精品解析：江苏沭阳县外国语实验学校等校2026-2027学年度初三年级第一次阶段学情自测数学试卷

2026～2027学年度初三年级第一次联考测试 数 学 试 卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A. 4，1，3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 2. 反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， ∵选项中只有， ∴选A． 3. 已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值等于（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2-2m的值． 【详解】解：把x=m代入方程x2-2x-1=0可得：m2-2m-1=0， 所以m2-2m=1， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2-2m当成一个整体．利用了整体的思想． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 5. 如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 6. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】把代入反比例函数得，把代入，得， ∴，故①错； 联立两函数解析式，解得， ∴，故②对； 观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对； 由、、可知，， ∴，故④错． 综上，结论②③正确，正确的个数是2个， 故选B． 8. 已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，由原方程两根的和与积计算新方程两根的和与积，即可构造对应方程． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， 设所求方程的两根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴所求方程为，即． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解： 解得，． 故答案为：，． 10. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，将点代入反比例函数解析式，即可求解的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则，，据此即可求解． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根是， 则， ∴． 故答案为：． 12. 已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】两个点的横坐标均为负数，已知两点纵坐标的大小关系，可通过代入解析式列不等式，结合反比例函数的增减性求解的范围． 【详解】解：点，都在的图像上， 将两点坐标代入解析式得，， ， ，不等式两边同乘得， 移项合并同类项得，解得． 13. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 14. 设是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到的表达式，结合根与系数的关系得到两根之和，将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 根据根与系数的关系可得， ∴ ． 15. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是_____． 【答案】3＜m≤5． 【解析】 【详解】分析：根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围． 详解：依题意得：， 解得3＜m≤5． 故答案是：3＜m≤5． 点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：作于，如图： 函数（）与反比例函数（）交于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 17. 对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，实数的运算，实数大小比较，分两种情况：当时，即时；当时，即时；然后根据定义的新运算列出方程，解方程即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，即时， ， ， 整理得：， ， 或， ，舍去； 当时，即时， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 或， ，舍去，； 综上所述：或， 故答案为：或． 18. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过B作轴于点，过作轴于点D，先根据等腰直角三角形的性质得到，设则，代入中求得，则；设，根据反比例函数图象上点的坐标特征和勾股定理求得，，利用完全平方公式求得a、b值即可解答． 【详解】解：过B作轴于点，过作轴于点D， ∵，， ∴， 设则， ∴， ∵点B在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴， 由旋转性质得， ∵ ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，涉及反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式的应用、旋转性质等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 三、解答题（本题共10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）确定一元二次方程的系数，计算判别式后用公式法求解； （2）移项后提取公因式因式分解，转化为一元一次方程求解； 【小问1详解】 解： 方程中，，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： 原式移项得， 提取公因式得， 即， ∴或， 解得：，． 20. 对于非零的两个实数，规定，若，求的值． 【答案】的值为或 【解析】 【分析】根据新定义运算得到关于的方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值即可． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘，得， 整理，得， 因式分解，得， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 21. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1）该反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中求得的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴该反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，，解得． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 23. 如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）AB=-2x+44；（2）6；32 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知AD+BC-2+AB-2=40且有AD=BC=x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子； （2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可． 【详解】解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44； （2）由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞（舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 24. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明：∵方程为， ∴判别式 ， ∵对任意实数，都有，即， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的意义，结合非负数的性质进行判断即可； （2）通过因式分解法可求得方程必有一个根为，分两类讨论等腰三角形的腰长，最后求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 解得，， ∴等腰中，必有一条边长为， ①当等腰的腰长为时， ∴的三边长为，，， ∵，不符合三角形的三边关系， ∴该三角形不存在； ②当等腰的腰长为时， ∴的三边长为，，，符合三角形的三边关系， ∴的周长为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 26. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 【答案】（1） 月平均增长率为． （2） 每件商品的售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元． 27. 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“间根方程”．例如，方程的两个根是，则方程是“间根方程”． （1）方程是“间根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于的一元二次方程是“间根方程”． ①若，判断方程根的情况，并说明理由； ②若，且是方程的一个根，求的值． 【答案】（1）方程是“间根方程” （2） ①∵， ∴． ∵关于的一元二次方程是“间根方程”， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； ②，， 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解法和根的判别式． （1）求出方程的根即可判断； （2）①由方程是“间根方程”可得，然后结合根的判别式判断即可； ②是“间根方程”方程的一个根，可得或，结合可得，然后分2种情况计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴方程是“间根方程”； 【小问2详解】 ①略 ②∵， ∴变为， ∴． ∵关于的一元二次方程是“间根方程”， ∴， ∴． ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或， 当时， 当时， 或 综上所述：，，． 【点睛】本题考查了新定义的理解，一元二次方程根的判别式及公式法求解一元二次方程． 28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）①b的值为 ； ②关于x的不等式的解集为 ； （2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； （3）如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②观察图象即可求解； （2）先求得直线与轴的交点的坐标，再利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质证得，求得，同理，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①将代入中，得， ∴， 将代入中，得， 解得； ②令， 解得：，， 把代入得， ∴点，点， 由图象得，关于的不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：由（1）得， 记直线交轴于点， 令，则， ∴， ∵的面积为5， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和， 根据（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 同理：， ∵线段与反比例函数的图象有交点， ∴将，分别代入中， ∴或， ∴或， ∴或， ∵交点在第三象限， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度初三年级第一次联考测试 数 学 试 卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A. 4，1，3 B. C. D. 2. 反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 3. 已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值等于（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 6. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程的根为______． 10. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 12. 已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 13. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 14. 设是方程的两个实数根，则的值为_________． 15. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 17. 对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是_________． 18. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）； 20. 对于非零的两个实数，规定，若，求的值． 21. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求x的值． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 23. 如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 24. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 26. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 27. 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“间根方程”．例如，方程的两个根是，则方程是“间根方程”． （1）方程是“间根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于的一元二次方程是“间根方程”． ①若，判断方程根的情况，并说明理由； ②若，且是方程的一个根，求的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）①b的值为 ； ②关于x的不等式的解集为 ； （2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； （3）如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $