专题04有理数的乘法与除法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题04有理数的乘法与除法知题通关讲义 知识点01:倒数（除法转化必备工具） 1. 倒数定义 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 2. 倒数的求法 3. 关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与 0 相乘得 1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02:有理数的乘法 （一）两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：(-4)(-6)=+(46)=24 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(-4)6=(46)=24 任何数与 0 相乘，结果为 0 例：0(-12.5)=0 （二）多个有理数连乘符号规律（高频考点） 1.因数不含 0：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负； 2.因数中只要有一个 0，乘积直接等于 0，无需计算绝对值。 例：(-2)(-3)(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负；(-1)20(-5)=0 （三）乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 (一）除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：ab = a(b≠0) (二）两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任意非 0 数，结果为 0。 ⚠️ 禁忌：0 不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 知识点04:有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数； 2.确定符号：数负因数总个数，定最终正负； 3.约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果； 4.合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 1、多个有理数相乘时符号判断失误 提醒：若干个非零有理数相乘，积的符号由负因数的总个数决定；负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；先定符号，再计算绝对值的乘积；算式中只要存在一个因数为0，则乘积等于0。 2、乘法分配律展开出现漏乘项 提醒：运用乘法分配律a(b+c)展开时，外部因数需要与括号内每一项相乘，各项原有符号同步参与运算；不可仅与括号内第一项相乘。 3、倒数与相反数概念发生混淆 提醒：乘积为1的两个数互为倒数，0不存在倒数；和为0的两个数互为相反数；区分两类概念的判定条件，不可互相混淆。 4、对除法误用乘法分配律 提醒：除法不具备分配性质；a(b+c)a b+a c；仅被除数可以拆分分配，除数不可以拆分后分配运算。 5、有理数除法化乘法时符号处理出错 提醒：进行除法运算，先转化为乘除数的倒数；转换过程需要完整保留除数本身的符号，不能只对数值取倒数而忽略原有符号。 6、乘除同级运算擅自变更运算顺序 提醒：乘法与除法属于同一级运算，运算顺序严格遵循从左向右；原式没有括号时，不允许自行添加括号优先计算后侧部分算式。 7、负分数乘除运算符号归属识别错误 提醒：负分数的负号属于整个分数的符号；负号可写在分数整体前或者分子前，不可以单独归属到分母之上。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 两个有理数的乘法运算 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 2．已知A和B的乘积为1，那么________． 【答案】 【分析】已知，对所求式子利用分数乘法法则变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据分式乘法运算法则，可得 ， ∵ ， ∴ 原式． 3．若，且，则的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的运算． 根据绝对值的性质结合求出x和y的可能值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴或， ∴或． 即的值等于． 故答案为：． 4．从1、2、3、4、…、100共100个正整数中取出若干个数，使其中任意三个数a、b、c，都有，则最多能取出（    ）个数． A．50 B．76 C．87 D．92 【答案】D 【分析】如果有1，则无法取其他所有的数2、3、4、5…，如果取了3，不能取所有3的倍数6、9、12、…，由此可知从大数开始取，按此规律解答问题． 【详解】解：由题意可知： ∵1与任何数的乘积都等于它本身，∴1可以取； 100=2×50，99=3×33，...，90=9×10， ∴将2~9拿去，剩下的数满足题意， 则最多能取出100-（9-2+1）=92个数， 故选D． 【点睛】此题不仅考查了整数问题，还考查了逻辑推理能力，解答此题关键在于从大数分析，容易找到问题的突破口． 题型二 多个有理数的乘法运算 5．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 6．下列乘积的结果，符号为正的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用有理数的乘法运算法则，根据同号得正，异号得负，乘以任何数为，对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：选项，，结果是，不符合题意． 选项，结果是负数，不符合题意． 选项，，故该选项正确，符合题意． 选项，，结果是负数，不符合题意． 7．定义新运算：．请利用此定义计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法计算法则，明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键． 根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为： 8．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【答案】B 【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型三 有理数乘法的实际应用 9．已知海拔每升高，大气压的变化量约为 (：压强单位)．明明假期爬山时，在山脚下测得大气压的值为，爬到山顶时测得大气压的值为，则明明所爬山的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出山脚到山顶变化的气压值，再用气压差除以每米对应的气压变化量，最后乘得到山的高度． 【详解】解：山脚的气压值为，山顶的气压值为， 则气压值变化了， 因为海拔每升高，大气压的变化量约为， 又因为，即海拔高度总共变化了个， 可得所爬山高度为， 故C选项符合题意． 10．有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，通过将进行拆分来进行分配是解答本题的关键．设开始时甲向上一面的数字之和为，根据题意有，即，再根据数字确定满足条件的甲朝上的数字的可能情况，即可作答． 【详解】解：设开始时甲向上一面的数字之和为， 甲、乙正面朝上的数字之和相等， 此时乙向上一面的数字之和也为， 翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加， 此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为， 则总的面上数之和为：， 根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为：， 即，即， 甲一面朝上的数字之和为， 甲朝上的可能是，，，或者，，，， 则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为 故答案为：． 11．某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为________元． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【详解】解：， （元）； 故答案为： 题型四 倒数 12．的倒数是____________________． 【答案】 【分析】乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 13．下列各组数中，互为倒数的是（     ） A．3和 B．和 C．3和 D．和 【答案】C 【分析】根据互为倒数的两数同号且乘积为1，先排除异号选项，再验证剩余选项． 【详解】解：∵ 互为倒数的两个数符号相同，且乘积为1． ∴ A选项：3与异号，排除； B选项：∵ ， ∴ ，不互为倒数； C选项：，互为倒数； D选项中与异号，排除； 14．的倒数是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查求一个数的绝对值，倒数，根据绝对值的意义和互为倒数的两数之积为1，进行求解即可． 【详解】解：， 的倒数为：； 故答案为： 15．若，互为相反数，，互为倒数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，倒数的定义，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，进而得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：． 题型五 有理数乘法运算律 16．，应用了______（定律） 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查乘法分配律，式子，是把相同因数提取出来，将另外的因数相加后再与相乘，应用了乘法分配律． 【详解】解： ， 根据乘法分配律的逆运算，即，其中，，，， ∴提取相同因数后得到，化简为， 故答案为：乘法分配律． 17．根据有理数的运算律，下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算律，根据加法结合律、交换律和乘法分配律逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算正确； 、，该选项运算正确； 、，该选项运算正确； 、，该选项运算错误； 故选：． 18．如图为乘法表的一部分，每一个空格内填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是__________． 【答案】 【分析】根据乘法表定义，阴影格内的数为对应行首与列首两数之积，利用乘法分配律提取公因式，将16个数的和转化为两组数之和的乘积计算． 【详解】解：由图可知，阴影部分对应的行首数为61，62，63，64，列首数为86，87，88，89 ∴16个阴影空格中填入的数之和为： ． 题型六 有理数的除法运算 19．计算的结果为__________． 【答案】9 【详解】解：． 20．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说“逢几进一就是几进制”，计算机采用的是二进制，请将89转化为二进制为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了进制转换，有理数的除法运算，根据题意将十进制化为二进制即可求解． 【详解】解：余1， 余0， 余0， 余1， 余1， 余0， 余1， ∴余数从下往上为，即89转化为二进制为． 故选：C． 21．若，则______ . 【答案】8 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，将变形为，再把变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 22．已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时，______； （2）若，则的值为______． 【答案】 1 0或/或0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 题型七 有理数除法的应用 23．丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换_____瓶啤酒． 【答案】6 【分析】本题考查了除法的应用．先把一箱啤酒共12瓶喝完，共得到12个空瓶，可以换瓶啤酒，再喝完，可以得4个空瓶，可以换，即得到1瓶啤酒余1个空瓶，喝完1瓶啤酒再加原来的1个空瓶，这时候剩2个空瓶，可以再借一个瓶子，换完啤酒后，喝掉一瓶，再还回去，由此即可求解． 【详解】解： (瓶) (瓶)…1(个) (瓶) (瓶) (瓶) 他们还可以再兑换6瓶啤酒． 故答案为：6． 24．一列火车长640米，从路旁的一棵大树旁通过，需要40秒，如果以同样的速度通过一座长800米的大桥，需要_____秒． 【答案】90 【分析】本题考查行程问题，根据火车通过大树的时间，求出火车的速度，根据火车过桥的总路程为车长加桥长，以及时间等于路程除以速度，进行求解即可． 【详解】解：（秒）； 故答案为：90． 25．小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】先求出5分钟后，两人相距多少米，用相距路程(甲的速度乙的速度)来计算；再用追及时间相距路程(乙的速度甲的速度)来求乙追上甲经过的时间． 【详解】解：（米）； （分钟）． 故选D． 【点睛】本题考查行程问题．解题的关键是熟练掌握计算方法． 题型八 有理数乘除混合运算 26．( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 27．计算，结果是_________． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式=×=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则． 28．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 题型九 有理数四则混合运算 29．下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算和大小比较． 通过计算每个选项的数值，并比较大小，即可找出结果最小的选项． 【详解】解：A：； B：； C：； D：； ． 故选：D． 30．定义一种新运算“”，规定有理数（a、b为有理数），如：，根据该运算计算________． 【答案】 【分析】根据题意得出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 【详解】解：， ． 31．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先进行括号内的减法运算，再进行乘法运算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 32．下列有理数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，需按照运算顺序（先乘除后加减，同级运算从左到右）和符号法则（同号得正、异号得负）进行计算判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、．原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 33．《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：. 故选：B 34．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．从下到上前______个台阶上数的和为30． 【答案】40或51 【详解】解：∵前4个台阶上数的和是，任意相邻四个台阶上数的和都相等， ∴前40个台阶上数的和为， 又∵第2个到第5个台阶的数字之和是3，第3个到第6个台阶的数字之和是3，第4个到第7个台阶的数字之和是3，，，， ∴第个台阶上的数为30， 即从下到上前40个台阶或前51个台阶上的数的和为30． 35．兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛．它们都以恒定的速度奔跑．兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米．它们同时从同地出发．然而，刺猬跑的方向与兔子的方向相反．当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑．问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？（） A．45 B．50 C．55 D．100 E．505 【答案】A 【分析】本题为环形行程问题，兔子方向保持不变，先计算兔子到达出发点的总时间，再计算第一次相遇的时间和位置，进而得到刺猬到达出发点的总时间，最后计算时间差即可． 【详解】解：∵兔子方向不变，跑道长550米，兔子速度为10米每秒， ∴兔子到达出发点的总时间为秒， ∵出发时二者反向，速度和为米每秒，相遇时路程和为一圈550米， ∴第一次相遇时间秒， 相遇时兔子跑了的路程为米，此时距离出发点还剩米，刺猬转身后与兔子同向，因此刺猬也需要跑50米才能到达出发点， ∵刺猬速度为1米每秒，转身之后不会再相遇（兔子速度更快，距离不断拉大），无需再次转身， ∴刺猬从相遇点到出发点的时间秒， ∴刺猬总时间秒， ∴时间差为秒． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 36．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， 故只有选项D正确. 37．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是____． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则． 根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答． 【详解】由数轴可得：，， ∴，，，， ∴，故式子①正确； ，故式子②错误； ，故式子③错误； ，故式子④正确． ∴正确的式子是①④． 故答案为：①④ 38．已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较大小，熟练掌握数轴上两点比较大小的方法是解题的关键； 首先根据数轴所示得出a，b两数的范围，再根据比较大小的方法逐一分析． 【详解】解：由数轴可知，，， A、∵，， ∴；错误，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，错误，不符合题意； C、∵a、b异号 ∴，错误，不符合题意； D、由数轴可知，，， ，， ， 故选：D． 题型十二 数轴上的翻折 39．把一条数轴在数处对折，使表示和两数的点恰好互相重合，则表示的点与表示______的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上点的特征，利用数轴对折时折痕点所对应的数为，然后列出算式即可求解，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【详解】解：∵和两数的点恰好互相重合， ∴折痕点所对应的数为， ∴表示的点与表示的点重合． 故答案为：． 40．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点所对应的数为；则翻转次后，点所对应的数是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了数轴、图形上点在数轴上所对应的数的变化规律，正确理解题意，准确找出翻转的次数与点对应的数字的规律是解答此题的关键． 通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变化；翻转为正整数）次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；用，确定的值，即可得解． 【详解】解：翻转1次后，点C所对应的数为0； 翻转2次后，点C所对应的数为0； 翻转3次后，点C所对应的数为1； 翻转4次后，点C所对应的数为3； 翻转5次后，点C所对应的数为4； 翻转6次后，点C所对应的数为4； 翻转7次后，点C所对应的数为5； 翻转8次后，点C所对应的数为7； 翻转9次后，点C所对应的数为8； …… 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； ， 翻转2024次后，点C所对应的数为2023； 故选：B． 41．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 如图，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与7表示的点重合，数b表示的点与数表示的点重合，则_________． 【答案】 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【详解】解：折叠后表示的点与7表示的点重合， 折叠点表示的数为， 数b表示的点与数表示的点重合， ， ． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】（1）先化简分数，然后按照有理数的乘法进行约分，计算即可求出答案． （2）先按照正负得负，负负得正化简式子，然后按照有理数的乘法分配律计算即可． （3）把写成，然后利用有理数乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，可得第④个等式； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）把每一项提公因数，就变成第二问的规律，利用第二问的规律可求出本题的答案． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知： 第④个等式为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 4．出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在初始位置向西处 (2)共耗油 (3)小李这天上午共得车费108元 【分析】（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方； （2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； （3）不超过的按8元计算，超过的在8元的基础上，再加上超过部分乘以12元，即可解答． 【详解】（1）解：， 答：小李在初始位置向西处； （2）解：， ， 答：共耗油； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费108元． 5．冷藏车可以将海鲜经过保温和保鲜处理后，快速运往各地．活海鲜的运输要将冷藏箱的温度调整至到之间，冻海鲜的运输要将冷藏箱的温度调整至零下至零下之间． (1)计算和零下之间的温差； (2)将一辆刚运输完冻海鲜的冷藏车(车厢内温度为零下)改运输活海鲜，需要将温度调至，若冷藏车的温度每小时升高，几小时后冷藏车才能达到所要求的温度? 【答案】(1)和零下 之间的温差是 (2)小时后冷藏车才能达到所要求的温度 【分析】（1）较高温度减去较低温度即可； （2）首先算出总共需要升高的温度，再根据每小时升温，所需时间为总升温幅度除以每小时升温值解答即可． 【详解】（1）解： ， 答：和零下之间的温差是； （2）解：共需要升高的温度： ， （小时）， 答：小时后冷藏车才能达到所要求的温度． 6．已知，，为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：____，_____，_____ (2)在数轴上标出，，的相反数所对应的点的位置． (3)若，，，求，，的值． 【答案】(1)＜；＞；＞； (2) (3)，，． 【分析】（1）根据数轴即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解 ； （3）根据数轴分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知：， （2）略 （3），，， ，，， ，，， ，，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题04有理数的乘法与除法知题通关讲义 知识梳理 知识点01：倒数（除法转化必备工具） 1.倒数定义 乘积为1的两个有理数互为倒数。 2.倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除 以这个数求倒数 小数的倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照 真、假分数求倒数的方法来进行 先把带分数化为假分数，然后将分子分 带分数的倒数 母调换位置 3.关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与0相乘得1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02：有理数的乘法 试卷第1页（共3页） (一)两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：（←4）×(-6)=+(4×6)=24 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(-4)×6=-(4×6)=-24 任何数与0相乘，结果为0 例：0×(-12.5)=0 (二)多个有理数连乘符号规律（高频考点） 1因数不含0：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为 负； 2.因数中只要有一个0，乘积直接等于0，无需计算绝对值。 例：(2)×(-3)×(4)，3个负因数（奇数），结果为负：(1)×2×0×(5)=0 （三)乘法三大运算律（简便计算必考) 设a、b、c为任意有理数 试卷第2页（共3页） 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先 把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配率 ,个数与两个数的和相乘，等于把这个数 分别与这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac 简便计算4种分组技巧 ①凑1分组：互为倒数优先相乘：②凑整分组：③同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03：有理数的除法 (一)除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：ab=a× b01 (二)两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0除以任意非0数，结果为 0。△禁忌： 0不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 试卷第3页（共3页） 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04：有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数； 2确定符号：数负因数总个数，定最终正负： 3约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果： 4合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部；禁止跳步约分，移 动数字必须连带自身符号。 知识点05：实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负： 试卷第4页（共3页） 2根据题意列乘除算式： 3按乘除法则计算； 4结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 2 高频易错点 1、多个有理数相乘时符号判断失误 提醒：若干个非零有理数相乘，积的符号由负因数的总个数决定：负因 数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负：先定符号，再计 算绝对值的乘积：算式中只要存在一个因数为0，则乘积等于0。 2、乘法分配律展开出现漏乘项 提醒：运用乘法分配律a(b+c)展开时，外部因数需要与括号内每一项相 乘，各项原有符号同步参与运算：不可仅与括号内第一项相乘。 3、倒数与相反数概念发生混淆 提醒：乘积为1的两个数互为倒数，0不存在倒数：和为0的两个数互为 相反数：区分两类概念的判定条件，不可互相混淆。 4、对除法误用乘法分配律 提醒：除法不具备分配性质；a(b+c)≠a÷b+a÷c;仅被除数可以拆分分 配，除数不可以拆分后分配运算。 5、有理数除法化乘法时符号处理出错 试卷第5页（共3页） 提醒：进行除法运算，先转化为乘除数的倒数：转换过程需要完整保留 除数本身的符号，不能只对数值取倒数而忽略原有符号。 6、乘除同级运算擅自变更运算顺序 提醒：乘法与除法属于同一级运算，运算顺序严格遵循从左向右：原式 没有括号时，不允许自行添加括号优先计算后侧部分算式。 7、负分数乘除运算符号归属识别错误 提醒：负分数的负号属于整个分数的符号：负号可写在分数整体前或者 分子前，不可以单独归属到分母之上。 题型通关 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 ★★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数四则混合运算 试卷第6页（共3页） ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 拔高题 6题 星级说明：★基础：★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 4 分题型精讲 题型一两个有理数的乘法运算 1.计算 的结果等于() A.2 B.-1 C. D.1 AB 2.己知A和B的乘积为1，那么3×8 3.若2=6川 2,且9>0，则+y的值等于 4.从1、2、3、4、、100共100个正整数中取出若千个数，使其中任意三个数a、b、c (a<b<c ,都有axb≠c,则最多能取出()个数. A.50 B.76 C.87 D.92 题型二多个有理数的乘法运算 5.计算： -4×(-2024)×(-0.25)= 6.下列乘积的结果，符号为正的是() A.0×(-3)×(-4)×(-5) B.(15x个* 试卷第7页（共3页） C.-2×(-12)×(+2) D.-1×(-5)×(-3) 7.定义新运算：a△b=-5b.请利用此定义计算： (1a2)A(-3)= 8.如果四个互不相同的正整数m、m八9满足(4-m4-m(4-p)4-g)-=9 则 4m+3n+3p+9 的最大值为() A.40 B.53 C.60 D.70 题型三有理数乘法的实际应用 9.已知海拔每升高100m,大气压的变化量约为l.IkPa(kPa:压强单位).明明假期爬山 时，在山脚下测得大气压的值为l00kPa,爬到山顶时测得大气压的值为72.5kPa,则明明 所爬山的高度为()· A.250m B.2000m C.2500m D.2700m 10.有A,B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别 写着2和0.甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面 的数字和相等.之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的4张卡片向上一面的数字 和减小了1，乙的4张卡片向上一面的数字和增加了1.则卡片翻转后，甲所持的4张卡片 向上一面的数字和为 11.某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的 差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价.乘车路程区段与对应票价 (部分)如下表： 乘车路程区段 05 610 1115 16-25 … 票价元 3.2 4.6 。。 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数 字是23，则该学生乘车的费用为 题型四倒数 12.-2005的倒数是 13.下列各组数中，互为倒数的是() 试卷第8页（共3页） 1 11 A.3和3 B.3和厂3 C.3和3 D.3和 ( 14.5的倒数是 2025 15.若a,b互为相反数，cd互为倒数，且b0,则a+b+2-气 () A.1 B.-1 C.-2 D.2 题型五有理数乘法运算律 -47×24+36×24-89×24=（-47+36-89)×24 16. ,应用了（定律) 17.根据有理数的运算律，下列运算不正确的是() A.a+b-c+d=(a-c)+(d+b) B.m(a-b+c)=ma-mb+mc C.a+(b+c)=a+b+c D.(a+b)+c=a+c+b+c 18.如图为乘法表的一部分，每一个空格内填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个 阴影空格中填入的数之和是 试卷第9页（共3页） 86 87 88 89 2 4 6 172 174 176 178 3 6 9 ●● 258 261 264 267 61122183 ● 62126 186 63 126189 64128192 题型六有理数的除法运算 20.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统.约定逢十进一就是十进制，逢 二进一就是二进制.也就是说“逢几进一就是几进制”，计算机采用的是二进制，请将89 转化为二进制为(). A.(1011101)2 B (1001101)2 c.(101001,D.(010102 21.若2a-5b-3=0,则4°÷32= 22.已知a,b,c为非零有理数，请解决下列问题： lal= (1)当a>0时， a alblcllabel (2)若abc<0,则a+b+c+abc的值为一· 题型七有理数除法的应用 23.丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3 人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换瓶啤酒 24.一列火车长640米，从路旁的一棵大树旁通过，需要40秒，如果以同样的速度通过一 座长800米的大桥，需要秒. 试卷第10页（共3页） 25.小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分 钟后，小华立即调头来追甲，再经过()分钟小华可追上小明： 5 5 A.4 B.4 C.10 D.11 题型八有理数乘除混合运算 A.2 B.-1 C.1 D.4 27.计算(-2)(-4)×8，结果是 28.下列算式运算正确的是() A2()-24 B.（-2)÷×(-5)=(-2)(-)=2 c.2(4*-2x(4x2= D.8-4-8}8e4=2-2=30 题型九有理数四则混合运算 29.下列运算，结果最小的是（) A.1-2+3-4 B.1x(-2)+3-4 c.1-(-2x3)-4 D.1x(-2)x3-4 30.定义一种新运算“⊕”，规定有理数a®b=4ab-b(a、b为有理数)，如： 2⊕3=4×2×3-3=21，根据该运算计算 3⊕(-3)= 试卷第11页（共3页） 时.品小岛小小 32.下列有理数运算正确的是() B.-23+(-2)}2=-8-4=-12 C.3-（-5)×2=8×2=16 D.(3旷×写3=9 题型十有理数四则混合运算的实际应用 33.《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱 几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是 () 九 章 算 術 A.8×5+6x3=58 B.8x5+6x(-3)=22 8×(-5)+6×3=-22 D.8x(-5)+6x(-3)=-58 34.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标 着-5，-2,19，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.从下到上前个台阶上数的和为 30】 35.兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛.它们都以恒定的速度奔跑.兔子的速 度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米.它们同时从同地出发.然而，刺猬跑的方向与 试卷第12页（共3页） 兔子的方向相反.当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑.问刺猬比兔子晚多少秒到 达出发的地点？() A.45 B.50 C.55 D.100 E 505 题型十一根据点在数轴的位置判断式子的正负 36.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() a b 321012方→ la<b B.q>3 C.b-2>0 D a+b<0 37.如图，数轴上4，B两点所表示的数分别为a,b,下列各式中：Oa-6-)>0 ②a-l6+k0,ga+b+)>0:®a+l6-lyk0 其中正确式子的序号是 B 38.已知实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是() -2a-10612→ A.a-b>0 a+6>0 C ab0 D a+1<b+1 题型十二数轴上的翻折 39.把一条数轴在数m处对折，使表示-14和2016两数的点恰好互相重合，则表示-16的 点与表示的点重合 40.正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为-2和-1，若正方形 试卷第13页（共3页） ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转 2024次后，点C所对应的数是() -3-2-101234→ A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 41.小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 如图，在数轴上，两个有理数从左到右依次是-1，b,折叠这条数轴所在纸面，若使-1表 示的点与7表示的点重合，数b表示的点与数-2026表示的点重合，则b= -1 解答题 1.计算： 引2 e5((0 8片(-7)， 2.计算： )-15)+(+25)+(+)+(-1） 回+12+3》42-(3到 6号+(2四 )-12:075 试卷第14页（共3页） (5)(-2)×-5+4-3÷ 2: o07x号+2-1507x+(-15). 、3 9 3.观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决 问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： 6-0得动 s68-6动 (I)按以上规律，第④个等式为：一： 1+1+1+1 1 (②)按此规律，计算2×4+4x6+6x8+8x1010x12的值： 1++1+1+1++1+1 (3)探究计算：4+12+24+40+60+84+12+144+180的值. 4.出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向 西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km)如下： -2,+5,-1,+1,-6,-2 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车的耗油量为02Lkm,这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为3km(包括3km),超过部分每千米12元，问小 李这天上午共得车费多少元？ 5.冷藏车可以将海鲜经过保温和保鲜处理后，快速运往各地.活海鲜的运输要将冷藏箱的 温度调整至0℃到5℃之间，冻海鲜的运输要将冷藏箱的温度调整至零下18℃至零下15℃之 间. (1)计算5℃和零下18℃之间的温差： (2)将一辆刚运输完冻海鲜的冷藏车（车厢内温度为零下15℃）改运输活海鲜，需要将温度调 试卷第15页（共3页） 至3℃，若冷藏车的温度每小时升高8℃，几小时后冷藏车才能达到所要求的温度？ 6.已知a,b,C为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示. a ，→ (1)用“>”或“<”填空：a0,b0,c0. (2)在数轴上标出a,b,C的相反数所对应的点的位置。 6活4=56=25.d75,求4，b,c的值 试卷第16页（共3页）