18.5 分式方程 第2课时 列分式方程解决实际问题 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“列分式方程解决实际问题”，涵盖工程、行程、销售三类应用题。通过复习分式方程解法及列方程步骤激活旧知，梳理数量关系搭建学习支架，衔接前后知识。 以“例题+练习”推进，工程问题用表格法梳理关系，行程问题引入字母参数培养符号意识，销售问题拓宽应用情境。注重数学建模，发展抽象能力与模型意识，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学路径。

18.5 分式方程 第2课时 列分式方程解决实际问题 教案 课题 18.5 分式方程 第2课时 列分式方程解决实际问题 课型 新授课 备课人 授课班级 八年级 教材分析 本节是分式方程的第2课时，在第1课时分式方程概念和解法的基础上，将分式方程应用于解决实际问题。涵盖工程问题、行程问题和销售问题三类典型应用题，通过列分式方程解决实际问题，培养学生数学建模的核心素养。 学情分析 学生已掌握解分式方程的一般步骤和检验方法，具备列一元一次方程解应用题的基础。但列分式方程时，找等量关系、设未知数、用分式表示"时间""效率"等量对学生有一定挑战，需要通过不同类型的例题逐步引导。 核心素养目标 1. 能根据实际问题中的等量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界的有效模型。 2. 掌握列分式方程解决工程问题、行程问题和销售问题的一般方法。 3. 通过列分式方程解决实际问题，发展数学建模能力和应用意识。 教学重点 1. 列分式方程解决工程问题和行程问题。 2. 根据等量关系正确列出分式方程。 教学难点 1. 用含未知数的分式表示"工作效率""时间"等量。 2. 行程问题中"时间线"等量关系的建立。 教学过程 一、复习导入（5分钟） 【教师活动】上节课我们学习了分式方程及其解法，请同学们回顾： 【教师活动】1. 解分式方程的一般步骤是什么？ 【学生活动】①去分母（两边乘最简公分母）→ ②解整式方程 → ③检验（代入最简公分母，不为0则是原方程的解）。 【教师活动】2. 列方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 【学生活动】①审（审题，明确已知和未知）→ ②找（找等量关系）→ ③设（设未知数）→ ④列（列方程）→ ⑤解（解方程）→ ⑥验（检验是否符合实际）→ ⑦答（作答）。 【教师活动】今天我们运用分式方程来解决实际问题。在实际应用中，常见的数量关系有： 【知识点】行程问题：路程 = 速度 × 时间 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，合作效率 = 各自单独完成任务的效率和 销售问题：利润 = 售价 - 进价，利润 = 进价 × 利润率，销售额 = 销售量 × 单价 【设计意图】通过回顾解分式方程和列方程的一般步骤，激活学生已有知识，为列分式方程解决实际问题做好方法准备。梳理三类常见数量关系，为后续例题教学奠定基础。 二、探究1 工程问题 —— 例3（12分钟） 例 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？ 【教师活动】问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 【学生活动】甲队工作总量 + 乙队工作总量 = "1"（总工程量为1）。 【教师活动】请同学们分析：设乙队单独完成这项工程需要 x 个月。 甲队单独施工1个月完成总工程的 ， 甲队半个月完成总工程的 。 设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ， 乙队半个月完成总工程的 。 两队半个月完成总工程的 。 【教师活动】根据等量关系"甲队工作总量 + 乙队工作总量 = 1"，列方程： 【教师活动】方程两边乘 6x，得： 2x+x+3=6x 解得 x=1。 【教师活动】检验： 当 x=1 时， ，所以原分式方程的解为 x=1。 【教师活动】甲队单独完成需要3个月，乙队单独完成需要1个月，所以乙队施工速度快。 思考：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 = "1"，即 【知识点】工程问题中的基本关系： 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作效率 = 各自单独完成任务的效率和 总工作量 = 各部分工作量之和 解决工程问题的思路：各部分工作量之和等于1。 【设计意图】例3从工程问题入手，通过设乙队单独完成时间，将工作总量归一化，引导学生用分式表示工作效率，列出分式方程。表格法帮助学生理清数量关系。 三、练习1 工程问题（5分钟） 练习1 某工程队准备修建一条长 3000 m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 25%，结果提前 2 天完成任务，原计划每天修建盲道多少米？ 【教师活动】等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 2 天。 【教师活动】设原计划每天修建盲道 x m，则实际每天修建 (1+25%)x m。 列方程： 【教师活动】方程两边乘 1.25x，得： 3750-3000=2.5x 解得 x=300。 【教师活动】检验： 当 x=300 时， 。 答案：原计划每天修建盲道 300 m。 【设计意图】通过盲道修建问题，巩固工程问题中"时间差"类等量关系的运用，加深对列分式方程解决工程问题的理解。 四、探究2 行程问题 —— 例4（12分钟） 例 某次列车平均提速 v km/h。在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 【教师活动】表达问题时，用字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数。这里的 v、s 表示已知数据。 【教师活动】设提速前列车的平均速度为 x km/h，请填写下表： 提速前：路程 s km，速度 x km/h， 时间 h。 提速后：路程 s+50 km，速度 x+v km/h， 时间 h。 【教师活动】根据"相同的时间内"这个等量关系，列方程： 【教师活动】方程两边乘 x(x+v)，得： s(x+v)=x(s+50) 解得 。 【教师活动】检验： 当 时， （ v,s 为正数）， 所以原分式方程的解为 。 答：提速前列车的平均速度为 km/h。 【知识点】行程问题中的注意事项： 1. 注意关键词"提速"与"提速到"的区别； 2. 把两个"主人公"行程问题中的三个量用代数式表示出来； 3. 行程问题中的等量关系通常抓住"时间线"来建立方程。 【设计意图】例4引入含字母参数的行程问题，让学生体会用字母表示已知数据的一般性。通过"时间相等"这一等量关系建立分式方程，培养学生符号意识和抽象思维。 五、练习2 行程问题（5分钟） 练习2 某地发生雪灾，一些电线被雪压断，供电局的维修队要到 30 km 远的郊区进行抢修，维修人员骑摩托车先行，15 min 后抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点，已知抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度。 【教师活动】等量关系：摩托车行驶时间 = 抢修车行驶时间 + 15 min。 【教师活动】设摩托车的速度为 x km/h，则抢修车的速度为 1.5x km/h。 列方程： 【教师活动】方程两边乘 60x，得： 1800=1200+15x 解得 x=40。 1.5x=60。 【教师活动】检验： 当 x=40 时， 。 答案：摩托车的速度为 40 km/h，抢修车的速度为 60 km/h。 【设计意图】通过抢修车行程问题，训练"时间差"类等量关系（一方先行，同时到达），巩固行程问题中列分式方程的方法。 六、探究3 销售问题（5分钟） 例 某自行车行经营的某款自行车去年销售总额为8万元，今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元。若该款自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少 10%。去年该款自行车每辆售价为多少元？ 【教师活动】等量关系：去年的销售数量 = 今年的销售数量。 【教师活动】设去年该款自行车每辆售价为 x 元，则今年每辆售价为 (x-200) 元。 去年销量： 辆， 今年销量： 辆。 【教师活动】根据"销售数量相同"列方程： 【教师活动】方程两边乘 x(x-200)，得： 80000(x-200)=72000x 解得 x=2000。 【教师活动】检验： 当 x=2000 时， 。 答案：去年该款自行车每辆售价为 2000 元。 【知识点】销售问题中的基本关系： 利润 = 售价 - 进价 利润 = 进价 × 利润率 销售额 = 销售量 × 单价 【设计意图】通过销售问题，拓宽分式方程应用的情境类型，让学生体会分式方程模型的广泛适用性。 七、课堂练习（8分钟） 随堂练习1 甲、乙两人同时从 A 地出发，骑自行车行驶 30 km到 B 地，甲比乙每小时少骑 3 km，结果乙早到 40 分钟。若设乙每小时走 x km，则可列方程（ ） A. B. C. D. 答案：D 乙每小时 x km，甲每小时 x-3 km。 乙早到40分钟即乙用时少40分钟 = 小时， 故甲用时 - 乙用时 = 。 随堂练习2 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则 a 小时后相遇；若同向而行，则 b 小时后甲追上乙。那么甲的速度是乙的速度的______倍。 解析：设甲的速度为 ，乙的速度为 ，两地距离为 s。 相向而行： 同向而行： 联立得 解得 答案： 倍。 随堂练习3（教材P168练习 第1题） 八年级学生去距学校 30 km 的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了 5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达。已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍，求大巴的平均速度。 【教师活动】设大巴的平均速度是 x km/h，则中巴的平均速度是 1.2x km/h。 列方程： 【教师活动】方程两边乘 60x，得： 1800-5x=1500 解得 x=60。 【教师活动】检验： 当 x=60 时， 。 答案：大巴的平均速度为 60 km/h。 随堂练习4（教材P168练习 第2题） 甲、乙二人做某种机械零件。已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做零件多少个。 【教师活动】设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做 (x+6) 个零件。 列方程： 【教师活动】方程两边乘 x(x+6)，得： 90x=60(x+6) 解得 x=12。 x+6=18。 【教师活动】检验： 当 x=12 时， 。 答案：甲每小时做 18 个零件，乙每小时做 12 个零件。 八、课堂小结（3分钟） 【知识点】列分式方程解决实际问题的一般步骤： ①审 → ②找(等量关系) → ③设(未知数) → ④列(分式方程) → ⑤解(整式方程) → ⑥验(分式方程解+实际意义) → ⑦答 三类常见问题：工程问题（工作量=效率×时间）、行程问题（路程=速度×时间）、销售问题（销售额=单价×销量） 板书设计 教学反思 本节课是分式方程的第2课时，核心是运用分式方程解决实际问题。教学中按照"工程问题→行程问题→销售问题"的顺序，由易到难，逐步推进。每类问题先讲例题，再配练习，让学生及时巩固。 工程问题的关键是"各部分工作量之和等于1"，行程问题的关键是抓住"时间线"建等量关系，销售问题关键是"销售额=单价×销量"。通过表格法梳理数量关系，帮助学生建立清晰的解题思路。 教学中需重点关注：(1) 用含未知数的分式表示"效率""时间"等量；(2) 检验的双重含义——既要检验是否为分式方程的解，也要检验是否符合实际意义；(3) 含字母参数的行程问题对学生的抽象思维要求较高，需适当引导。 学科网（北京）股份有限公司 $