第14讲 直线、射线、线段及和差 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第14讲 直线、射线、线段及和差 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线、射线、线段的区别与联系，掌握它们的表示方法 · 掌握两个基本事实：两点确定一条直线、两点之间线段最短 · 理解两点间距离的定义，会用数轴上的距离公式计算 · 掌握线段中点的概念，能进行线段和差与倍分计算 · 会分类讨论解决线段长度问题与数轴动点问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段 直线没有端点，向两方无限延伸，可用两个大写字母或一个小写字母表示 射线有一个端点，向一方无限延伸，表示时端点字母在前，如射线OA 线段有两个端点，长度可以度量，可用两个端点字母表示 端点相同、方向不同则为不同的射线；同一条线段交换端点字母表示不变 概念辨析例题：下列说法正确的是（D）AB=AC-BC，如图点A，B，C在直线l上 解析：点A不在线段BC上；射线AC与射线CA端点不同方向不同，不是同一条射线；点C在线段AB的延长线上而非BA的延长线上；由图AB=AC-BC正确 ☆ 2.两个基本事实 经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线 两点之间的所有连线中，线段最短，简称两点之间线段最短 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离 生活现象：砌墙拉线、弹墨线、植树定坑、公路取直等都可由此解释 概念辨析例题：建筑工人砌墙时先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙，用哪个数学基本事实解释？ 解析：墙两端立桩相当于两个点，拉线绷直后过这两点有且只有一条直线，沿拉线砌墙即利用两点确定一条直线 ☆ 3.线段的中点与和差 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点 若点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC 线段和差：AC=AB-BC，AB=AC+BC，注意图形中点的位置 动点或点在直线上问题时，常需分情况讨论 概念辨析例题：已知点C是线段AB的中点，AC=4，点D在直线AB上且AD=3BD，求CD的长 解析：AB=2AC=8；当D在B右侧时AB=2BD=8，BD=4，CD=CB+BD=4+4=8；当D在B左侧时AB=4BD=8，BD=2，CD=CB-BD=4-2=2 ☆ 4.两点间的距离 两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，注意是长度而非线段本身 数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，则AB=|a-b|=|b-a| 线段可以比较长短，直线与射线不可比较长短 比较线段长短可用度量法（刻度尺测量）与叠合法 概念辨析例题：在数轴上点A，C表示的数分别为-2，4，求AC的长 解析：由距离公式AC=|-2-4|=6 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 直线 无端点，向两方无限延伸 不可度量，不能比较长短 射线 一个端点，向一方无限延伸 端点字母写在前面 线段 两个端点，可度量长度 可比较长短、可计算 基本事实1 两点确定一条直线 过两点有且只有一条 基本事实2 两点之间线段最短 距离是线段长度 线段中点 AC=BC=AB 点必须在线段上且平分 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线、射线、线段（第1-4题） · 区分三线看端点：直线无端点、射线一个、线段两个 · 射线表示时端点字母在前，方向不同则不是同一条射线 · 同一图形中数射线：每个点向两侧各一条射线 · 平面被直线分割：画图分情况讨论相交与平行 1．（2025秋•长安区校级月考）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（　　） A．点A在线段BC上 B．射线AC与射线CA是同一条射线 C．点C在线段BA的延长线上 D．图中共6条射线 【分析】根据这些概念对每个选项逐一进行分析判断即可． 【解答】解：A．点A在线段BC外，选项说法错误，不符合题意； B．射线AC与射线CA的端点不同，方向不同，不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； C．点C在线段AB的延长线上，选项说法错误，不符合题意； D．从点A、点B、点C出发，各自有两条不同方向的射线，共有2×3＝6（条），选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了直线、线段、射线，掌握直线、线段、射线的定义是关键． 2．（2026春•岱岳区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段AB到C B．射线BC经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线CD与线段AB没有交点 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．选项A中的图形用语言描述为延长线段BA到C，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形用语言描述为点A在射线BC外，即射线BC不过点A，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形用语言描述为直线a与直线b相交于点P，即点P既在直线a上，也在直线b上，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形用语言描述为射线CD与线段AB相交，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查直线、射线、线段，理解直线、射线、线段的定义以及表示方法是正确解答的关键． 3．（2025秋•南昌期末）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（　　） A．点A在线段BC上 B．射线AC与射线CA是同一条射线 C．点C在线段BA的延长线上 D．AB＝AC﹣BC 【分析】由线段、射线的概念，即可判断． 【解答】解：A、点A在线段BC外，故A不符合题意； B、射线AC和射线CA的端点不同，方向不同，不是同一条射线，故B不符合题意； C、点C在线段AB的延长线上，故C不符合题意； D、AB＝AC﹣BC，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握射线和线段的概念． 4．（2024秋•玄武区校级月考）若平面内两条直线l1、l2，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（　　）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【分析】根据题意，画出图形，分两种情况：①l1，l2不平行；②l1，l2平行时，进行解答即可． 【解答】解：分两种情况： ①若l1，l2不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若l1，l2平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 【点评】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 【考点2】两点确定一条直线（第5-9题） · 识别“拉线、弹墨线、立桩”等生活现象对应的基本事实 · 区分三个原理：两点确定一条直线、两点之间线段最短、点动成线 · 过任意四点中的两点画直线：按共线情况分类（1条/4条/6条） · 表示直线用两个大写字母或一个小写字母 5．（2026春•芝罘区期末）下列操作依据的数学道理是“两点确定一条直线”的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点确定一条直线解答即可． 【解答】解：A．依据的数学道理是：两点确定一条直线，故此选项符合题意； B．依据的数学道理是：两点之间，线段最短，故此选项不符合题意； C．依据的数学道理是：两点之间，线段最短，故此选项不符合题意； D．依据的数学道理是：垂线段最短，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，掌握直线的性质是解题的关键． 6．（2025秋•淮滨县期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线 【分析】根据两点确定一条直线解答即可． 【解答】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，说明线动成面，不符合题意； B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，说明点动成线，不符合题意； C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，说明两点之间，线段最短，不符合题意； D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，说明两点确定一条直线，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是两点确定一条直线，熟知经过两点有且只有一条直线是解题的关键． 7．（2025秋•成都期末）墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线，一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点有且只有一条直线 D．点动成线 【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案． 【解答】解：其中蕴含的数学道理是：经过两点有且只有一条直线． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确把握直线的性质联系实际生活是解题关键． 8．（2025秋•肇源县期中）经过同一平面内任意四点中，两点共可画（　　）条直线． A．1条或3条 B．2条 C．1条或4条 D．1条或4条或6条 【分析】分4点在同一条直线上，有3点在同一直线上，任意三点都不在同一直线上作出图形，即可得解． 【解答】解：如图， ①4点在同一条直线上，则只能画出1条直线， ②有3点在同一直线上，则能画出4条直线， ③任意三点都不在同一直线上，则能画出6条直线， 综上所述，同一平面内，经过任意4点中的两点共可以画出1条或4条或6条直线． 故选：D． 【点评】本题主要考查直线的性质，掌握两点确定一条直线是解题的关键． 9．（2025秋•石景山区期末）下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从A地到B地架设电线，沿着线段AB架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 【分析】选项A中，通过两个桩拉线砌墙，直接体现了该公理；选项B和C涉及“两点之间线段最短”；选项D涉及“点动成线”． 【解答】解：根据题意及“两点确定一条直线”几何公理逐项分析判断如下： A：在墙的两端立桩拉线，利用两点确定一条直线来指导砌墙，故选项A正确； B和C均基于“两点之间线段最短”的原理，与题意不符； D：描述的是点动成线的现象，与题意不符． 故选：A． 【点评】本题考查对“两点确定一条直线”几何公理的理解．熟练掌握该知识点是关键． 【考点3】两点之间线段最短（第10-15题） · “取直、抄近路、路程最短”类问题优先想到线段最短 · 分清与“两点确定一条直线”的区别：后者用于确定直线位置 · 比例尺问题：图上距离与实际距离按比例换算 · 结合情境作答时先说明数学结论再下结论 10．（2025秋•长沙期末）小明准备从A地去往B地，手机显示两地的直线距离为8km，但手机导航提供的三条可选路线长分别为12km，11km，13km，能解释这一现象的数学结论是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．直线可以无限延长 【分析】根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：能解释这一现象的数学结论是两点之间线段最短． 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键． 11．（2025秋•綦江区期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．木匠弹墨线 B．打∀靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【分析】根据线段的性质解答即可． 【解答】解：A、B、D依据两点确定一条直线；C依据两点之间线段最短． 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的性质，掌握“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”的基本事实是正确判断的关键． 12．（2025秋•榆林期末）如图是石家庄南绕城高速太行特长隧道．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．平面内经过一点有无数条直线 【分析】根据题意把道路取直以缩短路程，是根据两点之间，线段最短，即可求解． 【解答】解：通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程． 依题意，把道路取直以缩短路程．其数学原理是两点之间，线段最短， 故选：A． 【点评】本题考查了两点之间，线段最短，正确进行计算解题关键． 13．（2024秋•东昌区校级期末）如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学为了节省时间不走人行道而横穿草坪，试用所学数学知识来解释这个问题：　两点之间，线段最短　 ． 【分析】根据线段的性质，即可解答． 【解答】解：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，试用所学数学知识来说明这个问题：两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【点评】本题考查了线段的性质：两点之间，线段最短，熟练掌握线段的性质是解题的关键． 14．（2023秋•同步）如图，小明从家到学校有4条路可走． （1）路程最短的是哪一条？请说明你的理由． （2）如果如图比例尺是1：100000，请你算出小明家到学校的实际距离． 【分析】（1）根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答即可； （2）根据比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意列出比例式，即可求得实际距离． 【解答】解：（1）路程最短的3号路，理由：两点之间，线段最短； （2）图中3号路长3cm， 设小明家到学校的实际距离为xcm，则： 1：100000＝3：x， 解得x＝300000， 300000cm＝3km． 答：小明家到学校的实际距离为3km． 【点评】此题主要考查了线段的性质和比例尺，关键是掌握两点之间线段最短． 15．（2023秋•商河县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室A到图书馆B，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所 在的直线，这里用到的数学知识是 　两点确定一条直线　 ． 你赞同以上哪种做法？　情境二　 （填情境一或情境二） 【分析】由线段的性质，直线的性质即可得到答案． 【解答】解：情境一：因为两点之间线段最短． 情境二：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 赞同情境二， 故答案为：情境二． 【点评】本题考查线段的性质，直线的性质，关键是掌握两点之间线段最短，两点确定一条直线． 【考点4】两点间的距离（第16-22题） · 中点定义：把线段分成两条相等线段的点 · 求距离时用和差关系逐步转化，注意点的位置 · 点在直线上（可能在延长线上）时分类讨论 · “两点之间的距离是线段的长度”，不是线段本身 16．（2023秋•公安县期末）若点C是线段AB的中点，AC＝4，点D在直线AB上，且AD＝3BD，则线段CD的长为（　　） A．2 B．12 C．4或6 D．2或8 【分析】分两种情况，即点D在点B的右侧，点D在点B的左侧，根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【解答】解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AC＝4， ∴AC＝BCAB＝4，AB＝8， ∵AD＝3BD， ∴AB＝2BD＝8， ∴BD＝4， ∴CD＝CB+BD＝8； 如图2，∵点C是线段AB的中点，AC＝4， ∴AC＝BCAB＝4，AB＝8， ∵AD＝3BD， ∴AB＝4BD＝8， ∴BD＝2， ∴CD＝CB﹣BD＝2； ∴CD＝2或CD＝8． 故选：D． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的关键． 17．（2026春•芝罘区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点，若AB＝10cm，AC＝6cm，则线段BD的长度是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC＝AB﹣AC＝4cm， ∵D是线段AC的中点， ∴AD＝CDAC＝3cm， ∴BD＝BC+CD＝4+3＝7（cm）， 故选：D． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段之间的和差关系是正确解答的关键． 18．（2025秋•于洪区期末）已知线段AB，延长AB到点C，使，点D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段AB的长为 　8　 ． 【分析】设线段AB的长为a，则BC，根据点C在AB的延长线上得AC＝AB+BC，再根据点D为线段AC的中点得CDAC，进而得BD＝BC﹣CD2，由此解出a＝8，继而可得线段AB的长． 【解答】解：设线段AB的长为a， ∵BCAB， ∴BC， ∵点C在AB的延长线上，如图所示： ∴AC＝AB+BC， ∵点D为线段AC的中点， ∴CDAC， ∴BD＝BC﹣CD， ∵BD＝2， ∴2， 解得：a＝8， ∴线段AB的长8． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的和关键． 19．（2023春•牟平区期中）下列说法①直线比射线长；②两点之间的距离是连接两点之间的线段；③两点之间，直线最短；④若CA＝CB，则点C是线段AB的中点．其中说法错误的是 　①②③④．　 ．（填序号） 【分析】①根据直线和射线的定义可对①进行判断； ②根据两点之间的距离是连接两点之间的线段的长度可对②进行判断； ③根据两点之间，线段最短可对③进行判断； ④根据若CA＝CB，当点A，B，C在同一条直线上时，则点C是线段AB的中点，可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵直线可以向两端无限延长，射线可以向一端无限延长， ∴直线和射线不能比较大小； ∴①不正确； ②∵两点之间的距离是连接两点之间的线段的长度， ∴②不正确； ③∵两点之间，线段最短， ∴③不正确； ④∵若CA＝CB，当点A，B，C在同一条直线上时，则点C是线段AB的中点， ∴④不正确． 综上所述：说法错误的是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】此题主要考查了直线、射线、线段、两点之间距离的定义，理解直线、射线、线段、两点之间距离的定义是解决问题的关键． 20．（2025秋•长沙县期末）如图，已知线段AB＝10cm，点M是AB的中点，点C在线段MB上，且 MC＝2cm． （1）求线段AC的长； （2）若点N是AC的中点，求线段MN的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义求出AM的长度，再根据AC＝AM+MC求解即可； （2）根据线段中点的定义求出NC的长度，再根据MN＝NC﹣MC求解即可． 【解答】解：（1）∵AB＝10cm，点M是AB的中点， ∴， ∴AC＝AM+MC＝5+2＝7cm； （2）∵AC＝7cm，点N是AC的中点， ∴， ∴MN＝NC﹣MC＝3.5﹣2＝1.5cm． 【点评】本题考查了线段的和差，有关线段中点的计算，准确找到线段间的关系为解题关键． 21．（2025秋•红古区期末）如图，线段AB上有C，D两点，且AC＝BD，M，N分别是线段AC，AD的中点． （1）若AB＝20cm，AC＝BD＝16cm，求线段MN的长； （2）在（1）的条件下，若E是线段AB上一点，且，求线段AE的长． 【分析】（1）根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可； （2）根据线段的和差关系以及点E的不同位置，分两种情况分别进行解答即可． 【解答】解：（1）∵AB＝20cm，AC＝BD＝16cm， ∴AD＝AB﹣BD＝20﹣16＝4（cm）＝BC， 又∵M，N分别是线段AC，AD的中点， 所以AM＝CMAC＝8cm，AN＝DNAD＝2cm， ∴MN＝AM﹣AN＝8﹣2＝6（cm）， 答：MN＝6cm； （2）∵AC＝16cm，AD＝4cm， CD＝AC﹣AD＝16﹣4＝12（cm）， 所以CECD12＝2.4（cm）， ①当点E在点C的左边时， AE＝AC﹣CE＝16﹣2.4＝13.6（cm）； ②当点E在点C的右边时， AE＝AC+CE＝16+2.4＝18.4（cm）． 综上所述，AE的长为13.6cm或18.4cm． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键． 22．（2025秋•黔东南州期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝14cm，CB＝6cm，D，E分别是AC，AB的中点． （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若点F在直线AB上，且BF＝4cm，求DF的长度． 【分析】此题考查两点之间的距离，根据线段的和差计算即可． 【解答】解：（1）∵AC＝14cm，点D是AC的中点， ∴AD； （2）∵AC＝14cm，CB＝6cm， ∴AB＝AC+CB＝14+6＝20（cm）， ∵点E是AB的中点，∴AE， ∴DE＝AE﹣AD＝10﹣7＝3（cm）； （3）∵AC＝14cm，CB＝6cm， ∴AB＝AC+CB＝20（cm）， 由（1）AD＝7cm， ∴DB＝AB﹣AD＝20﹣7＝13（cm）． 若点F在点B的左侧，BF＝4cm，则DF＝DB﹣BF＝13﹣4＝9（cm）； 若点F在点B的右侧，则DF＝DB+BF＝13+4＝17（cm）． 综上，DF的长度为9cm或17cm． 【点评】此题考查了两点之间的距离，计算线段的和差是关键． 【考点5】比较线段的长短（第23-26题） · 数线段条数：从每个端点出发按顺序计数，避免重复 · 比较长短可用刻度尺测量或叠合法 · 线段与射线、直线不能比较长短 · 含“若AB<CD”的比较：两边同时加公共线段后比较 23．（2024秋•锡山区校级月考）若点O是线段AB的中点，则下列关系不正确的是（　　） A．OA＝OB B． C．AB＝2OB D．AB＜OB 【分析】通过线段中点的定义即可作答． 【解答】解：∵点O 线段AB的中点， ∴OA＝OB，OAAB，AB＝2OB． 故选：D． 【点评】本题主要考查比较线段的长短、两点间的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．有如图两条线段，比较其中a，b的长度，则结论是a　＝　 b．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】用刻度尺对两条线段进行测量即可． 【解答】解：用刻度尺测量后，线段a与b的长度相等． 故答案为：＝． 【点评】本题考查了比较线段长短，正确进行测量是解题关键． 25．（2022秋•襄都区校级期中）图中所给出的线段中，最短的线段是 AC ． 【分析】以A为圆心AC为半径画圆，可得：AB＞AC；以B为圆心BA为半径画圆，可得：AB＝BC，即可得出答案． 【解答】解：以A为圆心AC为半径画圆，可得：AB＞AC； 以B为圆心BA为半径画圆，可得：AB≈BC； ∴AB≈BC＞AC， ∴图中所给出的线段中，最短的线段是AC． 故答案为：AC． 【点评】本题考查了线段的比较大小，学会用线段的比较大小是解题的关键． 26．（2024秋•淮北期末）如图，已知点B，C在线段AD上． （1）图中共有　6　 条线段． （2）若AB＜CD． ①比较线段的长短：AC　＜　 BD（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②若AD＝30cm，BC＝12cm，点M是AB的中点，点N是CD的中点，求线段MN的长度． 【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD； （2）①依据AB＜CD，即可得到AB+BC＜CD+BC，进而得出AC＜BD； ②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度． 【解答】解：（1）以A为端点的线段有AB，AC，AD共3条， 以B为端点的线段有BC，BD共2条， 以C为端点的线段为CD，有1条， 故共有线段的条数为：3+2+1＝6， 故答案为：6； （2）①若AB＜CD，则AB+BC＜CD+BC， 即AC＜BD， 故答案为：＜； ②若AD＝30cm，BC＝12cm，点M是AB的中点，点N是CD的中点， 如图： ∵AD＝30cm，BC＝12cm， ∴AB+CD＝AD﹣BC＝18cm， ∵，， ∴， ∴MN＝BM+CN+BC＝9+12＝21cm． 【点评】本题考查了两点间的距离以及线段的和差关系．正确进行计算是解题关键． 【考点6】线段的和与差（第27-32题） · 设未知数表示各段长度，利用中点和倍分关系列方程 · 中点到两端距离相等，可把复杂线段转化为简单和差 · 延长线上的点注意方向，画图辅助分析 · 动点问题先表示出各点位置，再列式求解 27．（2025秋•安宁区校级期末）如图，点B，D在线段AC上，，E是AB的中点，F是CD的中点，EF＝7.5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x．根据线段中点的定义可得，DF＝2x．根据EF＝7.5建立方程，解方程，即可求解． 【解答】解：设BD＝x， ∵， 则AB＝3x，CD＝4x， ∵线段AB，CD的中点分别是E，F， ∴，DF＝2x（线段中点的性质）， ∵EF＝7.5， ∴1.5x+2x﹣x＝7.5， 解得x＝3， ∴AB＝3x＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了线段和差的计算，线段中点的定义，解题的关键是能根据题意得出方程． 28．（2026秋•同步）延长线段AB到点C，使得BC，则AC：AB＝（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 【分析】根据题意，画出图形，由，可得：AB＝2BC．设BC＝x，则AB＝2x，AC＝AB+BC＝2x+x＝3x，即可得出AC：AB的值． 【解答】解：如图所示， ∵， ∴AB＝2BC． 设BC＝x，则AB＝2x，AC＝AB+BC＝2x+x＝3x， ∴AC：AB＝3x：2x＝3：2． 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 29．（2024秋•大祥区期末）如图，C，D将线段AB分成三段，其中E，F分别是线段AC，BD的中点，若AB＝20cm，CD＝6cm，那么EF＝（　　） A．14cm B．13cm C．12cm D．10cm 【分析】根据线段中点的性质，以及线段的和差的关系，可得答案． 【解答】解：∵E，F分别是线段AC，BD的中点， ∴，， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝20﹣6＝14cm， ∴， ∴EF＝EC+CD+DF＝7+6＝13cm， 故选：B． 【点评】本题考查了有关线段中点的计算，掌握线段中点的性质是解题的关键． 30．（2025秋•城阳区校级月考）若C为线段AB的中点，D在线段CB上，AD＝12，BD＝8，则CD的长度是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，先求出AB的长，再结合中点的定义求出AC的长，最后用AD减去AC即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为AD＝12，BD＝8， 所以AB＝AD+BD＝12+8＝20． 因为C为线段AB的中点， 所以AC， 所以CD＝AD﹣AC＝12﹣10＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段的和差，熟知线段中点的定义及题中各线段之间的数量关系是解题的关键． 31．（2024秋•延长县期末）如图，点B，C在线段AD上． （1）以点A为端点共有 　3　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　＝　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）； ②若AB：BD＝1：3，BC＝8，求AC的长度． 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②依据题干得AC＝3AB，则有BC＝2AB，结合已知求得AB，再利用AC＝AB+BC和差关系进行计算，即可得出AC的长． 【解答】解：（1）图中以点A为端点有线段：AB、AC、AD，共3条， 故答案为：3； （2）①∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD， 故答案为：＝； ②∵AB：BD＝1：3，AC＝BD， ∴AC＝3AB， ∴BC＝2AB， ∵BC＝8， ∴AB＝4， ∴AC＝AB+BC＝12． 【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段倍积的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． 32．（2025秋•石城县期末）已知线段AB＝9cm，点C是线段BA延长线上一个动点，D是线段BC的中点． （1）如图，若AC＝6cm，求线段AD的长； （2）若AC的长逐渐增大，则AD的长的变化趋势是　④　 ；（填序号） ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． （3）若AD＝2.5cm，画出所有符合条件的图形并分别写出线段AC的长． 【分析】（1）根据线段的和差关系求出BC的长，中点求出CD的长，再根据线段的和差关系求出AD的长即可； （2）根据线段中点的性质可进行求解； （3）由题意可分点D在线段BA上和当点D在线段BA的延长线上，进而分类求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为AC＝6cm，AB＝9cm， 所以BC＝AC+AB＝6+9＝15（cm）． 因为D是BC的中点， 所以CD7.5cm， 所以AD＝CD﹣AC＝7.5﹣6＝1.5（cm）； （2）由题知， 当AC的长逐渐增大时，线段BC的中点D由点B逐渐向点A靠近，然后再远离点A， 所以AD的长的变化趋势是先变小，后变大； 故答案为：④； （3）当点D在点A右侧时，如图所示， 因为AD＝2.5cm，AB＝9cm， 所以BD＝AB﹣AD＝9﹣2.5＝6.5（cm）， 因为D是线段BC的中点， 所以BC＝2BD＝13cm， 所以AC＝BC﹣AB＝13﹣9＝4（cm）； 当点D在点A左侧时，如图所示， 因为AD＝2.5cm，AB＝9cm， 所以BD＝AB+AD＝9+2.5＝11.5（cm）， 因为D是线段BC的中点， 所以BC＝2BD＝2×11.5＝23（cm）， 所以AC＝BC﹣AB＝23﹣9＝14（cm）． 【点评】本题主要考查了线段的和差，熟知线段中点的定义及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 【考点7】创新及压轴题（第33-35题） · 综合题先标出已知线段，再找中点与倍分关系 · 非负数和为0：绝对值与平方项分别为0，求出参数 · 数轴动点问题设未知数表示点，用距离公式列方程 · 比值条件转方程：如OB:AC=3:2化为3AC=2OB 33．（2025秋•海淀区校级期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9，BD＝2． （1）求AC的长； （2）若点E在直线AD上，且EA＝3，求BE的长． 【分析】（1）根据AC＝AD﹣CD＝AC﹣2BC，即可求出答案； （2）分点E在A的左边和右边两种情形求解即可． 【解答】解：（1）∵点B为CD的中点， ∴CB＝BD＝2， ∴CD＝BC+BD＝4， ∴AC＝AD﹣CD＝9﹣4＝5， 答：AC的长为5； （2）由题意得：EA＝3，AB＝AC+BC＝7， 当点E在线段DA的延长线上时， BE＝AB+AE＝7+3＝10， 当点E在线段AD上时， BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4， 答：BE的长为4或10． 【点评】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本题的关键． 34．已知有理数a，b满足：|a﹣4|+（3﹣b）2＝0．如图，在数轴上，O是原点，点A所对应的数是a，线段BC在直线OA上移动（点B在点C的左侧），且BC＝b． （1）填空：a＝　4　 ，b＝　3　 ； （2）当点A是线段BC的中点时，求OC的长； （3）当OB：AC＝3：2时，求AC的长． 【分析】（1）根据非负数的性质得a﹣4＝0，3﹣b＝0，据此可得a，b的值； （2）依题意得点A所对应的数是4，BC＝3，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为（t+3），再根据点A是线段BC的中点得AB＝4﹣t，AC＝t+3﹣4＝t﹣1，再根据AB＝AC得4﹣t＝t﹣1，由此解出t＝2.5，进而可得点C所对应的数为5.5，据此可OC的长； （3）由（2）可知点A所对应的数为4，点B所对应的数为t，点C所对应的数为（t+3），则OB＝|t|，AC＝|t+3﹣4|＝|t﹣1|，再根据OB：AC＝3：2得3AC＝2OB，进而得3|t﹣1|＝2|t|，由此解出t即可得AC的长． 【解答】解：（1）∵|a﹣4|≥0，（3﹣b）2≥0， 又|a﹣4|+（3﹣b）2＝0， ∴a﹣4＝0，3﹣b＝0， ∴a＝4，b＝3， 故答案为：4；3． （2）∵在数轴上，点A所对应的数是a，BC＝b， ∴点A所对应的数是4，BC＝3， 设在数轴上点B所对应的数为t， ∵点B在点C的左侧，BC＝3， ∴点C所对应的数为：（t+3）， 当点A是线段BC的中点时，则点B在点A左侧，点C在点A右侧，且AB＝AC，如图1所示： ∴AB＝4﹣t，AC＝t+3﹣4＝t﹣1， ∴4﹣t＝t﹣1， 解得：t＝2.5， ∴点C所对应的数为：t+3＝5.5， ∴OC＝5.5； （3）由（2）可知：点A所对应的数为4，点B所对应的数为t，点C所对应的数为（t+3）， ∴OB＝|t|，AC＝|t+3﹣4|＝|t﹣1|， ∵OB：AC＝3：2， ∴3AC＝2OB， ∴3|t﹣1|＝2|t|， ∴3（t﹣1）＝±2t， 由3（t﹣1）＝2t，解得：t＝3， 此时点B所对应的数为3，点C所对应的数为6，AC＝|t﹣1|＝2，如图2所示： 由3（t﹣1）＝﹣2t，解得：t＝0.6， 此时点B所对应的数为0.6，点C所对应的数为3.6，AC＝|0.6﹣1|＝0.4，如图3所示： 综上所述：AC的长为2或0.4． 【点评】此题主要非负数的性质，线段的计算，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． 35．（2025秋•庄河市期末）如图，已知点C，D分别是线段AB上的点（点C在点D的左侧），且AC＝3BD，点E为线段AB中点． （1）若AB＝10，BD＝2，求线段CD的长； （2）若，求的值． 【分析】（1）先求出AC的长，再进一步求出CD的长即可； （2）令BD＝m，CD＝n，由得出m，n的关系，再用m，n表示出AD和BC即可解决问题． 【解答】解：（1）因为BD＝2，且AC＝3BD， 所以AC＝3×2＝6， 所以CD＝AB﹣AC﹣BD＝10﹣6﹣2＝2； （2）设BD＝m，CD＝n， 则AC＝3m，BC＝m+n． 因为， 所以3mn， 整理得，m． 因为AD＝AC+CD＝3m+n，BC＝CD+DB＝n+m， 所以． 【点评】本题主要考查了线段的和差，能根据题意得出图中各线段的关系是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2021秋•连南县期末）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【分析】根据线段的性质，可得答案． 【解答】解：为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，是因为两点之间线段最短， 故选：B． 【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解题关键． 【练习 2】（2026春•莱西市期末）如图，下列说法正确的是（　　） A．点O在射线BA上 B．线段AO和线段OA是同一条线段 C．直线AO比直线BO长 D．射线OA和射线AO是同一条射线 【分析】结合图形根据点O的位置可对选项A进行判断；根据线段的定义及表示方法可对选项B进行判断；根据直线可以向两端无限延长，无法比较大小可对选项C进行判断；根据射线的定义及表示方法可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点O在射线AB上， ∴选项A不正确，不符合题意； ∵线段AO和线段OA是同一条线段， ∴选项B正确，符合题意； ∵直线可以向两端无限延长，无法比较大小， ∴选项C不正确，不符合题意； ∵射线OA和射线AO是两条不同的射线， ∴选项D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了射线，线段，直线的定义及其表示方法，熟练掌握射线，线段，直线的定义及其表示方法是解决问题的关键． 【练习 3】（2025秋•荆门校级期末）如图，C是线段AB上一点，G是AB的中点，M是AC的中点，N是BC的中点，下列结论：①MN＝GB；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据线段中点的定义以及线段和差关系逐项进行判断即可． 【解答】解：①∵G是AB的中点，M是AC的中点，N是BC的中点， ∴AG＝BGAB，AM＝CMAC，BN＝CNBC， ∴MN＝MC+CNACBCAB＝BG， 即MN＝BG， 因此①正确； ②∵AG＝BG， ∴BC＝BG﹣CG＝AG﹣CG， ∵CNBC， ∴CN（AG﹣CG）， 因此②正确； ③由②得CN（AG﹣GC）， ∴GN＝GC+CN＝GC（AG﹣GC）（AG+GC）， 因此③正确； ④∵MN＝MC+CN，而CMAC，CNBC， ∴MN（AC+BC），而BC≠CG， 因此④不正确， 综上所述，正确的有①②③； 故选：B． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键． 【练习 4】（2025秋•新昌县期末）植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．线段有两个端点 【分析】将两个树坑看作两个点，根据两点确定一条直线可知能使同一行树坑在一条直线上． 【解答】解：这样做蕴含的数学原理是两点确定一条直线． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两点确定一条直线，熟练掌握该知识点是关键． 【练习 5】（2025秋•新田县期末）如图，AB＝18cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长为（　　） A．16cm B．15cm C．14cm D．12cm 【分析】利用两点间的距离，线段的和差，线段的中点的定义解答． 【解答】解：∵AB＝18cm，C为AB的中点， ∴AC＝BC＝9cm， ∵点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3， ∴，AD＝3cm， ∴DB＝AB﹣AD＝18﹣3＝15（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了线段的和差，线段的中点，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离，线段的和差，线段的中点的定义． 【练习 6】（2025秋•岳麓区校级期末）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段有两个端点 D．经过一点有无数条直线 【分析】根据两点确定一条直线解答． 【解答】解：工人这样做应用的数学知识两点确定一条直线， 故选：B． 【点评】本题考查的是直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 【练习 7】（2023秋•台山市校级期中）阅读下面材料： 在数轴上﹣2与4所对两点之间的距离：|﹣2﹣4|＝6； 在数轴上5与﹣2所对两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7； 在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|． 回答下列问题： 如图，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，4． （1）AC＝　6　 ； （2）点G在数轴上表示的数为x，且点G到A的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝4，则x＝　2或﹣6　 ； （3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|的最小值是 　6　 ； （4）若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点N从C点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动．经过几秒后，点M，N两点间的距离为12个单位长度． 【分析】（1）利用两点间距离公式进行计算即可； （2）解绝对值方程即可； （3）根据|a+4|+|a﹣2|的几何意义求解即可； （4）分两种情况讨论：N沿x轴向左运动和向右运动再根据数轴上两点间的距离公式列绝对值方程，求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵在数轴上点A，C表示的数分别为﹣2，4， ∴AC＝|﹣2﹣4|＝6， 故答案为：6； （2）∵|x﹣（﹣2）|＝4， ∴x﹣（﹣2）＝4或x﹣（﹣2）＝﹣4， ∴x＝2或x＝﹣6． 故答案为：2或﹣6； （3）∵|a+4|+|a﹣2|表示数轴上，a对应的点到﹣4和2对应点的距离之和， ∴当a对应的点位于﹣4和2对应的点之间任意位置时，即当﹣4≤a≤2时，|a+4|+|a﹣2|最小，最小值为2﹣（﹣4）＝6． 故答案为：6； （4）设运动时间为t秒， 根据题意，得M表示的数为﹣2+5t， 当N向左运动时，N表示的数为4﹣4t， ∴MN＝|﹣2+5t﹣（4﹣4t）|＝12， 解得：t＝2或（舍去）； 当N向右运动时，N表示的数为4+4t， ∴MN＝|﹣2+5t﹣（4+4t）|＝12， 解得t＝18或t＝﹣6（舍去）， 综上，经过2或18秒后，点M，N两点间的距离为12个单位长度． 【点评】本题考查数轴上两点间的距离，整式的加减以及绝对值方程的应用．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 三线的区分看端点个数，射线表示时端点字母在前 · 两个基本事实要能联系生活现象辨析：确定直线看两点、求最短路径看线段 · “两点间的距离”是线段的长度，数轴距离用|a-b|计算 · 线段计算先画图标量，借助中点和倍分关系列方程 · 点在直线上或动点问题务必分类讨论，避免漏解 【作业 1】（2025秋•鞍山期末）环卫部门在街道两旁绿化，种植一种景观树，他们首先定出两个树坑的位置，然后再确定同一行树的树坑位置，这样可以使同一行树在一条直线上，这种做法的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线是向两方无限延伸的 D．两条直线相交有一个公共点 【分析】根据两点确定一条直线解答即可． 【解答】解：他们首先定出两个树坑的位置，然后再确定同一行树的树坑位置，这样可以使同一行树在一条直线上，这种做法的理由是：两点确定一条直线， 故选：A． 【点评】本题考查了两点之间线段最短，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•宣化区期末）如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB＝12cm，AD＝9cm．若点E在线段AB上，且CE＝2cm，则BE的长为 　4或8　 cm． 【分析】根据线段中点的定义以及点E的位置进行计算即可． 【解答】解：∵AB＝12cm，AD＝9cm， ∴DB＝AB﹣AD＝12﹣9＝3cm， ∵D为CB的中点， ∴CD＝DB＝3cm， 当点E在点C的右侧时，BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4cm， 当点E在点C的 侧左时，BE＝BC+CE＝6+2＝8cm， 故答案为：4或8． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键． 【作业 3】（2024秋•锡山区校级月考）如图，从教学楼到图书馆有三条道路，从上到下依次记为①，②，③，小明认为走第②条道路最近，其理由是 　两点之间，线段最短．　 ． 【分析】根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：从教学楼到图书馆有三条道路，从上到下依次记为①，②，③，小明认为走第②条道路最近，其理由是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点评】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键． 【作业 4】（2022秋•双流区校级期中）如图，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC．若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若已知线段AB＝20，点C是线段AB的“巧点”，则AC＝　或或10　 ． 【分析】当点C是线段AB的“巧点”时，可能有BC＝2AC、AC＝2BC和AB＝2AC＝2BC三种情况，分类讨论计算即可． 【解答】解：当点C是线段AB的“巧点”时，可能有BC＝2AC、AC＝2BC＝2BC三种情况： ①BC＝2AC时，ACAB20； ②AC＝2BC时，ACAB20； ③AB＝2AC＝2BC时，ACAB20＝10． 故答案为：或或10． 【点评】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•青山区校级期末）已知，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． （1）如果AB＝12cm，MC＝2CN，求CN的长； （2）如果AC：BC＝3：2，NB＝4cm，求AM的长． 【分析】（1）根据中点，得到CM＝AM，CN＝BN，推出AB＝AM+MC+CN+NB＝6CN，进行求解即可； （2）根据中点，得到BC＝2NB＝8cm，进而求出AC的长，再利用中点，求出AM的长即可． 【解答】解：（1）因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， 所以CM＝AM，CN＝BN． 因为MC＝2CN， 所以AB＝AM+MC+CN+NB＝6CN， 因为AB＝12cm， 所以CN＝2cm； （2）因为NB＝4cm， 所以BC＝8cm． 因为AC：BC＝3：2， 所以AC＝12cm， 所以AM＝6cm． 【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【作业 6】（2025春•栖霞市期中）观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】 （1）图中共有 　10　 条线段； 【模型构建】 （2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有 　　 条线段； 【拓展应用】 （3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 【分析】（1）根据线段的定义，找出图中线段即可； （2）根据（1）找出规律，进而得出答案； （3）①结合（2）的公式及题意即可得出答案； ②结合（2）的公式及题意即可得出答案． 【解答】解：（1）图中线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、EF， 共有10条线段． 故答案为：10． （2）1+2+3+⋯+（n﹣1） （条）． 故答案为：． （3）①1+2+3+⋯+49 ＝1225（次）， 答：总共握手1225次． ②（1+2+3+⋯+49）×2 2 ＝2450（张）， 答：总共送出名片2450张． 【点评】本题主要考查直线、线段和射线，理解题意并灵活运用是解题的关键． 【作业 7】（2026春•利津县期末）如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可； （2）根据线段中点的定义，线段的倍分关系进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点C是线段AE的中点，AC＝3， ∴AC＝CEAE＝3， ∴AE＝6， ∵DE＝2， ∴CD＝CE﹣DE＝1； （2）由于CD：AD＝1：4，设CD＝x，则AD＝4x， ∵点B是线段AD的中点， ∴AB＝BD＝2x， ∵BD﹣CD＝BC，即2x﹣x＝3， 解得x＝3， 即CD＝3＝BC， ∴AB＝BD＝6， ∴AC＝AB+BC＝9． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差、倍分关系是正确解答的关键． 【作业 8】（2024秋•白沙县期中）如图，数轴上点A、B、O、C、D分别表示﹣4，，0，2.5，6． 根据题图，回答下列问题： （1）C、B两点间的距离是多少？ （2）B、D两点间的距离是多少？ （3）A、B两点间的距离是多少？ （4）用“＜”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． 【分析】（1）根据两点间距离公式进行解答即可； （2）根据两点间距离公式进行解答即可； （3）根据两点间距离公式进行解答即可； （4）根据数轴上表示的数越向右越大，进行解答即可． 【解答】解：（1）根据两点间距离公式可知：C、B 两点间的距离是：； （2）根据两点间距离公式可知：B、D 两点间的距离是； （3）根据两点间距离公式可知：A、B 两点间的距离是； （4）根据数轴可知：． 【点评】本题主要考查了数轴上两点间距离，利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 直线、射线、线段及和差 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线、射线、线段的区别与联系，掌握它们的表示方法 · 掌握两个基本事实：两点确定一条直线、两点之间线段最短 · 理解两点间距离的定义，会用数轴上的距离公式计算 · 掌握线段中点的概念，能进行线段和差与倍分计算 · 会分类讨论解决线段长度问题与数轴动点问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段 直线没有端点，向两方无限延伸，可用两个大写字母或一个小写字母表示 射线有一个端点，向一方无限延伸，表示时端点字母在前，如射线OA 线段有两个端点，长度可以度量，可用两个端点字母表示 端点相同、方向不同则为不同的射线；同一条线段交换端点字母表示不变 概念辨析例题：下列说法正确的是（D）AB=AC-BC，如图点A，B，C在直线l上 解析：点A不在线段BC上；射线AC与射线CA端点不同方向不同，不是同一条射线；点C在线段AB的延长线上而非BA的延长线上；由图AB=AC-BC正确 ☆ 2.两个基本事实 经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线 两点之间的所有连线中，线段最短，简称两点之间线段最短 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离 生活现象：砌墙拉线、弹墨线、植树定坑、公路取直等都可由此解释 概念辨析例题：建筑工人砌墙时先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙，用哪个数学基本事实解释？ 解析：墙两端立桩相当于两个点，拉线绷直后过这两点有且只有一条直线，沿拉线砌墙即利用两点确定一条直线 ☆ 3.线段的中点与和差 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点 若点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC 线段和差：AC=AB-BC，AB=AC+BC，注意图形中点的位置 动点或点在直线上问题时，常需分情况讨论 概念辨析例题：已知点C是线段AB的中点，AC=4，点D在直线AB上且AD=3BD，求CD的长 解析：AB=2AC=8；当D在B右侧时AB=2BD=8，BD=4，CD=CB+BD=4+4=8；当D在B左侧时AB=4BD=8，BD=2，CD=CB-BD=4-2=2 ☆ 4.两点间的距离 两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，注意是长度而非线段本身 数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，则AB=|a-b|=|b-a| 线段可以比较长短，直线与射线不可比较长短 比较线段长短可用度量法（刻度尺测量）与叠合法 概念辨析例题：在数轴上点A，C表示的数分别为-2，4，求AC的长 解析：由距离公式AC=|-2-4|=6 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 直线 无端点，向两方无限延伸 不可度量，不能比较长短 射线 一个端点，向一方无限延伸 端点字母写在前面 线段 两个端点，可度量长度 可比较长短、可计算 基本事实1 两点确定一条直线 过两点有且只有一条 基本事实2 两点之间线段最短 距离是线段长度 线段中点 AC=BC=AB 点必须在线段上且平分 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线、射线、线段（第1-4题） · 区分三线看端点：直线无端点、射线一个、线段两个 · 射线表示时端点字母在前，方向不同则不是同一条射线 · 同一图形中数射线：每个点向两侧各一条射线 · 平面被直线分割：画图分情况讨论相交与平行 1．（2025秋•长安区校级月考）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（　　） A．点A在线段BC上 B．射线AC与射线CA是同一条射线 C．点C在线段BA的延长线上 D．图中共6条射线 2．（2026春•岱岳区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段AB到C B．射线BC经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线CD与线段AB没有交点 3．（2025秋•南昌期末）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（　　） A．点A在线段BC上 B．射线AC与射线CA是同一条射线 C．点C在线段BA的延长线上 D．AB＝AC﹣BC 4．（2024秋•玄武区校级月考）若平面内两条直线l1、l2，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（　　）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【考点2】两点确定一条直线（第5-9题） · 识别“拉线、弹墨线、立桩”等生活现象对应的基本事实 · 区分三个原理：两点确定一条直线、两点之间线段最短、点动成线 · 过任意四点中的两点画直线：按共线情况分类（1条/4条/6条） · 表示直线用两个大写字母或一个小写字母 5．（2026春•芝罘区期末）下列操作依据的数学道理是“两点确定一条直线”的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•淮滨县期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线 7．（2025秋•成都期末）墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线，一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点有且只有一条直线 D．点动成线 8．（2025秋•肇源县期中）经过同一平面内任意四点中，两点共可画（　　）条直线． A．1条或3条 B．2条 C．1条或4条 D．1条或4条或6条 9．（2025秋•石景山区期末）下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从A地到B地架设电线，沿着线段AB架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 【考点3】两点之间线段最短（第10-15题） · “取直、抄近路、路程最短”类问题优先想到线段最短 · 分清与“两点确定一条直线”的区别：后者用于确定直线位置 · 比例尺问题：图上距离与实际距离按比例换算 · 结合情境作答时先说明数学结论再下结论 10．（2025秋•长沙期末）小明准备从A地去往B地，手机显示两地的直线距离为8km，但手机导航提供的三条可选路线长分别为12km，11km，13km，能解释这一现象的数学结论是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．直线可以无限延长 11．（2025秋•綦江区期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．木匠弹墨线 B．打∀靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 12．（2025秋•榆林期末）如图是石家庄南绕城高速太行特长隧道．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．平面内经过一点有无数条直线 13．（2024秋•东昌区校级期末）如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学为了节省时间不走人行道而横穿草坪，试用所学数学知识来解释这个问题：______________ ． 14．（2023秋•同步）如图，小明从家到学校有4条路可走． （1）路程最短的是哪一条？请说明你的理由． （2）如果如图比例尺是1：100000，请你算出小明家到学校的实际距离． 15．（2023秋•商河县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室A到图书馆B，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所 在的直线，这里用到的数学知识是 _____________ ． 你赞同以上哪种做法？________ （填情境一或情境二） 【考点4】两点间的距离（第16-22题） · 中点定义：把线段分成两条相等线段的点 · 求距离时用和差关系逐步转化，注意点的位置 · 点在直线上（可能在延长线上）时分类讨论 · “两点之间的距离是线段的长度”，不是线段本身 16．（2023秋•公安县期末）若点C是线段AB的中点，AC＝4，点D在直线AB上，且AD＝3BD，则线段CD的长为（　　） A．2 B．12 C．4或6 D．2或8 17．（2026春•芝罘区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点，若AB＝10cm，AC＝6cm，则线段BD的长度是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 18．（2025秋•于洪区期末）已知线段AB，延长AB到点C，使，点D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段AB的长为 _____ ． 19．（2023春•牟平区期中）下列说法①直线比射线长；②两点之间的距离是连接两点之间的线段；③两点之间，直线最短；④若CA＝CB，则点C是线段AB的中点．其中说法错误的是 __________ ．（填序号） 20．（2025秋•长沙县期末）如图，已知线段AB＝10cm，点M是AB的中点，点C在线段MB上，且 MC＝2cm． （1）求线段AC的长； （2）若点N是AC的中点，求线段MN的长． 21．（2025秋•红古区期末）如图，线段AB上有C，D两点，且AC＝BD，M，N分别是线段AC，AD的中点． （1）若AB＝20cm，AC＝BD＝16cm，求线段MN的长； （2）在（1）的条件下，若E是线段AB上一点，且，求线段AE的长． 22．（2025秋•黔东南州期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝14cm，CB＝6cm，D，E分别是AC，AB的中点． （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若点F在直线AB上，且BF＝4cm，求DF的长度． 【考点5】比较线段的长短（第23-26题） · 数线段条数：从每个端点出发按顺序计数，避免重复 · 比较长短可用刻度尺测量或叠合法 · 线段与射线、直线不能比较长短 · 含“若AB<CD”的比较：两边同时加公共线段后比较 23．（2024秋•锡山区校级月考）若点O是线段AB的中点，则下列关系不正确的是（　　） A．OA＝OB B． C．AB＝2OB D．AB＜OB 24．有如图两条线段，比较其中a，b的长度，则结论是a _____ b．（填“＞”“＜”或“＝”） 25．（2022秋•襄都区校级期中）图中所给出的线段中，最短的线段是 _______ ． 26．（2024秋•淮北期末）如图，已知点B，C在线段AD上． （1）图中共有_____ 条线段． （2）若AB＜CD． ①比较线段的长短：AC_____ BD（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②若AD＝30cm，BC＝12cm，点M是AB的中点，点N是CD的中点，求线段MN的长度． 【考点6】线段的和与差（第27-32题） · 设未知数表示各段长度，利用中点和倍分关系列方程 · 中点到两端距离相等，可把复杂线段转化为简单和差 · 延长线上的点注意方向，画图辅助分析 · 动点问题先表示出各点位置，再列式求解 27．（2025秋•安宁区校级期末）如图，点B，D在线段AC上，，E是AB的中点，F是CD的中点，EF＝7.5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 28．（2026秋•同步）延长线段AB到点C，使得BC，则AC：AB＝（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 29．（2024秋•大祥区期末）如图，C，D将线段AB分成三段，其中E，F分别是线段AC，BD的中点，若AB＝20cm，CD＝6cm，那么EF＝（　　） A．14cm B．13cm C．12cm D．10cm 30．（2025秋•城阳区校级月考）若C为线段AB的中点，D在线段CB上，AD＝12，BD＝8，则CD的长度是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（2024秋•延长县期末）如图，点B，C在线段AD上． （1）以点A为端点共有 _____ 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC _____ BD（填“＞”“＜”或“＝”）； ②若AB：BD＝1：3，BC＝8，求AC的长度． 32．（2025秋•石城县期末）已知线段AB＝9cm，点C是线段BA延长线上一个动点，D是线段BC的中点． （1）如图，若AC＝6cm，求线段AD的长； （2）若AC的长逐渐增大，则AD的长的变化趋势是_____ ；（填序号） ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． （3）若AD＝2.5cm，画出所有符合条件的图形并分别写出线段AC的长． 【考点7】创新及压轴题（第33-35题） · 综合题先标出已知线段，再找中点与倍分关系 · 非负数和为0：绝对值与平方项分别为0，求出参数 · 数轴动点问题设未知数表示点，用距离公式列方程 · 比值条件转方程：如OB:AC=3:2化为3AC=2OB 33．（2025秋•海淀区校级期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9，BD＝2． （1）求AC的长； （2）若点E在直线AD上，且EA＝3，求BE的长． 34．已知有理数a，b满足：|a﹣4|+（3﹣b）2＝0．如图，在数轴上，O是原点，点A所对应的数是a，线段BC在直线OA上移动（点B在点C的左侧），且BC＝b． （1）填空：a＝_____ ，b＝_____ ； （2）当点A是线段BC的中点时，求OC的长； （3）当OB：AC＝3：2时，求AC的长． 35．（2025秋•庄河市期末）如图，已知点C，D分别是线段AB上的点（点C在点D的左侧），且AC＝3BD，点E为线段AB中点． （1）若AB＝10，BD＝2，求线段CD的长； （2）若，求的值． 📝 随堂检测 【练习 1】（2021秋•连南县期末）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【练习 2】（2026春•莱西市期末）如图，下列说法正确的是（　　） A．点O在射线BA上 B．线段AO和线段OA是同一条线段 C．直线AO比直线BO长 D．射线OA和射线AO是同一条射线 【练习 3】（2025秋•荆门校级期末）如图，C是线段AB上一点，G是AB的中点，M是AC的中点，N是BC的中点，下列结论：①MN＝GB；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【练习 4】（2025秋•新昌县期末）植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．线段有两个端点 【练习 5】（2025秋•新田县期末）如图，AB＝18cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长为（　　） A．16cm B．15cm C．14cm D．12cm 【练习 6】（2025秋•岳麓区校级期末）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段有两个端点 D．经过一点有无数条直线 【练习 7】（2023秋•台山市校级期中）阅读下面材料： 在数轴上﹣2与4所对两点之间的距离：|﹣2﹣4|＝6； 在数轴上5与﹣2所对两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7； 在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|． 回答下列问题： 如图，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，4． （1）AC＝_____ ； （2）点G在数轴上表示的数为x，且点G到A的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝4，则x＝_________ ； （3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|的最小值是 _____ ； （4）若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点N从C点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动．经过几秒后，点M，N两点间的距离为12个单位长度． 💯 课后巩固 复习建议 · 三线的区分看端点个数，射线表示时端点字母在前 · 两个基本事实要能联系生活现象辨析：确定直线看两点、求最短路径看线段 · “两点间的距离”是线段的长度，数轴距离用|a-b|计算 · 线段计算先画图标量，借助中点和倍分关系列方程 · 点在直线上或动点问题务必分类讨论，避免漏解 【作业 1】（2025秋•鞍山期末）环卫部门在街道两旁绿化，种植一种景观树，他们首先定出两个树坑的位置，然后再确定同一行树的树坑位置，这样可以使同一行树在一条直线上，这种做法的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线是向两方无限延伸的 D．两条直线相交有一个公共点 【作业 2】（2025秋•宣化区期末）如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB＝12cm，AD＝9cm．若点E在线段AB上，且CE＝2cm，则BE的长为 ________ cm． 【作业 3】（2024秋•锡山区校级月考）如图，从教学楼到图书馆有三条道路，从上到下依次记为①，②，③，小明认为走第②条道路最近，其理由是 _______________ ． 【作业 4】（2022秋•双流区校级期中）如图，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC．若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若已知线段AB＝20，点C是线段AB的“巧点”，则AC＝____________________ ． 【作业 5】（2025秋•青山区校级期末）已知，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． （1）如果AB＝12cm，MC＝2CN，求CN的长； （2）如果AC：BC＝3：2，NB＝4cm，求AM的长． 【作业 6】（2025春•栖霞市期中）观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】 （1）图中共有 _______ 条线段； 【模型构建】 （2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有 ____________________ 条线段； 【拓展应用】 （3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 【作业 7】（2026春•利津县期末）如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 【作业 8】（2024秋•白沙县期中）如图，数轴上点A、B、O、C、D分别表示﹣4，，0，2.5，6． 根据题图，回答下列问题： （1）C、B两点间的距离是多少？ （2）B、D两点间的距离是多少？ （3）A、B两点间的距离是多少？ （4）用“＜”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $