专题3.3圆的对称性（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.3圆的对称性 知识点1 ：圆的对称性 　　1. 轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 　　2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 　　3. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任何角度，都能与原来的图形重合。 　　4. 注意：不能说“圆的对称轴是直径”，而应说“圆的对称轴是直径所在直线”，因为直径是线段，对称轴是直线。 知识点2 ：圆心角、弧、弦之间的关系 　　1. 等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。 　　2. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。符号语言： = 。 　　3. 重要结论（知一推二）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。符号语言： = 。 　　4. 注意：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧和弦才相等；不同圆中的角、弧、弦不能直接比较。 知识点3 ：圆心角的度数与弧的度数的关系 　　1. 1°的弧：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。 　　2. 关系：的圆心角对着的弧，的弧对着的圆心角，即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 　　3. 注意：弧的度数相等，但弧长不一定相等（不同圆中弧长还与半径有关）。 知识点4 ：垂径定理 　　1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。符号语言：CD是的直径，AB是的弦，于点E，则，=,=。 　　2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。符号语言：CD是的直径，AB是的弦（非直径），，则，=,=。 　　3. 知二推三：一条直线若具备下列五个条件中的任意两个，则可推出其他三个：①经过圆心（是直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 　　4. 辅助线技巧：过圆心作弦的垂线、连接半径，构造直角三角形，用勾股定理求解。 【基础必考题型】 【题型1】圆心角、弧、弦关系的判断 1.核心知识点 　　同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应关系。 2.解题方法技巧 　　①一组量相等，其余两组量都相等（知一推二）； 　　②必须在同圆或等圆中才成立； ③判断命题正误时注意前提条件。 【例题1】.（24-25九年级上·广东江门·期中）下列说法错误的是（   ） A．同圆中相等的圆心角所对的弧相等 B．同圆中相等的弦所对的弧相等 C．同圆中相等的圆周角所对的弧相等 D．同圆中相等的弧所对的弦相等 【变式题1-1】.（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，和是直径，且，请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角． 【题型2】利用圆心角、弧、弦关系求角 1.核心知识点 　　由弧的度数、圆心角度数求相关角；圆心角与弧度数相等。 2.解题方法技巧 　　①弧的度数等于所对圆心角的度数； 　　②利用等腰三角形、平行线等转化角度； ③结合周角360°、平角180°计算。 【例题2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，则______． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，点B是的中点，若，则的度数是______． 【题型3】利用垂径定理判断正误 1.核心知识点 　　垂径定理及其推论的条件与结论。 2.解题方法技巧 　　①垂直于弦的直径平分弦和两条弧； 　　②平分弦（非直径）的直径垂直于弦； ③利用“知二推三”判断。 【例题3】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的，的长度有__________关系；的度数与的度数有_____________关系. 【变式题3-2】.（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】利用垂径定理求线段长度 1.核心知识点 　　垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距。 2.解题方法技巧 　　①过圆心作弦的垂线、连接半径构造直角三角形； 　　②利用勾股定理列式求解； ③注意垂径定理把弦平分。 【例题4】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 【变式题4-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【题型5】利用垂径定理求平行弦问题 1.核心知识点 　　平行弦与圆心的位置关系；弦心距的加减。 2.解题方法技巧 　　①两弦可能在圆心同侧或异侧，分情况讨论； 　　②分别求两弦的弦心距； ③同侧相减、异侧相加求距离。 【例题5】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【题型6】利用垂径定理求同心圆问题 1.核心知识点 　　同心圆中弦与两圆的关系；勾股定理综合。 2.解题方法技巧 　　①大圆弦被小圆截得线段，利用垂径定理； 　　②过圆心作弦的垂线，构造直角三角形； ③利用两圆半径差、弦心距列式求解。 【例题6】.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【压轴素养题型】 【题型7】利用垂径定理证明 1.核心知识点 　　垂径定理在证明弦、弧相等中的应用。 2.解题方法技巧 　　①作过圆心的垂线，平分弦和弧； 　　②利用等腰三角形、全等三角形证明； ③角平分线性质、中位线等辅助。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，为的弦，，垂足为．求证：． 【变式题7-2】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【题型8】垂径定理的实际应用 1.核心知识点 　　拱桥、油槽、月亮门等实际问题中的垂径定理应用。 2.解题方法技巧 　　①把实际问题转化为数学问题，画出几何图形； 　　②过圆心作弦的垂线，构造直角三角形； 　　③用勾股定理求半径、弦长、深度等。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 【变式题8-1】.（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【变式题8-2】.（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）项目学习 项目背景：为丰富市民文化娱乐生活，市政府广场开展大马戏表演活动． 项目名称 大马戏舞台的研究 项目内容 图示： 数据说明：点O为舞台中心，是的一条弦，米，，垂足为D，米．已知防护栏要距离舞台边缘4米，以点O为圆心，R为半径作防护栏所在圆． 反思 …… 要在防护栏上每隔3米安装一盏射灯（两盏射灯间的弧长为3米），需要安装多少盏射灯？（取3） 【变式题8-3】.（25-26九年级上·全国·单元复习）综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为． (1)小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是___________ (2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）． 易错点 　　1、误认为圆的对称轴是直径，忽略对称轴是直径所在直线。 　　2、不满足“同圆或等圆”前提，直接比较圆心角、弧、弦。 　　3、忽略同一条弦所对的两条弧，一条是优弧一条是劣弧。 　　4、平行弦问题漏考虑两弦在圆心同侧、异侧两种情况。 　　5、垂径定理中“平分弦”的弦必须是非直径。 　　6、求弦心距、弦长时构造直角三角形错误或计算失误。 重点 　　1、掌握圆的轴对称性、中心对称性。 　　2、掌握圆心角、弧、弦之间的关系（知一推二）。 　　3、掌握垂径定理及其推论，会用它求线段长度。 　　4、会用垂径定理解决实际问题。 难点 　　1、垂径定理与勾股定理的综合应用。 　　2、平行弦、同心圆中的分类讨论。 　　3、垂径定理在实际问题与最值问题中的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 3．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，，则______． 5．在中，弦，，则的半径为___________． 6．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 三、解答题 7．按要求作图：作及其直径，在直径上任取一点，过点作弦，使为的中点． 8．如图，在半径为1的中，弦的长为1． (1)求的度数； (2)求点O到的距离． 9．如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度，拱形所在圆的半径，求桥拱的高． 10．我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3圆的对称性 知识点1 ：圆的对称性 　　1. 轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 　　2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 　　3. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任何角度，都能与原来的图形重合。 　　4. 注意：不能说“圆的对称轴是直径”，而应说“圆的对称轴是直径所在直线”，因为直径是线段，对称轴是直线。 知识点2 ：圆心角、弧、弦之间的关系 　　1. 等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。 　　2. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。符号语言： = 。 　　3. 重要结论（知一推二）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。符号语言： = 。 　　4. 注意：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧和弦才相等；不同圆中的角、弧、弦不能直接比较。 知识点3 ：圆心角的度数与弧的度数的关系 　　1. 1°的弧：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。 　　2. 关系：的圆心角对着的弧，的弧对着的圆心角，即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 　　3. 注意：弧的度数相等，但弧长不一定相等（不同圆中弧长还与半径有关）。 知识点4 ：垂径定理 　　1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。符号语言：CD是的直径，AB是的弦，于点E，则，=,=。 　　2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。符号语言：CD是的直径，AB是的弦（非直径），，则，=,=。 　　3. 知二推三：一条直线若具备下列五个条件中的任意两个，则可推出其他三个：①经过圆心（是直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 　　4. 辅助线技巧：过圆心作弦的垂线、连接半径，构造直角三角形，用勾股定理求解。 【基础必考题型】 【题型1】圆心角、弧、弦关系的判断 1.核心知识点 　　同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应关系。 2.解题方法技巧 　　①一组量相等，其余两组量都相等（知一推二）； 　　②必须在同圆或等圆中才成立； ③判断命题正误时注意前提条件。 【例题1】.（24-25九年级上·广东江门·期中）下列说法错误的是（   ） A．同圆中相等的圆心角所对的弧相等 B．同圆中相等的弦所对的弧相等 C．同圆中相等的圆周角所对的弧相等 D．同圆中相等的弧所对的弦相等 【答案】B 【分析】本题考查了同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．根据同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A. 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； B. 同圆中相等的弦所对的弧相等，错误，相等的弦可能对应优弧或劣弧，若未明确类型，弧不一定相等，故该选项符合题意； C. 同圆中相等的圆周角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； D. 同圆中相等的弧所对的弦相等，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式题1-1】.（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 【变式题1-2】.（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，和是直径，且，请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角． 【答案】相等的线段： ，，； 相等的弧： ，，，，； 相等的角： ，，（或）． 【分析】由弦相等推得对应的弧、圆心角相等，再写出所有相等线段、弧和角． 【详解】解：在中，根据圆的基本性质，同圆的所有半径都相等，得到，由于，是圆的直径，所以，再加上题目给出的，汇总得到全部相等线段； 根据同圆中等弦所对的劣弧相等的性质，由可得；由于，是圆的直径，半圆弧减去两段相等劣弧后剩余的劣弧和劣弧也相等，同时，整圆分别减去这两对劣弧后所对应的优弧也分别相等，即，，此外，直径把整圆分割成四段半圆弧，所有半圆的长度都是圆周长的一半，因此全部半圆弧都相等，即； 根据对顶角的性质，直接得到相交于圆心的两组对顶角分别相等，即，其补角也随之对应相等，即，由，可知和都是等腰三角形，结合可以证明两个三角形全等，因此两个三角形的四个底角全部相等，即，也可以根据同圆中等弧所对的圆周角相等，和所对的四个圆周角全部相等来理解，即． 【题型2】利用圆心角、弧、弦关系求角 1.核心知识点 　　由弧的度数、圆心角度数求相关角；圆心角与弧度数相等。 2.解题方法技巧 　　①弧的度数等于所对圆心角的度数； 　　②利用等腰三角形、平行线等转化角度； ③结合周角360°、平角180°计算。 【例题2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 【变式题2-2】.（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，点B是的中点，若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，先结合点B是的中点，得，又因为，得出都是等边三角形，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 则， 故答案为：． 【题型3】利用垂径定理判断正误 1.核心知识点 　　垂径定理及其推论的条件与结论。 2.解题方法技巧 　　①垂直于弦的直径平分弦和两条弧； 　　②平分弦（非直径）的直径垂直于弦； ③利用“知二推三”判断。 【例题3】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式题3-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的，的长度有__________关系；的度数与的度数有_____________关系. 【答案】 相等 【分析】根据弧长公式l=，圆心角相同，半径OA＞OA′，得出＞，根据圆心角与弧的关系得出的度数=的度数即可． 【详解】解：根据l=，圆心角相同，半径不等，OA＞OA′，，， ∴＞， ∴的度数=的度数，即的度数与的度数有相等关系． 故答案为＞；相等． 【点睛】本题考查圆的弧长公式，圆心角与弧的关系，掌握圆的弧长公式，圆心角与弧的关系是解题关键． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 【培优高频题型】 【题型4】利用垂径定理求线段长度 1.核心知识点 　　垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距。 2.解题方法技巧 　　①过圆心作弦的垂线、连接半径构造直角三角形； 　　②利用勾股定理列式求解； ③注意垂径定理把弦平分。 【例题4】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解： 是的直径，于， ， ， ． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 【答案】 【分析】先求解，过作于F，连接，进一步结合含的直角三角形的性质与勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过作于F，连接，如图所示： ∴， ∵， ， ，， ∵， ， . 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 【答案】 【分析】根据垂径定理，结合已知条件即可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为直径，为弦，且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型5】利用垂径定理求平行弦问题 1.核心知识点 　　平行弦与圆心的位置关系；弦心距的加减。 2.解题方法技巧 　　①两弦可能在圆心同侧或异侧，分情况讨论； 　　②分别求两弦的弦心距； ③同侧相减、异侧相加求距离。 【例题5】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____． 【答案】1或7 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理． 连接，，作直线于F，交于E，由，根据垂径定理得到，再根据勾股定理可计算出，，然后分类讨论：①当和在圆心的两侧时，则；②当和在圆心的同侧时，则． 【详解】解：如图所示，连接，，作直线于F，交于E，    ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ①当和在圆心的两侧时，则； ②当和在圆心的同侧时，则； 则与间的距离为1或7． 故答案为：1或7． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 【题型6】利用垂径定理求同心圆问题 1.核心知识点 　　同心圆中弦与两圆的关系；勾股定理综合。 2.解题方法技巧 　　①大圆弦被小圆截得线段，利用垂径定理； 　　②过圆心作弦的垂线，构造直角三角形； ③利用两圆半径差、弦心距列式求解。 【例题6】.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 【压轴素养题型】 【题型7】利用垂径定理证明 1.核心知识点 　　垂径定理在证明弦、弧相等中的应用。 2.解题方法技巧 　　①作过圆心的垂线，平分弦和弧； 　　②利用等腰三角形、全等三角形证明； ③角平分线性质、中位线等辅助。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，垂径定理，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．利用三线合一可得，利用垂径定理可得，两式相减即可证明． 【详解】略． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，为的弦，，垂足为．求证：． 【答案】证明： 为的直径，且， ， ． 【分析】利用垂径定理推出两段弧相等，再依据同圆中等弧对等弦，证得线段相等． 【详解】略 【变式题7-2】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明：如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再在中由勾股定理解得，可得的长度，即可获得答案； （2）过点作于点，证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴在中，可得，即， ∵，且， ∴， 解得，即的半径为5； （2）略 【题型8】垂径定理的实际应用 1.核心知识点 　　拱桥、油槽、月亮门等实际问题中的垂径定理应用。 2.解题方法技巧 　　①把实际问题转化为数学问题，画出几何图形； 　　②过圆心作弦的垂线，构造直角三角形； 　　③用勾股定理求半径、弦长、深度等。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据题意构建拱形图形，利用勾股定理、垂径定理列方程解题． 【详解】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点，连接，根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高， 根据题意可知，，， 则，， 在中， ，即， 解得， 故桥拱所在圆的半径为． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）项目学习 项目背景：为丰富市民文化娱乐生活，市政府广场开展大马戏表演活动． 项目名称 大马戏舞台的研究 项目内容 图示： 数据说明：点O为舞台中心，是的一条弦，米，，垂足为D，米．已知防护栏要距离舞台边缘4米，以点O为圆心，R为半径作防护栏所在圆． 反思 …… 要在防护栏上每隔3米安装一盏射灯（两盏射灯间的弧长为3米），需要安装多少盏射灯？（取3） 【答案】需要安装28盏射灯． 【分析】本题考查垂径定理与圆的半径计算，利用垂径定理求出舞台圆的半径是解题关键． 用垂径定理求舞台圆的半径，再结合舞台与防护栏的距离确定防护栏所在圆半径R，求出该圆周长，根据射灯间隔可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 防护栏距离舞台边缘4米， 防护栏所在圆半径为米， 取3， 防护栏所在圆周长为， 每隔3米安装一盏射灯， 可安装射灯的数量为． 答：需要安装28盏射灯． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·全国·单元复习）综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为． (1)小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是___________ (2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）． 【答案】(1)的圆周角所对的弦是直径 (2) 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接交于点M，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． （2）解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得：， 所以杯口的直径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． 易错点 　　1、误认为圆的对称轴是直径，忽略对称轴是直径所在直线。 　　2、不满足“同圆或等圆”前提，直接比较圆心角、弧、弦。 　　3、忽略同一条弦所对的两条弧，一条是优弧一条是劣弧。 　　4、平行弦问题漏考虑两弦在圆心同侧、异侧两种情况。 　　5、垂径定理中“平分弦”的弦必须是非直径。 　　6、求弦心距、弦长时构造直角三角形错误或计算失误。 重点 　　1、掌握圆的轴对称性、中心对称性。 　　2、掌握圆心角、弧、弦之间的关系（知一推二）。 　　3、掌握垂径定理及其推论，会用它求线段长度。 　　4、会用垂径定理解决实际问题。 难点 　　1、垂径定理与勾股定理的综合应用。 　　2、平行弦、同心圆中的分类讨论。 　　3、垂径定理在实际问题与最值问题中的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 2．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 二、填空题 4．如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】利用同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，直接建立两个已知角的等量关系求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 即． 5．在中，弦，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到直角三角形，再结合等腰三角形和含角的直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ ，都是的半径， ∴ ， ∵ ，， ∴ 由垂径定理得， ∵ ，， ∴ ， 在中，， ∴． 6．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【答案】 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 三、解答题 7．按要求作图：作及其直径，在直径上任取一点，过点作弦，使为的中点． 【答案】 得到符合题目要求的，直径，以及以为中点的弦，满足. 【分析】以点为圆心，任意长度为半径画弧交于点、两点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交点、，过点、作线段分别交于点、，则弦即为所求． 【详解】略 8．如图，在半径为1的中，弦的长为1． (1)求的度数； (2)求点O到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得为等边三角形，进而得到的度数； （2）过点O作于C，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 为等边三角形， ． （2）解： 过点作于点， 在中，于点， ， ， ， 在中，，， ， 到的距离为． 9．如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度，拱形所在圆的半径，求桥拱的高． 【答案】 【分析】根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解． 【详解】解：如图，设拱桥所在圆的圆心为，中点为C，连接，且交于点D， 根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴， 解得，，负值舍去， ∴． 10．我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 【答案】26寸 【分析】连接，设的半径是寸，根据题意，得寸，寸，根据勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：连接， ，寸， 寸， 设的半径是寸， 根据题意，得寸，寸， 根据勾股定理，得， ， ， ， 故的直径是26寸． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $