精品解析：福建莆田市城厢区莆田擢英中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段性检查数学试卷

擢英2027届九年级第一次阶段性检查 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别将四个点的坐标代入关系式，并根据计算结果判断即可． 【详解】解：当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 3. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值2 D. 最大值2 【答案】B 【解析】 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 4. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 5. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 6. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（ ） A. 点A，O，在同一直线上 B. C. 点O到与的距离之比是 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 8. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 9. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 10. 如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（ ） A. 菱形的边长为 B. 自变量的取值范围为 C. 与之间的函数图象是抛物线的一部分 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理建立与的数量关系，结合函数图象读取关键点坐标逐一判断． 【详解】解：A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知， 即． 由图3可知，当时，， 代入得， 解得， 故A正确． B、由图3可知，的取值范围为， 故B正确． C、由可知，，图象不是抛物线， 故C错误． D、当时，取得最小值， ， 解得， 故D正确． 故答案为C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次函数的图象与轴有___________个交点． 【答案】 【解析】 【分析】求二次函数图象与轴的交点个数，令解一元二次方程，根据方程实数根的个数即可判断交点个数． 【详解】解：令，可得方程， 解方程得，方程有两个相等的实数根， 因此二次函数的图象与轴只有个交点． 12. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，则表格中的值是___________． 0 1 2 3 0 3 4 3 【答案】 【解析】 【分析】由表格中和的值相等，可得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性可知与的纵坐标相等，即可求出． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线上关于对称轴对称的点的纵坐标相等，且直线与直线关于直线对称， 又∵ 当时，， ∴当时，． 13. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 _____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据k小于0，可得该函数图象在第二四象限内y随x的增大二增大，据此作答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 在每一象限y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，点在上，，交于点，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由  得出  与  的比值，利用 判定 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】 解：，  ，  ， ， ，   即，  ． 15. 如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的数的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据反比例函数的性质可得点在线段上，且，由点是反比例函数的图象上的点，可得，由轴，可得点的坐标为，进而可得的长，从而可以判断四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，整理得：． 【详解】解：连接，，如图， 、关于原点对称，且是反比例函数的图象上的两点， 点在线段上，且， 是反比例函数的图象上的点， ， ∥y轴， 点的坐标为， ， 同理可得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 整理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质、三角形面积等知识，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 三、解答题 17. 已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过、、三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：． 18. 如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求与之间的函数关系式． （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【答案】（1）； （2）它的最快移动速度． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再代入求值． （1）根据题意设（）；将，代入，得，解得；故与之间的函数关系式为 . （2）将代入，得；故最快移动速度为． 【小问1详解】 解：∵与成反比例函数关系， ∴设函数关系式为（）． 将，代入，得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， 答：当载重后总质量时，它的最快移动速度为． 19. 已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 将代入反比例函数解析式得， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象，不等式的解集为或． 21. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，从而可得，，作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，从而可得，最后再代入二次函数解析式，计算即可得出结果． 【详解】解：在中，令，则， 解得，， ∴，， ∴，， 如图，作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴． 22. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m、k的值； （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，如图，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E． 【小问1详解】 解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； 【小问2详解】 解：过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 故点． 23. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： （1）求关于的函数表达式； （2）求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； （3）公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【答案】（1）； （2）落水点到喷头立柱的水平距离为米； （3）不能，喷头至少向上调整高度米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程． (1)用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)当时，可得一元二次方程：，解方程求出或，因为落水点在右侧，所以； (3)根据船的宽度和高度可知，如果船安全通过则当时，实际上当时，所以船不能安全通过． 【小问1详解】 解：从数据表可知，抛物线对称轴，顶点为， 设解析式为， 图象经过， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得：， 整理得：， 解得：或， 喷头在，落水点在右侧， ， 落水点到喷头立柱的水平距离为米； 【小问3详解】 解：设船宽米，对称轴， 船边位置为与， 船顶高米，安全距离不小于米， ， 将代入， 可得：， ， 船不能安全通过， ， 喷头至少向上调整高度米． 24. 如图， （1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； （2）如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）是定值， （3）3 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明； （2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案； （3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是定值， 如下图，过点作交延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 【小问3详解】 如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形判定与性质、相似三角的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，综合性较强，属于压轴题，解题关键是正确作出辅助线，综合运用相似三角形的性质解决问题． 25. 已知点是平面内一点，点到点的距离和直线的距离相等． （1）求与的函数解析式； （2）当时，的最小值为2，求的值； （3）直线与（1）中的函数图象相交于点、（点在点的左边），若，求证：直线必过定点． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：设直线的解析式为，，， 联立方程组， 消去得， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵直线与的函数图象相交于点、（点在点的左边）， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线必过定点． 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式建立等量关系，化简得到函数解析式； （2）根据二次函数的性质，并结合区间位置讨论最小值的情况； （3）联立直线与方程，结合一元二次方程根与系数的关系，从而证明直线过定点． 【小问1详解】 解：∵点是平面内一点，点到点的距离和直线的距离相等， ∴， 整理得， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴该函数图象的对称轴为轴，开口向上， 在中，当时，，即顶点坐标为， ∵当时，的最小值为2， ∴最小值不在顶点处取得， 当时，该函数在上单调递增，最小值为处的函数值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时，该函数在上单调递减，最小值为处的函数值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 擢英2027届九年级第一次阶段性检查 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值2 D. 最大值2 4. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（ ） A. 点A，O，在同一直线上 B. C. 点O到与的距离之比是 D. 8. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 9. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 10. 如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（ ） A. 菱形的边长为 B. 自变量的取值范围为 C. 与之间的函数图象是抛物线的一部分 D. 的最小值为 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次函数的图象与轴有___________个交点． 12. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，则表格中的值是___________． 0 1 2 3 0 3 4 3 13. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 _____________． 14. 如图，在中，点在上，，交于点，，则___________． 15. 如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的数的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 三、解答题 17. 已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 18. 如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求与之间的函数关系式． （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 19. 已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 22. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m、k的值； （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，如图，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； 23. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： （1）求关于的函数表达式； （2）求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； （3）公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 24. 如图， （1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； （2）如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 25. 已知点是平面内一点，点到点的距离和直线的距离相等． （1）求与的函数解析式； （2）当时，的最小值为2，求的值； （3）直线与（1）中的函数图象相交于点、（点在点的左边），若，求证：直线必过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $