第1章 特殊平行四边形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 北师大版八年级下第1章特殊平行四边形培优卷，120分钟120分，25题覆盖矩形、菱形、正方形核心知识，以中国结、蓝丝带等文化与现实情境为载体，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质判断、对称分类|如第3题结合中国结菱形求边长，渗透文化传承，培养几何直观| |填空题|6/18|折叠计算、动态问题|如第15题正方形中角度转化，考查推理能力| |解答题|9/72|尺规作图、综合探究|如24题定义筝形并探究正方形旋转问题，培养模型意识与创新思维|

第1章 特殊平行四边形·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，，则它的边长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 6．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 7．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 8．（25-26九年级上·山西太原·开学考试）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（    ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 12．（25-26八年级下·全国·期中）如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 16．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点．若，，，则的长为________．连接，，，则的面积为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 18．（6分）（2025·浙江金华·三模）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 19．（6分）如图，是一个的网格图，图中已画出了线段和线段，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形．    (1)画出以为边的正方形； (2)画一个以为一条对角线的菱形（点F在的左侧），且面积与（1）中正方形的面积相等． 20．（8分）（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形 (1)求作菱形，使点，分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若．求的长． 21．（8分）【问题提出】：如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．      【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2．当时，求出的大小；（提示：可在边上取点，使．连接，构造全等三角形来解答问题） (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 22．（9分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D落在线段上时，连接．求证：． 24．（10分）（25-26九年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 25．（10分）（25-26八年级下·吉林长春·期中）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，过对角线上一点，作的垂线，交边于点E、F，求的长． (1)小明同学是这样思考的：点O是的中点，过点O作的垂线，交于点M、N，发现四边形的形状是______，得，求的长度转化为求的长度，又通过观察发现进而得到四边形是菱形，具体证明过程如下： 解：∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 连接 补充证明四边形是菱形的过程： ∴平行四边形是菱形 直接写出的长是______． (2)请利用以上转化思想解决问题：如图3，矩形中，，点E、F分别是线段上的动点，且与互相垂直，则的最小值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 特殊平行四边形·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断题目给出的五个图形，统计符合条件的图形个数即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共个． 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 3．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，，则它的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形对角线互相平分可得 为 中点，结合 利用直角三角形斜边中线定理可得 ，从而求出 的度数，最后利用菱形对角线互相垂直及平分对角的性质求出 ． 【详解】解： 四边形 是菱形 平分 ∵在中，为中点 ∵在中， 5．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 6．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出木条的长度，再根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形的四条边长相等， ∴四边形是菱形， 如图①，连接， ∵在图①中，， ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， 如图②，连接， ∵在图②中，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 7．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 【答案】A 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 8．（25-26九年级上·山西太原·开学考试）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（    ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得 是等腰三角形，结合推出是的中点，进而证明四边形是矩形；利用三角形中位线定理判断的性质；利用矩形对角线互相平分及三角形面积公式判断面积关系；通过计算线段长度判断三角形全等． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 平分 四边形是平行四边形 平行四边形是矩形，故①正确； 由上可得，在 中，是的中点， 是 中点 是的中位线，故②正确； 四边形是矩形 对角线互相平分，即是中点 ∵矩形中，， ∴ ∴ 是中点 ，故③正确 在 Rt 中，， 由勾股定理得 ，为中点 与 不全等，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 12．（25-26八年级下·全国·期中）如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 【答案】正方形 【分析】由作图可知，四边形为菱形，证明，，即得四边形为正方形． 【详解】由作图可知，， 四边形为菱形， ，， ， ， 四边形为正方形． 13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由作图可得平分，，则，证明四边形为菱形，得出，再由四边形的周长为，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 【答案】3 【分析】作，交的延长线于点H，连接，则，先说明四边形是矩形，可得，再根据中点的定义得，结合线段垂直平分线的性质得，然后根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：过点G作，交的延长线于点H，连接，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ． ∵垂直平分， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】过点作于于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于于，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是矩形，， ，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 16．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点．若，，，则的长为________．连接，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，设，则，，进而勾股定理分别求得得出，即可得出的长；分别过点作的垂线，垂足分别为，过点作于点，根据的面积为，利用勾股定理，等面积法求得相关线段长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点． ∴ ∴ ∴ ∵折叠， ∴ ∴， ∴四边形是菱形， 设，则，， 在中，，则， 在中， ∵， ∴ 解得： 则的长为，，， ∴ 如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，过点作于点， ∵折叠， ∴，， 又∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， 在中， ∴ ∵， ∴， ∴的面积为 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 18．（6分）（2025·浙江金华·三模）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 19．（6分）如图，是一个的网格图，图中已画出了线段和线段，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形．    (1)画出以为边的正方形； (2)画一个以为一条对角线的菱形（点F在的左侧），且面积与（1）中正方形的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的性质与判定： （1）直接利用正方形的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用菱形的性质结合正方形面积得出符合题意的图形． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求； （2）解：如图所示，菱形即为所求．    20．（8分）（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形 (1)求作菱形，使点，分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为点，由线段垂直平分线的性质可得，，然后可证明，则，那么可由四边相等的四边形是菱形证明； （2）先得到，则，求出，则，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求 （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵矩形中， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 21．（8分）【问题提出】：如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．      【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2．当时，求出的大小；（提示：可在边上取点，使．连接，构造全等三角形来解答问题） (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，，则，可得到，则，进而得到． （2）在上截取，使，连接，证明，得到，由菱形的性质得到，，则．再由即可得到结论． 【详解】（1）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ， ， ∴ ． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ， ． ． 22．（9分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D落在线段上时，连接．求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，将四边形问题转化为等腰三角形问题是解题的关键． （1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）利用证明即可； 【详解】（1）解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）可知：， 又，， ） 24．（10分）（25-26九年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 【答案】(1)①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） (2)证明见详解 (3)四边形是筝形，理由见详解 (4) 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） （2）证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． （3）解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 25．（10分）（25-26八年级下·吉林长春·期中）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，过对角线上一点，作的垂线，交边于点E、F，求的长． (1)小明同学是这样思考的：点O是的中点，过点O作的垂线，交于点M、N，发现四边形的形状是______，得，求的长度转化为求的长度，又通过观察发现进而得到四边形是菱形，具体证明过程如下： 解：∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 连接 补充证明四边形是菱形的过程： ∴平行四边形是菱形 直接写出的长是______． (2)请利用以上转化思想解决问题：如图3，矩形中，，点E、F分别是线段上的动点，且与互相垂直，则的最小值为______． 【答案】(1)平行四边形，过程见解析， (2)10 【分析】（1）证明，结合和推出四边形为菱形；设，在中用勾股定理求出，再通过菱形面积公式求出，进而得到的长． （2）由（1）知时为定值，将的最小值转化为求的最小值值；平移构造平行四边形，将转化为，利用两点之间线段最短，将的最小值转化为的长度，再在中用勾股定理求出，最终得到的最小值． 【详解】（1）解：发现四边形的形状是平行四边形； ∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 如图，连接，． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 设，则， 在中，，由勾股定理得，解得． 在矩形中，由勾股定理得， ∵菱形的面积， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）可知，在矩形中，时，的长度为定值， ∴， 要求的最小值，只需求的最小值． 如图，平移线段到线段，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ． ， 根据两点之间线段最短，， 当且仅当，，三点共线时，等号成立． ，， ，即． 在中，，， ∴由勾股定理得． 的最小值为， ∴的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $