暑假预习：点坐标规律探究问题、平面直角坐标系中的面积问题专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系两大核心问题，通过精选典例构建坐标规律探究与面积计算的解题逻辑，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点坐标规律探究问题|8题（含旋转变换、循环路径等典例）|图形变换（旋转/平移）中坐标循环规律的归纳与周期计算|从具体变换到坐标变化规律的抽象，发展空间观念| |平面直角坐标系中的面积问题|8题（含存在性问题、面积与方程结合等典例）|利用坐标特征（割补法）求面积，结合方程解决坐标轴上点的存在性问题|从坐标到图形面积的转化，强化几何直观与推理意识|

暑假预习：点坐标规律探究问题、平面直角坐标系中的面积问题专项训练 暑假预习：点坐标规律探究问题、平面直角坐标系中的面积问题专项训练 考点目录 点坐标规律探究问题 平面直角坐标系中的面积问题 考点一 点坐标规律探究问题 例1．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 例3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． 例4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 变式1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 变式4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 考点二 平面直角坐标系中的面积问题 例1．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 例2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 例3．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 例4．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、、． (1)求出四边形的面积； (2)若点P在坐标轴上，且四边形的面积是面积的2倍，直接写出点P的坐标． 变式1．（25-26七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足. (1)求 a、b 的值； (2)求的面积； (3)点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标. 变式2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 变式3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，且，，点C的坐标为． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点M在y轴上，且三角形的面积等于三角形面积的倍，求点M的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：点坐标规律探究问题、平面直角坐标系中的面积问题专项训练 暑假预习：点坐标规律探究问题、平面直角坐标系中的面积问题专项训练 考点目录 点坐标规律探究问题 平面直角坐标系中的面积问题 考点一 点坐标规律探究问题 例1．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，并且每组的最后一个三角形的直角顶点是落在轴上的，求出一个循环组旋转过的距离，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为， ∵每三次旋转为一个循环组依次循环， 又∵， ∴在第2025次旋转后正好是第组的最后一个三角形，即如图③的三角形的位置， ∵， ∴直角顶点的坐标为． 例2．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点的坐标求出四边形各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第21圈的第26个单位长度的位置， ∵从点出发，按的方向绕行，且， ∴细线另一端落在边上，且距离点为26个单位长度， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， 即细线另一端所在位置的点的坐标是． 例3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． 【答案】675 【分析】根据点的移动可知点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，，， ∴点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1， ∵， ∴点的横坐标为． 例4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 变式1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0，求出2026除以6的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，点，点，点，点，点，点， 以此类推可知，每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为1， ∴点的坐标为． 变式2．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象可将这些点每四个分为一组，每组的横向长度为2个单位长度，这个点是第组的第1个点，其纵坐标为1，横坐标为． 【详解】解：结合图象可将这些点每四个分为一组，每组的横向长度为2个单位长度， ∵ ∴是第组的第1个点， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，都等于1， ∵每组的横向长度为2个单位长度， ∴，，，，……，这些点的横坐标依次为，，，，……， ∴可得到的横坐标为， ∴． 变式3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】由题意得到点的坐标规律，其中为正整数，当时即可得到答案． 【详解】解：由题意可得、、、、， 则，其中为正整数， 点的坐标为． 变式4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出沿x轴向右滚动一周，圆心向右运动的距离，再求出沿横轴向右滚动2025周，圆心A向右移动的距离，又滚动过程中，圆心的纵坐标不变，问题可得解． 【详解】解：根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为， 根据题意，沿x轴向右滚动一周，圆心A向右运动的距离为：， ∴从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆心A向右移动的距离为， ∴点的坐标为． 考点二 平面直角坐标系中的面积问题 例1．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【答案】(1)9 (2)或 (3)或 【分析】（1）过点C作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案； （3）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或； 例2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)①；②，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根与绝对值的非负性、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值、完全平方式的非负性得到，，求出的值，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可； （2）①利用三角形的面积公式即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； 故答案为：3，2，3； （2）解：①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述：，，． 例3．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；m；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解． 【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， ，，点， ∴，，，， ， ∴，． ， ， 解得，， 点的坐标为； 故答案为：，，，； （2）如图，连接，过点作于，于． 依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上， ， ， ， 点的坐标为； （3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5， ∵， ∴点在轴下方， 如图所示，过点作轴于点，则 ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 例4．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、、． (1)求出四边形的面积； (2)若点P在坐标轴上，且四边形的面积是面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）用割补法进行计算即可； （2）根据题意求出四边形的面积，连接，割补法求出，分两种情况进行讨论：①当点P在x轴上时，②当点P在y轴上时，即可解答． 【详解】（1）解：四边形的面积． （2）解：∵、， ∴轴， ∴的面积， ∵四边形的面积是面积的2倍， ∴四边形的面积， 连接， ∵、、， ∴，， ∴， ①当点P在x轴上时 ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； ②当点P在y轴上时， ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； 综上：或． 变式1．（25-26七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足. (1)求 a、b 的值； (2)求的面积； (3)点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标. 【答案】(1)，． (2) (3) 或 【分析】（1）利用非负性进行求解即可； （2）直接利用面积公式进行求解即可； （3）设，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：设，则， 由题意，． ， 或 或 ∴或． 变式2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【答案】(1)21 (2)或． 【分析】（1）过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据并结合各点的坐标求解即可； （2）根据的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，，， ∴点， ∴，，，，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴ ∴点坐标为或． 变式3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 变式4．（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，且，，点C的坐标为． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点M在y轴上，且三角形的面积等于三角形面积的倍，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)9 (3)或 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出三角形的面积，再根据点M在y轴上列出方程，求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴三角形的面积； （3）解：∵三角形的面积， ∴三角形的面积， ∵点M在y轴上， ∴， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $