16.3.2 完全平方公式 第1课时 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦完全平方公式（16.3.2第1课时），通过“老人赠糖”情境中三天分糖问题自然引出(a+b)²的探究需求，承接上节平方差公式，构建从具体到抽象的知识支架。 资料亮点在于以“算—看—比—猜”引导学生自主归纳公式，结合面积割补验证体现数形结合，口诀“首平方尾平方，两倍乘积放中央”强化结构记忆，培养抽象能力、几何直观与运算能力。分层作业与检测反馈助力教师精准教学，帮助学生发展符号感与推理能力。

16.3.2　完全平方公式（第1课时）　教学设计 课题 16.3　乘法公式 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时（16.3.2 完全平方公式） 课型 新授课 教学目标 1. 经历由多项式乘多项式、幂的意义导出并验证完全平方公式的过程，理解完全平方公式的推导与算理； 2. 掌握完全平方公式及其结构特征，能准确判定公式中的 a、b，熟练进行完全平方运算，并会用平方差、完全平方公式进行整式的混合运算与简便计算； 3. 经历对公式的数形互证，掌握面积割补验证公式的方法，体会数形结合、换元与化归思想，发展符号感与推理能力。 教学重点 完全平方公式的推导及其结构的特征把握，能正确、熟练地运用完全平方公式计算。 教学难点 准确确定公式中的两个数（a、b）并对照公式原形应用，避免丢项、错符号、2ab 漏乘 2；用几何模型与割补面积法验证公式的合理性。 教学方法 讲授法、探究法、合作学习、练习法 教学准备 多媒体课件、正方形与矩形拼图模型 课后练习 教科书P115-116练习第1,2,3题，P117-118习题16.3第2,3,4,5,7题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 情境激趣，探索问题 教师出示“老人赠糖”情境：老人喜爱孩子，来一个孩子就给一块糖，来两个孩子就给每个孩子两块糖…… （1）第一天有 a 个孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有 b 个孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第三天这 (a+b) 个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （4）第三天得到的糖果总数与前两天得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 答案：（1）a 块；（2）2b 块；（3）3(a+b)=3a+3b 块；（4）第三天多，多 3(a+b)-(a+2b)=2a+b 块。 2. 引出课题 教师引导：上节学了平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b²，现在遇到“两个数的和的平方”(a+b)² 这类式子，正是本节课要研究的问题。 读题思考老人分糖的三天糖果总数，比较第三天与前两天总数的大小关系，口答四个小问。 以生活化“老人分糖”问题为载体，让学生经历含字母的实际求和与比较，自然引出对 (a+b)² 的探究需求，承接上节平方差公式，为新知铺垫。 二、探究归纳 活动一 归纳公式 活动一：计算探规律，归纳公式 1. 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）=＿＿＿＿＿＿＿＿　　（2）=＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）=＿＿＿＿＿＿＿＿　　（4）=＿＿＿＿＿＿＿＿ （5）=＿＿＿＿＿＿＿＿　　（6）=＿＿＿＿＿＿＿＿ 学生板演订正： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 2. 观察发现 生乙：结果中 2p=2·p·1、4m=2·m·2，(3)(4) 与 (1)(2) 比较只有一次项符号不同，(5)(6) 更具一般性，可作公式使用。 3. 总结：完全平方公式 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。 符号表示：；， 4. 分析特点（记忆口诀） 口诀：首平方、尾平方，两倍乘积放中央；加减看前方，同加异减。 归纳：公式中 a、b 既可表示数，也可表示单项式、多项式；应用时先“找准 a、b”，再对照公式原形代入计算。 独立计算六个完全平方，观察结果的一次项系数变化规律，归纳完全平方公式并用自己的语言（口诀）记忆公式结构。 由特殊到一般，让学生在“算—看—比—猜”中自主发现完全平方公式，通过口诀强化结构特征记忆，发展符号感。 二、探究归纳 活动二 面积验证 活动二：面积割补验证公式 1. 验证 (a+b)²=a²+2ab+b² 教师提示类比上节平方差公式的面积验证，观察图1： 学生观察口答：大正方形边长为 a+b，面积是 (a+b)²；它由边长为 a 的小正方形、边长为 b 的小正方形和两个 a×b 的矩形组成，四个部分面积分别为 a²、b²、ab、ab。 所以 。 2. 验证 (a-b)²=a²-2ab+b² 学生分组交流，展示图2： 观察图2：大正方形边长 a，面积 a²；两个全等矩形面积均为 ab，小正方形边长 b，面积 b²；中间边长 (a-b) 的小正方形面积为 (a-b)²。 所以 。 总结：用割补（面积不变）思想验证了公式的正确性，体现了数形结合思想。 观察两类拼图，分别说出大正方形各部分的面积并口述 (a+b)²、 (a-b)² 的面积等式，用割补法验证公式。 借助图形面积的不变性与割补思想，用数形结合直观验证两个完全平方公式，既巩固算理又培养几何直观能力。 二、探究归纳 活动三 例题讲解 活动三：例题讲解——公式应用 例1　运用完全平方公式计算： （1）　（2） 分析：（1）可看成 2y 与 两数差的平方，用两数差的平方公式；（2）可看成 -x 与 -y 两数和的平方，也可看成 -x 与 y 两数差的平方。 【答案】 （1）方法一：； 方法二：。 （2）方法一：； 方法二：。 【讲评要点】 （1）口诀记忆：“首平方、尾平方，首尾乘积的 2 倍在中央”；（2）当括号内含相反数或负号时先作变形——(-a+b)²=(b-a)²、(-a-b)²=(a+b)²，再套公式，可避免符号错误。 例2　已知 a+b=3，ab=-4，求 a²+b² 的值。 分析：出现 a、b 的平方项并与 ab 发生联系，只需依据完全平方公式把 a²+b² 当作整体进行变形求解。 【答案】 因为 ，所以 ，即 ，所以 。 【点拨——完全平方公式的恒等变形】 1. ； 2. ；； 3. 。 跟随教师确定公式中的 a、b，规范书写含分数的完全平方计算，理解一题多解与恒等变形的整体代换思想。 通过例1落实“定 a、b—套公式”的规范流程与符号处理技巧，例2示范用完全平方公式的恒等变形求值，突出重点、化解难点。 三、交流反思 课堂小结 本节课学习了 (a±b)²=a²±2ab+b² 两个乘法公式，应用时注意： （1）理解公式的结构与特征，记准指数与系数、符号（同加异减）； （2）掌握公式的几何意义（面积割补验证）； （3）弄清公式的变形形式（如 a²+b²=(a+b)²-2ab 等的整体代换）； （4）注意公式应用的条件，准确确定 a、b，不丢项、不弄错符号、2ab 不漏乘 2； （5）灵活应用公式，恰当地对算式作等价变形（如 (-a-b)²=(a+b)²）再计算。 易错提醒：注意把完全平方公式与平方差公式区分开——完全平方结果是三项，平方差结果是两项。 回顾完全平方公式的结构特征、几何意义与变形形式，交流口诀记忆与应用中的易错点，辨析其与平方差公式的异同。 从结构、几何、变形、条件、灵活应用五个维度系统梳理公式，辨析与平方差公式的区别，帮助学生构建完整、准确的公式应用体系。 四、检测反馈 1. 等于（　　） A. 　　B. C. 　　D. 答案：C（。） 2. 下列计算正确的是（　　） A. (x+y)²=x²+y²　　B. (x-y)²=x²-2xy-y² C. (x+2y)(x-2y)=x²-2y²　　D. (-x+y)²=x²-2xy+y² 答案：D（A 漏中间项 2xy；B 末项应为 +y²；C 应为 x²-4y²；D 正确。） 3. 若 a、b 是正数，a-b=1，ab=2，则 a+b=（　　） A. -3　　B. 3　　C. ±3　　D. 9 答案：B（得 ，故 ，因 a、b 为正，。） 4. 如图，边长为 (m+3) 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 3，则另一边长是（　　） A. 2m+3　　B. 2m+6　　C. m+3　　D. m+6 答案：A（剩余面积为 (m+3)²-m²=6m+9，拼成矩形一边为 3，另一边为 (6m+9)÷3=2m+3。） 5. 化简 (x-1)(x+1)(x²-1)= ＿＿＿＿＿＿＿＿。 答案：。 6. 若 ，则 =＿＿＿＿＿＿＿＿。 答案：，即 ，故 。 7. 计算： （1）　（2） （3）　（4） 答案：（1）；（2）； （3）；（4）。 8. 运用完全平方公式计算： （1）　（2） 答案：（1）； （2）。 9. 先化简，再求值：，其中 a=-，b=3。 答案：化简得 ；当 b=3 时，原式＝。 独立完成选择、填空与计算检测，重点交流检测5的连乘化归、检测6的整体代换与检测9的先化简再求值。 即时检验完全平方公式的识别、计算与整体代换能力，通过选择纠错、图形拼剪、分数系数、巧算等题型反馈教学效果，强化符号处理与恒等变形等易错点。 五、布置作业 必做： 教科书第115-116页练习第1、2、3题。 选做： 教科书第117-118页习题16.3第2、3、4、5、7题。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固完全平方公式的基本运用，选做题侧重公式变形与综合应用，兼顾不同层次学生。 板书设计 16.3.2　完全平方公式（第1课时） 完全平方公式 口诀 首平方、尾平方 两倍乘积放中央 加减看前方，同加异减 对比区分 完全平方（三项）：a²±2ab+b² 平方差（两项）：a²-b² 符号技巧 (-a+b)²=(b-a)² (-a-b)²=(a+b)² 例题板演　例1　例2 学生板演区 教学反思 本节课充分发挥学生自主学习、探究的能力，从归纳猜想、随堂练习到公式验证、巩固提高，都渗透着学生自主探索之后再与合作交流学习相结合的理念，突出学生是探索性学习活动的主体。教学中应始终让学生带着问题经历“由特殊到一般—猜想规律—数形互证—应用公式”的完整过程，而不是简单地记忆公式结论。 本课时充分挖掘教材中隐含的数学思想，在教学中渗透数形结合（用面积割补验证完全平方公式）、换元思想（把 a、b 整体看作求值对象）、化归思想（把累较复杂的代数式一题多解化归为公式原形）。尤其要重视运用完全平方公式时“准确确定 a、b、对照公式原形、不丢项、不错符号、2ab 不漏乘 2”这一难点，把符号处理与口诀“同加异减”挂钩，帮助学生形成稳定的计算习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $