第3章 位置与坐标 A卷（达标检测） 2026‑2027学年北师大版八年级数学上册

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章 位置与坐标 A卷（达标检测） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）丽丽从学校到图书馆，要向西偏南30°方向走1500m，那么原路返回时应向（     ）方向走1500m． A．西偏南30° B．西偏南60° C．东偏北30° D．东偏北60° 【答案】C 【分析】根据往返路径的位置相对性可知往返两地的位置相对，方向相反，角度相等，即可求解. 【详解】解：∵ 去时向西偏南方向走， ∴ 原路返回时向东偏北方向走. 2．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第二象限内点的横坐标小于0，为负数，纵坐标大于0，为正数，据此可以选出答案． 【详解】解：第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． 所以选项A、，横、纵坐标均为正，不符合题意． 选项B、，横坐标为负、纵坐标为正，符合题意． 选项C、，横、纵坐标均为负，不符合题意． 选项D、，横坐标为正、纵坐标为负，不符合题意． 3．（2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【答案】D 【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键． 依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可． 【详解】解：A、向西走150m， 再向南走80m，故本选项不符合题意； B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意； C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意； D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【答案】C 【详解】解：∵点到轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或. 5．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点、的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度，进而确定点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点 的坐标为， 结合图形可知，网格中小正方形的边长为个单位长度，且原点位于点左侧个单位、下方个单位处， 观察图形可知，点位于原点右侧 个单位、上方个单位处， 点的坐标为． 6．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，船，的位置分别表示为，则船的位置应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对中，第一个数表示从内到外的圈数，第二个数表示对应线上的角度，据此即可求解． 【详解】解：依题意，船的位置应表示为． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据全等三角形的性质得出，，从而得出，，，，根据中点坐标公式得出，，根据两点间距离公式求出答案即可． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴，，，， ∵F，G分别是和的中点， ∴点的坐标为，G点的坐标为， 即，， ∴． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 9．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象可将这些点每四个分为一组，每组的横向长度为2个单位长度，这个点是第组的第1个点，其纵坐标为1，横坐标为． 【详解】解：结合图象可将这些点每四个分为一组，每组的横向长度为2个单位长度， ∵ ∴是第组的第1个点， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，都等于1， ∵每组的横向长度为2个单位长度， ∴，，，，……，这些点的横坐标依次为，，，，……， ∴可得到的横坐标为， ∴． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 【答案】0 【分析】根据x轴上点的坐标特征，纵坐标为0，即可求出结果． 【详解】解：∵点在轴上， 点的纵坐标为，即． 11．（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】由已知点坐标可知，点和点都在轴上，可得到的长度作为三角形的底，点到轴的距离作为高，代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：，， 点和点都在轴上， ． ， 点到轴的距离，即底边上的高为， ． 12．（2026·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 【答案】第一象限 【分析】判断点横纵坐标的正负，结合平面直角坐标系各象限点的符号特征即可求解． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∵点的横坐标，纵坐标， ∵第一象限内点的横纵坐标都为正数， ∴点所在的象限是第一象限． 13．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小刚从学校出发往东走，再向南走即可到家，若选取学校所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长，则小刚家的坐标为______． 【答案】 【分析】确定坐标原点和坐标轴正方向，结合行走方向与单位长度的规定，即可计算得到小刚家的坐标． 【详解】解：选取学校所在位置为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向， 小刚向东走，规定一个单位长度代表，因此横坐标为． 向南为轴负方向，小刚向南走，因此纵坐标为． 因此小刚家的坐标为． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【分析】由点、坐标结合点是线段的中点求出点坐标，设点坐标为，根据两点距离公式求出、、，当为等腰三角形时，分、、三种情况分别列方程求解，即可得点的坐标． 【详解】解：∵，，点是线段的中点， ∴点坐标为， 点在边上运动，可设点坐标为， ∵点是边的中点，， ∴点坐标为， 又∵，， ∴，，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ②当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ③当时， ，解得， 此时，； 综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为1个单位长度．已知学校，体育馆，火车站为坐标原点，从体育馆出发，向北走4个单位长度，到达文化馆． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并标出点，的位置； (2)小红从学校出发，先向南走6个单位长度，再向西走3个单位长度，到达图书馆D． ①在图中标出点D； ②连接，，，则的面积是_______． 【答案】(1)建立平面直角坐标系、点，的位置如图所示： ………………4分 (2)①在图中标出点D如图所示： ；………………6分 ②的面积是………………8分 【分析】（1）根据题意建立合适的平面直角坐标系进行解答即可； （2）①根据题意找到D点的位置并标出即可；②利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②的面积是 ． 17．（8分）（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）点M在x轴上，纵坐标为0，由此列式即可求解； （2）点M到y轴的距离为3，则横坐标的绝对值为3，由此列式即可求解； （3）根据题意得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：已知点， 由题意得，， 解得，， ∴， ；………………2分 （2）解：由题意得，， 则或， 解得，或5， 或；………………4分 （3）解：点M到坐标轴的距离相等， ， 或， 解得，或 ，………………6分 当时，， 当时，， 或．………………8分 18．（9分）（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，解答下列问题： (1)写出A_______，B_______，C_____三点的坐标； (2)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点． (3)已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，则_____，此时点P的坐标______． 【答案】(1)；；………………3分 (2) 解：如图所示． ………………5分 (3)5；或………………9分 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的性质，分割法求面积，是解题的关键． （1）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）确定点的坐标，描点即可； （3）利用分割法求的面积；设的高为点坐标为，面积公式求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：三点的坐标分别是，，， 故答案为：；；； （2）略 （3）解：． 设边上的高为点坐标为， ， ∵的面积是的面积的 4 倍， ， 解得， ∴当点在轴负半轴时，； 当点在轴正半轴时，， ∴点的坐标为或． 故答案为：5；或． 19．（8分）（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，其中满足． (1)求两点的坐标； (2)将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若的面积为9，求点的坐标． 【答案】(1)两点的坐标分别为 (2)点的坐标 【分析】本题考查平移的性质以及图形面积的割补法，绝对值和算术平方根的非负性．解题关键在于掌握平移时坐标的变化规律，以及利用割补法准确表示出的面积来求解未知量． （1）已知，根据绝对值与算术平方根的非负性，即绝对值一定是非负的，算术平方根也是非负的，两个非负的数相加为，则这两个数分别为，从而可求出，的值，进而得到，两点坐标． （2）先根据平移性质确定平移规律，再利用割补法，通过用一个长方形的面积减去几个小三角形面积来表示的面积，进而求出的值，最后根据平移规律求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，………………2分 解得： ∴两点的坐标分别为………………3分 （2）解：如图，，………………4分 故由题意得：，………………5分 解得：，………………6分 ∴点的坐标为，由点平移到点可知，横坐标向左移2个单位长度，纵坐标向下移个单位长度， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标．………………8分 20．（8分）（25-26七年级下·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“级关联点”为点，点的坐标为，即． (1)求点的“级关联点”点的坐标． (2)若点的“级关联点”点在轴上，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解； （2）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解，最后根据点在轴上，即可求解． 【详解】（1）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴，………………1分 ∵， ∴，即；………………3分 （2）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴，………………4分 ∵， ∴，即，………………6分 ∵点在轴上， ∴，解得：， ∴．………………8分 21．（10分）（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为；………………2分 （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为；………………4分 （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴；………………6分 ②与中点重合时，则，， ，， ∴；………………8分 ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或．………………10分 22．（12分）（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根的非负性得到，求出，然后结合求解即可； （2）首先求出，设点的纵坐标为，然后根据直线恰好平分三角形的面积求解即可； （3）过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接，设点坐标为，根据求出，得到，然后根据三角形的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即；………………1分 ∴， ∴，即，………………2分 ∴， ∴；………………3分 （2）解：∵点向右平移个单位得到点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，………………5分 设点的纵坐标为， ∵直线恰好平分三角形的面积， ∴， ∵， ∴，………………7分 ∴， ∴点的纵坐标为；………………8分 （3）解：如图，过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接， 设点坐标为， ∵，，， ∴点C到直线l的距离为，，，，………………9分 ∴， ∴， 解得，………………10分 ∴点的坐标为， ∴， ∵三角形的面积等于， ∴，………………11分 解得或．………………12分 23．（12分）（25-26七年级下·重庆云阳·期末）新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． (1)如图1，若，，则点可以表示为（     ）； (2)如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． (3)定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） 【答案】(1) (2)以货轮为原点时灯塔的位置为，以灯塔为原点时货轮的位置为 (3) 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）分别求出和，根据新定义解答即可； （3）过点作于，延长到，则为正东方向，过点作，根据新定义得出，，，可得是等边三角形，，，根据平行线的性质得出，，利用角的和差关系求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，即，， ∴点可以表示为．………………2分 （2）解：如图所示， 当以货轮为原点时，∵， ∴，………………3分 ∵货轮与灯塔相距海里， ∴以货轮为原点时灯塔的位置为，………………4分 当以灯塔为原点时，由题意可知，， ∴， ∴，………………5分 ∴以灯塔为原点时货轮的位置为．………………6分 （3）解：如图，过点作于，延长到，则为正东方向，过点作， ………………7分 ∵以点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，， ∴，，，………………8分 ∴， ∴是等边三角形，，，………………9分 ∵， ∴，，………………10分 ∴，， ∴， ∴以点为原点，正东方向为始方向，点、点的位置为．………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $20262027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章位置与坐标A卷（达标检测）·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） -、 选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][CI[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][CI[D] 4.A][B][C]ID] 8.[A][BJ[C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10」 11 12. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(8分) 北 →东 17.(8分) 18.(9分) y 65 432 -6-5-43-2-1 123456元 2 345 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) y A B 20.(8分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) C B AO D B AO B主 ●P 图1 图2 图3 23.(12分) 2货轮 北 50 灯塔 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章位置与坐标A卷（达标检测) 参考答案 第一部分（选择题共27分) 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 > P 9 C B D C A A C D 第二部分（非选择题共3分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10.0 11.4 12.第一象限 13.(（15,-10) 14.6 15.（42,0)或45+6,0或3,0) 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分) 【答案】()建立平面直角坐标系、点O,C的位置如图所示： 北 东 …4分 (2)①在图中标出点D如图所示： YA 》东 ;6分 13 ②aOBD的面积是28分 17.(8分) 【答案】 M(2-m,1+2m) (1)解：已知点 由题意得，1+2m=0, 1 解得，m=一2， .2-m=2.5, ∴.M(2.5,0) …2分 (2)解：由题意得， 2-m=3 则2-m=3或2-m=-3, 解得，m=-l或5， .M(3,-H)（-3,1) …4分 (3)解：~点M到坐标轴的距离相等， ∴.2-m=1+2m .2-m=1+2m2-m=-(1+2m) 或 1 解得，m=3或m=-3,6分 当m3时，2-m= 31+2m=3 3 当m=-3时，2-m=5,1+2m=-5 8分 18.(9分) 【答案】 84),,2)5,1) …3分 (2) 解：△AB'C如图所示 A -6 2 2 O -4-3-2-11 12346x5分 85:（-90),0) 或 ……9分 19.(8分) 【答案】 (解：2a-4+V2b-6=0 、20-4=0,2b-6=0,…2分 解得：a=2,b=3 48 0,2),(3,0) 两点的坐标分别为 …3分 (2)解：如图， SABC=S长方形Cr-(SANB+S,AT+S,CMB ,4分 B D 故由题意得： 9=5x2-4小-[2x2x3+号x2x2-4小5x .5分 解得：1= 3, …6分 8 2. 14 ∴，点C的坐标为 3 由点A平移到点C可知，横坐标向左移2个单位长度，纵坐标向下移3个 单位长度， 1414 ·点D的横坐标为3-2=1，纵坐标为0- 3=3, 点D的坐标3 …8分 20.(8分) 【答案】 (1)解：：由题意可得，点是点P的“3级关联点”， m=3,1分 .P0,2) 06x1+21+3x2).即057) 3分 (2)解：：由题意可得，点D是点C的“2级关联点”， m=2,4分 C(2,a D2x2+a.2+2xa.则Da+4,2a+2 ,…6分 点D在x轴上 2a+2=0,解得：a=-1, .D(3,0) …8分 21.(10分) 【答案】 )解：：P3-).0(3-).E为线段P的中点 ∴，点E的横坐标 -1+(3=-2, 3+(-3)=0,纵坐标为一2 2 0,-2) .点E的坐标为 …2分 (2)解：设点V为的坐标 a,b) -2+0=-68+b=6 由题意得，2 ’2 解得a=-10,b=4, ÷点N的坐标为104) …4分 (3)解：设 (x,0)D(0y) -2+0_4+x4+y_2+0 ①4D与BC中点重合时，则2=2,2=2， x=6,y=-2, ÷c-60) ;…6分 -2+x4+04+02+y ②AC与BD中点重合时，则2 2,2 2 x=6,y=2, C(6,0) :…8分 -2+4x+04+2_y+0 ③4B与CD中点重合时，则2=2,2=2， ∴x=2,y=6 .C(2,0) 综上所述，点C的坐标为 -6,0)(6,0)(2,0) 或 或 10分 22.(12分) 【答案】 (山)解：a=Vb-4+4-b-1.b-4≥04-6≥0 ÷h=4,即B(4,0) ；…1分 片0=4-4+4-4-1=-1 ÷1(-10）.即01=l,2分 .0C=30A=3, ÷C0,3) …3分 (2)解：点 A(-1,0) 向右平移2个单位得到点D, .D(1,0) 1(-0)B(4,0) :4B=4-(-)-5.BD=4-1=3 S.ueB0C 2x5x3=15 ,…5分 设点M的纵坐标为n, ,'直线DM恰好平分三角形ABC的面积， 1 S.BDM=7S.AnC =1BD-n=×3xn=n 1 3 S.DM=2 2 2 31.15 心2” 22,…7分 5 ..ns 2 5 二点M的纵坐标为2；…8分 (3)解：如图，过P作直线I垂直于y轴，延长CA交直线I于点Q,过A作AH⊥1交直线I于点H, 连接CH, B OH 设点坐标为6-) ✉C(0,3)P(m,-)4-10) ∴.点C到直线的距离为 -（-)=4H0=-1-t,AH=1.P2=m-1… 9分 SAcHe=SAAcH +SAAoH 2x4-1-）-x1x1+x1x(1-0, 4 解得1= 3,…10分 点0的坐标为灯各-小， .ro-I-4-b-(-3)-w+ ,三角形ACP的面积等于3， 1,4 ×1=3 ,…11分 .10 解得m=3或3.…12分 23.(12分) 【答案】 (1)解：，∠A0B=120°，0B=3,即a=120°，d=3, 点B可以表示为120,3).2分 (2)解：如图所示， 货轮 509 C 灯塔B 图2 当以货轮为原点时，，∠AOB=50° .a=∠D0B=180°-50°=130°，3分 ,货轮与灯塔相距30海里， 以货轮为原点时灯塔的位置为30,30)，4分 当以灯塔为原点时，由题意可知，OA∥BC, .∠OBC=∠AOB=50°. .=360°-50°=310°，.5分 .以灯塔为原点时货轮的位置为310,30).6分 (3)解：如图，过点B作BH⊥AN于H,延长HB到M,则BM为正东方向，过点B作BDI/AN, 北 …7分 图3 :以点A为原点，正北方向为始方向时，点B、点C的位置可以分别表示为 45,4)(105,4) .∠HAB=45°，∠HAC=105°，AB=AC=4,8分 .∠BAC=∠HAC-∠HAB=105°-45°=60° △ABC是等边三角形，∠ABC=60°，AB=BC=AC=4,9分 BD∥AN, 六.∠ABD=∠NAB=45°，∠DBM=∠AHB=90°，10分 ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，∠CBM=∠DBM-∠DBC=75°， ∴.∠ABM=∠ABC+∠CBM=135°， 以点B为原点，正东方向为始方向，点A、点C的位置为(135,4)(75,4).…12分 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章 位置与坐标 A卷（达标检测） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）丽丽从学校到图书馆，要向西偏南30°方向走1500m，那么原路返回时应向（     ）方向走1500m． A．西偏南30° B．西偏南60° C．东偏北30° D．东偏北60° 2．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 4．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 5．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，船，的位置分别表示为，则船的位置应表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 11．（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 12．（2026·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 13．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小刚从学校出发往东走，再向南走即可到家，若选取学校所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长，则小刚家的坐标为______． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 15．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为1个单位长度．已知学校，体育馆，火车站为坐标原点，从体育馆出发，向北走4个单位长度，到达文化馆． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并标出点，的位置； (2)小红从学校出发，先向南走6个单位长度，再向西走3个单位长度，到达图书馆D． ①在图中标出点D； ②连接，，，则的面积是_______． 17．（8分）（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 18．（9分）（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，解答下列问题： (1)写出A_______，B_______，C_____三点的坐标； (2)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点． (3)已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，则_____，此时点P的坐标______． 19．（8分）（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，其中满足． (1)求两点的坐标； (2)将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若的面积为9，求点的坐标． 20．（8分）（25-26七年级下·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“级关联点”为点，点的坐标为，即． (1)求点的“级关联点”点的坐标． (2)若点的“级关联点”点在轴上，求点的坐标． 21．（10分）（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 22．（12分）（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 23．（12分）（25-26七年级下·重庆云阳·期末）新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． (1)如图1，若，，则点可以表示为（     ）； (2)如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． (3)定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章 位置与坐标 A卷（达标检测）·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章位置与坐标A卷（达标检测）·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共27分） 1 [A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][G][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 10.（3分) 11.(3分) 12.（3分) 13.(3分) 14.(3分) 15.(3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(8分) →东 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18.(9分) 6542 0列 -6-5-43-211 123.456 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) C M B B衣 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 货轮 北 北 50 灯塔 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章 位置与坐标 A卷（达标检测）·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分） 17．（8分） 18．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第3章 位置与坐标 A卷（达标检测） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）丽丽从学校到图书馆，要向西偏南30°方向走1500m，那么原路返回时应向（     ）方向走1500m． A．西偏南30° B．西偏南60° C．东偏北30° D．东偏北60° 2．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 4．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 5．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，船，的位置分别表示为，则船的位置应表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 11．（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 12．（2026·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 13．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小刚从学校出发往东走，再向南走即可到家，若选取学校所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长，则小刚家的坐标为______． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 15．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为1个单位长度．已知学校，体育馆，火车站为坐标原点，从体育馆出发，向北走4个单位长度，到达文化馆． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并标出点，的位置； (2)小红从学校出发，先向南走6个单位长度，再向西走3个单位长度，到达图书馆D． ①在图中标出点D； ②连接，，，则的面积是_______． 17．（8分）（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 18．（9分）（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，解答下列问题： (1)写出A_______，B_______，C_____三点的坐标； (2)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点． (3)已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，则_____，此时点P的坐标______． 19．（8分）（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，其中满足． (1)求两点的坐标； (2)将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若的面积为9，求点的坐标． 20．（8分）（25-26七年级下·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“级关联点”为点，点的坐标为，即． (1)求点的“级关联点”点的坐标． (2)若点的“级关联点”点在轴上，求点的坐标． 21．（10分）（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 22．（12分）（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 23．（12分）（25-26七年级下·重庆云阳·期末）新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． (1)如图1，若，，则点可以表示为（     ）； (2)如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． (3)定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） 学科网（北京）股份有限公司 $