北京市通州区潞河中学2026-2027学年北京版八年级上学期数学10月月考模拟试卷

北京市通州区潞河中学2026-2027学年八年级上学期 数学10月月考试模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．下列有理式中，是分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾顺次连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．4，6，10 B．3，5，9 C．5，7，9 D．1，6，8 5．下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C．三角形的三条高不一定都在三角形内部 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 6．利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，那么甲、乙两人合作完成这项工程的所需要的时间是（    ）天 A． B． C． D． 8．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 10．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值______（①扩大到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变）选择正确的序号． 11．在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式：________． 12．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 13．若关于x的分式方程无解，则m的值是______． 14．若分式的值为正，则的取值范围是_____． 15．如果关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 16．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于___________ 三、解答题（共62分） 17．计算 (1) (2) (3) (4) 18．解方程： (1)； (2)． 19．已知，求代数式且的值． 20．先化简，再选择一个合适的数代入上式求值． 21．以下是某同学解方程的过程： 解：由原方程可得…………① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得…………② 解得…………③ 经验后，是原方程的解…………④ 原方程的解是． (1)上述解题过程，从第_____步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可 (2)请写出解方程的正确解题过程． 22．我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 23．甲、乙两人计划周末到诗城奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； 24．关于的方程的解为（可变形为）的解为的解为的解为，…． (1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解； (2)请总结上面的结论，并求出方程的解． 25．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市通州区潞河中学2026-2027学年八年级上学期 数学10月月考试模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．下列有理式中，是分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了分式．熟练掌握分式的定义，是解题的关键．逐一判断各选项分母是否含有字母即可． 【详解】解：：分母为（含字母），是分式． ：分母为（不含字母），是整式． ：分母为（含字母），是分式． ：分母为（含字母和），是分式． ：分母为（含字母和），是分式． ：分母为（不含字母），是整式． 综上，分式共有、、、共4个． 故选：C． 2．若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可．根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得， 故选：D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减乘除运算，需根据分式的运算法则逐一验证每个选项即可． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误． 故选：A． 4．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾顺次连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．4，6，10 B．3，5，9 C．5，7，9 D．1，6，8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三条边的关系计算即可． 【详解】解：A．，故不能摆成三角形； B．，故不能摆成三角形； C．，故能摆成三角形； D．，故不能摆成三角形； 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C．三角形的三条高不一定都在三角形内部 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形的中线，三角形的高等知识，根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断． 【详解】解：A、三角形的高不一定在三角形内，A选项错误，不符合题意； B、根据三角形内角和定理，三角形的三个内角中，至少有两个锐角，B选项错误，不符合题意； C、三角形的三条高不一定都在三角形内部，C选项正确，符合题意． D、三角形的高，角平分线，中线都是线段，D选项错误，不符合题意． 故选：C． 6．利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法错误，不符合题意； D、作法正确，符合题意； 故选：D． 7．一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，那么甲、乙两人合作完成这项工程的所需要的时间是（    ）天 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列代数式和分式的混合运算．根据题意列出代数式，再化简即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 8．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：解方程的过程中，因为把分式方程化为整式方程，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：∵有正数解， ∴，则， ， 去分母，得，， 移项合并，得，， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：且， 故选：B． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟记分式的分母不能为0．根据分式的分母不能为0，可知，由此可解． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故答案为：． 10．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值______（①扩大到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变）选择正确的序号． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质将原式中的x和y都扩大到原来的3倍，然后约分即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的3倍得， 则分式的值不变， 故答案为：③． 11．在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式：________． 【答案】 【分析】本题考查的是公式变形，直接把看成未知数，解方程即可． 【详解】解：由得：， ∴， ∴． 故答案为： 12．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识点，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”最关键． 本题根据分式的基本性质，对每个变形进行分析，判断其是否符合该性质，进而得到哪些变形是正确的结论，即可解决判断分式变形是否正确的问题． 【详解】解：①当时，此时分母，分式不成立，无意义，不符合题意； ②由知，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意； ③由知，分子分母同时除以，分式的值不变，即，符合题意； ④∵∴，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意． 故答案为：②③④． 13．若关于x的分式方程无解，则m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再根据分式方程的增根进行解答即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程为， 解得， 由于原方程无解，即分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 15．如果关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程与整数解的条件分析．熟悉解一元一次方程的基本方法，代数式变形、整数约数的计算方法，是解题的关键． 通过去分母、移项、合并同类项，解方程得到 ，根据为整数解，必须是的约数，从而求出所有整数，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， ∵为整数解，且为整数， ∴必须是的约数， ∴，，，， ∴当时，， 当时，（舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， ∴符合条件的整数为，，，，其和为． 故答案为：． 16．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于___________ 【答案】 【分析】先求出当取时，分式为，再得到规律：分别取每对倒数的所得结果相加之和为0，据此求解即可． 【详解】解：当取时， ， 分别取与所得结果相加之和为0， 题目给出的中：2026与、2025与 2与都互为倒数， 每对倒数的所得结果相加之和为0， 题干所求中有2025对倒数，其所得结果相加之和为0， 当时，，当时，， 所有结果相加的和为． 三、解答题（共62分） 17．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式运算的法则． （1）先通分，再进行加减即可； （2）先通分，再进行加减即可； （3）先进行乘方运算，再进行乘除即可； （4）先通分，再进行加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键． 先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得 化简，得 解得： 检验，把代入得：， ∴是原方程的解． （2）解：， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 解得：， 检验，把代入得： ， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19．已知，求代数式且的值． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，由，可得：，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20．先化简，再选择一个合适的数代入上式求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，然后代入求解． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴， ∴当时，原式． 21．以下是某同学解方程的过程： 解：由原方程可得…………① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得…………② 解得…………③ 经验后，是原方程的解…………④ 原方程的解是． (1)上述解题过程，从第_____步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可 (2)请写出解方程的正确解题过程． 【答案】(1)② (2) 过程： ， ， ， ， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）根据题中所给过程进行求解即可； （2）根据分式方程的解法可进行求解． 【详解】（1）解：上述解题过程，从第②步开始出现错误； 故答案为②； （2）略 22．我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义、有理数的混合运算、相反数，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算的值，再根据相反数的定义即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ，   因为5的相反数为， 所以的值为． 23．甲、乙两人计划周末到诗城奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； 【答案】甲乘坐高铁的平均速度为 ，乙乘坐顺风车的平均速度为 【分析】设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时， 则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴（千米/时）， 答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时． 24．关于的方程的解为（可变形为）的解为的解为的解为，…． (1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解； (2)请总结上面的结论，并求出方程的解． 【答案】(1) (2)结论：方程的解为； 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，将方程转化为的形式．由已知得出分式方程的解及其规律是解题关键．解分式方程注意要检验． （1）观察所给材料的规律得出方程的解即可； （2）将变形为，求得的值后再来求x的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的解为：， 的解为， 的解为， …， ∴关于的方程的解为． （2）解：结论：方程的解为． 关于的方程， 即， 则或， 解得． 25．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 【答案】(1)③ (2)①，；②；③4 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③． （2）解：①   故答案为：，； ②整理得到，解得． ． ． ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $