专题03有理数的加法与减法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题03有理数的加法与减法知题通关讲义 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.有理数加法分类对比记忆表 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） 凑 0 分组：互为相反数的数先结合，和直接为 0 例：3+(-3)+7=0+7=7 同号分组：所有正数、所有负数分别结合 例：(-5)+8+(-3)+2=[(-5)+(-3)]+(8+2)=-8+10=2 凑整分组：小数、整数相加得整十 / 整数优先结合 例：1.6+(-2.7)+(-1.6)=[1.6+(-1.6)]-2.7=-2.7 同分母分数分组：分母相同的分数优先合并 知识点03:有理数的减法 一、有理数减法统一法则（本节核心转化公式） 文字法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母公式：a-b=a+(-b) 二、减法两步计算标准流程 1.变运算符号：减号 “-” 改成加号 “+”； 2.变减数符号：减数改成它的相反数； 3.按照有理数加法法则完成计算。 分类型例题 正数减正数：5-8=5+(-8)=-3 负数减正数：-6-4=-6+(-4)=-10 正数减负数：7-(-2)=7+2=9 负数减负数：-3-(-9)=-3+9=6 任何数减 0：(-5)-0=-5 0 减任意数：0-(-4)=0+4=4 减法符号变化规律总结 减正数 = 加负数 减负数 = 加正数 知识点04:有理数加减混合运算（考试重点大题） 1. 统一转化为加法（代数和形式） 步骤：所有减法全部改写为 “加上相反数”，算式只保留加号。 例：-7-(+3)+(-2)-(-5) 原式=-7+(-3)+(-2)+5 2. 省略加号的和式书写与读法 统一为加法后，省略所有括号与前面的加号，简写为代数和： 例：-7+(-3)+(-2)+5 简写为 -7-3-2+5 两种规范读法： 按代数和读：负 7、负 3、负 2、正 5 的和； 按运算读：负 7 减 3 减 2 加 5。 3. 混合运算完整解题步骤（答题标准格式） ① 去括号，减法全部转化为加法； ② 运用加法交换律、结合律分组简便计算； ③ 分别计算每组结果； ④ 最后合并求和。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为(-3)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 1、有理数加法法则选型错误 提醒：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；不能不加区分直接对绝对值求和。 2、有理数减法转加法变换出错 提醒：减法化为加法的规则：被减数保持不变，将减数改变符号后再相加，公式a‑b=a+(-b)；只更改运算符号、减数符号保持不变属于常见错误。 3、省略括号的加减混合运算符号辨识错误 提醒：省略括号后的加减混合式中，每个正负号属于对应数字的性质符号；需要区分运算符号与数字本身的性质符号，防止负号重复或者漏写。 4、加法交换律移动加数时遗漏性质符号 提醒：使用加法交换律调换加数位置，数字必须连同它前面的性质符号整体移动；不可只移动数字，将正负号留在原处。 5、加减运算去括号时符号变换失误 提醒：括号前为正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号，去括号后括号内每一项全部变号，禁止仅改变括号内第一项的符号。 6、含0的有理数加减运算规则误用 提醒：一个数加0或者减去0，结果仍等于原数；0减去任意一个数，结果等于该数的相反数；不能错误认为0减去一个数结果仍等于这个数。 7、实际问题有理数加减列式正负含义混淆 提醒：列算式求解实际变化类问题，严格匹配增减与正负的对应关系；各变化量需要携带自身正负号参与运算，不可直接对所有数值求和。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 有理数加法运算 1．计算： _______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 【详解】解：， 故答案为：． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误． 3．已知：与，且，则的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值和平方的定义，解决此类问题的关键是先根据绝对值和平方的定义求出未知数的值，再利用所给的条件对这些值进行筛选，必须同时满足题中条件的未知数的值才是所求的代数式中未知数的值，代入求解． 【详解】解：与， ，， ， ，或，， 或， 故答案为：或． 4．小时候大家喜欢玩的幻方游戏，经过嘉嘉设计，改成了一个创新版的“幻方”游戏．现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的四个数字之和都相等，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，理解题意是解题的关键．由于这八个数之和是，所以需要满足两个圈的和是，横竖的和也是，列等式可得结论． 【详解】解：因为， 横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，， 所以横、竖以及内外两圈的和都是． 由，得． 由，得． ． 故答案为：． 题型二 有理数加法中的符号问题 5．如果两个有理数的和大于零，那么（　　） A．两个有理数一定都是正数 B．两个有理数不可能都是负数 C．两个有理数一个是正数，一个是负数 D．两个有理数可能都是零 【答案】B 【分析】根据有理数的加法运算法则即可求解． 【详解】如果两个有理数的和大于零，那么两个有理数可能一个是正数，一个是负数，或者两个都是正数，或者一个是正数，一个是零 故选B． 【点睛】此题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟知有理数的运算． 6．已知|x|＝1，|y|＝3，若，则x－y＝____ 【答案】-2或-4 【分析】已知绝对值的意义和加法的符号规律，求得x=1，y=3或x=-1，y=3，再代入求值即可． 【详解】∵|x|＝1，|y|＝3， ∴x=±1，y=±3， ∵， ∴x+y＞0， 又∵|x|＜|y|， ∴x=1，y=3或x=-1，y=3， 当x=1，y=3时，x－y＝1-3=-2； 当x=-1，y=3时，x－y＝-1-3=-4． 综上，当|x|＝1，|y|＝3，而且时， x－y＝-2或-4． 故答案为：-2或-4． 【点睛】本题考查了绝对值的性质和意义及有理数的加减法，根据绝对值的意义和性质和有理数加法的符号规律求得x=1，y=3或x=-1，y=3是解决问题的关键． 7．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先理解题意，观察数轴，得出，，再逐项判断即可． 【详解】解：观察数轴，得出，， A、∵，∴，原结论错误，不符合题意； B、∵，，∴，原结论正确，符合题意； C、∵，，∴，原结论错误，不符合题意； D、∵，，∴，原结论错误，不符合题意． 题型三 有理数加法在生活中的应用 8．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲使用八进制记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，孩子已经出生的天数为___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的运用，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：图中表示：232， ∴， 故答案为：． 9．如表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为10日时，纽约的时间是______． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差时 【答案】9日 【分析】带正号的时差表示比北京时间早，负号表示比北京时间晚，将北京时间加上时差，根据结果调整日期即可得到纽约时间． 【详解】解：∵ 纽约与北京的时差为，北京时间为10日， ∴ 计算时刻得 ． ∵ 结果为负，说明纽约时间是当前日期的前一天， ∴ 计算实际时刻为 ，日期为 ． ∴ 纽约的时间是9日． 10．小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设这四个数字分别为：，，，且，故，，然后分类讨论，得到这4个数有可能的结果，从而判断出答案． 【详解】解：设这四个数字分别为：，，，且， 故，； 当时，得， 且 此时所以 当时，得，那么，当时，，此时这4个数分别是2，4，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，3，6，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此不符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 综上所述，四个数只能是2，4，4，5或3，3，4，5； 故选为：A． 题型四 有理数加法运算律 11．应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，解题的关键在于掌握加法的交换律和结合律． 先根据加法的交换律，加法的结合律等知识点进行判断，即可得出答案． 【详解】解：应用了加法交换律和加法结合律． 故选：C 12．下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 13．运用加法运算律填空：2＋＋6＋＝____)＋[ ____＋]． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数的两数之和为0以及同分母的分数相加的原则进行计算即可． 【详解】解：2＋＋6＋＝)＋[＋]． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握加法法则和运算律是解题的关键． 14．计算时，运用了加法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律 【答案】D 【分析】计算，先运用加法交换律把6和10的位置-4和-8与交换，然后根据加法结合律把正数和负数分别结合在一起． 【详解】解：0 =（加法交换律） = （加法结合律） 故选：D． 【点睛】本题是考查加法交换律与结合律的应用，属于基础知识，要掌握． 题型五 有理数的减法运算 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项：，故选项不符合题意； 选项：，故选项不符合题意； 选项：，故选项不符合题意； 选项： ，故选项符合题意． 16．的最小值为_____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义可得，表示到与的距离的和，计算即可得出结果． 【详解】解：表示到与的距离的和， ∴当时，取得最小值，即． 17．把写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，观察算式的特点，把减法运算转化成加法运算；根据以上分析进行变形可得． 【详解】解： ． 故选：D． 题型六 有理数减法的实际应用 18．如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高_________． 【答案】15 【详解】冷藏室温度比冷冻室温度高． 19．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键．利用中午的气温减去凌晨的气温即可得． 【详解】解：从凌晨到中午气温上升了， 故选：B． 20．某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周_____的温差最大，周_____的温差最小． 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 7℃ 5℃ 7℃ 最低气温 2℃ 1℃ 0℃ ℃ 【答案】 日 一 【分析】根据有理数的减法求得每天的温差，比较大小． 【详解】周一，周二，周三，周四，周五，周六，周日； 由，得 周日的温差最大，周一的温差最小． 故答案为：日，一． 【点睛】本题考查有理数的运算；理解正负数的意义，运算法则计算是解题的关键． 题型七 有理数的加减混合运算 21．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，将序列每两项分组，每组计算结果为，总组数为项数的一半，即组，故总和为． 【详解】解： ，   ， 故选：D． 22．观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，  ______． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的加减，根据已知图形找出一般规律是解题关键． 根据题意发现一般规律  ，进而即可求解． 【详解】解：由图形可知，， ， ， 发现一般规律，  ， 则  ， 故答案为：． 23．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么等于（    ）    A．4 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为24，继而可求出方格中心位置的空格里面的数及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键． 【详解】解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为， ∴方格中心位置的空格里面的数为， 则下面的空格里面的数为， ∴的值为：， 故选：D． 题型八 有理数加减中的简便运算 24．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 25．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 26．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． (1)猜想并写出：． (2)尝试解决：． (3)试一试：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用所给的变化规律解答即可； （2）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法即可得出答案； （3）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法及提公因式法即可得出答案； 【详解】（1）略 （2）解： （3）解：， 由此可得出规律：，n为正整数， ∴ 题型九 有理数加减混合运算的应用 27．向阳村气象站记录：清晨气温为，中午比清晨上升了，傍晚又下降了．傍晚的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用清晨温度加上上升的温度，再减去下降的温度即可． 【详解】解：根据题意，傍晚气温为． 28．如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是________（选填“”，“”或“”）．    【答案】 【分析】本题考查有理数的加减应用，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 先根据最左边的一列三个数字和为，再利用最下面一行的数字求解即可． 【详解】解：最左边的一列三个数字和为， ∴由最下面一行数字可得右下角方框代表的数是； 故答案为： 29．个城市的国际标准时间单位：时在数轴上表示如图所示，那么北京时间年月日时应是(   ) A．纽约时间年月日时 B．巴黎时间年月日时 C．汉城时间年月日时 D．伦敦时间年月日时 【答案】B 【分析】按照图示，将其他四个地区时间依次求出即可判断． 【详解】解：由图得：当北京时间年月日时， 由于，故纽约时间应为年月日时； 由于，故伦敦时间应为年月日时； 由于，故巴黎时间应为年月日时； 由于，故汉城时间应为年月日时； 所以B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴及有理数的加减的应用，理解时区的含义是解题关键． 题型十 省略加法和括号的形式 30．把式子写成省略加号的和的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 31．省略算式中的括号和加号，把写为_______，读作：______． 【答案】 ，，，的和 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据省略括号和加法的方法解答即可． 【详解】解：可以写作：，读作：，，，的和， 故答案为：；，，，的和． 32．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 解答题 1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4） 解：原式． 2．绿色低碳的出行方式日益普及，新能源汽车走进千家万户．胡老师的新能源汽车上周日行驶里程为，下表是该汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化 (1)本周哪一天该汽车行驶里程最多？哪一天该汽车行驶里程最少？ (2)求本周该汽车的行驶总里程． 【答案】(1)本周星期五该汽车行驶里程最多，星期二该汽车行驶里程最少 (2)本周该汽车的行驶总里程为 【分析】（1）分别计算出每天的行驶里程，比较即可得出结果； （2）将每天行驶的里程相加即可得出结果． 【详解】（1）解：星期一：； 星期二：； 星期三：； 星期四：； 星期五：； 星期六：； 星期日：． ∵， 故本周星期五该汽车行驶里程最多，星期二该汽车行驶里程最少． （2）解：． 故本周该汽车的行驶总里程为． 3．阅读材料，并回答问题：钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如：现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘中看到的是点钟．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问点钟之前小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊖”表示钟表上的减法．（注：我们用0点钟代替12点钟）． (1)______； (2)⊖______； (3)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据 表示9点钟以后6小时，计算即可； （2） 表示2点钟之前5小时，计算即可； （3）根据钟面上用0点钟代替12点钟，可得7的相反数． 【详解】（1）解：表示9点钟以后6小时，，， ； （2）表示2点钟之前5小时，， ， ； （3），点钟代替点， 的相反数是5． 4．佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，游戏规则：将方块（◆）记为正分，如方块5记为分，将梅花（）记为负分，如梅花2记为分．如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌．两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到方块6，同时琪琪从佳佳手中抽到梅花5，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌，则佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ 【答案】(1)佳佳总分为5，琪琪总分为，佳佳获胜 (2)佳佳手中牌的总分最高可能是8 【分析】（1）根据题意分别计算出现有牌数的总分，比较即可得出答案． （2）佳佳要总分最高：抽取琪琪最大正数方块7，被抽走最小负数梅花7．然后计算即可得出答案． 【详解】（1）解：佳佳现有：方块4、方块2、梅花7，方块6， 总和：， 琪琪原有：梅花3、方块7、梅花4，梅花5， 总和：， ∵， ∴佳佳获胜． （2）解：佳佳要总分最高：抽取琪琪最大正数方块7，被抽走最小负数梅花7． 佳佳最高总分：（分）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的加法与减法知题通关讲义 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.有理数加法分类对比记忆表 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） 凑 0 分组：互为相反数的数先结合，和直接为 0 例：3+(-3)+7=0+7=7 同号分组：所有正数、所有负数分别结合 例：(-5)+8+(-3)+2=[(-5)+(-3)]+(8+2)=-8+10=2 凑整分组：小数、整数相加得整十 / 整数优先结合 例：1.6+(-2.7)+(-1.6)=[1.6+(-1.6)]-2.7=-2.7 同分母分数分组：分母相同的分数优先合并 知识点03:有理数的减法 一、有理数减法统一法则（本节核心转化公式） 文字法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母公式：a-b=a+(-b) 二、减法两步计算标准流程 1.变运算符号：减号 “-” 改成加号 “+”； 2.变减数符号：减数改成它的相反数； 3.按照有理数加法法则完成计算。 分类型例题 正数减正数：5-8=5+(-8)=-3 负数减正数：-6-4=-6+(-4)=-10 正数减负数：7-(-2)=7+2=9 负数减负数：-3-(-9)=-3+9=6 任何数减 0：(-5)-0=-5 0 减任意数：0-(-4)=0+4=4 减法符号变化规律总结 减正数 = 加负数 减负数 = 加正数 知识点04:有理数加减混合运算（考试重点大题） 1. 统一转化为加法（代数和形式） 步骤：所有减法全部改写为 “加上相反数”，算式只保留加号。 例：-7-(+3)+(-2)-(-5) 原式=-7+(-3)+(-2)+5 2. 省略加号的和式书写与读法 统一为加法后，省略所有括号与前面的加号，简写为代数和： 例：-7+(-3)+(-2)+5 简写为 -7-3-2+5 两种规范读法： 按代数和读：负 7、负 3、负 2、正 5 的和； 按运算读：负 7 减 3 减 2 加 5。 3. 混合运算完整解题步骤（答题标准格式） ① 去括号，减法全部转化为加法； ② 运用加法交换律、结合律分组简便计算； ③ 分别计算每组结果； ④ 最后合并求和。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为(-3)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 1、有理数加法法则选型错误 提醒：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；不能不加区分直接对绝对值求和。 2、有理数减法转加法变换出错 提醒：减法化为加法的规则：被减数保持不变，将减数改变符号后再相加，公式a‑b=a+(-b)；只更改运算符号、减数符号保持不变属于常见错误。 3、省略括号的加减混合运算符号辨识错误 提醒：省略括号后的加减混合式中，每个正负号属于对应数字的性质符号；需要区分运算符号与数字本身的性质符号，防止负号重复或者漏写。 4、加法交换律移动加数时遗漏性质符号 提醒：使用加法交换律调换加数位置，数字必须连同它前面的性质符号整体移动；不可只移动数字，将正负号留在原处。 5、加减运算去括号时符号变换失误 提醒：括号前为正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号，去括号后括号内每一项全部变号，禁止仅改变括号内第一项的符号。 6、含0的有理数加减运算规则误用 提醒：一个数加0或者减去0，结果仍等于原数；0减去任意一个数，结果等于该数的相反数；不能错误认为0减去一个数结果仍等于这个数。 7、实际问题有理数加减列式正负含义混淆 提醒：列算式求解实际变化类问题，严格匹配增减与正负的对应关系；各变化量需要携带自身正负号参与运算，不可直接对所有数值求和。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 有理数加法运算 1．计算： _______． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知：与，且，则的值是__________． 4．小时候大家喜欢玩的幻方游戏，经过嘉嘉设计，改成了一个创新版的“幻方”游戏．现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的四个数字之和都相等，则的值为__________． 题型二 有理数加法中的符号问题 5．如果两个有理数的和大于零，那么（　　） A．两个有理数一定都是正数 B．两个有理数不可能都是负数 C．两个有理数一个是正数，一个是负数 D．两个有理数可能都是零 6．已知|x|＝1，|y|＝3，若，则x－y＝____ 7．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 有理数加法在生活中的应用 8．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲使用八进制记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，孩子已经出生的天数为___________． 9．如表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为10日时，纽约的时间是______． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差时 10．小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 题型四 有理数加法运算律 11．应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 12．下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 13．运用加法运算律填空：2＋＋6＋＝____)＋[ ____＋]． 14．计算时，运用了加法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律 题型五 有理数的减法运算 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 16．的最小值为_____________． 17．把写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 题型六 有理数减法的实际应用 18．如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高_________． 19．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 20．某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周_____的温差最大，周_____的温差最小． 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 7℃ 5℃ 7℃ 最低气温 2℃ 1℃ 0℃ ℃ 题型七 有理数的加减混合运算 21．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 22．观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，  ______． 23．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么等于（    ）    A．4 B．5 C．8 D．12 题型八 有理数加减中的简便运算 24．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 25．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 26．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． (1)猜想并写出：． (2)尝试解决：． (3)试一试：． 题型九 有理数加减混合运算的应用 27．向阳村气象站记录：清晨气温为，中午比清晨上升了，傍晚又下降了．傍晚的气温是（     ） A． B． C． D． 28．如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是________（选填“”，“”或“”）．    29．个城市的国际标准时间单位：时在数轴上表示如图所示，那么北京时间年月日时应是(   ) A．纽约时间年月日时 B．巴黎时间年月日时 C．汉城时间年月日时 D．伦敦时间年月日时 题型十 省略加法和括号的形式 30．把式子写成省略加号的和的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 31．省略算式中的括号和加号，把写为_______，读作：______． 32．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1) (2) (3) (4) 2．绿色低碳的出行方式日益普及，新能源汽车走进千家万户．胡老师的新能源汽车上周日行驶里程为，下表是该汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化 (1)本周哪一天该汽车行驶里程最多？哪一天该汽车行驶里程最少？ (2)求本周该汽车的行驶总里程． 3．阅读材料，并回答问题：钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如：现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘中看到的是点钟．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问点钟之前小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊖”表示钟表上的减法．（注：我们用0点钟代替12点钟）． (1)______； (2)⊖______； (3)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______． 4．佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，游戏规则：将方块（◆）记为正分，如方块5记为分，将梅花（）记为负分，如梅花2记为分．如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌．两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到方块6，同时琪琪从佳佳手中抽到梅花5，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌，则佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $