专题11 求二次函数的函数值的范围或最值（六大题型）- 2026‑2027学年人教版九年级数学上册 课时同步练习

专题11 求二次函数的函数值的范围或最值问题 ◆题型一 没有限定自变量的取值范围求最值 1．求二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【答案】C． 【分析】先把y＝x2+2x﹣1进行配方得到抛物线的顶点式y＝（x+1）2﹣2，根据二次函数的性质即可得到最小值． 【详解】解：y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， ∴二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值是﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查考查了二次函数的最值问题，熟知二次函数的性质是解题的关键． 2．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2 【答案】C． 【分析】根据对称轴求出a，再根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2， ∴1≤m≤2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键． 3．求下列二次函数的最大值或最小值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)该二次函数有最小值，最小值为 (2)该二次函数有最大值，最大值为 (3)该二次函数有最大值，最大值为 (4)该二次函数有最小值，最小值为 【分析】先根据二次函数中a的符号判断函数值有最大值还是最小值，再根据最大值或最小值为求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，最小值为． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，最大值为． （4）解：∵， ∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，最小值为． 4．抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值，求出这个最值． 【答案】(1) 抛物线的解析式为 (2) 顶点坐标为；函数有最小值，最小值为 【分析】（1）代入两点坐标，联立方程组求解a，b的值； （2）将抛物线一般式转化为顶点式，结合二次项系数符号判断最值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴将两点坐标代入解析式，得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为． ◆题型二 已知二次函数的对称轴及自变量范围求最值 5．已知二次函数，当自变量时，则y的最大值为______． 【答案】21 【分析】根据先用配方法求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数的图象和性质根据自变量x的取值范围确定y的最大值． 【详解】解：二次函数， 所以二次函数的顶点坐标为， 因为，抛物线开口向上， 所以y有最小值为3． 当时，， 当时，， 所以当自变量时， 则y的取值范围为． 则y的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是函数有最低点，即有最小值，以此确定y的最大值． 6．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 7．已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴， 顶点坐标 (3)最大值，最小值 【详解】（1） ； （2），所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， （3）开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 8．已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，抛物线的最大值为，最小值为 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． ◆题型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围 9．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（　　） A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3 【答案】B． 【分析】先求出x＝2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可． 【详解】解：当x＝2时，y＝﹣4+4+3＝3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的应用． 10．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是（　　） A．s≥3 B．3＜s＜8 C．s≤3 D．s≥9 【答案】D． 【分析】由x+y2＝3可得y2与x的关系，用含x的代数式表示s，通过配方求解． 【详解】解：∵x+y2＝3， ∴y2＝3﹣x， ∵3﹣x≥0， ∴x≤3， ∴s＝x2+8y2＝x2+8（3﹣x）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8， ∴s≥9． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握配方法求二次函数的最值． 11．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 12．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为和谐点，例如：点（1，1），，都是和谐点． （1）判断函数y＝3x﹣1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣2，﹣2）．当﹣4≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为0，求实数m的取值范围． 【答案】（1）y＝3x﹣1图象上的和谐点为； （2）． 【分析】（1）根据和谐点定义得到点在y＝x上，联合y＝3x﹣1求解即可得到答案； （2）根据和谐点联立二次函数与一次函数求解即可得到答案； 【详解】解：（1）∵点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为和谐点， ∴和谐点都在y＝x上，， 解得， ∴y＝3x﹣1图象上的和谐点为； （2）∵二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣2，﹣2）， ∴，即ax2+4x+c＝0有两个相等的实数根， Δ＝16﹣4ac＝0， 解得ac＝4①， 将（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+5x+c（a≠0）得， ﹣2＝4a﹣10+c②， 联立①②，得a＝1，c＝4， ∴， 其顶点坐标为，则最小值为， 根据对称轴可知，当时，， 根据函数图象可知，当﹣4≤x≤﹣1时，函数的最小值为，最大值为0， ∴实数m的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的关系，掌握一次函数与一次函数交点问题是解题的关键． ◆题型四 已知二次函数的对称轴及最值求参问题 13.在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 14.已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 15．已知函数（b为常数）的图象经过点．当时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】将点代入即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可． 【详解】把代入， 得， ∴， ∴当时，y有最大值为6； ①当时， 当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为 ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴， ∴或(舍去)。 ②当时， 当时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为， ∴或舍去) 综上所述：或 故选：C 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出m的取值范围． 16.已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是______． 【答案】或 【分析】将二次函数配方成顶点式，分和两种情况分析即可． 【详解】 故该抛物线的对称轴为直线 当时，抛物线开口向上，且时，函数的最大值为 即时， 代入求得 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为 即时， 代入求得 ∴的值为或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． ◆题型五 已知二次函数解析式及最值求自变量范围 17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】C． 【分析】根据题意求出当y＝1时对应的x的值，再根据开口方向和y＞1即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：当y＝1时，即x2﹣2x﹣2＝1， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∵a＝1＞0，图象开口向上，且y＞1， ∴x＜﹣1或x＞3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，解题关键是求出y＝1时对应的x值． 18．已知二次函数y=x2-4x+1．若时，该二次函数的最小值为，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将二次函数一般式改为顶点式，结合其性质即得出当其最小值都为顶点的纵坐标-3． 【详解】∵， ∴当时该函数有最小值-3， ∵a=1>0 ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴若使x≤a时，该二次函数的最小值为−3， 则． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 19．二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为，由于当时，，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是. 【详解】解：∵二次函数的图象经过点,， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式是， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线有最大值4， 由于当时，，且在范围内有最大值为4，最小值为， ∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是； 故选：C. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练掌握抛物线的相关知识是解题关键. 20．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标，并直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围． （3）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）． （2）﹣1＜x＜3； （3）x≤1. 【分析】（1）将（﹣1，0）和（0，3）两点代入二次函数y＝﹣x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标； （2）令y＝0，解得x1，x2，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围； （3）求出对称轴，根据抛物线开口向下时的增减性即可得出答案． 【详解】解：（1）由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，3）两点， 得， 解这个方程组，得， 抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 由于y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 则抛物线的顶点坐标为（1，4）． （2）令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0． 解这个方程，得x1＝3，x2＝﹣1； ∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）． 当﹣1＜x＜3时，y＞0． （3）∵y＝﹣（x﹣1）2+4开口向下， 对称轴为直线为：x＝1， 对称轴左侧，y随x的增大而增大， 即x≤1时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大． ◆题型六 与二次函数最值有关的综合题 21．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 22．已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）． （1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　　； ②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　 　； ③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　 　． （2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值． 【答案】（1）①（1，2）；②2；③3； （2）m或． 【分析】（1）①把m＝1代入，得y＝x2﹣2x+3，利用顶点坐标公式求解即可； ②y＝x2﹣2x+3，对称轴是直线x＝1，在0≤x≤4之间，故可求最小值； ③y＝x2﹣2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值； （2）根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可． 【详解】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3， ①y＝x2﹣2x+3 ＝x2﹣2x+1+2， ＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； ②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， 所以最小值为2， 故答案为：2； ③y＝x2﹣2x+3， 当2≤x≤5时，在对称轴x＝1的右侧， y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3， 故答案为：3； （2）∵对称轴为x， 当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝﹣1时，有最小值1， ∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3， 解得m； 当1﹣≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝m时，有最小值1， ∴1＝m2﹣2m×m+3， ∴m， ∵﹣1≤m≤3， ∴m； 当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝3时，有最小值1， ∴1＝32﹣2m×3+3， 解得m3，舍去． 综上所述，m或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、最值公式、顶点坐标公式． 23．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）． （1）求b和c的值； （2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值． 【答案】（1）（2）m的值是2或﹣7． 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）先求出抛物线的对称轴为x＝﹣1，且此时y＝2，所以当m＞﹣1时，x＝m时取得最小值，代入即可求出m的值；当当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2≠11；当m+3＜﹣1时，x＝m+3时取得最小值，代入即可求出m的值． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）， ∴， 解之得． （2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴该函数图象开口向上，当x＝﹣1时取得最小值2， ∵当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11， ∴当m＞﹣1时，m2+2m+3＝11，得m1＝﹣4（舍去），m2＝2； 当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2，不符合题意； 当m+3＜﹣1时，（m+3）2+2（m+3）+3＝11，得m3＝﹣1（舍去），m4＝﹣7； 综上，m的值是2或﹣7． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以对称轴为分界点分别讨论取得最小值的情况是解决本题的关键． 24．在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 (2)已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 【答案】(1) (2)①当时，g为定值2；② (3)t的值为或 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）分3种情况讨论，①当时，时g取最大值，②当时，时g取最大值，③当时，时g取最大值，分别计算即可． 【详解】（1）解：，解得； （2）解：①由题意得：， 为定值，与x无关， ，即， 所以当时，g为定值2； ②， 随x的增大而增大， ， ； （3）解：由题意得：， ， ， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当，分情况讨论， ①当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； ②当时，时g取最大值， 即， 解得（舍去），（舍去）； ③当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； 综上，t的值为或． 25．点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①；②；③ (4) (5) 【分析】（1）提公因式再根据完全平方公式进行化简即可； （2）根据顶点式即可得到对称轴和顶点坐标； （3）①将代入，求出即可得到解析式； ②根据开口方向以及对称轴判断函数增减性，即可得到答案； ③由题意得到，再根据求出，将代入，得，即可得到答案； （4）根据题意求出，将分别代入，得，再根据求出，即可得到函数解析式； （5）分若和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：对称轴，顶点坐标为； （3）解：①将代入， 即， 解得， 该二次函数的表达式为； ②，开口向上，对称轴， 故在时，，距离对称轴更远， 若，则； ③， 两点关于直线对称， ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； （4）解：， ， 将分别代入， 得， ， ， 该二次函数的表达式为； （5）解：， 二次函数的图象开口向上， 由（2）可知，二次函数图象的顶点坐标为． 又点在二次函数图象的对称轴的异侧，， 点在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧， 当时，函数在处取得最小值， 当时，函数的最大值与最小值的差为1， 当时，函数的最大值为0， ①若，则，即，解得， 由点在二次函数图象的对称轴的异侧，且， 可得， ， 函数的最大值为， ； ， ②若，则，即， 根据点在对称轴左侧可知， 解得． ， 函数的最大值为， ， ， 综上所述，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $专题11求二次函数的函数值的范围或最值问题 题型一没有限定自变量的取值范围求最值 题型二已知二次函数的对称轴及自变量范围求最值 求二次函数的 题型三限定自变量的取值范围求函数值的范围 函数值的范围 或最值问题 题型四已知二次函数的对称轴及最值求参问题 题型五已知二次函数解析式及最值求自变量范围 题型六与二次函数最值有关的综合题 ◆题型一没有限定自变量的取值范围求最值 1.求二次函数y=x42x-1的最小值() A.0 B.-1 C.-2 D.-3 2.已知函数y=x2-2x+3,当0≤x≤时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( A.m≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.m≤2 3.求下列二次函数的最大值或最小值： (y=5X2+3x+2 (2)y=-X2+6x-3 y=-x-3x- ④y=-2x*5 4.抛物线y=ax2+bx-2经过(2,0)，(1，-3)两点. (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值，求出这个最值. ◆题型二已知二次函数的对称轴及自变量范围求最值 5.已知二次函数y=2x2-8x+11,当自变量3≤x≤5时，则y的最大值为 6.二次函数y=x2-2x+1在-5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为 7.己知二次函数y=x2-4X+3. (1)用配方法将其化为y=ax-h}+k的形式： (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和项点坐标： (3)当-1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值. 8.已知抛物线C,:y=X-1?-3现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位 得到抛物线C2. (1)求抛物线C2的解析式. (2)当-2≤x≤3时，求抛物线C2的最大值和最小值. ◆题型三限定自变量的取值范围求函数值的范围 9.己知二次函数y=-x+2x+3,当之2时，y的取值范围是() A.y23 B.y<3 C.y>3 D.y<3 10.若实数x,y满足x+y2=3,设s=x+8y2,则s的取值范围是() A.s≥3 B.3<s<8 C.s≤3 D.s≥9 11.己知二次函 y=2x-1?+1的图象为抛物线c. (1)抛物线C顶点坐标为 (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1,直接 写出抛物线C1的函数解析式： (3)当-2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围. 12.在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为和谐点，例如： 多》.(-5，一3，…都是和洁点。 (1)判断函数y=3x-1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标： (2)若二次函数y=2+5x+c（a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(-2，-2).当- 4长≤m时，函数=m+5tc(af0)的最小值为- ,最大值为0，求实数m的取值范 围。 ◆题型四已知二次函数的对称轴及最值求参问题 13.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-2m(其中m为常数)的图像经过点 0,8,其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有() A.最大值4 B.最大值7 C.最小值4 D.最小值7 14.已知二次函数y=x2-bx+1在-1≤x≤2时最小值为-3，则b的值为() A.4 B.4或-5 C.-5 D.±4或-5 15.已知函数y=-x2+bx-3(b为常数)的图象经过点-6，-3.当m≤x≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，则m的值为() A.-2或-3+10 B.-2或-4 C.-2或-3-10 D.-3-9V10 16.己知二次函 y=mX2-2mx+2(m≠0当-1≤X≤2时，函数的最大值为 y=4?则m 的值是 ◆题型五已知二次函数解析式及最值求自变量范围 17.己知二次函数y=x2-2x-2,当y>1时，则x的取值范围为() A.-1<x<3 B.-3<x<1 C.x<-1或x>3D.x<-3或x>1 18.已知二次函数y=x2-4x+1.若x≤a时，该二次函数的最小值为-3，则实数a的取值范 围是() A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 19.二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0)，2,3)，在Q≤x≤6范围内有最大值为4， 最小值为-5，则a的取值范围是() A.a≥6 B.3≤a≤6 C.0≤a≤3 D.a≤0 20.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，与 y轴的交点坐标为(0,3). (1)求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标： (2)求抛物线与x轴的另一个交点坐标，并直接写出当函数值y>0时，自变量x的取值范 围 (3)直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大？ y ◆题型六与二次函数最值有关的综合题 21.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点0，-3，-6，-3. (1)求b,c的值， (2)当-4≤x≤0时，求y的最大值 (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之差为9，求m的取值范围. 22.已知二次函数y=x2-2x+3（是常数) (1)若m=1,①该二次函数图象的顶点坐标为； ②当0sx<4时，该二次函数的最小值为 ③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 (2)当-1≤≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值， 23.如图，己知二次函数y=x+br+c的图象经过点P（-2,3),Q(1,6). (1)求b和c的值： (2)点M(,n)在该二次函数图象上，当ms≤+3时，该二次函数有最小值11，请根 据图象求出的值， 24.在平面直角坐标系中，对于一次函数y=@+bk≠0，若g=y-(t为常数，t≠0 ),则称g为y的“t型相关量”，例如：一次函数y=2x+1的“2.5型相关量”为 g=2x+1-2.5x=-0.5x+1. 【理解】 (1)一次函数y=3x的“t型相关量”为g=5x,则t= 【探究】 (2)已知g是y=k心+2k≠0的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的数量关系，并求出9的值： ②若g随X的增大而增大，试比较t与k的大小关系： 【迁移】 (3)类似的，对于二次函 y=ax2+bx+cla≠0若g=y-x亦称g为y的“型相关 量”.当-2≤x≤1时，二次函数y=-x2+3x+t2-3的“t型相关量”9的最大值为5，请 求出t的值 25.点MX1,y,NX,y,都在二次函数y=aX-4aX+4a-1的图象上，且X,-X1=2 (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是 (2)该二次函数的图象的对称轴为，顶点坐标为 (3)若该二次函数的图象经过点(4,1)， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若0≤X<1则y—,:（填“≥”“<”或“”) ③若y1=y2,求点M的坐标； (4)若x1=-1,y1-y2=3,求该二次函数的表达式： (5)【拓展设问】当a>0且X1≤x≤x2时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点M,N 在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出α的取值范围.