专题2.3 用反比例函数解决问题（4大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

专题2.3 用反比例函数解决问题 知识点1：反比例函数实际应用核心原理   1. 核心本质：在实际问题中，若两个变量的乘积为固定不变的常量，且变量取值不为0，则这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型求解。   2. 建模核心前提：准确区分实际问题中的常量与变量，锁定恒定不变的总量，这是建立反比例函数解析式的关键。   3. 取值范围规则：实际问题中自变量、函数值不再是全体非零实数，需结合实际意义限定取值，通常为正数、正整数或指定区间数值。 知识点2：反比例函数建模通用步骤   1. 审题定关系：梳理题干信息，找出恒定总量，判断两个变量是否满足乘积定值的反比例关系。   2. 设式列解析式：设出两个变量，列出反比例函数一般式，利用已知条件代入求出定值。   3. 限定取值范围：结合生活、生产、学科实际，标注自变量的有效取值区间，剔除无意义数值。   4. 解题验证作答：利用函数解析式、图象、增减性求解问题，检验结果是否符合实际情境，规范作答。 知识点3：常见反比例实际模型汇总 实际场景 恒定总量 反比例函数关系式 变量说明 行程问题 路程固定 速度、时间 工程问题 工作总量固定 工作时间、工作效率 图形面积问题 图形面积固定 矩形长/对角线、宽/对角线 物理电学问题 电压固定 电流、电阻 物理力学问题 阻力×阻力臂固定 动力、动力臂 压强问题 压力固定 压强、受力面积 知识点4：反比例函数实际应用性质运用   1. 增减性应用：实际问题中变量均为正数，对应反比例函数第一象限图象，时，随增大而减小，可用于求解最值、取值范围问题。   2. 图象应用：实际问题函数图象仅为第一象限双曲线分支，可通过图象坐标、走势快速判断变量变化规律、求解参数。   3. 表格数据应用：若两组变量乘积始终为定值，可判定为反比例关系，进而求解函数解析式。 【基础必考题型】 【题型1】表格数据型反比例函数求解 1.核心知识点   利用表格数据判断反比例关系；通过表格数值求解函数参数；根据解析式预测变量对应值。 2.解题方法技巧   ① 选取表格多组数据计算变量乘积，验证是否为定值，确认反比例关系；   ② 任选一组有效数据代入解析式，快速求出；   ③ 利用解析式反向求解表格空缺数值，验证数据合理性。 【例题1】.（2026·江苏南通·中考真题）在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某种近视眼镜的度数（单位：度）与镜片的焦距（单位：）成反比例关系，则的值为________． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）已知经过闭合电路的电流（单位：A）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（    ） A． B．当， C．图象经过一、三象限 D．图象经过点 【题型2】基础行程与工程反比例应用 1.核心知识点   路程、速度、时间的反比例关系；工作总量、工作效率、工作时间的反比例模型；基础数值运算与实际作答。 2.解题方法技巧   ① 锁定路程、工作总量等不变量，建立反比例函数模型；   ② 利用解析式已知变量求未知变量，步骤简洁规范；   ③ 结合实际场景取舍解，排除负数、小数无意义的结果。 【例题2】.（2026九年级上·全国·专题练习）甲乙两地路程固定，若车速为，4小时可以到达．设车速为 ，时间为 ． (1)求 与 的函数关系式； (2)若要求小时到达，求车速的取值范围． 【变式题2-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）某农场灌溉农田时，水泵抽水的总功率为定值，抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示，根据图象，当抽水时间时，抽水效率的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 【变式题2-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）某蓄水池的排水管的排水速度（m3/h）与排完水池中的水所用的时间（）成反比例，且当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)若要5h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过10m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【培优高频题型】 【题型3】跨学科电学反比例应用 1.核心知识点   物理电路电压、电流、电阻的反比例关系；反比例函数取值范围求解；实际电器参数的合理范围判定。 2.解题方法技巧   ① 依据物理公式确定恒定电压，建立电流与电阻的反比例解析式；   ② 结合电器安全参数、工作阈值，求解变量取值区间；   ③ 利用函数增减性判断变量变化趋势，解决实际调控问题。 【例题3】.（2026·江苏盐城·中考真题）某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【变式题3-3】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【题型4】跨学科力学与压强反比例应用 1.核心知识点   杠杆平衡原理、压强公式中的反比例关系；力学、压强情境下的函数建模；参数正负与实际意义匹配。 2.解题方法技巧   ① 提取力学恒定总量（阻力力矩、压力），转化为数学反比例模型；   ② 结合物理规律校验函数关系，避免纯数学计算脱离实际；   ③ 根据题目约束条件，求解动力、受力面积的最值与范围。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【变式题4-2】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定．当受力面积为时，压强为． (1)求p与S之间的函数关系式； (2)若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为多少？ 【变式题4-3】.（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【题型5】分段函数与反比例综合应用 1.核心知识点   一次函数与反比例函数分段建模；函数转折点的实际意义；分段取值范围的划分与求解。 2.解题方法技巧   ① 找准情境变化节点，划分一次函数、反比例函数对应区间；   ② 利用转折点坐标，分别求解两段函数解析式；   ③ 根据问题区间，选择对应函数解析式求解，避免区间混淆。. 【例题5】.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【变式题5-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【变式题5-2】.（25-26九年级上·安徽六安·期末）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)求出注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式； (2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟? 【压轴素养题型】 【题型6】取值范围与最值求解问题 1.核心知识点   反比例函数第一象限增减性；不等式结合函数求解取值范围；实际问题中的最值约束。 2.解题方法技巧   ① 先求出完整反比例函数解析式，明确正负；   ② 根据自变量约束条件，结合增减性推导函数值范围；   ③ 精准区分最大值、最小值，贴合实际场景取舍边界值。 【例题6】.（2026·河南三门峡·二模）有氧运动的心率与人的年龄、运动时间及运动强度有直接的关系．如图1是人的最大心率x与年龄a的关系，如图2是有氧运动的适宜心率y（即从安静心率到运动时心率）与最大心率x的关系，如图3是有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系．根据图象判断，下列说法中错误的是（   ） A．岁的健康人最大心率约为次/分 B．有氧运动的适宜心率范围在的人年龄约为岁 C．将有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系图象向下平移若干单位长度后，近似可以看成一个反比例函数图象的一部分 D．岁的健康人进行有氧运动一个小时的心率约为次/分 【变式题6-1】.（24-25九年级上·陕西延安·期末）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．    (1)求图③中的函数解析式； (2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？ 【变式题6-2】.（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【变式题6-3】.（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围． 【题型7】跨情境素养综合探究题 1.核心知识点   多场景融合反比例建模；数形结合思想；数学建模与逻辑推理核心素养。 2.解题方法技巧   ① 拆解复杂综合情境，拆分出单一反比例模型；   ② 结合图象、表格、文字多重信息，交叉验证函数模型；   ③ 严谨推理，规避多情境下的取值漏洞，完整作答。 【例题7】.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【变式题7-1】.（2026·河南驻马店·三模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座4G信号基站（图1）进行测试． (1)测试人员在距离基站米的处测得基站的顶端的仰角为，基站与地面垂直，示意图如图2所示，则基站的高度为________米．（用含，的式子表示） (2)信号强度（单位：相对值）与手机到基站的距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足反比例函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数，测试人员在距离基站200米处测得信号强度为1个单位． ①求关于的函数表达式． ②工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 通过计算说明，手机距离基站多少米以外，上网容易掉线．（结果保留整数．参考数据：） 【变式题7-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）汽车前视野盲区是由于驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车头结构遮挡，而不能直接观察到的那部分区域． 研究时可简化模型：如图所示为汽车的左视图和俯视图．在左视图中，驾驶员眼睛距地面的高度为，障碍物高度为，车头前沿到驾驶员眼睛所在位置的水平距离，驾驶员的视线与地面交点到车头前沿的水平距离为盲区长度．事实上视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域，我们可以借助汽车俯视图来呈现． 问题1： （1）请结合左视图，在俯视图中画出驾驶员的视线从点出发，因遮挡而产生的视野盲区； （2）已知，，请用含、的代数式来表示俯视图中盲区的面积； 问题2：下表为某型小轿车实验数据： （实验条件：平坦路面、驾驶员坐直目视前方） （1）用、、和的数量关系验算下表四个实验，数据差异最大的实验是___________（填序号）． 实验编号 眼高 障碍物高 水平距离 实测盲区 ① 1.40 1.00 1.50 3.70 ② 1.50 1.00 2.00 3.50 ③ 1.60 1.00 2.00 3.20 （2）若、保持不变，减小，则___________（填“减小”、“不变”或“增大”），请用数学的方法说明理由． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·广东深圳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 若发射基地B到观测点C的距离与到交汇点A的距离之比是，即，求的值． 任务3 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标． 易错点 1、忽略实际问题的自变量取值范围，直接套用纯数学反比例函数解析式，出现负数、零、小数等无意义解。 2、混淆正比例与反比例关系，误将比值定值判定为反比例关系，导致建模错误。 3、运用反比例增减性解题时，忽略实际变量仅为正数，错误套用全体实数范围内的增减规律。 4、跨学科应用中，脱离学科实际规律，单纯数学计算，导致结果不符合现实情境。 5、分段综合题型中，混淆函数区间，选错解析式求解，造成答案偏差。 重点 1、掌握反比例函数实际建模的完整步骤，能从生活、工程、跨学科情境中精准提取变量与常量，建立函数解析式。 2、熟练掌握表格、图象、文字三种情境下的反比例关系判定方法，精准求解参数。 3、能够利用反比例函数的增减性、图象特征，求解实际问题中的变量取值范围与最值。 4、熟练解决行程、工程、电学、力学、经济等高频场景的反比例应用问题。 难点 1、复杂陌生情境、跨学科综合问题的数学建模，剥离冗余信息，抽象出反比例函数模型。 2、分段函数与反比例结合题型，精准划分自变量区间，匹配对应解析式求解。 3、方案设计、探究类题型，结合多约束条件筛选可行方案，完成逻辑推理与综合作答。 4、结合函数图象、表格、文字多重信息，综合分析变量变化规律，解决复合型实际问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（     ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 2．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 3．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 5．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 6．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 三、解答题 7．近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距． 8．制作容积为的圆锥形漏斗，漏斗口面积为S，高为，圆锥体积． (1)求S关于的函数解析式； (2)若漏斗口面积不超过，求高的最小值． 9．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 10．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 用反比例函数解决问题 知识点1：反比例函数实际应用核心原理   1. 核心本质：在实际问题中，若两个变量的乘积为固定不变的常量，且变量取值不为0，则这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型求解。   2. 建模核心前提：准确区分实际问题中的常量与变量，锁定恒定不变的总量，这是建立反比例函数解析式的关键。   3. 取值范围规则：实际问题中自变量、函数值不再是全体非零实数，需结合实际意义限定取值，通常为正数、正整数或指定区间数值。 知识点2：反比例函数建模通用步骤   1. 审题定关系：梳理题干信息，找出恒定总量，判断两个变量是否满足乘积定值的反比例关系。   2. 设式列解析式：设出两个变量，列出反比例函数一般式，利用已知条件代入求出定值。   3. 限定取值范围：结合生活、生产、学科实际，标注自变量的有效取值区间，剔除无意义数值。   4. 解题验证作答：利用函数解析式、图象、增减性求解问题，检验结果是否符合实际情境，规范作答。 知识点3：常见反比例实际模型汇总 实际场景 恒定总量 反比例函数关系式 变量说明 行程问题 路程固定 速度、时间 工程问题 工作总量固定 工作时间、工作效率 图形面积问题 图形面积固定 矩形长/对角线、宽/对角线 物理电学问题 电压固定 电流、电阻 物理力学问题 阻力×阻力臂固定 动力、动力臂 压强问题 压力固定 压强、受力面积 知识点4：反比例函数实际应用性质运用   1. 增减性应用：实际问题中变量均为正数，对应反比例函数第一象限图象，时，随增大而减小，可用于求解最值、取值范围问题。   2. 图象应用：实际问题函数图象仅为第一象限双曲线分支，可通过图象坐标、走势快速判断变量变化规律、求解参数。   3. 表格数据应用：若两组变量乘积始终为定值，可判定为反比例关系，进而求解函数解析式。 【基础必考题型】 【题型1】表格数据型反比例函数求解 1.核心知识点   利用表格数据判断反比例关系；通过表格数值求解函数参数；根据解析式预测变量对应值。 2.解题方法技巧   ① 选取表格多组数据计算变量乘积，验证是否为定值，确认反比例关系；   ② 任选一组有效数据代入解析式，快速求出；   ③ 利用解析式反向求解表格空缺数值，验证数据合理性。 【例题1】.（2026·江苏南通·中考真题）在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 【答案】A 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质求解，根据密度与溢出体积成反比例得到定值（即金属质量），再计算B金属的密度，对照表格得到结果． 【详解】解：设金属密度为，溢出的水的体积为 ， ∵金属的密度与溢出的水的体积成反比例，且A，B金属质量相同， ∴（ 为定值，即金属质量），且 将A金属数据代入得：，， ∴ 对B金属，， ∴. 对照表格可知，密度为的金属是银，因此B种金属为银． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某种近视眼镜的度数（单位：度）与镜片的焦距（单位：）成反比例关系，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是实际问题与反比例函数，解题关键是求出对应的反比例函数解析式． 根据反比例关系，设，利用已知数据求，再求． 【详解】解：由反比例关系，设， 当时，， 代入得， 解得； 即， 则当时，． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）已知经过闭合电路的电流（单位：A）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（    ） A． B．当， C．图象经过一、三象限 D．图象经过点 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的解析式求法及图象性质，注意实际情境中变量取值范围；根据表格中时，，求出反比例函数解析式，再逐一验证选项． 【详解】解：与是反比例函数关系，且当时，， 设，则， ， ． 对于A：当时，； 当时，， ，A错误． 对于B：当时，， ，B错误． 对于C：， ，图象只在第一象限，不经过第三象限，C错误． 对于D：当时，， 图象经过点，D正确． 故选：D． 【题型2】基础行程与工程反比例应用 1.核心知识点   路程、速度、时间的反比例关系；工作总量、工作效率、工作时间的反比例模型；基础数值运算与实际作答。 2.解题方法技巧   ① 锁定路程、工作总量等不变量，建立反比例函数模型；   ② 利用解析式已知变量求未知变量，步骤简洁规范；   ③ 结合实际场景取舍解，排除负数、小数无意义的结果。 【例题2】.（2026九年级上·全国·专题练习）甲乙两地路程固定，若车速为，4小时可以到达．设车速为 ，时间为 ． (1)求 与 的函数关系式； (2)若要求小时到达，求车速的取值范围． 【答案】(1) (2)车速应控制在之间 【分析】（1）根据“路程、速度、时间”之间的关系可得 与 的函数关系式； （2）分别求出时间是2小时、3小时对应的速度，可得车速的取值范围． 【详解】（1）解：总路程：，． （2）解：，， 随 增大而减小， 当时，； 当时，； 得 ． 即车速应控制在之间． 【变式题2-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）某农场灌溉农田时，水泵抽水的总功率为定值，抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示，根据图象，当抽水时间时，抽水效率的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出反比例函数解析式，再求出当时，对应的值． 【详解】抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系， 设， 将点代入得，，解得， ， 当时，． 【变式题2-2】.（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 【答案】40 【分析】设反比例函数解析式为，结合图象上的点求出，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为， 当时，则，解得：， 即若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是米/天． 【变式题2-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）某蓄水池的排水管的排水速度（m3/h）与排完水池中的水所用的时间（）成反比例，且当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)若要5h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过10m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【答案】(1) (2) (3)至少需要小时 【分析】（1）因为v与t成反比例，所以可设反比例函数解析式为（），将已知的t和v的对应值代入解析式求出k的值，即可得到v关于t的函数解析式． （2）因为已知排水时间，所以将代入已求得的函数解析式，就能计算出对应的v值． （3）如果每小时排水量，那么将代入函数解析式求出对应的t值，再结合反比例函数的增减性，即可得到最少排水时间． 【详解】（1）解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴． （2）解：将代入， ， ∴每小时的排水量为． （3）解：， 即：， ∵， ∴， 解得． ∴至少需要小时． 【培优高频题型】 【题型3】跨学科电学反比例应用 1.核心知识点   物理电路电压、电流、电阻的反比例关系；反比例函数取值范围求解；实际电器参数的合理范围判定。 2.解题方法技巧   ① 依据物理公式确定恒定电压，建立电流与电阻的反比例解析式；   ② 结合电器安全参数、工作阈值，求解变量取值区间；   ③ 利用函数增减性判断变量变化趋势，解决实际调控问题。 【例题3】.（2026·江苏盐城·中考真题）某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】 减小 【分析】中电阻，根据反比例函数的性质判断增减性即可． 【详解】解：由实际意义可知， 是反比例函数，比例系数． 当反比例函数的比例系数大于，且自变量大于时，函数值随自变量的增大而减小． 因此电流随电阻的增大而减小． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，即可得出关于的函数解析式； （2）根据反比例函数的图像与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ． （2）解：由，得到 ， ∴随着的增大而减小， 当时，；当时，． ∴当时，． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 【题型4】跨学科力学与压强反比例应用 1.核心知识点   杠杆平衡原理、压强公式中的反比例关系；力学、压强情境下的函数建模；参数正负与实际意义匹配。 2.解题方法技巧   ① 提取力学恒定总量（阻力力矩、压力），转化为数学反比例模型；   ② 结合物理规律校验函数关系，避免纯数学计算脱离实际；   ③ 根据题目约束条件，求解动力、受力面积的最值与范围。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【答案】(1)①③ (2)①不安全，见解析；②平方米 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可； ②把代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：①当为定值时，越大，越小，且p与S是反比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； ②当为定值时，越大，越大，且F与S是正比例函数关系， ∴函数图象不符合规律，是错误的； ③当为定值时，越大，越小，p与F是正比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； 综上，正确的有①③； （2）解：①不安全，理由如下： 因为， 故不安全； ②把代入， 得， 根据（1）中的图象可知：当时，， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少平方米． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定．当受力面积为时，压强为． (1)求p与S之间的函数关系式； (2)若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为多少？ 【答案】(1) (2)施工过程中受力面积为 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，利用反比例函数的关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设， 将，代入得，， 解得，， ． 答：p与S之间的函数关系式为． （2）解：当时，即， 解得，， 若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为． 【变式题4-3】.（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 【题型5】分段函数与反比例综合应用 1.核心知识点   一次函数与反比例函数分段建模；函数转折点的实际意义；分段取值范围的划分与求解。 2.解题方法技巧   ① 找准情境变化节点，划分一次函数、反比例函数对应区间；   ② 利用转折点坐标，分别求解两段函数解析式；   ③ 根据问题区间，选择对应函数解析式求解，避免区间混淆。. 【例题5】.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 【变式题5-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·安徽六安·期末）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)当时的函数解析式为；当时的函数解析式为 (2) 解：能实现． 将代入得， 解得，（舍去）， 将代入得， 解得， ， 老师的教学设计能实现． 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设当时的函数解析式为，把代入求解即可；设当时的函数解析式为，把代入求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，由，即可判断． 【详解】（1）解：设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）略 【变式题5-3】.（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)求出注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式； (2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟? 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的就是函数图像的基本应用问题，属于基础题型．求函数解析式的时候我们用的就是待定系数法，在设函数关系式的时候一定要正确． （1）利用待定系数法分别求出函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式分别求出x的值，然后进行作差得出答案． 【详解】（1）解：设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴解析式为：， 设所在双曲线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴曲线的解析式为：， ； （2）解：将代入，得，解得：， 将代入，得，解得．， ， ∴完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟． 【压轴素养题型】 【题型6】取值范围与最值求解问题 1.核心知识点   反比例函数第一象限增减性；不等式结合函数求解取值范围；实际问题中的最值约束。 2.解题方法技巧   ① 先求出完整反比例函数解析式，明确正负；   ② 根据自变量约束条件，结合增减性推导函数值范围；   ③ 精准区分最大值、最小值，贴合实际场景取舍边界值。 【例题6】.（2026·河南三门峡·二模）有氧运动的心率与人的年龄、运动时间及运动强度有直接的关系．如图1是人的最大心率x与年龄a的关系，如图2是有氧运动的适宜心率y（即从安静心率到运动时心率）与最大心率x的关系，如图3是有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系．根据图象判断，下列说法中错误的是（   ） A．岁的健康人最大心率约为次/分 B．有氧运动的适宜心率范围在的人年龄约为岁 C．将有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系图象向下平移若干单位长度后，近似可以看成一个反比例函数图象的一部分 D．岁的健康人进行有氧运动一个小时的心率约为次/分 【答案】C 【详解】根据图1，可知人的最大心率与年龄的关系是，岁的健康人最大心率大约是（次/分），故选项A正确，不符合题意； 根据图2，可知有氧运动的适宜心率（即从安静心率到运动时心率）是最大心率的倍，有氧运动的适宜心率范围在的人最大心率是或，年龄是（岁），故选项B正确，不符合题意； 有氧运动的实际心率与最大心率比值同运动时间的关系图象向下平移若干单位，仍然与轴有交点，不可能是一个反比例函数图象的一部分，故选项C错误，符合题意； 岁的健康人最大心率是次/分，进行有氧运动一个小时对应实际心率与最大心率比值大约是，此时的心率大约是（次/分），故选项D正确，不符合题意． 【变式题6-1】.（24-25九年级上·陕西延安·期末）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．    (1)求图③中的函数解析式； (2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为， 则有， ∴图③中的函数解析式为． （2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小， ∵由于支点即为细绳悬挂点， ∴． ∴． 综上，． ∴当时，． 【变式题6-2】.（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【答案】(1) (2)①（）； ②画出图象如图所示． 【分析】（1）根据题意，设，再将，代入求解即可； （2）①设F与x之间的解析式为，将图2中的点代入求解，得到，结合，可得，再根据及，即可求得x的取值范围； ②结合x的取值范围，用描点法画图即可． 【详解】（1）解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设， 根据题意，得时，， ， ， 与L之间的函数解析式是． （2）解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过， ， ， 与x之间的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②略 【变式题6-3】.（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围． 【答案】(1) (2)每增加相同的数值，的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）把代入杠杆关系式，整理得到关于的一次函数，根据一次函数自变量均匀增减时因变量增量恒定，判定刻度线均匀； （3）求得，由得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即． （2）解：由（1）知，， 则，即， 可得， 每当增加一克，增加， 故杆秤上的刻度线是均匀的，当每增加相同的数值，的增加量是否也相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 【题型7】跨情境素养综合探究题 1.核心知识点   多场景融合反比例建模；数形结合思想；数学建模与逻辑推理核心素养。 2.解题方法技巧   ① 拆解复杂综合情境，拆分出单一反比例模型；   ② 结合图象、表格、文字多重信息，交叉验证函数模型；   ③ 严谨推理，规避多情境下的取值漏洞，完整作答。 【例题7】.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 【变式题7-1】.（2026·河南驻马店·三模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座4G信号基站（图1）进行测试． (1)测试人员在距离基站米的处测得基站的顶端的仰角为，基站与地面垂直，示意图如图2所示，则基站的高度为________米．（用含，的式子表示） (2)信号强度（单位：相对值）与手机到基站的距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足反比例函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数，测试人员在距离基站200米处测得信号强度为1个单位． ①求关于的函数表达式． ②工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 通过计算说明，手机距离基站多少米以外，上网容易掉线．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】(1) (2)①； ②上网容易掉线对应的信号强度为． 令，解得，即． ∴（米）． 由反比例函数图象，可知时，，即， ∴手机距离基站632米之外，上网容易掉线． 【分析】（1）利用正切的定义求得长即可； （2）①利用待定系数法求解析式即可； ②令，解出，进而解，然后根据图象写出不等式的解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①由题意，可知，则，此时． 把代入，得． ∴关于的函数表达式为． ②略 【变式题7-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）汽车前视野盲区是由于驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车头结构遮挡，而不能直接观察到的那部分区域． 研究时可简化模型：如图所示为汽车的左视图和俯视图．在左视图中，驾驶员眼睛距地面的高度为，障碍物高度为，车头前沿到驾驶员眼睛所在位置的水平距离，驾驶员的视线与地面交点到车头前沿的水平距离为盲区长度．事实上视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域，我们可以借助汽车俯视图来呈现． 问题1： （1）请结合左视图，在俯视图中画出驾驶员的视线从点出发，因遮挡而产生的视野盲区； （2）已知，，请用含、的代数式来表示俯视图中盲区的面积； 问题2：下表为某型小轿车实验数据： （实验条件：平坦路面、驾驶员坐直目视前方） （1）用、、和的数量关系验算下表四个实验，数据差异最大的实验是___________（填序号）． 实验编号 眼高 障碍物高 水平距离 实测盲区 ① 1.40 1.00 1.50 3.70 ② 1.50 1.00 2.00 3.50 ③ 1.60 1.00 2.00 3.20 （2）若、保持不变，减小，则___________（填“减小”、“不变”或“增大”），请用数学的方法说明理由． 【答案】 问题1：（1）如图所示，视野盲区即为所求： （2）； 问题2：（1）②； （2）增大，理由如下： 令，则，其中， ∴是关于的反比例函数， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当减小时，也减小，即减小，则增大， ∴若、保持不变，减小，则增大． 故答案为：增大． 【分析】本题考查了三视图、相似三角形的性质与判定、反比例函数的性质，理解题意，正确画出视野盲区是解题的关键． 问题1：（1）结合左视图，画出视野盲区即可； （2）先证明得到，进而得到，，再证明，再利用相似三角形的性质得到，再利用即可求解； 问题2：（1）结合问题1可知，根据、、的数据分别验算实验①②③中的长，找出数据差异最大即可得出答案； （2）根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：问题1： （1）略 （2）由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 结合左视图和俯视图可得，是的高，是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即盲区的面积为； 问题2： （1）由问题1可知，， ①当，，，则； ②当，，，则； ③当，，，则； 结合实验数据可知，数据差异最大的实验是②； 故答案为：②； （2）略 【变式题7-3】.（25-26九年级上·广东深圳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 若发射基地B到观测点C的距离与到交汇点A的距离之比是，即，求的值． 任务3 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标． 【答案】任务1：，；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，待定系数法，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识． 任务1∶运用待定系数法即可求得答案； 任务2∶过点A、C分别作轴于F，轴于G，则，可得，利用相似三角形的性质求出，，进而得出点C、D、E的坐标，即可求得答案； 任务3：由，得，即可求得直线的解析式为，与反比例函数解析式联立即可求得点P的坐标． 【详解】解：任务1：将点代入，得：， 解得：； 将点代入，得， 解得：； 任务2：如图2，过点A、C分别作轴于F，轴于G，则． ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵轴， ∴，， ∴，， ∴； 任务3：∵， ∴． ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为． 联立得：，解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为． 易错点 1、忽略实际问题的自变量取值范围，直接套用纯数学反比例函数解析式，出现负数、零、小数等无意义解。 2、混淆正比例与反比例关系，误将比值定值判定为反比例关系，导致建模错误。 3、运用反比例增减性解题时，忽略实际变量仅为正数，错误套用全体实数范围内的增减规律。 4、跨学科应用中，脱离学科实际规律，单纯数学计算，导致结果不符合现实情境。 5、分段综合题型中，混淆函数区间，选错解析式求解，造成答案偏差。 重点 1、掌握反比例函数实际建模的完整步骤，能从生活、工程、跨学科情境中精准提取变量与常量，建立函数解析式。 2、熟练掌握表格、图象、文字三种情境下的反比例关系判定方法，精准求解参数。 3、能够利用反比例函数的增减性、图象特征，求解实际问题中的变量取值范围与最值。 4、熟练解决行程、工程、电学、力学、经济等高频场景的反比例应用问题。 难点 1、复杂陌生情境、跨学科综合问题的数学建模，剥离冗余信息，抽象出反比例函数模型。 2、分段函数与反比例结合题型，精准划分自变量区间，匹配对应解析式求解。 3、方案设计、探究类题型，结合多约束条件筛选可行方案，完成逻辑推理与综合作答。 4、结合函数图象、表格、文字多重信息，综合分析变量变化规律，解决复合型实际问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（     ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 【答案】D 【详解】解：是购买练习本的数量， 是正整数， 是练习本的单价， ，即， 关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象是第一象限双曲线上有限个离散的点． 选项D正确． 2．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 3．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 二、填空题 4．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数， 得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 当时，可得． 即此时镜片焦距是米． 5．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【详解】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，代入得， 解得， 即小孔到物体的距离为． 6．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 三、解答题 7．近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距． 【答案】(1) (2)其焦距为0.2米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 由图象可知，图象经过点，即当时，， 代入得：， 解得， ∴近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式为； （2）解：将代入得： ， 解得， ∴其焦距为0.2米． 8．制作容积为的圆锥形漏斗，漏斗口面积为S，高为，圆锥体积． (1)求S关于的函数解析式； (2)若漏斗口面积不超过，求高的最小值． 【答案】(1) (2)高最小为 【分析】（1）将代入，即可得出S关于的函数解析式； （2）根据题意得到，求出h的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 整理得． （2）解：根据题意，得 ，即， 解得， 即高最小为． 9．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】(1)反比例 (2)这个函数的解析式为； (3)它在该分辨率下的像素密度为． 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 10．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $