第1章 特殊平行四边形 B卷（培优验收） 2026‑2027 学年北师大版九年级数学上册

11 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章 特殊平行四边形 B卷（培优验收）·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20．（6分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章特殊平行四边形B卷（培优验收)·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） -、 选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 3.A][B][C][D] 7.[A][B][CI[D] 4.A][B][C]ID] 8.[A][BJ[C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10」 11 12. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(6分) D 17.(7分) C E 0 F B 18.(8分) 0 O B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(9分) D E G B 图1 图2 20.(6分) 21.(12分) D 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 的 图1 图2 图3 23.(12分) D D G E A B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章 特殊平行四边形 B卷（培优验收） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）正方形具有而菱形不具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线垂直且互相平分 D．对角线平分一组对角 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某兴趣小组需要在正方形上剪下机翼角（阴影部分），点在对角线上，若裁剪过程中满足，则“机翼角”的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，四边形是菱形，于点，则等于（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，正方形的边长为6，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A．12 B． C． D． 7．（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）如图，的对角线、交于点，已知，，，则四边形的周长为（     ） A．11 B．14 C．20 D．24 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 11．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 12．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 13．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕的长为______． 14．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，延长正方形的边至，使，则_____． 15．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，已知的周长为24，，O为垂足，． (1)求证：是菱形． (2)求的面积． 17．（7分）（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）如图，在中，，是边上一点，连接，，分别为，的中点，连接，，．已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 18．（8分）（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，菱形的对角线相交于点O，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求菱形的面积． 19．（9分）（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）在中，，，点是外一点，于，交边于，于，交边于，连接，．    (1)如图，若，求证：四边形为正方形； (2)如图，若，，（），则的面积为________（用含，，的式子表示）． 20．（8分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 21．（12分）（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 22．（12分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 23．（12分）（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章特殊平行四边形B卷（培优验收) 参考答案 第一部分（选择题共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 6 7 9 B D C A C C A B 第二部分（非选择题共3分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10.2w3 11,5 12.24 5 3.2 14.112.5° 1455 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(6分) 【答案】 (1)证明：：ABCD中，BD⊥AC, 口ABCD是菱形.；…2分 (2)解：ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD,AC平分∠BAD, ~菱形ABCD的周长为24， .AB=BC=CD=AD=6,3分 ∠BAD=60°， :∠BAC=∠BAD=30° …4分 .∠A0B=90° ∴.OB= …5分 .0A=VAB2-0B2=V6-32=3V5 ..AC=20A=63 BD=20B=6 .S菱形ABCD= AC-BD=号×6x63=18W3.6分 2 17.(7分) 【答案】 (1)证明：：E,F分别是BC,BD的中点， .EF是△BCD的中位线，…1分 ∴.EF∥CD,即EF∥AD,…2分 :∠AFD=∠EDF, AF∥DE, ∴.四边形ADEF是平行四边形.…3分 (2):EF是△BCD的中位线， :.EF=CD=1. 2 ,四边形ADEF为平行四边形， AD=EF=1,AF=DE=2,…5分 ∠BAC=90°，F为BD的中点， .BD=2AF=4 AB=√BD2-AD2=V15 …7分 18.(8分) 【答案 (1)解：四边形OBEC是矩形，理由如下： :BEAC,CE∥DB 四边形OBEC是平行四边形，…1分 :菱形ABCD的对角线ACBD相交于点O, .BD⊥AC, .∠B0C=90°， .平行四边形OBEC是矩形：3分 (2)解：由(1)得四边形OBEC是矩形， 0B=CE=1,0C=BE=1.5,5分 ,菱形ABCD的对角线ACBD相交于点O, AC=20C=3,BD=20B=2,7分 ÷8w24CBD 1 2×3×2=3.8分 19 .(9分) 【答案】(I)证明：：∠ACB=90°，AC=BC, ∴△ABC为等腰直角三角形， .∠A=∠B=45° :PD⊥AC,PF⊥BC, ∴.∠PDC=∠PFC=∠ACB=90°， ∴，四边形PDCF为矩形，且∠AED=∠BGF=45°， ∴.∠DEG=∠FGE=135° .CE=CG. ∴∠CEG=∠CGE, ∴.∠DEG-∠CEG=∠FGE-∠CGE,即∠CED=∠CGF,...3s分 在△CDE和△CFG中， ∠CED=∠CGF ∠PDC=∠PFC CE=CG ACDE≌aCFG(AAS) ，…5分 ..CD=CF “四边形PDCF为正方形.…6分 1 1 (2②2ac+2c- …8分 20.(8分) 【答案】 (1)证明：平行四边形ABCD中，AD‖BC, AD‖CE .DE AC .四边形ADEC是平行四边形，…2分 AC⊥BC, ∴.∠ACE=90° .平行四边形ADEC是矩形：4分 (2)解：：AC⊥BC, ∴.∠ACB=90°， AB=13,AC=12 .BC=VAB2-AC2=V132-122=5 ,…6分 平行四边形ABCD中，AD=BC=5, ·矩形ADEC的周长为 2×(5+12)=2×17=34 …8分 21.(12分) 【答案】 (1)解：：四边形ABCD是菱形，点P是射线BD上的动点， ∴由菱形的对称性可得PC=AP, :△APE是等边三角形， ∴AP=PE, .PC=3 .PE=PC=3:…2分 (2)证明：如图所示： 图2 在菱形ABCD中，∠ADC=∠ABC=60,则由菱形的对称性可得∠ADB=∠CDB=)∠ADC=30° 2 :四边形APDE是菱形， :.PA=PD. ∠PAD=∠PDA=30°， :∠APB是△APD的一个外角， ∠APB=∠PAD+∠PDA=60°，.4分 则由菱形的对称性可得∠BPC=∠BPA=60°， ∠APC=120°， △APE是等边三角形，…5分 ∠APE=60 .∠APC+∠APE=120°+60°=180°， 即C,P,E三点共线；…6分 (3)解：当CP⊥PE时，∠CPE=90°，分两种情况： 当P在线段BD上时，过P作PF⊥AB于F,如图所示： 是等边三角形， △APE .∠APE=60°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=150°， 由菱形ABCD的对称性可知∠APD=∠CPD=)∠APC=75°，∠ABP=∠CBP=∠ABC=30 :∠APD是△ABP的一个外角， .∠PAB=∠APD-∠ABP=75°-30°=45°， ∴.△APF是等腰直角三角形， F=PF=m,AP=√2m 设 ,则 在Rt.BPF中，∠MBP=30°，PB=2PF=2m,则由勾股定理可得BF=PB-PF=V3m ∴AB=BF+AF=(N3+lm 4B(3+1m6+2 :.AP √2m 2:9分 当P在线段BD延长线上时，连接AC交BD于O,如图所示： 0 D B :∠ABC=60° '△ABC是等边三角形，即AB=BC=AC, :△APE是等边三角形， ∠APE=60°， ∴.∠CPA=∠CPE-∠APE=30° 由对称性可知∠APD=∠CPD=)∠CPA=15°， :∠ADB=∠ADC=30° 21 .∠DAP=∠ADB-∠APD=15° ∴.∠DAP=∠APD, :PD=AD. ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠AOD=90° 设OA=n,则AB=AD=PD=2n, 在Rta1OD中，01=”，4D=2n,则由勾股定理可得OD=VD-0M=V5n, ∴.OP=OD+PD=V3+2n 在Rt△M0P中，由勾股定理可得4P=VON+OP-(6+2)n AB 2n √6-√2 ..AP V6+√2)n 2, ABV6+√2ABV6-V2 综上所述，AB与AP的数量关系为AP 2或AP 2…12分 22. (12分) 【答案】 (1)证明：：四边形ABCD为正方形， ·.AB=BC,∠ABC=∠C=90°， .∠ABP+∠CBF=90°， ,AE⊥BF, .∠APB=90°， ∠BAE+∠ABP=90° .∠BAE=∠CBF,…2分 △ABE≌△BCF(ASA) .AE=BF:…3分 (2)解：：四边形ABCD为正方形， .ADI BC, AH∥GE, .四边形AHEG为平行四边形，…4分 ∴.AH=GE=10, GE⊥BF, ∴.∠GPF=90°， AH∥GE, .∠AIF=∠GPF=90°， AH⊥BF, 根据解析(1)，同理可得：BF=AH=10:7分 (3)解：连接BF,交ME于点H,过点M作MG⊥BC于点G,如图所示： Bi= G 则∠MGE=∠MGB=90° :四边形ABCD为正方形， .AB=BC=10,∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°， .四边形ABGM为矩形，8分 .'MG=AB, ..MG=BC, 根据折叠可得：ME⊥BF, .∠BHE=90° ,∠EMG+∠MEG=∠MEG+∠CBF=90°， ,∠EMG=∠CBF △MEG≌ABFC(ASA) ，…10分 ∴BF=ME=11, :在Rt△BCF CF=BF2-BC2=21 中，根据勾股定理得： .12分 23.(12分) 【答案】 (1)解：：SAMc= 1AD-BC=24,AD=6' .BC=8. :E、F分别是边AB和AC的中点， ∴.EF为△ABC的中位线， ·EF∥BC, EF=BC=4,1分 2 :四边形EMNF是矩形，AD⊥BC, .∠FEM=∠ADM=90° 过点A作AK∥BC交ME的延长线与点K,设AD与EF交点为P, B M 图1 则∠AKM=∠EMB=90° ∴，四边形KMDA为矩形，四边形AKEP和四边形EMFN都为矩形， ∴，KM=AD,KE=AP,EM=PD, E为AB的中点， .AE=BE. 又∠AEK=∠BEM, △AEK≌ABEM(AAS) ∴EK=EM, AP=PD=号AD=3 ∴EM=3, .矩形EMNF的面积为：EM×EF=3×4=2,3分 故布超：Sm心度； EF-BC PD-AD S4c-TAD-BC,Sgs =PD.EF=1AD.BC=1AD-BC. 2 2 4 1 .S矩形wmr=2S,C.4分 2 (2)证明：连接AC,交HE于点J,交GF于点K, D B 2 ,点H和点G分别为AD,DC的中点， .HG是△ADC的中位线， :HG=号AC 2 设点D到4C的距离为h,由1)可知点D到HG的距离为2h, 2.5.n-C.h ScGCC-h 1 :.S四边形HKG= .m0,6分 1 同理可得出：S四边形EKr=)S,BMC, 2 S.DMC+S。BMC=S四边形ABCD S网边形UKG十S四边形EKF=S四边形FGH .S边形BrGH=2 S四边形BCD.8分 (3)解：连接AC,BD,HG,HE,EF,FG, :E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点， ∴.HG,HE,EF，,GF分别是△DAC,△ABD,△ABC,△CDB的中位线， GMAC.EEMAC:HG-EF-AC.GE/BD:HE/ GF=HE-1BD 2 .EF HG,GF∥HE, 二.四边形HGFE是平行四边形，…10分 .HF⊥GE, .四边形HGFE是菱形， 之S0m三)F×GE=24 S四边形ABD=2S菱形GFE=48 由(2)的结论可知： …12分 D G C H B E 图3 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章 特殊平行四边形 B卷（培优验收） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）正方形具有而菱形不具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线垂直且互相平分 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】正方形对角线相等而菱形不一定相等，可据此快速判断． 【详解】解：正方形和菱形的四条边相等，对角线垂直平分且平分一组对角，故A、C、D不符合题意， 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，故B符合题意． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，点E在边上，若，， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的对角线的长为4． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两条直角边，根据勾股定理算出斜边长度；再根据直角三角形斜边中线性质，得到中线长等于斜边的一半． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和． 由勾股定理得斜边：， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上中线长． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某兴趣小组需要在正方形上剪下机翼角（阴影部分），点在对角线上，若裁剪过程中满足，则“机翼角”的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，四边形是菱形，于点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求得的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题． 【详解】解∶四边形为菱形， ． 设与交于点O， ， ，． ． ， 解得． 6．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，正方形的边长为6，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，延长交于点F，容易证明四边形是矩形，由等边三角形的性质和勾股定理可得的长，则求得，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E，延长交于点F， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ． 7．（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）如图，的对角线、交于点，已知，，，则四边形的周长为（     ） A．11 B．14 C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形对角线互相平分求出，，由已知得，从而说明是菱形，即可解答． 【详解】解：中，，， ，， ， ， 是直角三角形，， ， 是菱形， ， 四边形的周长为． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据图形翻折变换的性质得出，在中利用勾股定理求出的长，进而得出的长，设，则，，在中由勾股定理可求出x的值，同理在中利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵由翻折而成， ∴，，， ∴中， ， ∴， 设，则，， 在中， ，即，， 解得，即， 再在中， ． 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用折叠的性质证明，从而得出，并利用勾股定理求出的长度，进而逐一判断各个结论的真假． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形，，， ∴，． 由折叠得：，，，， ∴， ∵，， ， ，， ，故①正确； 设，则，， 在中，由勾股定理， 即， ，解得， ∴，，， 若，则是等边三角形，， ∴， ∴，不符合题意， ∴， 即不是等边三角形，，故②错误； ， ， ， ，， ， ，故③正确， 在中，，， ∴， ∵和的顶点C相同，底边和在同一条直线上， ∴它们的高相等，面积之比等于底边之比， ∴， ∵，故④错误， 综上所述，正确的结论是①和③，共2个． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质推出，进而推出，即得出阴影部分的面积等于的面积，即大正方形面积的一半． 【详解】解：如图，连接， 四边形和右侧四边形均为正方形， 、分别为正方形的对角线， ， ， ， 大正方形的面积为， ，即阴影部分的面积为． 12．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大． 由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 为直角三角形． ，且点为线段的中点， ． ． 故答案为：24． 13．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕的长为______． 【答案】 【分析】首先由折叠的性质知，，可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再在中，利用勾股定理算出的长，再在中利用勾股定理计算出的长，进而得到的长，再次利用勾股定理计算出的长，然后证明，继而得到，从而得到的长． 【详解】解：连接，交于点G， 由折叠的性质知，，， 则是等腰三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中：， 则， 解得：， 则， 在中：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，延长正方形的边至，使，则_____． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质推导出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 15．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】利用矩形对角线相等的性质将转化为，由垂线段最短，用面积法求出点到的垂线段长度，即为最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 四边形是矩形， ， 当，即当与重合时，取得最小值， ，， ，， ， ， 可得， 解得， 故的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，已知的周长为24，，O为垂足，． (1)求证：是菱形． (2)求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形性质求出边长，进而求出对角线的长，利用菱形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：中，， 是菱形．；………………2分 （2）解：是菱形， ，平分， 菱形的周长为， ，………………3分 ， ，………………4分 ， ，………………5分 ， ，， ………………6分 17．（7分）（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）如图，在中，，是边上一点，连接，，分别为，的中点，连接，，．已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先用三角形中位线定理得到，再由推出，两组对边分别平行，证出四边形是平行四边形； （2）先结合中位线以及平行四边形的性质算出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出，最后在中用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线，………………1分 ，即，………………2分 ， ， 四边形是平行四边形．………………3分 （2）是的中位线， ， ∵四边形为平行四边形， ，，………………5分 ，为的中点， ， ．………………7分 18．（8分）（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，菱形的对角线相交于点O，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，据此可得结论； （2）根据矩形的性质得到的长，再由菱形的性质得到的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形，………………1分 ∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形；………………3分 （2）解：由（1）得四边形是矩形， ∴，………………5分 ∵菱形的对角线相交于点O， ∴，………………7分 ∴．………………8分 19．（9分）（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）在中，，，点是外一点，于，交边于，于，交边于，连接，．    (1)如图，若，求证：四边形为正方形； (2)如图，若，，（），则的面积为________（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，且， ∴． ∵， ∴， ∴，即，………………3分 在和中， ， ∴，………………5分 ∴， ∴四边形为正方形．………………6分 (2)………………8分 【分析】（1）容易判断为等腰直角三角形，四边形为矩形，从而计算出，进而得到．由可推断出，从而证明，则，因此四边形为正方形； （2）先利用矩形的性质和等腰三角形的性质依次表示出、、、，再使用割补法求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：同理（1）可得，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴ ． 20．（8分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见详解 (2)34 【分析】（1）先说明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）由勾股定理求的长，再根据平行四边形的性质求，根据矩形性质即可求周长． 【详解】（1）证明：平行四边形中，， ， ， 四边形是平行四边形，………………2分 ， ， 平行四边形是矩形；………………4分 （2）解：， ， ，， ，………………6分 平行四边形中，， 矩形的周长为．………………8分 21．（12分）（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据菱形的对称性可得，又是等边三角形，，即得； （2）由菱形性质、等腰三角形性质、外角和性质及等边三角形性质得出即可得证； （3）根据题意，分两种情况：点在线段上或点在线段延长线上，由菱形性质及勾股定理求出与的长度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，点是射线上的动点， ∴由菱形的对称性可得， 是等边三角形， ， ；………………2分 （2）证明：如图所示： 在菱形中，，则由菱形的对称性可得， 四边形是菱形， ， ， 是的一个外角， ，………………4分 则由菱形的对称性可得， ， 是等边三角形，………………5分 ， ， 即，，三点共线；………………6分 （3）解：当时，，分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图所示： 是等边三角形， ， ， 由菱形的对称性可知， 是的一个外角， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ∴；………………9分 当在线段延长线上时，连接交于，如图所示： ， 是等边三角形，即， 是等边三角形， ， ， 由对称性可知， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， 综上所述，与的数量关系为或．……………12分 22．（12分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)10 (3) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，证明，得出即可； （2）先证明四边形为平行四边形，得出，再证明，最后根据（1）同理可得：； （3）连接，交于点H，过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，………………2分 ∴， ∴；………………3分 （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，………………4分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1），同理可得：；………………7分 （3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形，………………8分 ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴，………………10分 ∴， ∴在中，根据勾股定理得：．………………12分 23．（12分）（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)4；12；； (2)见详解 (3)48 【分析】（1）先利用三角形中位线的判定定理和性质得出，过点A作交的延长线上，设与交点P，再通过矩形的判定和性质得出，根据矩形的面积公式求解，最后由三角形面积和距离的面积猜想出两者的关系即可． （2）连接，交于点J，交于点K，得出是的中位线，即，设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为，根据三角形以及四边形面积公式得出，同理可得出：，进而可得出． （3）利用中位线的判定和性质进一步证明四边形是菱形，利用菱形的性质求出菱形的面积，再根据结论（2）即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别是边和的中点， ∴为的中位线， ∴，，………………1分 ∵四边形是矩形，， ∴， 过点A作交的延长线与点，设与交点为P， 则， ∴四边形为矩形，四边形和四边形都为矩形， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：，………………3分 故猜想：； ∵，，，， ∴．………………4分 （2）证明：连接，交于点J，交于点K， ∵点H和点G分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为， ∴，， ∴，………………6分 同理可得出：， ∵， ， ∴．………………8分 （3）解：连接，，，，，， ∵、、、分别是边、、、中点， ∴，，，分别是，，，的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，………………10分 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 由（2）的结论可知：．………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章 特殊平行四边形 B卷（培优验收）·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（12分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章特殊平行四边形B卷（培优验收）·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6][B][G]D] 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.(3分) 11.(3分) 12.（3分) 13.(3分) 14.（3分) 15.(3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) C D B 18.(8分) C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(9分) 图1 20.(8分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(12分) 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 剑 1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第1章 特殊平行四边形 B卷（培优验收） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）正方形具有而菱形不具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线垂直且互相平分 D．对角线平分一组对角 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某兴趣小组需要在正方形上剪下机翼角（阴影部分），点在对角线上，若裁剪过程中满足，则“机翼角”的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，四边形是菱形，于点，则等于（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，正方形的边长为6，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A．12 B． C． D． 7．（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）如图，的对角线、交于点，已知，，，则四边形的周长为（     ） A．11 B．14 C．20 D．24 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_____________． 11．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 12．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 13．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕的长为______． 14．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，延长正方形的边至，使，则_____． 15．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，已知的周长为24，，O为垂足，． (1)求证：是菱形． (2)求的面积． 17．（7分）（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）如图，在中，，是边上一点，连接，，分别为，的中点，连接，，．已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 18．（8分）（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，菱形的对角线相交于点O，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求菱形的面积． 19．（9分）（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）在中，，，点是外一点，于，交边于，于，交边于，连接，．    (1)如图，若，求证：四边形为正方形； (2)如图，若，，（），则的面积为________（用含，，的式子表示）． 20．（8分）（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 21．（12分）（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 22．（12分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 23．（12分）（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $