专题08 二次函数中的特殊三角形存在性问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊三角形存在性问题，构建“通法+题型+挑战”三阶训练体系，提炼分类讨论与代数化求解策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套通法总结|分类讨论基础上，等腰用距离公式、直角用斜率垂直或勾股定理，强调临界检验|从方法原理到易错点预警，构建问题解决框架| |题型归纳|3题型（各含典例1+变式2）|分题型模版化：特征描述+方程法求解+验证步骤|二次函数与三角形性质融合，按“等腰→直角→等腰直角”递进| |压轴挑战|6道综合题|综合应用通法与题型技巧，提升复杂情境迁移能力|对接中考命题趋势，聚焦高频考点系统突破|

专题08 二次函数中的特殊三角形存在性问题的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足等腰、直角或等腰直角三角形的动点是否存在，需分类讨论。 - 解题方法：等腰三角形用两腰相等（距离公式）列方程；直角三角形用斜率垂直（\(k_1k_2=-1\)）或勾股定理；等腰直角结合两者，注意分类不重不漏。 - 易错提醒：忽视动点与顶点重合的临界情况；分类讨论时遗漏某种腰或直角对应情形；计算中根号开方时丢负根；未检验所求点是否在抛物线或给定范围内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 典例1（2026·西藏林芝·二模）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求这个抛物线的函数表达式； (2)点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上的点，是否存在点使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)存在点使为等腰三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，设点，然后根据割补法表示出四边形的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由可知：对称轴为直线，由题意可设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线交轴于点和点，可知： ，解得：， ∴这个抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，设点，由题意可知， 令时，则有，即， ∵，点的坐标为， ∴， ∴ ， ∵，开口向下，且， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为； （3）解：存在点使为等腰三角形，理由如下： 由可知：对称轴为直线，由题意可设， ∵，， ∴，，， 由为等腰三角形可分： 当时，则有，解得：， ∴； 当时，则有，解得：， ∴或； 当时，则有，解得：， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上所述：当为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，求动点坐标，常分三类（三边任一等）。 2.方法：设动点坐标，利用距离公式表示三边平方，分情况列方程（如两腰相等），解方程并验证。 变式1-1（2026·青海海东·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)或 (3)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据函数图象，结合的横坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的的取值范围为或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 变式1-2（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 典例2（2026·甘肃定西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是抛物线与轴的交点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)，分别是线段，上的动点，连接，，当时，求的最小值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据点、的坐标可知是等腰直角三角形，，过点作，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，把直线的解析式和抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点的坐标； （3）过点作轴，使，连接，过点作轴，可知四边形是矩形，根据可证，根据全等三角形的性质可知，根据两点之间线段最短，可知，根据矩形的性质可得点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度即为的最小值． 【详解】（1）解：抛物线过， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 是等腰直角三角形，， 过点作， 则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组：， 可得：（与点重合，舍去），， ； （3）解：如下图所示，过点作轴，使，连接，过点作轴， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ， ， 根据两点之间线段最短，可得：， 点，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成直角三角形，求动点坐标，常分三类（每个角为直角）。 2.方法：设动点坐标，利用斜率乘积为-1或勾股定理列方程，分三种直角情况求解并检验是否在抛物线上。 变式2-1（2026·甘肃金昌·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，且为斜边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标可得； （3）利用两点之间的距离公式得出，，，利用勾股定理得出，解出n的值，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ． 解得． ，则； （2）解：当时，则， ∴， 如图，作轴交于点， ，， 设直线的解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； （3）解：设，、， ， 同理：，， 当时，，即 整理得： 解得或． 当时，则， 当时，则． 综上：或． 变式2-2（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线F的函数表达式； (2)点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ (3)设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或或或 【分析】(1) 将，代入抛物线表达式，利用待定系数法求解． (2) 先求出点坐标和直线表达式，用表示和的长度，列方程求解． (3) 先求顶点坐标，设，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：设， 当时，， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ，， ，， 当时，， 解得或（舍去）， 时，． （3）解：存在点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， ， 设 ，， ， ①当为斜边时， 解得或， 或； ②当为斜边时， 解得， ； ③当为斜边时， 解得， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 典例3（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰直角三角形，求动点坐标，需同时满足等腰和直角。 2.方法：设动点坐标，分两类（直角顶点为动点或定点），用距离相等和垂直条件列方程组求解并验证。 变式3-1（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若时，二次函数的最大值为m，求m的值； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)m的值为或 (3)点P的横坐标为0或或或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组得到a，b的值即可求得解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，再根据题意分情况进行讨论m的值，从而得到结果； （3）设，分情况讨论：①当点D为直角顶点，分为和；②当点A为直角顶点，利用一线三垂直证明三角形全等，设不同情况下含t的点P坐标，代入到二次函数解析式求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将点，代入抛物线解析式， 得：，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点式为， ∴抛物线的顶点为，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，即时， 当时，函数有最大值m， ∴， 解得：（舍去），； 若，即时， 当时，函数有最大值为（舍去）， 若， 当时，函数有最大值为m， ∴， 解得：（舍去），， 综上所述，m的值为或． （3）解：设，则， ①当点D为直角顶点， （i）当时， 如图，作交对称轴于点M，记抛物线对称轴与x轴交点为N， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得：， 解得（舍去），， ∴点P的横坐标为； （ii）当时， 如图，作交对称轴于点M， 同理可证， ∴，， ∴设点， 代入抛物线解析式得：， 解得：（舍去），， ∴点P的横坐标为； ②当点A为直角顶点， 如图，过点A作y轴平行线，作交于点M，交于点N， 同理易证得， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得：， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； 当点P在x轴下方时， 如图，过点P作轴交x轴于点M，记对称轴与x轴交点为N， 同理易证得， ∴，， ∴点P为， 代入抛物线解析式得：， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为0或或或． 变式3-2（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点D坐标为或或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设点C到的距离为h，则， ∵点C到直线的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ①点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用待定系数法解题即可； （2）求出抛物线的对称轴，分类讨论当时和当时，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；时，； ∴，， ∵， 设二次函数解析式为， 代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴； ①如图1，当时，， ∴，； ②如图2，当时， 过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：存在，，，． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． （3）先设，由（1）得，结合，运用两点距离公式表示出∴，，，再根据为直角三角形，进行分类讨论且进行作图，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）解：，， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． （3）解：依题意，设， 由（1）得， ∵， ∴， ， ∵为直角三角形， ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 则 解得， 此时或， 综上：E的坐标为或或或． 4．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为（不符合题意，舍去）， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或． 5．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08二次函数中的特殊三角形存在性问题的三类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型二、 二次函数中的直角三角形存在性问题 题型三、 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法 明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足等腰、直角或等腰直角三角形的动点是否存在，需分类讨 论。 -解题方法：等腰三角形用两腰相等（距离公式）列方程；直角三角形用斜率垂直(k_1k2-1)或勾 股定理：等腰直角结合两者，注意分类不重不漏。 -易错提醒：忽视动点与顶点重合的临界情况；分类讨论时遗漏某种腰或直角对应情形，计算中根号开方 时丢负根：未检验所求点是否在抛物线或给定范围内。 夙题型归纳一精讲臭型题法，奔失解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 奥侧1(2026西藏林之二模)如图，抛物线=a+x+2交产轴于点4(3,0和点BL0,交'销于点 C 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V 备用图 (1)求这个抛物线的函数表达式： (②)点D的坐标为 标为L,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点。求四边形10CP面积的最大值： (3)点M为抛物线对称轴上的点，是否存在点M使△MBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标： 若不存在，请说明理由. 题型模版 1特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，求动点坐标，常分三类（三边任一等)。 2方法：设动点坐标，利用距离公式表示三边平方，分情况列方程（如两腰相等），解方程并验证。 变式11(2026青海海东一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数乃=-+c+ 的图象与轴交于 点4,430)与'轴交于点9 C(0,3) ,一次函数的图象过点A、C. B (1)求一次函数和二次函数的解析式： (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围： (3)若M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M,使得以M,A,C三点为顶点的三角形是以AM为腰 的等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 变式1-2(2026河南周口一模)如图，抛物线y=-术++C经过点 (-1,0)B(3,0) ,与y轴交于点 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当点P在第一象限时，求线段 PE的最大值： 3)在(2)的条件下，当PE取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 △QBE 为等腰三角形？ 若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 典例2(2026甘肃定西三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线’=+b伽+ 经过点30) B(4,0) 点C是抛物线与'轴的交点，连接AC,BC B (1)求抛物线的表达式： (2)抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由， (3)D,E分别是线段AB,BC上的动点，连接AE,CD,当CE=BD时，求AE+CD的最小值 题型模版 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：抛物线上动点与两定点构成直角三角形，求动点坐标，常分三类（每个角为直角）。 2方法：设动点坐标，利用斜率乘积为-1或勾股定理列方程，分三种直角情况求解并检验是否在抛物线上。 变式21(2026甘肃金昌模拟预测)如图，已知抛物线'=ar+x+3与*轴交于点 (-10)B3,0）,顶 点为M. iM iM 备用图 (1)求抛物线的解析式和点M的坐标： (2)点E是第一象限内抛物线上的一个动点，设△BEC的面积为S,求出S的最大值，并求出此时点E的坐 标： (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形，且AC为斜边？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 变式2-2(2026山东东营·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线F:y=+r+3的图象交x轴于 A(-1,0)B(3,0) 两点，交y轴于点C 备用图 (1)求抛物线F的函数表达式： (2)点P是线段OB上的一个动点，沿OB以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作EP⊥1x 4/9 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴，交抛物线于点E,交直线BC于点M.在点P运动过程中，运动时间t为何值时，MC=ME? (3)设抛物线F顶点为D,点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N,使得以点B,D,N为顶点的 三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由。 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 典剑3(2026湖南株洲模拟预测如图，己知抛物线'=ar+x+3(a+0)与'销交于4、B两点，其中 点1,0)， 对称轴为x=-1,与'轴交于点C (1)求抛物线的表达式. (2)点P是抛物线对称轴上一动点. PA a:当PAC的周长最小值时，求PC的值. b:点O是对称轴右侧抛物线上的一点，当△POB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请求出所有卫点的坐 标. 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰直角三角形，求动点坐标，需同时满足等腰和直角。 2方法：设动点坐标，分两类（直角顶点为动点或定点)，用距离相等和垂直条件列方程组求解并验证。 变式3-1(25-26九年级下江苏常州阶段检测)如图，已知抛物线)=+r+3与轴交于点 (-1,0) B(3,0) 与y轴交于点C. 5/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (备用图) (1)求抛物线的解析式： (2)若m≤x≤m+1 y=ax+bx+3 时，二次函数 的最大值为，求m的值； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D,使得△APD是以AD为直角边的等腰直 角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标：若不存在，请说明理由. 变式3-2(25-26九年级上·四川绵阳期末)如图，已知二次函数的图像与x轴交于点 A(-1,0),B(2,0) 两点， 与y轴交于点C,其中点C可由点B绕原点逆时针旋转9O°得到. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点G为抛物线上一动点，连接BG,当点C到直线BG的距离最大时，求△CGB的面积为多少： (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D,使得△APD是以AD为直角边的等腰直 角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由， ◆◆ 夙压轴桃战一攻克离难压轴， 突破思维上限 一、解答题 1.(25-26九年级上吉林白山期未)如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中， A(-1,0)B(3,0) 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(3,3),抛物线y= x+bx+c经过点A和点B. 4 D (1)求抛物线的解析式： (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接EC、EB,当△CEB是以CB为底的等腰三角形时，求点E的坐标， 1 2.(25-26九年级上河南商丘期末)如图，直线y=一2+2与x轴交于点B,与y轴交于点C已知二次 A(-1,0) 函数的图象经过点B,C和点 D (1)求该二次函数的解析式： (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的 等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标：如果不存在，请说明理由. y=x2+bx+c、A(-1,0)B(3,0) 3.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，已知抛物线 经过 两点，D 是抛物线的顶点 C (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标： 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)P为抛物线上一点，若使得 S.P4B=10 求出点P的坐标 (3)E在y轴上，若△ADE为直角三角形，直接写出点E的坐标. 4(25-26九年级上宁夏吴忠期末)已知，抛物线y=-+r+c经过点4(-1,0)和C(0,3到 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在， 请说明理由： (3)设第一象限内的点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标.（不写过程， 直接写坐标)》 5.(2526九年级上甘肃兰州期末)如图，抛物线”=(：+旷+大与x轴交于4、8两点，与》轴交于点 C(0,-3) B (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标： (2)点M是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当M点运动到何处时，△ACM的面积最大？求出△ACM的最大面积及此时点M的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点P,使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，请直接写出点P和点M的 坐标一 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x2+2x+ 6.(24-25九年级上河北邯郸期中)如图：已知抛物线 与直线相交于点4和点C,A点坐 标为，0)，C点横坐标为2 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式和C点坐标： (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)求直线AC函数解析式： (4)若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，PQ上x轴交AC于点Q,若△PQC是等腰直角三角形，直接 写出P点坐标. 9/9