福建省泉州市培元中学2026-2027学年九年级上学期 第一次 数学学情调研

2026秋初三年（第一次）数学学情调研 （考试时间：120分钟；满分：150分） 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题（共40分） 1．将方程化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A．2，，6 B．2，，18 C．2，， D．2，3，6 2．下列长度的各组线段，是成比例线段的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．若一元二次方程的两根为和3，则的值是（ ） A． B．3 C． D．2 5．在和中，，，，，，．下列说法错误的是（ ） A．与相似 B．与是对应边 C．两个三角形的相似比是2 D．与是对应边 6．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ） A．5 B． C． D．10 7．如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D． 9．如图，在平行四边形中，，分别为，边上两点，，，连接，交于点，若的面积为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 10．已知实数，，，，，其中，满足，．以下说法：①；②，是关于的一元二次方程的两个根；③；④若，，均为奇数，则，可能都为整数．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共24分） 11．一元二次方程的实数根是___________． 12．已知，则的值为___________． 13．如图，在中，、分别为、边上的点，，若，，，则___________． 14．已知，分别是方程的两根，则的值为___________． 15．如图，在中，，，，点，分别为，上的动点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，当与相似时，的长为___________． 16．如图，在中，，，，是线段上一动点，连接，以为边作，是的中点，连接．当线段最短时，___________． 三、解答题（共86分） 17．（8分）解方程：（1）． （2）． 18．（8分）如图，，，，．求和的长． 19．（8分）如图，在正方形中，点是的中点，点、分别在边、上，连接、，若，，求证：． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求的值． 21．（8分）如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上找一点，连接，使得（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若已知BD，CD，求AB的长． 22．（10分）某公司通过技术创新开发了一条芯片生产线，开工第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片． （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率． （2）1条生产线最大产能是600万个/季度．若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该需要几条生产线？ 23．（10分）如图，在中，，，为内部一点，且． 求证：（1）; （2）． 24．（13分）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程：如图1是由一个边长为x的正方形、两个相邻边长分别为x和1的矩形以及一个边长为1的小正方形构造成的一个大正方形．根据构造的图形，我们可以利用正方形的面积公式求得大正方形的面积为；同时，大正方形的面积又等于图中各部分图形面积之和，即．根据原方程我们得到，进而可得方程．由于在图形中表示的是线段长，因此能得到方程的一个正数解． （1）【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是（ ）． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 （2）【类比迁移】请参照上述构造图形的方法，求出一元二次方程的正数解（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． （3）【拓展应用】类似地，你能否通过“利用不同的方式表达立体图形组合体的体积”的方式，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下立体图形： 需要准备图2①中的几何体___________块；需要准备图2②中的几何体___________块； 需要准备图2③中的几何体___________块；需要准备图2④中的几何体___________块； 请直接写出方程的正数解___________． 25．（13分）如图，已知：在矩形中，是边的中点，，垂足为，的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）如果，，求的长． （3）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $