精品解析：江苏泰州市第二中学附属初中2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情自测数学试题

九年级数学 2026.9 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 4. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 5. 如图，在中，，D为的中点，交于E，延长至F，使．若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 6. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卡上） 7. 如果，那么______． 8. 已知点、在反比例函数的图象上，且，那么______（填“”“”或“”）． 9. 如图，若，且，，．则______． 10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 11. 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 12. 设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n=____. 13. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，，反比例函数的图象经过点D，则k值为_____． 14. 写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为______． 15. 如图，在矩形中，点为边上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，，若点在内（不包含边），则长的范围是______． 16. 在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 先化简，再求值：，其中x满足方程 19. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 20. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根，满足，求m的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． （1）的值为______； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 23. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 24. 如图，已知，用尺规在上分别作点（点不与的顶点重合），使其分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）： （1）图1中，的周长等于的周长的一半； （2）图2中，的面积等于的面积的一半． （3）在（2）中平行于，求的值． 25. 、是方程的两根， （1）若方程一根为1，，求的值； （2）若，求方程另一根； （3）若，且，求的范围． 26. 在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求的值； （3）如图2，交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 2026.9 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．本题中用因式分解法解一元二次方程，首先提公因式可得，根据两数相乘积为则这两个因数中至少有一个数有，可以得到，或，解这两个一元一次方程即可求出一元二次方程的解． 【详解】解： 分解因式得：， 或， 解得：，．   故选： D． 2. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两三角形相似的判定定理，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键． 先根据勾股定理求出各三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， ∴给出的三角形的三边长分别为：， A、三角形三边长分别为：， ， A选项不符合题意； B、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， B选项不符合题意； C、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， C选项不符合题意； D、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， D选项符合题意. 故选：D 3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 4. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 5. 如图，在中，，D为的中点，交于E，延长至F，使．若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形判定和性质，勾股定理等知识点，证明是直角三角形是解题关键． 利用平行相似证明，从而可得，进而证明，再由勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选A． 6. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ，， ，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卡上） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要作内项就都作内项，要作外项就都作外项．根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数2就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出结果即可． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：． 8. 已知点、在反比例函数的图象上，且，那么______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，结合已知的大小关系即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大． ∵， ∴． 9. 如图，若，且，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 根据，先计算，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， ， ． 故答案为：． 10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的相关结论是解题的关键； 对于配方后的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，，据此即可求解． 【详解】解：若关于x的方程有两个相等的实数根，则． 故答案为：0． 11. 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：点，对应点，位似中心为点， ，， 与是位似图形， ， 与的相似比为， 的面积与的面积之比为． 12. 设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n=____. 【答案】2017 【解析】 【详解】试题解析：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根， ∴m+n=-2，m2+2m-2019=0， ∴m2+2m=2019， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2019-2=2017. 故答案为：2017 13. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，，反比例函数的图象经过点D，则k值为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出点的坐标是解题的关键． 过点作轴，由同角的余角相等可得出，结合可得出，根据相似三角形的性质结合点的坐标，即可得出的长度，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值． 【详解】解：如图所示，过点作轴，交轴于点， ， ， ， ， ， 四边形为矩形，点，，， ，， ， 点坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：14． 14. 写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的两根和二次项系数，先计算两根之和与两根之积，再利用根与系数的关系构造方程即可． 【详解】解：设两根为，, ∵ 计算两根之和, 计算两根之积, 二次项系数为， 根据根与系数的关系，所求方程为， ∴ 代入得所求方程为． 15. 如图，在矩形中，点为边上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，，若点在内（不包含边），则长的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折得出，则点F在以A为圆心，2 为半径的圆上运动，结合点在内，得出当F落在上时，最小；当F落在上时，最大，当F落在上时，证明，根据三角形的性质求出；当F落在上时，证明四边形是矩形，根据矩形的性质求出，然后结合点在内（不包含边），即可求出长的范围． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵翻折， ∴，，， ∴点F在以A为圆心，2 为半径的圆上运动， ∵点在内， ∴当F落在上时，最小；当F落在上时，最大， 当F落在上时，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 当F落在上时，如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∵点在内（不包含边）， ∴． 16. 在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G，证明，得到；再证明都是等腰直角三角形，得到，设，则，；证明，得到，进一步证明，得到，则，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G， ∵， ∴， ∵点E为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形与相似三角形． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：整理原方程， 得  ， 因式分解，得 ，  即或 ． 解得，． 【小问2详解】 解：对于方程， 得，， ， 计算判别式得  ， 代入求根公式得  ． 解得，． 18. 先化简，再求值：，其中x满足方程 【答案】； 【解析】 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，化简得到原式，再利用满足方程得到，然后利用整体代入的方法计算原式的值． 【详解】解： ； ， ， 将代入， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 19. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 【答案】（1） ，， ； （2） 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． 20. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 【答案】每条道路的宽为1米． 【解析】 【分析】设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据“草坪的面积为570”列出方程即可解答． 【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为， ， 解得：（不合题意，舍去） 答：每条道路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根，满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于m的一元二次方程，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，． 又∵在（1）中求出， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记当时，方程有实数根；（2）根据，，结合，得到关于m的一元二次方程． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． （1）的值为______； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）延长交x轴于点E，利用勾股定理和菱形的性质求出，得到，然后代入即可求解； （2）将代入求出，然后根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交x轴于点E， ∵点在轴的正半轴上，四边形是菱形， ∴，， ∵点的坐标为，即，， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴反比例函数， 当点D落在时，将代入得，， 解得， ∴， ∴若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，． 23. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为 （2）该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 24. 如图，已知，用尺规在上分别作点（点不与的顶点重合），使其分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）： （1）图1中，的周长等于的周长的一半； （2）图2中，的面积等于的面积的一半． （3）在（2）中平行于，求的值． 【答案】（1）解： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的性质即可求出两边的中点，连接两个中点即可作出，确保的周长等于的周长的一半． （2）利用垂直平分线的方法分别作出边长的垂直平分线，分别交于点，分别以点和点为圆心，以为半径，作弧，与的垂直平分线交点和点，连接和，根据等腰直角三角形和勾股定理确定，，结合垂直平分线的性质即可知道和，通过等量转化可知和，分别以为半径，以点为圆心，分别交于点，即为所求． （3）根据第2问和可转化为，再根据三角形相似即可求出． 【小问1详解】 解：分别作的边和的垂直平分线，交于点，交于点，连接，所构成的周长等于的周长的一半． 【小问2详解】 解：第一步：利用垂直平分线的方法分别作出边长的垂直平分线，分别交于点． 第二步：分别以点和点为圆心，以为半径，作弧，与的垂直平分线交点和点，连接和. 第三步：分别以为半径，以点为圆心，分别交于点，连接，即为的面积的一半． 【小问3详解】 解：连接，，如图所示， 由作图可知，为等腰直角三角形，，， ，， ，， ，， ，， ． ， ， ， ， ， ． 25. 、是方程的两根， （1）若方程一根为1，，求的值； （2）若，求方程另一根； （3）若，且，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知根代入方程，代入给定数值计算即可求解； （2）利用根与系数的关系，结合得两根之和为0，进而求出另一根； （3）通过根与系数的关系将用两根表示，代入化简得到，再结合和求解的范围. 【小问1详解】 解：∵ 方程的一根为， ∴ 将代入方程得， ∵ ，， ∴ ， 解得； 【小问2详解】 ∵ ， ∴ ， ∴ 两根之和， ∵ ， ∴ ， 解得； 【小问3详解】 解：∵两根之和， ∴， ∵ ， ∴ ， 化简得， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， 解得. 26. 在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求的值； （3）如图2，交于点，若，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明出，即可得到； （2）首先得到是等腰直角三角形，求出，，然后结合求出，证明出，进而求解即可； （3）延长，交于点H，设，则，证明，得到，然后证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点H， 设，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $