16.3.2 完全平方公式（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦完全平方公式的推导与应用，通过四个特殊多项式乘法实例导入，学生自主计算后观察式子特点，建立与多项式乘法的联系，形成从特殊到一般的学习支架。 此资料亮点在于结合几何图形面积验证公式，发展几何直观，通过多样化例题（含字母、分数、负数及简便计算）培养运算能力与推理意识，师生互动与小组讨论促进数学语言表达，助力学生理解公式结构，提升教师教学效率。

新课导入 （1）(p＋1) ＝(p＋1)(p＋1)＝ ； 2 （2）(m＋2) ＝( )( )＝ ； 2 （3）(p－1) ＝( )( )＝ ； 2 （4）(m－2) ＝( )( )＝ ． 师生活动：学生自主在纸上计算，教师请学生代表板演，师生共同点评． 追问1：这四小题分别是什么运算？原式有什么特点？ 2 师生活动：学生观察并独立思考，思考后回答，前两个小题是(a＋b) 的形 2 式，后两个小题是(a－b) 的形式．师生共同分析，达成共识：它们都是两个数 的和或差的平方，是一种特殊形式的多项式乘法． 追问2：计算的结果有什么特征？ 2 问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 教学环节 主要师生活动 教学过程 完全平方公式的结构特点及公式的图形验证方法． 教学难点： 完全平方公式的推导、结构特征的理解及熟练运用． 教学重点： 教学内容 2．了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观． 式进行计算，发展运算能力和推理能力． 1．经历完全平方公式的探究过程，理解完全平方公式的意义，能准确、灵活地运用公 教学目标 出版社：人民教育出版社 出版日期：2025年6月 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级 上册 课题 16.3.2 完全平方公式（第1课时） 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课程基本信息 教学设计 新知探究 师生活动：学生独立思考后回答，相互补充得出：(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ， 2 2 2 (a－b) ＝a －2ab＋b ． 追问1：你能验证上述规律的正确性吗？ 2 2 2 师生活动：利用多项式乘法，师生共同完成(a＋b) ＝a ＋2ab＋b 的推导 2 2 2 2 2 过程，学生尝试自主完成(a－b) ＝a －2ab＋b 的推导．对于(a－b) ＝a －2ab 2 ＋b ，学生可能会利用多项式乘法计算(a－b)(a－b)，也可能把－b看作＋(－ 2 2 2 b)，直接应用已推导出的公式验证：(a－b) ＝[a＋(－b)] ＝a ＋2•a•(－b)＋ 2 2 2 (－b) ＝a －2ab＋b ．教师应该给予鼓励． 追问2：上述公式称为（乘法的）完全平方公式．你能用文字语言表述完 全平方公式吗？ 师生活动：学生组织语言，小组讨论后学生代表发言，其他小组补充、完 善．教师板书完全平方公式的文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于它 们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．教师结合符号和文字语言，对 完全平方公式的结构特征作进一步分析，并且指出，完全平方公式是多项式乘 法(a＋b)(p＋q)中当p＝a，q＝b时的特殊情形，对于具有此相同形式的多项式 相乘，可以直接应用公式写出运算结果． 追问3：乘法的完全平方公式中的a和b可以表示什么？ 师生活动：师生共同探讨，形成结论：公式中的a，b是抽象的符号，可以 表示具体的数、字母和式子． 设计意图：让学生经历用符号语言和文字语言表述完全平方公式、并对规 律进行验证的过程，体会从特殊到一般的研究方法，加深对完全平方公式的结 构特征的理解，发展推理能力，以及用数学的语言表达问题的能力. 2 2 2 问题2：你能将发现的规律用符号表示出来吗？ 析，为后续抽象出一般形式的完全平方公式作准备． 法法则，体会本节内容与多项式乘法的关系；通过对运算结果结构特征的分 设计意图：通过上述四个特殊的多项式乘法的运算，使学生巩固多项式乘 两数的平方和，加上或减去两数的积的2倍组成. 生表述、组织简洁的语言，引导学生发现结果是一个三项多项式，由多项式中 师生活动：学生先自主思考，再小组交流，小组派代表回答．教师修正学 例题精讲 从图1容易看出(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，即大正方形的面积(a＋b) 等于4 2 2 部分的面积之和（a ＋2ab＋b ）． 2 2 2 从图2不太容易看出(a－b) ＝a －2ab＋b ，教师通过以下问题，如(a－ 2 2 b) 表示哪部分面积？用大正方形的面积a 减去2个长为a、宽为b的长方形面 2 积2ab后表示的是哪部分的面积？等，引导学生逐步分析发现，(a－b) 表示图 2 2中左下角正方形的面积，用大正方形的面积a 减去2个长为a、宽为b的长 2 2 方形面积2ab来表示(a－b) ，多减了一次小正方形的面积b ，还需要补上，所 2 2 2 以(a－b) ＝a －2ab＋b ． 设计意图：通过图形面积了解完全平方公式的几何背景，使学生更直观地 理解完全平方公式的意义，在此过程中体会数形结合思想，发展几何直观． 例1 运用完全平方公式计算： 2 1   2 （1）(4m＋n) ； （2） ． y －   2   师生活动：教师示范第（1）小题，引导学生分析公式中的a，b在此题中 分别表示什么，让学生明确“公式中的a，b可以表示数，也可以表示一个式 子”，教师板书运用完全平方公式进行计算、再进一步简化结果的过程，并归 纳做题过程：第一步先选择公式，第二步准确代入公式，第三步化简．第（2） 小题由学生独立完成，学生代表板演，师生共同进行点评． 设计意图：使学生体会完全平方公式在解题中的应用，进一步熟悉完全平 方公式的结构特点． 2 2 2 2 适时评析． 师生活动：学生结合图形独立思考，然后小组讨论，学生代表发言，教师 图1 图2 完全平方公式吗？ 问题3：类比平方差公式的学习经验，你能根据图1和图2中的面积说明 课堂练习 新知探究 与a －b 相等吗？为什么？ 师生活动：学生独立思考后小组交流讨论，教师巡视，并进行相应指导.然 2 后教师安排某小组指派代表回答问题，其他小组纠正、补充.得出：(a＋b) ＝ 2 2 2 2 2 2 • (－a－b) ，(a－b) ＝(b－a) . 这是因为(－a－b) =[－(a＋b)] =(－1) (a x y 2 2 2 2 2 2 2 ＋b) ＝(a＋b) ；同样地，(b－a) ＝[－(a－b)] ＝(a－b) ． 而(a－b) 与a 2 －b 不一定相等，将两者作差可知，只有当a＝b或b＝0时，两者才相等． 设计意图：使学生进一步理解完全平方公式的结构特征，在不同多项式运 算结果的观察比较和判断中，加深学生对知识间联系的认识，发展推理能力． 1．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ 2 2 2 2 2 2 （1）(a＋b) ＝a ＋b ； （2）(a－b)＝a －ab＋b ． 2．运用完全平方公式计算： 2 2 （1）(x＋6) ； （2）(y－5) ； 2 3 2   2 （3）(－2x＋5) ； （4） ． －   4 3   3．运用完全平方公式计算： 2 2 （1）98 ； （2）70.5 ． 师生活动：第1题请学生口答．第2，3题请学生代表上台板演，其他学生 在纸上完成．教师巡视检查，及时给予指导．随后师生一起对板演同学的解题 过程和答案进行评析，形成规范答案，台下同学自行核对答案．最后，教师对 产生的共性问题进行解释和强调． 2 2 问题4：(a＋b) 与(－a－b) 相等吗？(a－b) 与(b－a) 相等吗？(a－b) 2 2 2 2 2 捷性，发展运算能力． 设计意图：使学生进一步巩固完全平方公式的运用，体会用公式计算的简 可让同组学生相互出题解答，再次体会公式的价值． 算．教师请两名学生上台板演，师生共同评析答案．学生掌握了这种方法后， 点，把它们转化成两数和或差的平方运算，再直接运用完全平方公式进行计 师生活动：学生先尝试算一算，再相互交流，教师引导学生先观察数据特 （1）102 ； （2）99 ． 2 2 例2 运用完全平方公式计算： 课后任务 教科书习题16.3第2题第（1）（4）（5），第5题． 式积累经验． 的知识要点和使用时的注意事项，进一步认识公式的结构特征，为灵活运用公 设计意图：通过小结，使学生回顾本节课所学的知识，梳理完全平方公式 课堂小结 （3）在使用完全平方公式时要注意什么问题？ （2）完全平方公式的符号表述和文字表述分别是怎样的？ （1）完全平方公式在什么情况下适用？ 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： 固学生对完全平方公式的运用，体会运用公式给运算带来的简捷性． 设计意图：第1题帮助学生进一步认清完全平方公式的结构，后面两题巩 $