第5讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第5讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 理解方程概念 掌握四种解法 选择最优解法 配方法 根的概念 📚 知识梳理 ☆ 1.方程概念 一个未知数最高次2整式方程 ax2+bx+c=0(a≠0) a≠0 概念辨析例题：下列是二次方程 解析：一个未知数最高次2 ☆ 2.直接开方法 x2=p解为x=±sqrt{p} 缺一次项优先 概念辨析例题：(x-1)2=9 解析：x-1=±3 ☆ 3.因式分解法 一边化0另一边分解 ab=0则a=0或b=0 提公因式十字相乘 概念辨析例题：x2-3x=0 解析：x(x-3)=0 ☆ 4.配方法 化为(x+m)2=n 加一次项系数一半平方 概念辨析例题：x2+4x-1=0 解析：配方得(x+2)2=5 ☆ 5.公式法 x= 先化一般式 概念辨析例题：x2-2x-1=0 解析：代入公式 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 开方法 x2=p 直接开方 因式分解 右边化0 提公因式 配方法 加半平方 两边同加 公式法 注意符号 选择顺序 因式分解→开方→配方→公式 简便优先 ⚠️ 核心考点 【考点1】方程概念（第1-5题） 一个未知数最高次2 a≠0 1．下列方程： ①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）； ②； ③x2+y＝0； ④（x+3）2＝（x﹣3）2； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数）； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0（m为常数）． 其中一定是一元二次方程的有（　　） A．①②③⑥ B．①⑥ C．③④⑤ D．②③④⑤ 2．（2026春•余姚市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2y+1＝0 B．x2＝2+3x C． D．x（x﹣1）﹣x2＝2 3．（2026春•上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 4．（2025秋•邻水县期末）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 _______ ． 5．（2025秋•仪征市期末）把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：____________________ ． 【考点2】方程的根（第6-9题） 根代入成立 6．（2026•苏州模拟）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是_________ ． 7．（2026•德阳模拟）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 _________ ． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ___________ ． 9．（2024秋•凉州区期中）已知方程x2﹣5x+6＝0的一个根是m，求代数式的值． 【考点3】开方法（第10-14题） 缺一次项 注意正负根 10．（2025秋•武汉期末）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是3，则常数c的值是_____ ． 11．（2024秋•凉州区校级月考）在实数范围内定义运算“★”，其法则为：a★b＝a2﹣b2，则方程（4★3）★x＝24的解为_________ ． 12．（2026春•椒江区期中）关于x的方程a（x+m）2﹣b＝0的解是x1＝2，x2＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣2）2＝b的解是______________ ． 13．（2025秋•庄浪县期末）解方程：． 14．（2025秋•九台区月考）用直接开平方法解方程： （1）（x+3）2﹣121＝0； （2）3（2x﹣6）2＝18． 【考点4】因式分解法（第15-24题） 右边化0 十字相乘 15．（2023秋•灌云县校级月考）若x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C． D．无法确定 16．（2025秋•南京期末）方程x2＝x的根为 ______________ ． 17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 _____ 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 18．（2025秋•肇源县月考）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是__________ ． 19．（2026•毕节市模拟）一元二次方程x2＝2x的解为 ______________ ． 20．（2023秋•阳谷县期末）若规定两数a，b，通过运算“△”可得3ab，即a△b＝3ab，如2△6＝3×2×6＝36若x△x+2△x﹣2△4＝0，则x的值为 _________ ． 21．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 22．（2025秋•雁塔区校级月考）解方程： （1）2x2﹣7x+3＝0； （2）． 23．（2026•安徽模拟）解方程：x2﹣8x＝﹣15． 24．（2024秋•凉州区校级期末）解下列方程． （1）x2+4x﹣12＝0； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 【考点5】配方法（第25-30题） 二次项系数化1 加半平方 25．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 26．（2025秋•泸州校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8 27．（2026•北京校级开学）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝_____ ． 28．（2026春•顺义区期末）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 29．（2023秋•洪洞县期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：3x2+12x﹣9＝0 二次项系数化为1，得x2+4x﹣3＝0第一步 移项，得x2+4x＝3第二步 配方，得x2+4x+16＝3+16，即（x+4）2＝19第三步 由此，可得第四步 所，第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 _______ ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ___________ ； ②“第二步”变形的数学依据是 ____________ ； ③小明同学解题过程中，从第 _____ 步开始出现错误，请直接写出正确的结果 ____________________ ； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：3x2+8x﹣3＝0． 30．（2025秋•丹江口市期末）用配方法解方程：x2﹣2x﹣5＝0． 【考点6】公式法（第31-38题） 注意a,b,c符号 先算Δ 31．（2022秋•湖里区校级期中）用求根公式求一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根，公式中的b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 32．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 33．（2024秋•翠屏区期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中的较小值，如：min{2，5}＝2按照这个规定，方程min{x，1}＝x2﹣2的解为____________________ ． 34．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为_____________ ． 35．（2025秋•涪城区期中）关于x的方程（m+1）0是一元二次方程，则m＝_____ ． 36．（2026•龙沙区三模）解方程x2+3x﹣1＝0． 37．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 38．（2025春•霍邱县月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0，其中，a，b，c分别是△ABC的三边长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，求证：△ABC是等腰三角形； （2）如果△ABC是等边三角形，解该一元二次方程． 💯 课后巩固 复习建议 先观察选方法 因式分解优先 配方加半平方 注意符号 检验 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【作业 2】（2025秋•绵阳期末）一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 【作业 3】（2024秋•鲤城区校级期末）下面是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解答过程： ∵x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3或x2＝﹣1． 上述解法用到的方法是（　　） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．公式法 D．配方法 【作业 4】（2025秋•青浦区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为_______ ． 【作业 5】（2026•上海自主招生）a是方程x2﹣2026x﹣2025＝0的一个根，则（a﹣1）（a﹣2025）＝_________ ． 【作业 6】（2026春•舟山期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是﹣1和1，这个方程可以是________________ ． 【作业 7】（2026•红花岗区模拟）一元二次方程7x2﹣28＝0的解为_______________ ． 【作业 8】（2025秋•黄浦区校级月考）解方程式： （1）； （2）（y﹣1）（y+3）＝5； （3）； （4）3x2﹣6x+2＝0． 【作业 9】（2026秋•深圳同步）解方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）； （3）（x﹣4）2＝9； （4）（x+3）2＝2x+6． 【作业 10】（2026春•朝阳区校级期中）解下列一元二次方程： （1）（x﹣4）2＝4； （2）（x+2）2＝5（x+2）； （3）x2﹣4x＝3； （4）3x2﹣7x+1＝0． 【作业 11】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【作业 12】（2026春•沙坪坝区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）． 【作业 13】（2025秋•莲湖区校级月考）解一元二次方程：3x2+2x﹣2＝0． 【作业 14】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 理解方程概念 掌握四种解法 选择最优解法 配方法 根的概念 📚 知识梳理 ☆ 1.方程概念 一个未知数最高次2整式方程 ax2+bx+c=0(a≠0) a≠0 概念辨析例题：下列是二次方程 解析：一个未知数最高次2 ☆ 2.直接开方法 x2=p解为x=±sqrt{p} 缺一次项优先 概念辨析例题：(x-1)2=9 解析：x-1=±3 ☆ 3.因式分解法 一边化0另一边分解 ab=0则a=0或b=0 提公因式十字相乘 概念辨析例题：x2-3x=0 解析：x(x-3)=0 ☆ 4.配方法 化为(x+m)2=n 加一次项系数一半平方 概念辨析例题：x2+4x-1=0 解析：配方得(x+2)2=5 ☆ 5.公式法 x= 先化一般式 概念辨析例题：x2-2x-1=0 解析：代入公式 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 开方法 x2=p 直接开方 因式分解 右边化0 提公因式 配方法 加半平方 两边同加 公式法 注意符号 选择顺序 因式分解→开方→配方→公式 简便优先 ⚠️ 核心考点 【考点1】方程概念（第1-5题） 一个未知数最高次2 a≠0 1．下列方程： ①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）； ②； ③x2+y＝0； ④（x+3）2＝（x﹣3）2； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数）； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0（m为常数）． 其中一定是一元二次方程的有（　　） A．①②③⑥ B．①⑥ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【解答】解：①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）是一元二次方程，符合题意； ②，是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ③x2+y＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ④（x+3）2＝（x﹣3）2，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数），当m＝0时，不是一元二次方程，不符合题意； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0是一元二次方程，符合题意， 综上所述，一定是一元二次方程是①⑥． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（2026春•余姚市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2y+1＝0 B．x2＝2+3x C． D．x（x﹣1）﹣x2＝2 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、方程含有x和y两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意； B、方程整理为x2﹣3x﹣2＝0，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，符合题意； C、方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不符合题意； D、方程展开化简得x（x﹣1）﹣x2＝﹣x＝2，即﹣x＝2，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3．（2026春•上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．（2025秋•邻水县期末）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出a的值． 【解答】解：∵方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程， ∴|a|+1＝2，且a﹣1≠0， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，准确理解一元二次方程的定义是解题的关键． 5．（2025秋•仪征市期末）把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【解答】解：把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【考点2】方程的根（第6-9题） 根代入成立 6．（2026•苏州模拟）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是　2028　 ． 【分析】根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得a2+a﹣1＝0，即a2＝1﹣a， ∴ ＝2025+3 ＝2028， 故答案为：2028． 【点评】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 7．（2026•德阳模拟）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　2024　 ． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0， 所以m2﹣m＝1， 所以2025﹣m2+m＝2025﹣（m2﹣m）＝2025﹣1＝2024． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【分析】结合已知条件得到x+2＝2023，求得x即可． 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点． 9．（2024秋•凉州区期中）已知方程x2﹣5x+6＝0的一个根是m，求代数式的值． 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【解答】解：∵m是方程x2﹣5x+6＝0的一个根， ∴m2﹣5m+6＝0， ∴m＝2或m＝3， 当m＝2时， ∴ ＝4﹣12+2 ＝﹣6； 当m＝3时， ∴ ＝9﹣18+3 ＝﹣6． 【点评】本题考查了一元二次方程根的解，代数式求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【考点3】开方法（第10-14题） 缺一次项 注意正负根 10．（2025秋•武汉期末）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是3，则常数c的值是　9　 ． 【分析】将x＝3代入原式即可求出c的值． 【解答】解：将x＝3代入x2﹣c＝0， ∴9﹣c＝0， ∴c＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 11．（2024秋•凉州区校级月考）在实数范围内定义运算“★”，其法则为：a★b＝a2﹣b2，则方程（4★3）★x＝24的解为x＝±5　 ． 【分析】根据新定义运算法则计算4★3，再次根据新定义运算法则得出72﹣x2＝24，即可求解． 【解答】解：4★3＝42﹣32＝7， （4★3）★x＝24， 72﹣x2＝24， x＝±5， 故答案为：x＝±5． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． 12．（2026春•椒江区期中）关于x的方程a（x+m）2﹣b＝0的解是x1＝2，x2＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣2）2＝b的解是x1＝4，x2＝5　 ． 【分析】通过换元法，将方程a（x+m﹣2）2＝b转化为与已知方程形式相同的a[（x﹣2）+m]2＝b，再利用已知解直接求解即可． 【解答】解：已知方程a（x+m）2﹣b＝0的解为x1＝2，x2＝3，即： a（x+m）2＝b， 令t＝x﹣2，则方程a（x+m﹣2）2＝b可化为： a（t+m）2＝b， 对比可知，该方程与已知方程形式完全相同，因此t的解为t1＝2，t2＝3， 将t＝x﹣2代回： 当t＝2时，x﹣2＝2，解得x＝4， 当t＝3时，x﹣2＝3，解得x＝5， 因此，方程a（x+m﹣2）2＝b的解为x1＝4，x2＝5， 故答案为：x1＝4，x2＝5． 【点评】本题考查了一元二次方程的换元法应用，熟练掌握方程的整体变形技巧是解题的关键． 13．（2025秋•庄浪县期末）解方程：． 【分析】整理后根据直接开平方法求解即可． 【解答】解：原方程整理得： ， （2x+3）2＝16， 2x+3＝±4， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 14．（2025秋•九台区月考）用直接开平方法解方程： （1）（x+3）2﹣121＝0； （2）3（2x﹣6）2＝18． 【分析】（1）先移项，然后直接开平方得x+3＝±11，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到（2x﹣6）2＝6，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）（x+3）2﹣121＝0， （x+3）2＝121， x+3＝±11， ∴x1＝8，x2＝﹣14； （2）3（2x﹣6）2＝18， （2x﹣6）2＝6， ， ∴，． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． 【考点4】因式分解法（第15-24题） 右边化0 十字相乘 15．（2023秋•灌云县校级月考）若x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C． D．无法确定 【分析】由（2x+m）（x﹣4）＝0知2x+m＝0或x﹣4＝0，据此得x或x＝4，结合x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解可得关于m的方程，解之可得答案． 【解答】解：∵（2x+m）（x﹣4）＝0， ∴2x+m＝0或x﹣4＝0， 解得x或x＝4， 又∵x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解， ∴， ∴m＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 16．（2025秋•南京期末）方程x2＝x的根为 x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】移项后再因式分解求得两根即可． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 解得x＝0，x＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　②　 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0， 故答案为：②． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 18．（2025秋•肇源县月考）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　16或17　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝6，再利用三角形三边的关系得到答案． 【解答】解：x2﹣11x+30＝0， （x﹣5）（x﹣6）＝0， x﹣5＝0或x﹣6＝0， x1＝5，x2＝6， ∴等腰三角形的两边长分别为5或6， ①等腰三角形的腰为5，则底边为6时， ∴等腰三角形的周长为5+5+6＝16， ②等腰三角形的腰为6，则底边为5， ∴等腰三角形的周长为6+6+5＝17， ∴该等腰三角形的周长是16或17， 故答案为：16或17． 【点评】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义等知识，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 19．（2026•毕节市模拟）一元二次方程x2＝2x的解为 x1＝0，x2＝2　 ． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：移项得x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0， 解得x＝0或x＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 20．（2023秋•阳谷县期末）若规定两数a，b，通过运算“△”可得3ab，即a△b＝3ab，如2△6＝3×2×6＝36若x△x+2△x﹣2△4＝0，则x的值为 　﹣4或2　 ． 【分析】根据x△x+2△x﹣2△4＝0，a△b＝3ab，可以得到3x2+3×2x﹣3×2×4＝0，然后求解即可． 【解答】解：∵x△x+2△x﹣2△4＝0，a△b＝3ab， ∴3x2+3×2x﹣3×2×4＝0， ∴3x2+6x﹣24＝0， ∴x2+2x﹣8＝0， ∴（x+4）（x﹣2）＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝2， 故答案为：﹣4或2． 【点评】本题考查解一元二次方程、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 21．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：原方程因式分解可得（x﹣2）（5x+3）＝0， ∴x﹣2＝0或5x+3＝0， 解得x1＝2，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 22．（2025秋•雁塔区校级月考）解方程： （1）2x2﹣7x+3＝0； （2）． 【分析】（1）根据因式分解法计算即可； （2）方程两边同时乘以x2﹣4化为整式方程，整理后求解，最后检验即可． 【解答】解：（1）2x2﹣7x+3＝0， 因式分解得：（2x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：； （2）， 去分母得：3（x﹣2）+2＝x+2， 去括号得：3x﹣6+2＝x+2， 移项，合并同类项得：2x＝6， 系数化为1得：x＝3， 检验：当x＝3时，x2﹣4＝5≠0， 则x＝3是原分式方程的解． 【点评】本题考查解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 23．（2026•安徽模拟）解方程：x2﹣8x＝﹣15． 【分析】用因式分解法求解． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣8x+15＝0， （x﹣3）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝3或x2＝5． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二方程的解法． 24．（2024秋•凉州区校级期末）解下列方程． （1）x2+4x﹣12＝0； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x+6＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程； （2）先利用因式分解法把方程转化为2y﹣1＝0或2y+2＝0，然后解两个一次方程． 【解答】解：（1）x2+4x﹣12＝0， （x+6）（x﹣2）＝0， x+6＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝﹣6，x2＝2； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0， （2y﹣1）（2y﹣1+3）＝0， 2y﹣1＝0或2y+2＝0， 所以y1，y2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【考点5】配方法（第25-30题） 二次项系数化1 加半平方 25．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 26．（2025秋•泸州校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8 【分析】通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝﹣1+9， （x﹣3）2＝8， 故选：D． 【点评】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 27．（2026•北京校级开学）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝　3　 ． 【分析】将原方程通过移项、配方化为（x+m）2＝n的形式，得到m和n的值，再计算m+n即可． 【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝﹣3， 配方得x2﹣6x+9＝﹣3+9， 整理得（x﹣3）2＝6， 对比（x+m）2＝n，可得m＝﹣3，n＝6， 因此m+n＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 28．（2026春•顺义区期末）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 【分析】利用配方法解方程即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， ， ，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解方程是解题的关键， 29．（2023秋•洪洞县期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：3x2+12x﹣9＝0 二次项系数化为1，得x2+4x﹣3＝0第一步 移项，得x2+4x＝3第二步 配方，得x2+4x+16＝3+16，即（x+4）2＝19第三步 由此，可得第四步 所，第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 　转化　 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 　完全平方公式　 ； ②“第二步”变形的数学依据是 　等式的基本性质　 ； ③小明同学解题过程中，从第 　三　 步开始出现错误，请直接写出正确的结果 　，　 ； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：3x2+8x﹣3＝0． 【分析】任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答； ②根据移项的依据是等式的性质解答； ③由完全平方公式判断即可解答； 任务二：根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算． 【解答】解：任务一：①由题意得，此过程所体现的数学思想是转化：其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； ③观察可知，小明是在第三步配方的时候出错， 配方，得x2+4x+4＝3+4，即（x+2）2＝7， 由此，可得， ∴，， 故答案为：三；，； 任务二：3x2+8x﹣3＝0 ， ， ， ∴， ∴， ∴或， ∴，x2＝﹣3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； 30．（2025秋•丹江口市期末）用配方法解方程：x2﹣2x﹣5＝0． 【分析】先把﹣5移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， ， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【考点6】公式法（第31-38题） 注意a,b,c符号 先算Δ 31．（2022秋•湖里区校级期中）用求根公式求一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根，公式中的b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【分析】根据b为一元二次方程一次项的系数，即可得出结果． 【解答】解：∵x2﹣2x+3＝0， ∴b＝﹣2； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，以及求根公式．解题的关键是掌握b为一元二次方程一次项的系数． 32．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，利用公式法即可求解． 【解答】解：由题意得，a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0， ∴， ∵方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b， ∴a的值为， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 33．（2024秋•翠屏区期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中的较小值，如：min{2，5}＝2按照这个规定，方程min{x，1}＝x2﹣2的解为　或x＝﹣1　 ． 【分析】分类讨论1与x的大小，分别求出方程的解，检验即可． 【解答】解：当x＞1时，min{x，1}＝x2﹣2， x2﹣2＝1，即x2＝3， 解得：，（舍去）， 当x＜1时，min{x，1}＝x2﹣2， x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2（舍去）， 所以，方程的解为或x＝﹣1． 故答案为：或x＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 34．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为x＝1或x＝﹣1　 ． 【分析】根据方程M、N有相同的根，可得出ax2+bx+c＝cx2+bx+a，再结合ac≠0，a≠c，即可得出x2＝1，求出x的值． 【解答】解：∵方程M和方程N有一个相同的根， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c． ∵ac≠0，a≠c， ∴x2＝1， 解得：x＝±1． ∴这个相等的根为x＝1或x＝﹣1． 故答案为：x＝1或x＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，本题属于基础题，难度不大． 35．（2025秋•涪城区期中）关于x的方程（m+1）0是一元二次方程，则m＝　3　 ． 【分析】由一元二次方程的定义可得m2﹣2m﹣1＝2且m+1≠0，解得m的值即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m+1）0是一元二次方程， ∴m2﹣2m﹣1＝2且m+1≠0， 将m2﹣2m﹣1＝2整理得m2﹣2m﹣3＝0， 因式分解得：（m+1）（m﹣3）＝0， 解得：m1＝﹣1，m2＝3， 由m+1≠0得m≠﹣1， 综上，m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 36．（2026•龙沙区三模）解方程x2+3x﹣1＝0． 【分析】根据公式法求解即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根， ， 即，． 【点评】本题考查解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 37．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝﹣2代入方程，通过化简得到a＝c，从而判断△ABC为等腰三角形； （2）利用等边三角形性质a＝b＝c，代入方程化简后求解一元二次方程． 【解答】解：（1）由条件可得a×（﹣2）2+（b+c）×（﹣2）+2（b﹣c）＝0， 即4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 化简得4a﹣2b﹣2c+2b﹣2c＝0， ∴4a﹣4c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）由条件可知a＝b＝c， 于是方程变为ax2+（a+a）x+2（a﹣a）＝0， 即ax2+2ax＝0， ∵a＞0， ∴两边除以a得x2+2x＝0， 即x（x+2）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 38．（2025春•霍邱县月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0，其中，a，b，c分别是△ABC的三边长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，求证：△ABC是等腰三角形； （2）如果△ABC是等边三角形，解该一元二次方程． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】（1）证明：把x＝﹣1代入方程得： a+c﹣2b+b﹣c＝0，整理，得a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． （2）解：∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c． ∴方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0可化为x2+x＝0． 解得x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形、等边三角形，解题的关键是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知数的值． 💯 课后巩固 复习建议 先观察选方法 因式分解优先 配方加半平方 注意符号 检验 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程． 【作业 2】（2025秋•绵阳期末）一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 【分析】先把方程化为一般形式，再根据一元二次方程一般式解答即可． 【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）＝72， 整理，得4x2﹣81＝0， 故方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数是4、一次项系数是0、常数项是﹣81， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【作业 3】（2024秋•鲤城区校级期末）下面是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解答过程： ∵x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3或x2＝﹣1． 上述解法用到的方法是（　　） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．公式法 D．配方法 【分析】根据解一元二次方程的方法得出答案即可． 【解答】解：解方程x2﹣2x﹣3＝0的方法是配方法． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记解一元二次方程的方法是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 【作业 4】（2025秋•青浦区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解即可． 【解答】解：方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程， 则|k|+1＝2且k﹣1≠0， 由|k|+1＝2，解得k＝±1， 由k﹣1≠0，解得k≠1， 因此若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为：k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【作业 5】（2026•上海自主招生）a是方程x2﹣2026x﹣2025＝0的一个根，则（a﹣1）（a﹣2025）＝　4050　 ． 【分析】利用一元二次方程的解，可得出a2﹣2026a﹣2025＝0，进而可得出a2﹣2026a＝2025，再将其代入原式＝a2﹣2026a+2025中，即可求出结论． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x﹣2025＝0的一个根， ∴a2﹣2026a﹣2025＝0， ∴a2﹣2026a＝2025， ∴原式＝a2﹣2026a+2025＝2025+2025＝4050． 故答案为：4050． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 【作业 6】（2026春•舟山期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是﹣1和1，这个方程可以是x2＝1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【解答】解：由条件可知两根之和为：x1+x2＝﹣1+1＝0， 两根之积为：x1x2＝（﹣1）×1＝﹣1， 对于一元二次方程x2+bx+c＝0，根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣b，x1x2＝c， 代入得：﹣b＝0，c＝﹣1，即b＝0，c＝﹣1， ∴这个方程可以是：x2﹣1＝0． 故答案为：x2＝1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 7】（2026•红花岗区模拟）一元二次方程7x2﹣28＝0的解为x1＝﹣2，x2＝2　 ． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以7，最后把方程两边同时开平方即可得到答案． 【解答】解：移项可得：7x2＝28， ∴x2＝4， 直接开平方可得： x1＝﹣2，x2＝2， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 【作业 8】（2025秋•黄浦区校级月考）解方程式： （1）； （2）（y﹣1）（y+3）＝5； （3）； （4）3x2﹣6x+2＝0． 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）先展开整理，再根据因式分解法解一元二次方程； （3）去分母后化为整式方程，再用因式分解法求解； （4）直接使用公式法求解即可． 【解答】解：（1）， ∴， 解得：， （2）解（y﹣1）（y+3）＝5， ∴y2+2y﹣3＝5， ∴y2+2y﹣8＝0， ∴（y+4）（y﹣2）＝0， ∴y+4＝0或y﹣2＝0， 解得：y1＝﹣4，y2＝2； （3）去分母可得： 2（x﹣1）+3（x2+3）﹣12＝0， ∴2x﹣2+3x2+9﹣12＝0， 即3x2+2x﹣5＝0， ∴（3x+5）（x﹣1）＝0， ∴3x+5＝0或x﹣1＝0， 解得：， （4）∵a＝3，b＝﹣6，c＝2，Δ＝b2﹣4ac＝36﹣24＝12， ∴， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 【作业 9】（2026秋•深圳同步）解方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）； （3）（x﹣4）2＝9； （4）（x+3）2＝2x+6． 【分析】（1）先利用配方法得到（x+4）2＝25，再把方程两边开方得到x+4＝±5，然后解两个一次方程即可； （2）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （3）先把方程两边开方得到x﹣4＝±3，然后解两个一次方程即可； （4）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+3﹣2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2+8x+16＝25， （x+4）2＝25， x+4＝±5， 所以x1＝1，x2＝﹣9； （2）方程化为一般式为3x2﹣5x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49， ∴x， ∴x1＝2，x2； （3）x﹣4＝±3， 所以x1＝1，x2＝7； （4）（x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+3﹣2）＝0， x+3＝0或x+3﹣2＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法和公式法． 【作业 10】（2026春•朝阳区校级期中）解下列一元二次方程： （1）（x﹣4）2＝4； （2）（x+2）2＝5（x+2）； （3）x2﹣4x＝3； （4）3x2﹣7x+1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣4）2＝4， 则x﹣4＝±2， 所以x1＝2，x2＝6； （2）（x+2）2＝5（x+2）， （x+2）2﹣5（x+2）＝0， （x+2）（x﹣3）＝0， 则x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝3； （3）x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， 则x﹣2， 所以； （4）3x2﹣7x+1＝0， Δ＝（﹣7）2﹣4×3×1＝37＞0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、解一元二次方程﹣配方法、解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【作业 11】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【解答】解：（1）4（x﹣5）2＝16， （x﹣5）2＝4， x﹣5＝±2， x1＝7，x2＝3； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10， （3x﹣5）2﹣2（3x﹣5）＝0， （3x﹣5）[（3x﹣5）﹣2]＝0， （3x﹣5）（3x﹣7）＝0， 3x﹣5＝0或3x﹣7＝0， ，； （3）x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， （x+2）2＝3， ， ，； （4）3x2+2x﹣3＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，直接开平方法，配方法及公式法是解题的关键． 【作业 12】（2026春•沙坪坝区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）． 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）先通过去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果进行检验，即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， ， 解得：，； （2）原式去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， ∴原方程无解． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解分式方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 13】（2025秋•莲湖区校级月考）解一元二次方程：3x2+2x﹣2＝0． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：3x2+2x﹣2＝0． Δ＝4+24＝28， ∴x， x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，确定判别式正负是解此题的关键，难度适中． 【作业 14】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【分析】（1）先表示出（x﹣2）2＝3，再展开，得到2x2﹣8x+2＝0，即可得到结果； （2）先表示出（x﹣1）2＝2，再展开x2﹣2x＝1，即可得到结果； （3）先表示出（2x+1）2＝5，再展开x2+x＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $