第1章《特殊平行四边形》单元复习卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第1章《特殊平行四边形》单元复习卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.矩形具有而菱形不具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线平分一组对角 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直且相等 2.如图，在Rt△ABC中，AB=3,∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，以AD,DB为邻边作平 行四边形ADBE.若∠EAC=120°，则AC的长为() A.35 B.5 C.6 D.4v5 3.如图，在矩形ABCD中，AB=V6,对角线AC与BD相交于点O,DE L AC,垂足为E, 0OE=CE,则BC的长为() B A.3v2 B.4 C.23 D.2√2 4.按如下步骤作四边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧， 分别交AE、AF于点B、D:(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交 于点C;(4)连接BC、DC、BD.若∠A=40°，则∠BDC的度数是() E B D F A.64° B.66 C.68° D.70° 5.如图，菱形ABCD绕着顶点D逆时针旋转30°得到菱形EFGD,连接AG,若∠DEF=80°，则 ∠DAG 的度数为() D G A.20° B.25° C.30° D.35 6.如图，直线I分别交两坐标轴于AB两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点 P 分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是() B A.y=x+8 B.y=-x+8 C.y=x+16 D.y=-x+16 7.如图所示，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别 交∠ABM和∠ABN的平分线于点C,D,连接AC,AD,要使四边形ACBD为矩形，则可添加下 列条件中的() 0 M A.CD=AB B.CO=OD C.∠ACB=90° D.AC=AD 8.如图，在口ABCD中，E,F分别是边AB,CD的中点，M,N在对角线AC上，AM=CN.要使 四边形EMFN是矩形，可添加下列条件() B A.∠AME=90°B.MN=2AM C.MN=AB D.MN=AD 9.将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD,BC,AD, B上)，使点小和点C在折叠后均落在C边上的点M处.若∠C=45°，DE=CE,EFIBC 于点F,则△BHM的周长为()· 1+ 2 B.4 2 0 a A.√2a 2 10.如图1，在菱形ABCD中，∠D=120°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速 运动，运动到点B停止。设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图像如图2 所示，则AB的长为() D 35 图1 图2 A.5 B.2W5 C.35 D.4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.如图将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中阴影 部分的面积为 12.如图，在边长为3的正方形ABCD内取一点E,连接AE,BE,CE,若BE=AB,AE=2, 则CE2= D 13.如图，已知直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a 于点F.若DE=4,BF=3,则EF= C B 14.如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C,D两点在数轴上对应的数分别为 3,1,当 ∠BCA=90° 时，B的长为 A C6D 5-4-320又345* B 15.如图，在矩形ABCD中，AB>AD,按以下步骤作图：①以点A为圆心，AD长为半径画 弧，交AB于点E:②分别以点D,E为圆心，大于DE长为半径画孤，两孤交于点F:⑧画 射线AF,交DC于点G,若AB=8,AE=6,则CG= B 16.如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE,连接BE,AC,相交 于点F,则∠BFC的度数是 E D B 17.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF 使点C的对称点P落在AD上，若AB=3,BC=5,则CF的取值范围为 D P B 18.如图，有一矩形纸片ABCD,AD=2AB=4,点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠， 点C的对应点为点E.点D关于点C的对称点为D,连接AD交BC于点O,连接AE并延长交 DD于点G. G D (1)若∠DAG=28°，则∠GAD'=_°； (2)点E到AD的距离最小值为一： 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19.(8分)如图，AB=AC,AD=AE,且∠I=∠2. (1)求证：∠EBC=∠DCB: (2)若ED=BC,判定四边形EBCD的形状，并说明理由. D B 20.(8分)如图，四边形ABCD为菱形. (I)过点D作直线BC的垂线DE,E为垂足.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字 母) (2)若∠B=60°，试探究CE与AB的数量关系，并说明理由. D 21.(10分)如图，在口ABCD中，点E,F在对角线BD上，且BE=DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若增加一个条件，可使四边形AECF是菱形，则该条件可以是 22.(10分)如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，且CE=CD,F是DE上 一点，连接AF,作FG⊥AF交射线DC于点G. (1)如图①，连接AG,当DF=EF时，判断△AFG的形状，并说明理由； (2)如图②，当DF≠EF时，写出线段AD,DF,DG之间的数量关系，并证明. D 1 ② 23.(10分)如图，正方形ABCD中，点P在对角线BD上，点E在CB的延长线上，且PE=PC, 过点P作PF⊥AE于F,直线PF分别交AB、CD于G、H. (1)求证：点F为AE的中点； (2)若BE=1,AB=3,求PE的长； (3)求证：DH=AG+BE. A D G G B B 备用图 24.(12分)【操作思考】 (1)如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段AB的端点均在正 方形网格格点上，其位置如图所示.请在网格纸上画出以AB为斜边的所有互不全等的直角三 角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上. 【联系应用】 AC 1 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC3,D,E是BC边的三等分点，连接AD,AE, 求∠1+∠2+3的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，已知正方形ABCD的边长为3，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻 折得△GCH,延长HG交AD于点M,求MD的长. B 0 D E C(F) 图1 图2 参考答案 一、选择题 1.B 解：对角线互相垂直的矩形是正方形： 故选：B. 2.C 解：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=3 ∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90° .BP 平分 ∠ABC ∴.∠ABP=∠CBP=45° :AD∥BC ∴.∠APB=∠PBC=45°=∠ABP .AP=AB=3 .BP⊥CP, ∴.∠BCP=∠CPD=45 ∴.∠PCD=45°=∠DPC ..PD=CD=3 .∴.AD=6 ∴矩形ABCD的面积=3×6=18， 故答案为：C 3.B 解：连接EF,设AE与BF交于点O,如图， F A 3 .AO 平分<BAD .∠1=∠2 “四边形 ABCD 为平行四边形， ∴.AF∥BE ∴.∠1=∠3 ∠2=∠3 ∴.AB=EB .由作图可得AB=AF, ∴.AF=BE, 又：AF∥BE, 六四边形MBE 是平行四边形， .'AB=AF, 六四边形BE 是菱形， ,AE⊥BFOB=OF=8OA=OE 在Ra1OB中，由勾股定理得：O1=VAB-0B=V0-8=6, ∴.AE=2OA=12 故选：B. 4.B 解：过A作AM⊥CD交CD的延长线于M,过F作FN⊥AB交AB的延长线于N,连接AF, M D G EB方 .∴∠AMD=∠BNF=90° “四边形 BCD 是菱形， ,AB∥CD AD=CD=AB=BC=8 ∴.∠ADM=∠DAB=60° ∠AMD=∠BNF=∠MAN=∠MFN=90° ∴.∠DAM=30° 四边形MANF是矩形， :.DM=14D=4 2 AN=MF FN=AM .AM=AD2-DM2 =V82-42 =4V5 .FN=43 “点A恰好落在D的四等分点F处， CD ∴.CF 3DF=6 ∴.FM=DM+DF =4+6 =10 .AW=10 设EF=x, 由折叠得：AE=x, ∴.EN=10-x .EN2+FN2=EF2 , (10-x+(45=, 解得：。 EF=3 5； 故选：B. 5.B 解：添加的条件可以是BC=2AB,理由如下： :点E是AD的中点， ∴AE=DE, .ABCD是矩形， .∠A=∠D=90°，AB=DC, AB+E-CD+DET ∴.BE=CE, 点G、FH分别是EB、BC、CE的中点， GF-EC-EH-HC.HF-BE-GE-G. ∴.EG=GF=FH=HE, 四边形EGFH是菱形， .BC=2AB,点E是AD的中点， ∴.△ABE为等腰直角三角形， ∠AEB=45°， 同理可得∠DEC=45°， ∴.∠GEH=90°， ∴.四边形EGFH是正方形. 故选：B. 6.B ?解：设∠BAF=2x, ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， .∠DAF=∠BAD-∠BAF=90°-2x, 由旋转的性质可得AF=AB=AD, :∠4FB=乙ABr-180r22=90r-, 2 .BF交∠DAF的平分线于点H, AH DF:DF=2FG:ZHAF=-2DAF=45- 21 .∠H=∠AFB-∠HAF=45°， .△HFG是等腰直角三角形， ∴.FG=HG, FH=FG+HG-FG DF=2 ∴.FH 故选：B. 7.A 解：如图，连接GE, D ”四边形1BCD 正方形， ∴.∠B=∠C=∠BAC=∠ADC=90°AB=BC=CD=DA=2 “点E是BC边的中点， ∴.BE=CE=1 “将△DCE沿直线DE翻折 △DFE ∠EFD=∠C=90°，CE=FE=BE=1DC=DF=2 ∴.∠GFE=∠GBE=90° GE=GE ∴.Rt△EFG≌Rt△EBG(HL) 3 ∴GF=GB 设GB=GF=x,则AG=2-x,DG=2+x, 根据勾股定理可得AG2+AD2=DG, 即(2-°+22=(2+x 解得1 2 :∠ADG,∠DAG 的平分线 DH,AH 相交于点H, 六点H到D,4G,GD 的距离相等， 5 .o0+G+DS=写子x3x2-】 GD 21.3 22+22*21 8, 故选：A. 8.B 解：如图，过点A作AH⊥BE于点H,连接DF,交AE于点O, .正方形ABCD的面积为50， .AB=AD=V50=5N2,∠ADC=∠BAD=90°， AB=AF,BF=2, 六AD=P,AH平分∠BMF,BH=FH=)BF=L, 2 ∴.AH=VAB2-BH2=7, .:AH平分∠BAF,AE平分∠DAF, :∠HAF=)∠BAE,∠EAF=)∠DAF, 2 ∠EAH=∠HAF+∠EiP=∠B4F+∠DA)=x0=45， ∴.Rt△AEH是等腰直角三角形，∠AEH=45°， .EH AH =7, ∴.EF=EH-FH=6, 又.AD=AF,AE平分∠DAF, ∴.AE垂直平分DF, 六DE=EF=6,OD=)DF 2 .∠AED=∠AEH=45°， .∠DEF=∠AED+∠AEH=90°， ∴DF=VDE2+EF2=6N2, ∴.OD=32, 在RaA0D中，0A=VAD2-0D=4V2 设0G=0x>0),则4G=01+0G=45+x, 在Rt△ADG和Rt△DOG中，AG2-AD2=DG2=OD2+OG, 即(42+x-(52j=32)+x2, 解得七=4 即0G2 4, 4 故选：B. 9.D 解：如图，过点C作CM⊥BF于M, 设菱形的边长为a, ,四边形ABCD是菱形， .AB=CD=BC=a,OB⊥AC; BF :AB 水， ..BF=ka; 由折叠知CF=CD=a, ∴.CB=CF=a; CM⊥BF, 2 2 由句股定理得CM=CB-BM-4-大： S.cw-BF.CM-1CF-OB 1 08-经4安； 2 在ABOF中，由勾股定理得OF兰VBr2-OB= 2 .0C=CF-OF=2-2 2 a D B FO k2 ·C02-k2; 故选：D. 10.C 解：连接EF, D E 在正方形ABCD中，AB=6, .AB=BC=CD=AD=6,∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°， 又.BE=DF=2, CE-BC+BB-CD+DF-CF=+2-210 AE=AF-4 .CH=DH, .∠CDH=∠DCH, ∴.∠FDH=90°-∠DCH=90°-∠CDH=∠DFH, .'FH=DH=CH, DH=ICF=o 2 SACEF=SE方形ABCn-S△BCE-SACDF-SAAFF, -A-BC-BE-CD-DF-JAE.AF =62-x6x2- 2 6x2-x44 2 =16 '..SACEF= csfG-2而FG=16 2 :FG=&10 5, :DH+FG=vi0+8o_1310 5 5, 故选：C. 二、填空题 2V5 11.3 解：E关于直线AD的对称点为F, ∴.DF=DE, D E C 设DF=DE=m,则EF=DE+DF=2m, ,四边形AFEB是菱形， .'AB=AF =EF =2m, ,四边形ABCD是矩形， ..∠ADC=90°， ∴.∠ADF=180°-∠ADC=90°， 4D-VAF-DF=3m :1B:4D=2m:vV5m=2 , 2W5 故答案为：3. 12.a+B=1350 解：在正方形ABCD中，∠ABC=90°，BD是对角线， ∴.∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC, 在△ABE和△CBE中， AB=BC ∠ABE=∠CBE BE=BE :.△ABECBE(SAS) ∴.AE=EC,∠BAE=∠BCE, EF=EC,∠ECF=a, ∴.EF=AE,∠EFC=∠ECF=a, ∴.∠EAF=∠EFA, ∴.∠BAE=∠BAF+∠EAF=∠BAF+∠EFA=∠EFC. .∠BAF+∠AFB=90°，∠AFB+∠EFA+∠EFC=180°， ∴.∠BAF+∠AFB+∠AFB+∠EFA+∠EFC=90°+180°， ∴.2∠AFB+2∠EFC=270°， .∠AFB+∠EFC=135°， ,∠ECF=∠EFC=a∠AFB=B 即a+B=135° 故答案为：m+B=135° 13. 22.5° 4v2-4 解：如图，过点E作AD的平行线分别交AB,DC于点M,N, A M B DN C 则四边形ADWM是矩形， .∠AME=∠DNE=90°AM=DN “四边形 BCD 是正方形， ∴.∠EDN=45° ∴.EN=DN ∴.AM=EN 又：AE=EF, :RtAAMES≌Rt ENF(HL) ∴.∠AEM=∠EFN ∴.∠AEM+∠FEN=∠EFN+∠FEN=90° ∴.∠AEF=90° ∴.△AEF 为等腰直角三角形， .∠EAF=∠AFE=45° :1D平分∠F1E, .∠FAD=∠EAD=22.5° “四边形 ABCD 是正方形， ∴.∠ADF=90°， .∠DFE=∠DAE=22.5° ABCD ·四边形 是正方形， ∴AD=AB=4∠BAD=90°∠ADB=∠BDC=45°=∠DFE+∠DEF ∠DFE=22.5° .∠DEF=22.5° ∴.DF=DE .∠AEF=90° ∴.∠AEB=180°-∠AEF-∠DEF=67.5°∠BAE=∠BAD-∠EAD=67.5° ∴.∠BAE=∠AEB ∴.BE=AB=4 在Rt△ABD中，BD=VAB2+AD2=4V2. ∴.DF=DE=BD-BE=4V2-4 故答案为：22.5°，4V2-4 √17 14. P 2 解：(I)解：过点G作GM⊥AB,交BA延长线于点M, 则∠AMG=90°. “四边形1BC 和四边形1EFG 为正方形， .∴.AB=AD,AE=AG,∠ABE=∠EAG=90° ∴.∠BAE=90°-∠MAG=∠MGA .·∠ABE=∠GMA=90 ∴.△BAE兰△MGA(AAS) .BA=MG=4,AM=BE=3 C.S.AG-4B MG=8 故答案为：8； (II)延长AM到N使AW=AB,连接NG, N. G M E ·.BH=HG 1H是△BGN 的中位线 .AM-NG. .AN=4,AM=3 ∴.NM=AN-AM=1 在Rt△NMG中， .NG=MG+NM+=7 .AH-ING- 2 2 √17 故答案为：2. 15.27 解：：四边形ABCD为菱形， .AB=BC=CD=6,AB CD .∠C+∠B=180° ∴.∠C=120° 在AB上取点G,使BG=BE,连接EG,过E作EH⊥AB于点H. 刀 G B E 则△BEG为等边三角形. ∴.∠BGE=60°，GE=BE=BG ∴.∠AGE=120°=∠C 由旋转，得AE=EF,∠AEF=60° .·∠AEF+∠FEC=∠AEC=∠ABC+∠BAE .∠BAE=∠FEC ∴.△AGE≌AECF ∴.GE=FC=2 BE=EG,HE⊥AB, .BM-HG-BG-3GE-1. .HE=BE2-BH2=3,AH=6-1=5 ..AE=AH2+HE2=27 故答案为：2万. 16. 13-V73 4 解：(1)过点D作DH⊥BC,交BC的延长线于点H,如图1， D B H 图1 ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC=10,DC=AB=6,AD∥BC,DC∥AB, ∴.∠DAE=∠AEB,∠DCH=∠ABC=60°， 由折叠得：△ABE≌△AFE, ∴.∠AEB=∠AED, .∠AED=∠DAE, ∴AD=DE=10, 在Rt△DCH中， CH-iDc-3 Dc 2 在R△DEH中，EH=VDE2-DH=02-(35=V3, .∴CE=EH-CH=V73-3, :.BE=BC-BC=10-万-3)=13-V3 故答案为：13-√73； (2)延长EF交AD的延长线于点G,过点G作GH⊥BC于点H,过点D作DK⊥BC于点K,如图 2, G B--- H 图2 .BE∥AD,EF∥BD, .四边形BEGD为平行四边形， ∴.BE=DG. .设BE=DG=x,则EC=10-x, DK⊥BC,GH⊥BC,AD∥BC, .四边形DKHG为矩形， .∴.HK=DG=x,GH=DK, 由(1)知：DK=3W3,CK=3, .EH=EC+CK+KH=10-x+3+x=13. 在R△EHG中，EG=VEH+GH=132+35=14, 由折叠得：∠AEB=∠AEG, .四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB, ∴.∠AEG=∠DAE, ∴.EG=AG=14, .BE=DG=AG-AD=14-10=4, 故答案为：4. 17.4v6 解：连接AC和EO,如图， ,四边形ABCD为菱形， ∴.∠BCD=∠BAD,∠BCD=2∠DAO, .∠BCD=2∠AGD, ∴.∠DAO=∠AGD, AC⊥DB, .∠GA0+∠AGD=90°， ∴.∠GAO+∠DAO=∠GAD=90°， .∠EFO=∠FAD, ∴.∠EF0=90°， .FE=FO, ∴.△EFO为等腰直角三角形， FE=2, ∴.0E=22, 点O为菱形ABCD的对角线BD的中点，点E为AB的中点， ∴.EO∥AD, AD=2E0=4W2,∠AH0=90°， .FE=FO, :.AE=A0, ∴.△AE0为等边三角形， 则∠BA0=60°， ∴.B0=2W6, .DB=2B0=4V6, 故答案为：4v6. 5 18.5 解：过E作EM⊥CF于M, D G B CE=EF=5 :.CM=1CF=1 :.EM=CE2-CM2=5-1=2 ”四边形1BCD 是正方形， ∴.AD=BC=2=EM∠D=∠DCB=∠DCF=90° 在△ADG与△FCG中， AD=CF=2 ∠D=∠DCF ∠AGD=∠FGC' ∴.△ADG≌△FGC(AAS) :.DG=CG=1 AG=FG 在△ADG与△EMC中， (AD=EM=2 ∠D=∠EMC DG=CM=1' ∴.AADG≌△EMC(SAS) ∴.∠AGD=∠ECM AG=CE ∠AGD=∠ECM=∠CGF,AG=CE=FG=V5 .∠CFG+∠CGF=90° ∴.∠ECF+∠CFH=90° , .∠CHF=90° .5.cm-CG-CF-FG-CH ∴CH=1x2-2V5 55, .GH=cG2-CH5 , 5 故答案为：5. 三、解答题 19.(1)解：根据作图可得MW垂直平分BD, 故MW与BD的位置关系是：垂直； (2)证明：连接DE,BF. VM 由(I)知，MN是BD的垂直平分线， ∴.BO=DOEF⊥BD “四边形MCD 平行四边形， .AB∥CD ∴.∠ABO=∠CDO ∠ABO=∠CDO BO=DO 在和 中， △BOE△DOF ∠BOE=∠DOF' :∴，△BOE≌△DOF(ASA) ..EO=FO .BO=DO 六四边形BED 是平行四边形， 又：EF⊥BD, 广四边形BEDF 是菱形 20.（1)证明：.四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, 又DG∥BE, .四边形BFDG是平行四边形， .AD∥BC, .∠DBC=∠ADB, 根据折叠可得，∠DBC=∠DBE, .∠DBE=∠ADB, ∴DF=BF, .四边形BFDG是菱形； (2)解：，四边形ABCD是矩形， .∠A=90°， .AB=3,AD=4, ..BD=AB2+AD2=5, 设DF=BF=x,则AF=AD-DF=4-x. 在RtAABF中，AB2+AF2=BF2, 即32+(4-x)2=x2 解得2 , :DF=25 8, 又：DFAB=BDFG 2 FG=2DFAB 2x25 ×3 8 15 BD 5 4 21.(1)证明：如图1所示： D E B 图1 ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°， .△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ACD=60°， ∴.∠ACE+∠BCF=60°. ,∠BFE=60°，且∠BFE是△BFC的外角， ∴.∠CBF+∠BCF=∠BFE=60°， ∴.∠CBF=∠ACE; (2)解：依题意补全图形，如图2所示： D 图2 线段BF,CF,CW之间的数量关系是：BF+CF=2CV,理由如下： 延长CN到M,使MN=CN,连接MD,MA,并在AM的延长线上取一点H,使HM=DM,连 接DH,如图3所示： A F2 B 图3 ∴.CM=2CN, ,点N是线段DF中点， .DN FN, 在△MND和△CNF中， MN=CN ∠DNM=∠CNF DN=FN .△MND≌aCNF(SAS) .∴.DM=CF,∠DMN=∠FCN .∴.DM∥CF ∴.∠MDC+∠DCF=180° '.∵∠MDC=∠1+∠ADC=∠1+60°，∠DCF=∠ACE+∠ACD=∠ACE+60°， .∠1+60°+∠ACE+60°=180° .∠1+∠ACE=60° 又.∠ACE+∠2=∠ACB=60°， .∠1=∠2 在△ADM和△BCF中， DM=CF ∠1=∠2 AD=BC' .△ADM≌△BCF(SAS) ∴.∠AMD=∠BFC,AM=BF ∴.∠BFC=180°-∠BFE=180°-60°=120°， ∴.∠AMD=∠BFC=120° ∴.∠DMH=180°-∠AMD=60° 又.HM=DM, .△MDH是等边三角形， ∴.∠HDM=60°，DM=DH=CF ∴.∠ADC=∠HDM=60°，AH=AM+HM=BF+CF ∴.∠ADC+∠I=∠HDM+∠1 .∠MDC=∠HDA 在△MDC和△HDA中 DM=DH ∠MDC=∠HDA CD=AD ∴.△MDC≌△HDA(SAS) ∴.CM=AH ∴.CM=BF+CF ∴.BF+CF=CM=2CN 22.(1)解：连接EP,过点D作DH∥EF交AB于点H,如图1所示： D B P 图1 四边形6C0是正方形，且8=4， ∴.AB=DA=BC=4∠DAH=∠B=90°AB∥CD 设AE=a, EF 是AP的垂直平分线， ∴.PE=AE=a .BE=AB-AE=4-a “点P是 C 中点， :.BP-IBC-2, 在RteBEP中，由勾股定理得：PE2=BE2+BP, .a2=(4-a)2+22 解得：a=2.5, .AE=a=2.5 .AB∥CDDH∥EF 小四边 DHEF是平行四边形， ∴.DF=HE :EF是P的垂直平分线， .∠ADH+∠PAD=90° 又∠BAP+∠PAD=90°， .∴.∠BAP=∠ADH 在△BAP和△ADH中， ∠BAP=∠ADH AB=DA ∠DAH=∠B=90' .△BAP△ADH(ASA) .BP=AH=2 ∴.HE=AE-AH=2.5-2=0.5 ∴.DF=HE=0.5 (2)线段AE、BP、DF之间的数量关系是：AE=BP+DF,理由如下： 过点D作DM∥EF交AB于点M,如图2所示： y D M F 0 E P C 图2 “四边形1BCD 正方形， ∴.AB=DA∠DAM=∠B=90°AB∥CD “四边形MEFD是平行四边形， ∴.DF=ME EF是M 的垂直平分线， .DM⊥AP .∴.∠ADM+∠PAD=90° 又：∠BAP+∠PAD=90°， .∠BAP=∠ADM 在△BAP和△ADM中， ∠BAP=∠ADM AB=DA ∠DAM=∠B=90' ∴.△BAP≌△ADM(ASA) :.BP=AM ∴，AE=AM+ME=BP+DF 23.(1)解：正方形ABCD的边长为9， ..AD=9 ,∠D=90°， ∴.DH=AD-AH=9-3=6 在Rt△HDG中，DH=6,DG=3, 根据勾股定理得：HG=VDH+DG=V6+3=35 “四边形 FGH 是菱形， 六当DG=3时，菱形EGH的周长=4HG=4x35=125 (2)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠D=∠A=90° 四边 EFGH是菱形， :.HG=HE 在Rt△HDG和Rt△EAH中， HG=HE DG=AH, .Rt△HDG≌Rt△EAH(HL) .∠DHG=∠AEH .∠AEH+∠AHE=90° .∠DHG+∠AHE=90° ∴.∠GHE=180°-90°=90° 六菱形EFGH 为正方形： (3)解：如图2，过F作FM⊥CD,交DC的延长线于点M,连接GE, .∠M=90° D (图2) ABCD 四边形 是正方形， .∠A=90°CD∥AB ∴.∠AEG=∠MGE “四边形 FGH 是菱形， .HE=FGHE∥FG ∴.∠HEG=∠FGE ∴.∠AEG-∠HEG=∠MGE-∠FGE .∠AEH=∠FGM 在△EHA和△GFM中， [∠A=∠M=90 ∠AEH=∠FGM, HE=FG .△EHA≌△GFM(AAS) ∴.MF=AH=3 设DG=x, ∴.CG=CD-DG=9-x SAPCG =3 CGxMF--x3-3 ∴. ∴.x=7 ..DG=7 ,.△FCG 的面积等于3时，线段DG的长为7. 24.(1)证明：，点F与点C重合，且DF=EF, .CD=CE, .DF⊥AB, .CD⊥AB, ∠A=30°， :.CD-14C 2 CE-C, 点E是AF的中点； (2)解：①补全图形如图所示； B D DN M ②当∠DFE=2∠A时，AP=2BD, 证明：在AB上取点N,使FB=FN,连接NF,NE,取AP的中点M,连接EM,设∠A=a, .∠ACB=90°，EP∥BC, ∴.EP⊥AC,∠B=90°-∠A=90°-a, .FB=FN, .∴.∠FNB=∠B=90°-a, ∠BFW=180°-（∠FNB+∠B)=2a ∴.∠EFN=2a-∠DFN=∠DFB, .DF=EF, △EFN≌ADFB(SAS) ∴.EN=BD,∠ENF=∠B=90°-a, .∠AWE=180°-∠ENF-∠FNB=2a, ,EP⊥AC,点M是AP的中点， .∴.AP=2EM,AM=EM, ∴.∠A=∠AEM=Q, ∴.∠NME=∠A+∠AEM=2a, ∴.∠NME=∠MNE, .EM=EN, EP⊥AC,M是AP中点， ∴.AP=2ME, ∴.AP=2BD. 再证明当AP=2BD时，∠DFE=2∠A,即证明这是唯一充分条件： 过点M作MG∥BF,过点F作FG∥AB,两线相交于点G,连接EG, 夕 M MG‖BF,MG∥BF, ∴.四边形BFGM是平行四边形，∠AMG=∠EMG=90°-a=∠B, .MG=BF,∠MGF=∠B=90°-a, BD-AP=EM :.AEMG≌∠DBF(SAS） .∠MGE=∠BFD,GE=FD=EF, ∴.∠FGE=∠GFE, .MG∥BF, ∴.∠DFE=180°-∠MGF-∠GFE-∠BFD =180°-2∠MGF =180°-290-a）=2a,即2DFE=2∠A.