2.1认识一元二次方程（1）教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

课题

2.1  认识一元二次方程（第1课时：一元二次方程的概念）

学科

数学

年级

九年级

教材版本

北师大版（2024）

课时

第1课时

课型

新授课（概念课）

教学目标

1. 经历从实际问题抽象出一元二次方程的过程，理解一元二次方程的概念，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型；

2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），能正确识别二次项、一次项、常数项及其系数；

3. 在观察、比较、归纳、抽象的活动中，发展符号意识与模型观念，感受类比与化归的数学思想。

教学重点

一元二次方程的概念及其一般形式。

教学难点

理解一元二次方程一般形式中 a≠0 的必要性；由实际问题列一元二次方程。

教学方法

情境—归纳—讲练结合

教学准备

多媒体课件、学习任务单

课后练习

完成教材 P32 习题 2.1 第 1、2、5 题；对应课时作业。

板书设计

见“板书设计”部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、
情境导入
（约5分钟）

一、情境导入

问题1（花边有多宽）：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，中央长方形图案的面积为 18 m²。如果地毯长为 8 m，宽为 5 m，那么花边的宽应满足什么条件？

解：设花边宽为 x m，则中央图案长 (8−2x) m，宽 (5−2x) m，依题意得 (8−2x)(5−2x)=18，整理得 2x²−13x+11=0。  ①

问题2（五个连续整数）：找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

解：设五个连续整数中第一个数为 x，则 x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²，整理得 x²−8x−20=0。  ②

问题3（梯子滑动）：一

读题、设元、找等量关系，尝试独立列出方程，并与同伴核对整理结果。

选用教材原情境，让学生经历“实际问题→数学方程”的完整抽象过程，为概念归纳积累感性素材，体会方程是刻画现实世界的模型。

架长 10 m 的斜靠在墙上的梯子，顶端距地面 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？

解：滑动前底端距墙 √(10²−8²)=6 m；设底端滑动 x m，则 7²+(6+x)²=100，整理得 x²+12x−15=0。  ③

师生活动：教师依次呈现三个现实情境，引导学生设未知数、找等量关系、列出方程；教师板演三个整理后的方程①②③，暂不解。

二、
探究新知
（一）
归纳概念
（约10分钟）

二、探究新知

（一）观察归纳，形成概念

观察黑板上三个方程：

  ① 2x²−13x+11=0；   ② x²−8x−20=0；   ③ x²+12x−15=0。

议一议：这三个方程有什么共同特点？

引导学生从三方面归纳：

  (1) 方程两边都是整式；

  (2) 只含有一个未知数 x；

  (3) 未知数的最高次数是 2。

给出定义：只含有一个未知数，并且都可以化成 ax²+bx+c=0（a、b、c 为常数，a≠0）的形式，这样的整式方程叫做一元二次方程。

辨析：为什么一定要强调 a≠0？（若 a=0，则方程退化为 bx+c=0，是一元一次方程。）

师生活动：学生先独立观察 1 分钟，再小组交流共同点；教师追问“一元”“二次”“整式”三个关键词

观察三个方程，小组讨论共同特征，尝试用自己的语言描述一元二次方程，并回答 a≠0 的必要性。

由“三个特例→共同特征→一般定义”，让学生亲历概念的发生与形成过程，避免被动接受；抓住“一元”“二次”“整式”三个关键词突破概念本质。

的含义，完善概念。

二、
探究新知
（二）
一般形式
（约8分钟）

（二）一般形式与各项名称

一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。

  ax² —— 二次项，a 是二次项系数；

  bx  —— 一次项，b 是一次项系数；

  c   —— 常数项。

强调：

  (1) 必须先把方程整理为右边为 0 的一般形式，才能确定各项及系数；

  (2) 各项系数要连同前面的符号一起说，如 −13x 中一次项系数是 −13；

  (3) a≠0 是前提，b、c 可以为 0：当 b=0 时为 ax²+c=0；当 c=0 时为 ax²+bx=0；当 b=c=0 时为 ax²=0。

师生活动：教师结合方程①②③，逐项指出二次项、一次项、常数项及对应系数；学生口答 b=0、c=0 时方程的样子。

结合三个具体方程，指出二次项、一次项、常数项及系数，记忆一般形式。

从具体方程到一般形式，再由一般形式回看具体方程，体现“特殊—一般—特殊”的认知规律；用分类讨论说清 b、c 可以为 0 的情形。

二、
探究新知
（三）
例题精析
（约10分钟）

（三）例题精析

例1  下列方程中，哪些是一元二次方程？

  (1) 3x²+2x−1=0；   (2) x+1/x=2；   (3) 2x+y=3；

  (4) x²−3=(x−1)²；   (5) ax²+bx+c=0；   (6) 3x²=0。

解：(1)(6) 是。(2) 不是整式方程；(3) 含两个未知数；(4) 整理后为 2x−4=0，是一元一次方程；(5) 未说明 a≠0，不一定是一元二次方程。

例2  将方程 3x(x−1)=5(x+2) 化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一

独立判断一元二次方程；规范地将方程化为一般形式并指出各项系数；讨论含参数方程的条件。

例1 抓概念辨析，突破“整式”“一元”“二次”“a≠0”四个易错点；例2 训练规范化简；例3 用参数方程深化对 a≠0 的理解，培养严谨思维。