的数量关系得甲的速度；（2）根据（1）中速度结合图象得a、b、c；（3）设乙出发秒后与甲第一次相遇，根据等量关系建立方程即可，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象得： 甲的速度：（米/秒）， 故答案为：． 【小问2详解】 由图象得： ， ， ， 故答案为：；；． 【小问3详解】 乙刚开始的速度为：（米/秒）， 设乙出发秒后与甲第一次相遇， ， 解得：， 答：乙出发秒后与甲第一次相遇． 24. 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）__________． （2）化简． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分母有理化，分子分母同时乘，利用平方差化简分母即可算出结果； （2）每一项分别分母有理化，会出现大量互为相反数的项，中间项两两全部抵消，保留首尾两项即可得到结果； （3）先对分母有理化，变形得到，两边同时平方得到，多次整体代入多项式求值即可． 【小问1详解】 解：， 分子分母同时乘，， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． （1）【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； （2）【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长． （3）【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是2，求的值． 【答案】（1） 证明：连接AM，由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接AM，根据，结合三角形面积公式和即可证明； （2）根据勾股定理可求出，再根据，，，结合（1）所得结论即得出； （3）根据函数解析式可求得，，，从而可得，即为等腰三角形．再根据上的一点M到的距离是，则可分类讨论：当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图，易得出，从而得出，从而可求出，，即得出；②当点M在延长线上时，过点作于点P，则，易证，得出，从而可求出，即得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ∴在中，． 又∵，，， ∴结合（1）可知； 【小问3详解】 解：对于，令，得：；令，得：， ∴，． 对于，令，得：，则． ∵在中，，， ∴，即为等腰三角形． ∵上的一点M到的距离是，则点M在边上或在延长线上， 分类讨论：当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图， 由（1）知：， 由题可知：，则， 将，代入，解得：， ∴， ∴，， ∴； ②当点M在延长线上时，过点作于点P，如图， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查等积法，勾股定理，一次函数的应用，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 章丘双语学校八年级数学学情调研 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）. A. 3，5，3 B. 4，6，8 C. 7，24，25 D. 6，12，13 2. 下列说法错误的是(　　) A. 5是25的算术平方根 B. 1是1的一个平方根 C. (-4)2的平方根是－4 D. 0的平方根与算术平方根都是0 3. 直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 点在一次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（ ） A. 1 B. C. D. 或 6. 已知和关于轴对称，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 当时， C. 图象经过第一、三、四象限 D. 图象必经过点 8. 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点，是直线上不重合的两点，则 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 11. 的相反数是______________． 12. 直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 13. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为________． 14. 如图，长方形纸片，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则的长为__________． 15. 定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 三、解答题（共10道小题，共计90分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 计算 （1） （2） （3） 18. 计算 （1）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． （2）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 19. 如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为、、、． （1）在给出的图形中，画出四边形关于y轴对称的四边形； （2）求四边形的面积． （3）若点P的坐标为，在x轴上是否存在点Q使得的面积为10．若存在求出点Q的坐标． 20. 已知点是平面直角坐标系中的点． （1）若点在轴上，则点的坐标为___________； （2）若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________； （3）已知点，且轴，求点的坐标． 21. 某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． （1）分别写出，与x之间的函数关系式． （2）若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 22. 如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 23. 甲、乙两人从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数关系的图象，根据题意填空： （1）在跑步的全过程中，甲的速度为 米/秒； （2） ； ； ； （3）求乙出发多少秒后与甲第一次相遇． 24. 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）__________． （2）化简． （3）若，求的值． 25. 学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． （1）【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； （2）【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长． （3）【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是2，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $