第10讲 整式的加减 优等生讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第10讲 整式的加减 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握去括号法则与合并同类项法则，能正确进行整式加减运算 · 会用整式加减解决“值与字母无关”的求参问题 · 能从图形中提取数量关系，列代数式表示周长与面积 · 能根据图形或数字的变化规律，归纳并书写通项规律 · 能阅读纠错类题目，找出运算错误并写出正确的化简过程 📚 知识梳理 ☆ 1.整式加减 整式加减的本质是去括号后合并同类项 合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变 结果通常按某个字母的降幂（或升幂）排列书写 “值与字母无关”问题：合并后含该字母项的系数之和为0 概念辨析例题：化简(2a2b-ab2)-2(ab2+3a2b) 解析：先去括号得2a2b-ab2-2ab2-6a2b，再合并同类项：a2b项的系数为2-6=-4，ab2项的系数为-1-2=-3 ☆ 2.去括号法则 括号前是“+”号，去括号后各项不变号 括号前是“-”号，去括号后各项都变号 括号前有数字因数时，先乘进括号内各项再判断符号 去括号时注意符号错误：如-2(ab-2y3)去括号得-2ab+4y3 概念辨析例题：化简-4y3-(3xy2-x2y)-2(xy2-2y3) 解析：第一个括号前为“-”，去括号各项变号；-2(xy2-2y3)去括号得-2xy2+4y3，再合并同类项：y3项-4+4=0，xy2项-3-2=-5 ☆ 3.图形中的代数式 用字母表示图形的边长、周长、面积，再按整式加减化简 图形拼接问题先设辅助未知数，用其表示各图形的边长 阴影部分面积＝大面积－空白面积（割补法） 周长问题抓住线段的平移对应关系，避免重复或遗漏 概念辨析例题：长方形一边为3a+5b，另一边为a-2b，求周长 解析：周长=2[(3a+5b)+(a-2b)]=2(4a+3b)=8a+6b ☆ 4.规律探究 观察序号与各项系数、指数的对应关系 用含n的代数式表示第n项（通项公式） 求和问题先找相邻两项的和或分组规律 新定义数类问题先读懂定义，再转化为整式运算 概念辨析例题：观察多项式x-3x2+5x3-7x4+...，写出它的第5项 解析：系数依次为1、-3、5、-7……绝对值为连续奇数且符号交替，第5项系数为9；指数等于项数5，故第5项为9x5 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 合并同类项 系数相加，字母与指数不变 只有同类项才能合并 去括号法则 括号前“-”号，各项变号 数字因数先乘进括号再判断 整式加减 去括号＋合并同类项 结果按降幂排列书写 值与字母无关 含该字母项的系数之和为0 先合并再令系数为0 图形问题 列代数式表示周长、面积 注意线段间的对应关系 规律探究 找通项公式 系数、符号、指数分别找规律 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式的加减（第1-4题） · 先化简再求值：去括号→合并同类项→代入数值 · “与x无关”问题：合并后令含x项的系数为0，解出参数 · 整体代入：将已知等式整体代入目标代数式的变形结果 · 被墨水遮盖类问题：设未知项为待定式，比较两边系数 1．（2025秋•仙游县期中）已知k为常数，且多项式（2x2+3）﹣（1﹣kx2）的值与x无关，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【分析】首先去括号、合并同类项，再结合含x项的系数为零，即可得到关于k的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（2x2+3）﹣（1﹣kx2） ＝2x2+3﹣1+kx2 ＝（2+k）x2+2， ∵多项式（2x2+3）﹣（1﹣kx2）的值与x无关， ∴2+k＝0， 解得k＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了整式加减中的无关问题，掌握和运用整式加减中的无关问题的解决方法是关键． 2．（2025秋•岱岳区期末）已知m2+2mn＝3，2n2+3mn＝5，则代数式2m2+13mn+6n2的值是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【分析】用提取公因式的方法将代数式进行变形，再将数值代入求值． 【解答】解：2m2+13mn+6n2 ＝2m2+4mn+9mn+6n2 ＝2（m2+2mn）+3（2n2+3mn）， 把m2+2mn＝3，2n2+3mn＝5代入， 则：2（m2+2mn）+3（2n2+3mn） ＝2×3+3×5 ＝21， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减和用代数式求值，关键将整式变形为含有所给数值的代数式． 3．（2026•宁明县三模）已知非负实数x，y满足3x+y﹣4＝0和2x﹣y+z＝0，则下列式子正确的是（　　） A．x﹣z＝4 B．0≤x≤1 C．5y﹣3z＝8 D．z≥0 【分析】根据题意将3x+y﹣4＝0和2x﹣y+z＝0变形即可求解． 【解答】解：∵3x+y﹣4＝0， ∴y＝4﹣3x， ∵x，y为非负实数， ∴y＝4﹣3x≥0， 解得， ∴， 已知2x﹣y+z＝0， 将y＝4﹣3x代入，得2x﹣（4﹣3x）+z＝0， ∴z＝4﹣5x． A，x﹣z＝4，把z＝4﹣5x代入，得x﹣（4﹣5x）＝6x﹣4＝4， 解得， 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误； B，0≤x≤1， ∵， ∴B错误； C，5y﹣3z＝8， 把y＝4﹣3x，z＝4﹣5x代入左边， 得5（4﹣3x）﹣3（4﹣5x）＝20﹣15x﹣12+15x＝8， 与右边相等，因此C正确； 选项D，z≥0，当x＝1时，z＝4﹣5×1＝﹣1＜0，因此D错误． 故选：C． 【点评】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2025秋•岱岳区期末）下面是小芳做的一道运算题：+y2．但她不小心把一滴墨水滴在了上面，阴影部分即为被墨水弄污的部分，那么被墨水遮住的一项应是（　　） A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy 【分析】先将等号左边的式子去括号，再合并同类项，然后与等号右边的部分比较即可得出结果． 【解答】解：原式 ∵小芳做的一道运算题： +y2， ∴被墨水遮住的一项应是+xy， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【考点2】算得准不准（第5-8题） · 去括号时注意括号前是负号，各项都要变号 · 合并同类项只合并系数，字母与指数保持不变 · 纠错类题目先定位出错步骤，再写出正确过程 · 化简结果按降幂排列，便于与标准答案对照 5．（2025秋•红古区期末）已知多项式A＝2x2﹣4y2+4，B＝3x2+2y2﹣5，求A+2B． 【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解答】解：根据题意得：A+2B＝2x2﹣4y2+4+2（3x2+2y2﹣5） ＝2x2﹣4y2+4+6x2+4y2﹣10 ＝8x2﹣6． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 6．（2025秋•亭湖区月考）计算与化简： （1）（﹣2）2+23×（﹣3﹣1）÷|1﹣（﹣3）2|； （2）（﹣8x+7y）+2（4x﹣6y）． 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝4+8×（﹣4）÷|1﹣9| ＝4+8×（﹣4）÷8 ＝4﹣4 ＝0； （2）原式＝﹣8x+7y+8x﹣12y ＝﹣5y． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，去括号，合并同类项法则． 7．（2025秋•榆树市期末）化简： （1）5a2﹣7﹣3a﹣5+a﹣2a2； （2）（2a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b）． 【分析】（1）根据合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【解答】解：（1）5a2﹣7﹣3a﹣5+a﹣2a2 ＝（5﹣2）a2+（﹣3+1）a+（﹣7﹣5） ＝3a2﹣2a﹣12； （2）（2a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b） ＝2a2b﹣ab2﹣2ab2﹣6a2b ＝﹣3ab2﹣4a2b． 【点评】此题考查了整式的加减法，正确掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． 8．（2025秋•潞州区期末）下面是小新同学进行整式加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． ﹣4y3﹣（3xy2﹣x2y）﹣2（xy2﹣2y3） ＝﹣4y3﹣（3xy2﹣x2y）﹣（2xy2﹣4y3）…第一步 ＝﹣4y3﹣3xy2+x2y﹣2xy2﹣4y3…第二步 ＝﹣8y3﹣5xy2+x2y…第三步 任务一： ①第一步的依据是　乘法分配律　 ． ②第　二　 步开始出现错误，这一步的错误原因是　去第二个括号时﹣4y3未变号　 ． 任务二：请写出正确的计算过程． 【分析】任务一：①根据乘法的分配律即可得；②根据去括号法则即可得； 任务二：根据整式的加减法则进行计算即可得． 【解答】解：任务一：①根据题意及乘法的分配律可得： 第一步运算的依据是乘法的分配律， 故答案为：乘法的分配律； ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去第二个括号时﹣4y3未变号， 故答案为：二；去第二个括号时﹣4y3未变号； 任务二：原式＝﹣4y3﹣3xy2+x2y﹣（2xy2﹣4y3） ＝﹣4y3﹣3xy2+x2y﹣2xy2+4y3 ＝﹣5xy2+x2y． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键． 【考点3】图形问题（第9-16题） · 设辅助未知数表示图形边长，再列代数式化简 · 阴影部分周长：通过线段平移转化为整体量 · 面积问题：大面积减空白面积，或用割补法 · 实际问题先读懂表格信息，再分情况列式 9．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，如要求出阴影部分周长的差，只需知道a，b，c，d中的一个量即可，则要知道的那个量是（　　） A．a B．b C．c D．d 【分析】欲了解两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，正方形①的边长为c，正方形②的边长为b，正方形③的边长为a．进而推断出C阴影六边形＝2a+2b+2（d﹣a）＝2b+2d以及C阴影四边形＝2c+2（d﹣c）＝2d．那么两个阴影部分的周长之差为2b，所以只需要知道正方形②的边长，即知道b就可以知道两个阴影部分的周长． 【解答】解：观察图形可知，正方形①的边长为c，正方形②的边长为b，正方形③的边长为a． 则C阴影六边形＝2a+2b+2（d﹣a）＝2b+2d， C阴影四边形＝2c+2（d﹣c）＝2d， C阴影六边形﹣C阴影四边形＝2b+2d﹣2d＝2b． 故选：B． 【点评】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算是解决本题的关键． 10．（2026•江岸区一模）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被7整除，则满足条件的M的最大值为（　　） A．9863 B．9753 C．8972 D．8822 【分析】根据“天真数”的定义可得a﹣d＝6，b﹣c＝2，化简得c+d＝（a+b）﹣8，代入得P（M）＝4（a+b）﹣8，要使M最大，则令a＝9，可得7+b，再根据能被7整除及2≤b≤9，即可求解． 【解答】解：对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”． 根据题意得a﹣d＝6，b﹣c＝2，其中6≤a≤9，2≤b≤9， ∴（a﹣d）+（b﹣c）＝6+2， ∴c+d＝（a+b）﹣8， ∴P（M）＝3（a+b）+c+d＝4（a+b）﹣8， 当a＝9时，7+b， ∵能被7整除，2≤b≤9， ∴b＝7， ∴满足条件的M的最大值为9753． 故选：B． 【点评】本题考查了整式加减的应用，掌握相关知识点并理解“天真数”的定义是解题关键． 11．（2023秋•滨湖区期中）如图，把两个正方形放置在周长为2m的长方形ABCD内，两个正方形的周长和为2n，则这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（　　） A．m+n B．2n﹣2m C．n﹣m D．2n﹣m 【分析】设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，然后根据长方形周长公式分别得到x+y＝n，x+y﹣b+x+y﹣a＝m，由此即可得到答案． 【解答】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b， ∵两个正方形的周长和为2n， ∴4x+4y＝2n， ∴x+yn， ∴BC＝x+y﹣b，AB＝x+y﹣a， ∵长方形ABCD的周长为2m， ∴BC+AB＝m， ∴x+y﹣b+x+y﹣a＝m， ∴n﹣a﹣b＝m， ∴a+b＝n﹣m， ∴2（a+b）＝2n﹣2m， ∴阴影部分的周长为（2n﹣2m）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意求出a+b＝n﹣m是解题的关键． 12．（2025秋•南安市期中）数学活动课上，趣味小组的亮亮、睿睿、浩浩三位同学做了一个有趣的游戏．游戏开始时他们手中卡片数量相同，然后依次完成下面三个步骤：第一步，亮亮拿出5张卡片给睿睿；第二步，睿睿拿出3张卡片给浩浩；第三步，亮亮手中此时有多少张卡片，睿睿就拿出多少张卡片给亮亮．则第三步结束后睿睿手中卡片有（　　） A．3张 B．5张 C．7张 D．9张 【分析】设游戏开始时，亮亮、睿睿、浩浩三人手中的卡片数都为x张．亮亮拿出5张给睿睿，此时睿睿的卡片数变为（x+5）张，亮亮此时的卡片数为（x﹣5）张，睿睿拿出3张给浩浩，此时睿睿的卡片数变为（x+5）﹣3＝（x+2）张，睿睿拿出与亮亮此时卡片数相同的数量给亮亮，即拿出（x﹣5）张，香香的卡片数为：（x+2）﹣（x﹣5），求出结果即可． 【解答】解：设游戏开始时，亮亮、睿睿、浩浩三人手中的卡片数都为x张． 亮亮拿出5张给睿睿，此时睿睿的卡片数变为（x+5）张，亮亮此时的卡片数为（x﹣5）张， 睿睿拿出3张给浩浩，此时睿睿的卡片数变为（x+5）﹣3＝（x+2）张， 香香的最终卡片数为：（x+2）﹣（x﹣5） ＝x+2﹣x+5 ＝7（张）． 答：第三步结束后香香手中卡片有7张． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减、列代数式，解决本题的关键是通过设未知数，根据步骤分析卡片数量的变化来求解． 13．（2025秋•秦皇岛期末）已知一个三位数，其百位数字为x，十位数字比百位数字小2，个位数字比百位数字的2倍大3．用代数式表示这个三位数为（　　） A．x（x﹣2）（2x+3） B．100x+10（x﹣2）+2x+3 C．100x+10（x+2）+2x﹣3 D．100x+10（x﹣2）+2x﹣3 【分析】根据百位、十位、个位数字的关系，直接列出代数式表示三位数． 【解答】解：∵十位数字比百位数字小2，百位数字为x， ∴十位数字为x﹣2． ∵个位数字比百位数字的2倍大3， ∴个位数字为2x+3． ∴用代数式表示这个三位数为：100x+10（x﹣2）+（2x+3）， 故选：B． 【点评】本题考查了列代数式，十进制整数及表示方法，解题关键是掌握十进制数表示方法． 14．（2025秋•江苏期末）已知A＝3x2+8x+1，B＝a（x2﹣2）﹣b（2x+3）．若A+B的值与x的取值无关，则a+b＝　1　 ． 【分析】理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为0，掌握合并同类项法则即可求解． 【解答】解：A+B＝3x2+8x+1+a（x2﹣2）﹣b（2x+3） ＝3x2+8x+1+ax2﹣2a﹣2bx﹣3b ＝（3+a）x2+（8﹣2b）x+（1﹣2a﹣3b）， 因为A+B的值与x的取值无关，所以x的各项系数为0，可得 8﹣2b＝0，3+a＝0， 解得b＝4，a＝﹣3， 则a+b＝﹣3+4＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（2025秋•南陵县期末）如图，某公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成长方形花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为　（a﹣b）　 米，花圃的长BC为　（2a﹣2b﹣1）　 米；（用含a、b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a、b的式子表示） （3）若a＝20，b＝5，篱笆的单价为80元/米，请计算篱笆的总价． 【分析】（1）根据题意，结合图形，把花圃的长、宽用代数式表示出来即可； （2）结合图形，篱笆的总长度为花圃的两条宽和一边长的和； （3）结合题意，用总长度乘每米的造价，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵长方形土地的宽为a米，小路的宽都是b米， ∴花圃的宽AB为（a﹣b）米， ∵长方形土地的长为（2a﹣1）米，小路的宽都是b米， ∴花圃的长BC为2a﹣1﹣2b＝（2a﹣2b﹣1）米， 故答案为：（a﹣b），（2a﹣2b﹣1）； （2）篱笆的总长度为BC+2AB＝（2a﹣2b﹣1）+2（a﹣b） ＝2a﹣2b﹣1+2a﹣2b ＝（4a﹣4b﹣1）米； （3）当a＝20，b＝5时， 4a﹣4b﹣1＝4×20﹣4×5﹣1＝59（米）， ∵篱笆的单价为80元/米， ∴全部篱笆的造价为59×80＝4720（元）， 答：全部篱笆的造价为4720元． 【点评】本题考查了列代数式，整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的运算是解题的关键． 16．（2025秋•临渭区期末）综合与实践 素材1 如图1是某学校操场最内侧跑道的平面图（可剖分为两个大小相同的半圆和一个长方形），该跑道由两段等长的直道和两段相等的半圆形弯道组成，其中直道的长记为am，半圆形弯道的直径记为bm． 素材2 如图1，为了设计田赛比赛场地，某兴趣小组通过查阅资料，得知学校操场最内侧跑道的周长为：160+40π（m）． 素材3 如图2，该兴趣小组设计了“投铅球”项目的圆形比赛场地（阴影部分）和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），r＝10m． 任务1 分析数量关系 （1）分别求出a，b的值； 任务2 确定场地面积 （2）先用含a，b，r的代数式表示两项比赛场地的总面积S（阴影部分面积的和），再求S的值（π取3）． 【分析】（1）根据题意，学校操场最内侧的跑道长＝两端直道长+两端半圆形的弯道长，即2a+πb＝160+40π，据此即可求出a，b的长度； （2）两项比赛场地的总面积S＝圆的面积+四边形阴影面积＝圆的面积+长方形面积的一半﹣三角形的面积，据此即可用含a，b，r的代数式表示出两项比赛场地的总面积S，再将a，b，r的值代入计算即可求出S的值． 【解答】解：（1）由题意得，2a+πb＝160+40π， ∴2a＝160，πb＝40π， ∴a＝80，b＝40； （2）先用含a，b，r的代数式表示两项比赛场地的总面积S（阴影部分面积的和）， 由题意得， ， 将a＝80，b＝40，r＝10代入，得： ＝300+1600﹣1400+700 ＝1200m2． 【点评】本题主要考查了列代数式和代数式求值，熟练掌握圆的周长公式、圆的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 【考点4】规律总结题（第17-19题） · 符号规律：奇偶项交替变号，用(-1)n+1表示 · 系数规律：连续奇数、偶数或其他数列，先写通项 · 数字谜题类问题：设数字各数位为未知数，列方程 · 新定义数类：严格按定义验证条件，用代数推理求解 17．（2024秋•拱墅区校级期末）观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+⋯的构成规律，则： （1）它的第5项是　9x5 ； （2）当x＝1时，多项式前200项的和为　﹣200　 ． 【分析】（1）由原多项式，观察其x的指数由一次到二次…次数逐渐增大，次数为连续的自然数，系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数，从而得到结果； （2）当x＝1时，得到1﹣3+5﹣7+…+397﹣399，共400个数相加，相邻两个数之和为﹣2，共分为100组，从而得到结果． 【解答】解：（1）∵多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+⋯ ∴经观察可知：x的指数由一次到二次…次数逐渐增大，次数为连续的自然数， 系数为1，﹣3，5，﹣7……系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数， ∴多项式的第5项是9x5， 故答案为：9x5； （2）∵当x＝1时，多项式的前200项和为1﹣3+5﹣7+…+397﹣399， ∴1﹣3+5﹣7+…+397﹣399 ＝（1﹣3）+（5﹣7）+…+（397﹣399） ＝﹣2×100 ＝﹣200． 故答案为：﹣200． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 18．（2025秋•渝中区校级期末）一个四位自然数（其中a，b，c，d为整数，且1≤a，b，c，d≤9），若满足a+d＝b+c＝12，则称这个四位数为“十二和数”．例如：四位数3579，因3+9＝5+7＝12，所以3579是“十二和数”．已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是　9753　 ；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记．若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为　3087　 ． 【分析】根据所给条件可得百位数字为7，千位数字为9，再由a+d＝12，求出d＝3，则可求这个“十二和数”是9753；根据题意分别求出10a+b﹣10，2，则3a+2b﹣10能被11整除，a+b能被4整除，分类讨论即可求解． 【解答】解：∵“十二和数”的十位数字为5， ∴百位数字为7， ∵百位数字比千位数字小2， ∴千位数字为9， ∵a+d＝12， ∴d＝3， ∴这个“十二和数”是9753； ∵M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000d+100c+10b+a， ∴Q（M）＝101a+10b﹣10d， ∴10a+b﹣10，， ∵a+d＝b+c＝12， ∴2， ∵与均为整数， ∴3a+2b﹣10能被11整除，a+b能被4整除， 当a+b＝4时，a＝13（舍）； 当a+b＝8时，a＝5，b＝3，c＝9，d＝7； 当a+b＝12时，a＝8，b＝4，c＝8，d＝4； 当a+b＝16时，a＝0（舍）； ∴M的最大值为8484，最小为5397， ∴M的最大值与最小值的差为3087， 故答案为：9753；3087． 【点评】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 19．（2024秋•长寿区期末）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x），例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）431，则f（4532）＝ 　231　 ；若四位数x＝1000a+100b+10c+d，满足100a+10b+c+168＝111d，f（x）＝7﹣25d，则x＝ 　6097　 ． 【分析】根据新定义，仿照示例，即可求出f（4532）；表示出四位数x及新的四位数y，代入f（x），求出d的值，再把d的值，代入到100a+10b+c+168＝111d中，求出a，b，c，即可得到x． 【解答】解：∵x＝4532，y＝2453， ∴f（4532）231； ∵四位数x＝1000a+100b+10c+d， ∴新的四位数y＝1000d+100a+10b+c， ∴f（x） ＝100a+10b+c﹣111d， ∵100a+10b+c+168＝111d， ∴100a+10b+c﹣111d＝﹣168， ∴f（x）＝﹣168， ∵f（x）＝7﹣25d， ∴7﹣25d＝﹣168， 解得d＝7， 把d＝7，代入100a+10b+c+168＝111d， 得100a+10b+c＝111×7﹣168＝609， ∴a＝6，b＝0，c＝9，d＝7， ∴x＝6097． 【点评】本题考查了整式的加减运算，读懂题意，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【考点5】创新及压轴题（第20-21题） · 纠错题按步骤定位错误：去括号、合并、符号三步逐一检查 · “标准答案与字母无关”转化为对应项系数为0 · 含不确定系数时先合并含参项，再根据条件解参数 · 化简后代入数值求值，注意符号运算的准确性 20．（2025秋•潮阳区期末）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． （2a2b﹣5ab）﹣2（a2b﹣ab） ＝2a2b﹣5ab﹣2a2b﹣2ab第一步 ＝2a2b﹣2a2b﹣5ab﹣2ab第二步 ＝﹣7ab第三步 （1）以上步骤第一步是进行　去括号　 ，依据是　去括号法则　 ； （2）以上步骤第　一　 步开始出现错误． （3）请你进行正确化简，并求当a＝2，b＝﹣3时，式子的值． 【分析】（1）根据运算步骤即可求得答案； （2）根据运算步骤即可求得答案； （3）将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【解答】解：（1）步骤第一步是进行去括号，依据是去括号法则； 故答案为：去括号；去括号法则； （2）第一步出现错误； 故答案为：一； （3）（2a2b﹣5ab）﹣2（a2b﹣ab） ＝2a2b﹣5ab﹣2a2b+2ab ＝2a2b﹣2a2b﹣5ab+2ab ＝﹣3ab， 把a＝2，b＝﹣3代入﹣3ab中，可得：﹣3×2×（﹣3）＝18． 【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 21．（2025秋•辽源期末）小洁在求多项式△x2+6x+8与6x+15x2﹣1的差时，发现系数“△”印刷不清楚． （1）她把“△”猜成18，请细心的你帮小洁求出两多项式的差． （2）小洁的妈妈说：“你猜错了，我查到的该题的标准答案与字母x无关”，则聪明的你也判断下小洁该将“△”猜成多少？ 【分析】（1）将Δ＝18代入，去括号、合并同类项即可得； （2）去括号、合并同类项后根据结果为常数知含x的项的系数为0，得出△﹣15＝0，据此得出△的值． 【解答】解：（1）（18x2+6x+8）﹣（6x+15x2﹣1） ＝18x2+6x+8﹣6x﹣15x2+1 ＝3x2+9； （2）（△x2+6x+8）﹣（6x+15x2﹣1） ＝△x2+6x+8﹣6x﹣15x2+1 ＝（△﹣15）x2+9 ∵标准答案与字母x无关， ∴△﹣15＝0， ∴Δ＝15． 【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•南昌期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为C1，C2，C3，C4，长方形⑤的周长为C5，整个大长方形的周长为C，则下列关系式不正确的是（　　） A．C1+C2＝C3 B．C＝2C5 C．C1+2C2＝C4 D．C1+C2+C5＝C 【分析】根据题意，设正方形①②的边长分别为a，b，结合图形，表示出四个正方形，和长方形的周长，即可判断各选项． 【解答】解：设正方形①②的边长分别为a，b， 则正方形③的边长为（a+b）， 正方形④的边长为a+（a+b）＝2a+b， 长方形⑤的长为2a+b+a＝3a+b，宽为b﹣a， 大长方形的长为a+b+2a+b＝3a+2b，宽为a+2b， ∴C1＝4a，C2＝4b，C3＝4a+4b， C4＝4（2a+b）＝8a+4b， C5＝2（3a+b）+2（b﹣a）＝4a+4b， C＝2（3a+2b）+2（a+2b）＝8a+8b， A．C1+C2＝C3，该关系式成立，不符合题意； B．C＝8a+8b，2C5＝2（4a+4b）＝8a+8b，该关系式成立，不符合题意； C．C1+2C2＝4a+2×4b＝4b+8b，C4＝8a+4b，故关系式不成立，符合题意； D．C1+C2+C5＝4a+4b+（4a+4b）＝8a+8b，C＝8a+8b，该关系式成立，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【练习 2】（2025•南山区）如图，从边长为a+5的大正方形纸片中剪去一个边长为a+1的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（　　） A．2a+10 B．2a+6 C．8a+24 D．8a+8 【分析】根据图形可以发现后来剪拼成的长方形的长为原来大正方形的边长与剪下的小正方形的边长之和．后来剪拼成的长方形的长为（a+5）+（a+1），然后去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（a+5）+（a+1）＝2a+6． 答：长方形的长为2a+6． 故选：B． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式，解题的关键是可以发现后来剪拼成的长方形的长为原来大正方形的边长与剪下的小正方形的边长之和． 【练习 3】（2025秋•应县期末）如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为x，方框正中心的数为y，若y＝nx，则n的值为　　 ． 【分析】先根据中间数和日历的特征表示出其余8个数，然后根据方框内的9个数的和为x，构建x、y之间的关系，即可求解． 【解答】解：将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为x，方框正中心的数为y， 根据题意，得：其余八个数依次为y﹣8，y﹣7，y﹣6，y﹣1，y+1，y+6，y+7，y+8， ∴x＝y﹣8+y﹣7+y﹣6+y﹣1+y+y+1+y+6+y+7+y+8＝9y， 又y＝nx， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式加减的应用，等式的性质，正确进行计算是解题关键． 【练习 4】（2025秋•广州期末）一个长方形的一边为3a+5b，另一边长为a﹣2b，则周长为　8a+6b ． 【分析】先根据长方形的周长公式列式，然后利用整式的加减运算法则计算即可． 【解答】解：根据长方形的周长公式列式可得： 2[（3a+5b）+（a﹣2b）] ＝2（3a+5b+a﹣2b） ＝8 a+6b． 故答案为：8a+6b． 【点评】本题主要考查了整式加减运算的应用，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 去括号时牢记“负号变号、数字先乘进去”，从源头避免符号错误 · 合并同类项只动系数，字母与指数照抄，最后按降幂排列 · “值与字母无关”问题：先合并，令含该字母项的系数为0 · 图形问题善用设辅助未知数与平移法，把周长面积用代数式表示 · 规律题分别观察符号、系数、指数三者的变化，写出通项后再作答 【作业 1】（2025•南山区）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是（　　） A．4m B．3m+2n C．2m+3n D．6n 【分析】设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），根据长方形周长公式计算即可． 【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b（a＞b）， 则a+3b＝m， 阴影部分的周长为：2m+2（m﹣3b）+2（n﹣3b）+4（n﹣a） ＝2m+2m﹣6b+2n﹣6b+4n﹣4a ＝4m+6n﹣4（a+3b） ＝4m+6n﹣4m ＝6n， 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式、长方形的周长，解答本题的关键是明确整式的加减运算的计算方法和整体代入的思想． 【作业 2】（2024秋•九龙坡区期末）已知无论x，y取什么值，多项式（2x2﹣my+9）﹣（nx2﹣5y﹣4）的值都等于定值13，则m+n＝　7　 ． 【分析】先对多项式化简整理，结合题意，得到x2，y前的系数为0，从而得到m，n的值，可得到结果． 【解答】解：（2x2﹣my+9）﹣（nx2﹣5y﹣4） ＝2x2﹣my+9﹣nx2+5y+4 ＝（2﹣n）x2+（5﹣m）y+13， ∵多项式（2x2﹣my+9）﹣（nx2﹣5y﹣4）的值都等于定值13， ∴2﹣n＝0，5﹣m＝0， ∴n＝2，m＝5， ∴m+n＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【作业 3】（2024春•南岸区校级月考）如果一个自然数A能分解成：A＝M×N，其中M和N都是两位数，且M与N的十位数字之和为8，个位数字之和为7，则称A为“霸气数”，把A分解成A＝M×N的过程叫做“霸气分解”．例如：因为1472＝23×64，2+6＝8，3+4＝7，所以1472是“霸气数”；因为391＝23×17，2+1≠8，所以391不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为 　1892　 ；若自然数A是“霸气数”，“霸气分解”为A＝M×N，将M的个位数字与N的十位数字之和记为P（A），将M的十位数字与N的个位数字之和记为Q（A），若为整数，则满足条件的自然数A的最大值为 　1886　 ． 【分析】根据“霸气数”的定义，结合有理数的四则运算分类讨论即可得解． 【解答】解：设A为“霸气数”，令A＝M×N，M＝10a+b（且a，b整数），则N＝10（8﹣a）+（7﹣b），再设M≤N， 则 1≤a≤4，0≤b≤7， ∴M＝10，N＝77或M＝11，N＝76或M＝12，N＝75或M＝13，N＝74或M＝14，N＝73或M＝15，N＝72或M＝16，N＝71或M＝17，N＝70；或M＝20，N＝67 或M＝21，N＝66或M＝22，N＝65或M＝23，N＝64或M＝24，N＝63或M＝25，N＝62或M＝26，N＝61或M＝27，N＝60；或M＝30，N＝57或M＝31，N＝56 或M＝32，N＝55或M＝33，N＝54或M＝34，N＝53或M＝35，N＝52或M＝36，N＝51或M＝37，N＝50；或M＝40，N＝47或M＝41，N＝46或M＝42，N＝45 或M＝43，N＝44或M＝44，N＝43 或M＝45，N＝42或M＝46，N＝41或M＝47，N＝40； ∴A可以为770或836或900或962或1022或108或1136或1190或1340或1386或1430或1472或1512或1550或1586或1620或1710或1736或1760或1782或1802或1820或1836或 1850或1880或1886或1890或1892或1892或1890或1886或1880， ∴最大的“霸气数”为1892； ∵将M的个位数字与N的十位数字之和记为P（A），将M的十位数字与N的个位数字之和记为Q（A），M＝10a+b（且a，b整数），则N＝10（8﹣a）+（7﹣b）， ∴P（A）＝b+8﹣a，Q（A）＝a+7﹣b， ∴， ∵为整数， ∴a﹣b+7＝±1或a﹣b+7＝±3或a﹣b+7＝±5或a﹣b+7＝±15， ∴当a＝1时，b＝7或b＝9（舍去）或b＝5或b＝11（舍去）或b＝3或b＝13（舍去）或b＝﹣1（舍去）或b＝23（舍去）； 当a＝2时，b＝8（舍去）或b＝10（舍去）或b＝6或b＝12（舍去）或b＝4或b＝14（舍去）或b＝﹣6（舍去）或b＝24（舍去）； 当a＝3时，b＝9（舍去）或b＝11（舍去）或b＝7或b＝13（舍去）或b＝5或b＝15（舍去）或b＝﹣5（舍去）或b＝25（舍去）； 当a＝4时，b＝10（舍去）或b＝12（舍去）或b＝8（舍去）或b＝14（舍去）或b＝6或b＝16（舍去）或b＝﹣4（舍去）或b＝26（舍去）； ∴M＝17，N＝70或M＝15，N＝72或M＝13，N＝74或M＝26，N＝61或M＝24，N＝63或M＝35，N＝52或M＝46，N＝41； ∴A可以为1190或1080或962或1586或1512或1820或1886， ∴自然数A的最大值为1886； 故答案为：1892，1886． 【点评】本题主要考查了列代数式，有理数的运算，准确理解新定义“霸气数”的含义是解题的关键． 【作业 4】（2026•温县模拟）将正奇数按照如图方式排列，我们称“3”是第2行第2个数，“15”是第4行第3个数，若“2023”是第m行第n个数，则m+n的和为 　67　 ． 【分析】根据题意可知第m行有m个连续的奇数，由2023是第1012个奇数，可得2023是在第45组内，据此可得m、n的值，从而得出答案． 【解答】解：由题意可知，第m行有m个连续的奇数， ∵在1到2023中，有1011个偶数，有1012个奇数， ∴2023是第1012个奇数， ∵第m组有m个奇数，则第44组有44个奇数，最后一个数是1+2+3+...+44990， ∴第44组内最后一个奇数是第990个奇数， 同理，在第45组有45个奇数，45+990＝1035， ∴第45组内最后一个奇数是第1035个奇数， ∵990＜1012＜1035， ∴2023是在第45组内，故m＝45， ∴n＝1012﹣990＝22， ∴m+n＝45+22＝67． 故答案为：67． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚行数与数的个数之间的关系． 【作业 5】（2025秋•竞秀区期末）棋子游戏：如图，有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚．按如下顺序进行操作： 第1次：从左边一堆中取出3枚放入中间一堆； 第2次：从右边一堆中取出4枚放入中间一堆； 第3次：从中间一堆中取出与右边一堆剩余棋子数相同的棋子数放入右堆． （1）若每堆均有棋子7枚，那么第1次操作结束后，中间一堆棋子的数量是　10　 枚； （2）3次操作结束后，若右边一堆比左边一堆多15枚棋子，问最初每堆有多少枚棋子？ （3）嘉嘉认为：“3次操作结束后，中间一堆的棋子数目与开始所放棋子数目无关”．你认为嘉嘉的说法正确吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得中间一堆有7+3＝10枚棋子； （2）设最初每堆m枚棋子，根据题意求出右边一堆有（2m﹣8）枚棋子，左边一堆有（m﹣3）枚棋子，再求解即可； （3）根据（2）可知第三次后中间一堆有11枚棋子，由此求解即可． 【解答】解：（1）第1次：从左边一堆中取出3枚放入中间一堆， ∴中间一堆有7+3＝10枚棋子， 故答案为：10； （2）设最初每堆m枚棋子， 第一次后中间一堆有（m+3）枚棋子，左边一堆有（m﹣3）枚棋子， 第二次后中间一堆有（m+7）枚棋子，右边一堆有（m﹣4）枚棋子， 第三次后中间一堆有m+7﹣m+4＝11枚棋子，右边一堆有（2m﹣8）枚棋子， ∵右边一堆比左边一堆多15枚棋子， ∴2m﹣8﹣m+3＝15， 解得m＝20， ∴最初每堆有20枚棋子； （3）嘉嘉的说法正确，理由如下： 由（2）可知，第三次后中间一堆有m+7﹣m+4＝11枚棋子， ∴嘉嘉的说法正确． 【点评】本题考查整式的加减法，熟练掌握整式的加减法运算法则是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•朔州期末）综合与实践 问题情境：某水上景区提供快艇租赁服务，收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分 15公里以内（含15公里）不收费；超过15公里，超过的部分按1元/公里 （注：租赁费用由里程费、时长费、远途费三部分构成） 问题解决： （1）小涵一家租赁一艘快艇，行驶里程为10公里，租赁时间为40分钟，小涵一家需支付的费用为　40　 元； （2）小琳一家租赁一艘快艇，行驶里程为m（m＞15，m为正整数）公里，租赁时间为n（n为正整数）分钟，求小琳一家需支付的费用； （3）若小悦和小爽各租赁一艘快艇，小悦比小爽的行驶里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），直接写出他们的租赁时长相差多少分钟． 【分析】（1）根据10公里，40分钟，计算总费用＝10×2+0.5×40＝40（元）； （2）多于15公里时，超过15公里的部分，按1元/公里，支付费用是三部分的和； （3）分类讨论不大于15公里，大于15公里两种情况，设出行驶的里程，与时长，根据计费项目相同列出代数式，求解即可． 【解答】解：（1）已知行驶里程10公里（＜15公里，无远途费），租赁时间40分钟，里程费：10×2＝20元时长费：40×0.5＝20元总费用：20+20＝40元， 故答案为：40； （2）小琳一家的费用计算行驶里程m公里（m＞15），租赁时间n分钟．里程费：2m元时长费：0.5n元远途费：超过15公里的部分为（m﹣15）公里，费用（m﹣15）×1元总费用：2m+0.5n+（m﹣15）＝3m+0.5n﹣15元 （3））小悦与小爽的租赁时长差设小爽的行驶里程为x公里，租赁时长为t分钟；小悦的行驶里程为（x﹣3）公里，租赁时长为t′分钟，根据计费项目相同， 分两种情况讨论： 情况 1：两人里程均不大于15公里（无远途费） 小悦费用：2（x﹣3）+0.5t′ 小爽费用：2x+0.5t由“小悦多付6元”得：2（x﹣3）+0.5t′＝2x+0.5t+6， 化简：2x﹣6+0.5t′＝2x+0.5t+6， 【作业 7】5（t′﹣t）＝12， t′﹣t＝24， 情况 2：两人里程均大于15公里（有远途费） 小悦费用：3（x﹣3）+0.5t′﹣15 小爽费用：3x+0.5t﹣15由“小悦多付6元”得：3（x﹣3）+0.5t′﹣15＝3x+0.5t﹣15+6， 化简：3x﹣9+0.5t′﹣15＝3x+0.5t﹣9， 【作业 8】5（t′﹣t）＝15， t′﹣t＝30， 综合得出租赁时长相差24分钟或30分钟． 【点评】本题考查了：分段计算能力：远途费的分段规则（15 公里内免费，超 15 公里额外收费）需要清晰的逻辑判断．代数式化简：第二问对含字母的费用表达式进行合并同类项，锻炼代数运算能力．分类讨论思想：第三问需根据“计费项目相同”分“有/无远途费”两种情况，能够对列表信息读懂，分段分析是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•浉河区期末）如图，长为50cm，宽为（4a+3）cm的大长方形被分割为8小块，除阴影部分A，B外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为acm． （1）每个小长方形较长的一边长是 　（50﹣3a）　 cm，阴影部分B的较短的一边长是 　（7a﹣47）　 cm（用含a的式子表示）； （2）当a＝10时，求阴影部分A，B的周长之和的值． 【分析】（1）根据大长方形的长“3个小长方形短边长+小长方形长边长＝50”，求出小长方形较长边长为50﹣3a；再根据大长方形的宽“大长方形的宽 ＝ 小长方形较长边长+小长方形短边长＝（4a+3）﹣（50﹣3a）”，求出阴影B较短边长为7a﹣47． （2）先分别分析阴影A、B的长和宽，再根据周长公式列出周长之和的代数式16a+12，最后代入a＝10计算得172． 【解答】解：（1）由题意得大长方形的宽为（4a+3）cm，由图可知，大长方形的宽等于3个小长方形的短边长加上阴影部分B的较短边长． 因此，阴影部分B的较短边长为（4a+3）﹣（50﹣3a）＝7a﹣47． 故答案为：（50﹣3a），（7a﹣47）． （2）阴影A的长为（50﹣3a）cm，宽为（4a+3）﹣3a＝（a+3）cm． 阴影B的长为3acm，宽为（7a﹣47）cm． 阴影A的周长为2[（50﹣3a）+（a+3）]， 阴影B的周长为2[3a+（7a﹣47）]． ∴2[（50﹣3a）+（a+3）]+2[3a+（7a﹣47）] ＝106﹣4a+20a﹣94 ＝16a+12， 代入a＝10： ∴16×10+12＝160+12＝172． ∴阴影部分A、B的周长之和为172． 【点评】本题考查长方形的边长关系与周长计算，运用数形结合思想和代数运算方法．解题关键是通过大长方形的长、宽与小长方形边长的关系，用含a的式子表示未知边长；易错点是对图形中边长的数量关系分析错误，导致代数式列错，或周长计算时忽略图形的拼接关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 整式的加减 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握去括号法则与合并同类项法则，能正确进行整式加减运算 · 会用整式加减解决“值与字母无关”的求参问题 · 能从图形中提取数量关系，列代数式表示周长与面积 · 能根据图形或数字的变化规律，归纳并书写通项规律 · 能阅读纠错类题目，找出运算错误并写出正确的化简过程 📚 知识梳理 ☆ 1.整式加减 整式加减的本质是去括号后合并同类项 合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变 结果通常按某个字母的降幂（或升幂）排列书写 “值与字母无关”问题：合并后含该字母项的系数之和为0 概念辨析例题：化简(2a2b-ab2)-2(ab2+3a2b) 解析：先去括号得2a2b-ab2-2ab2-6a2b，再合并同类项：a2b项的系数为2-6=-4，ab2项的系数为-1-2=-3 ☆ 2.去括号法则 括号前是“+”号，去括号后各项不变号 括号前是“-”号，去括号后各项都变号 括号前有数字因数时，先乘进括号内各项再判断符号 去括号时注意符号错误：如-2(ab-2y3)去括号得-2ab+4y3 概念辨析例题：化简-4y3-(3xy2-x2y)-2(xy2-2y3) 解析：第一个括号前为“-”，去括号各项变号；-2(xy2-2y3)去括号得-2xy2+4y3，再合并同类项：y3项-4+4=0，xy2项-3-2=-5 ☆ 3.图形中的代数式 用字母表示图形的边长、周长、面积，再按整式加减化简 图形拼接问题先设辅助未知数，用其表示各图形的边长 阴影部分面积＝大面积－空白面积（割补法） 周长问题抓住线段的平移对应关系，避免重复或遗漏 概念辨析例题：长方形一边为3a+5b，另一边为a-2b，求周长 解析：周长=2[(3a+5b)+(a-2b)]=2(4a+3b)=8a+6b ☆ 4.规律探究 观察序号与各项系数、指数的对应关系 用含n的代数式表示第n项（通项公式） 求和问题先找相邻两项的和或分组规律 新定义数类问题先读懂定义，再转化为整式运算 概念辨析例题：观察多项式x-3x2+5x3-7x4+...，写出它的第5项 解析：系数依次为1、-3、5、-7……绝对值为连续奇数且符号交替，第5项系数为9；指数等于项数5，故第5项为9x5 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 合并同类项 系数相加，字母与指数不变 只有同类项才能合并 去括号法则 括号前“-”号，各项变号 数字因数先乘进括号再判断 整式加减 去括号＋合并同类项 结果按降幂排列书写 值与字母无关 含该字母项的系数之和为0 先合并再令系数为0 图形问题 列代数式表示周长、面积 注意线段间的对应关系 规律探究 找通项公式 系数、符号、指数分别找规律 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式的加减（第1-4题） · 先化简再求值：去括号→合并同类项→代入数值 · “与x无关”问题：合并后令含x项的系数为0，解出参数 · 整体代入：将已知等式整体代入目标代数式的变形结果 · 被墨水遮盖类问题：设未知项为待定式，比较两边系数 1．（2025秋•仙游县期中）已知k为常数，且多项式（2x2+3）﹣（1﹣kx2）的值与x无关，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 2．（2025秋•岱岳区期末）已知m2+2mn＝3，2n2+3mn＝5，则代数式2m2+13mn+6n2的值是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 3．（2026•宁明县三模）已知非负实数x，y满足3x+y﹣4＝0和2x﹣y+z＝0，则下列式子正确的是（　　） A．x﹣z＝4 B．0≤x≤1 C．5y﹣3z＝8 D．z≥0 4．（2025秋•岱岳区期末）下面是小芳做的一道运算题：+y2．但她不小心把一滴墨水滴在了上面，阴影部分即为被墨水弄污的部分，那么被墨水遮住的一项应是（　　） A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy 【考点2】算得准不准（第5-8题） · 去括号时注意括号前是负号，各项都要变号 · 合并同类项只合并系数，字母与指数保持不变 · 纠错类题目先定位出错步骤，再写出正确过程 · 化简结果按降幂排列，便于与标准答案对照 5．（2025秋•红古区期末）已知多项式A＝2x2﹣4y2+4，B＝3x2+2y2﹣5，求A+2B． 6．（2025秋•亭湖区月考）计算与化简： （1）（﹣2）2+23×（﹣3﹣1）÷|1﹣（﹣3）2|； （2）（﹣8x+7y）+2（4x﹣6y）． 7．（2025秋•榆树市期末）化简： （1）5a2﹣7﹣3a﹣5+a﹣2a2； （2）（2a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b）． 8．（2025秋•潞州区期末）下面是小新同学进行整式加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． ﹣4y3﹣（3xy2﹣x2y）﹣2（xy2﹣2y3） ＝﹣4y3﹣（3xy2﹣x2y）﹣（2xy2﹣4y3）…第一步 ＝﹣4y3﹣3xy2+x2y﹣2xy2﹣4y3…第二步 ＝﹣8y3﹣5xy2+x2y…第三步 任务一： ①第一步的依据是__________ ． ②第_____ 步开始出现错误，这一步的错误原因是___________________ ． 任务二：请写出正确的计算过程． 【考点3】图形问题（第9-16题） · 设辅助未知数表示图形边长，再列代数式化简 · 阴影部分周长：通过线段平移转化为整体量 · 面积问题：大面积减空白面积，或用割补法 · 实际问题先读懂表格信息，再分情况列式 9．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，如要求出阴影部分周长的差，只需知道a，b，c，d中的一个量即可，则要知道的那个量是（　　） A．a B．b C．c D．d 10．（2026•江岸区一模）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被7整除，则满足条件的M的最大值为（　　） A．9863 B．9753 C．8972 D．8822 11．（2023秋•滨湖区期中）如图，把两个正方形放置在周长为2m的长方形ABCD内，两个正方形的周长和为2n，则这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（　　） A．m+n B．2n﹣2m C．n﹣m D．2n﹣m 12．（2025秋•南安市期中）数学活动课上，趣味小组的亮亮、睿睿、浩浩三位同学做了一个有趣的游戏．游戏开始时他们手中卡片数量相同，然后依次完成下面三个步骤：第一步，亮亮拿出5张卡片给睿睿；第二步，睿睿拿出3张卡片给浩浩；第三步，亮亮手中此时有多少张卡片，睿睿就拿出多少张卡片给亮亮．则第三步结束后睿睿手中卡片有（　　） A．3张 B．5张 C．7张 D．9张 13．（2025秋•秦皇岛期末）已知一个三位数，其百位数字为x，十位数字比百位数字小2，个位数字比百位数字的2倍大3．用代数式表示这个三位数为（　　） A．x（x﹣2）（2x+3） B．100x+10（x﹣2）+2x+3 C．100x+10（x+2）+2x﹣3 D．100x+10（x﹣2）+2x﹣3 14．（2025秋•江苏期末）已知A＝3x2+8x+1，B＝a（x2﹣2）﹣b（2x+3）．若A+B的值与x的取值无关，则a+b＝_____ ． 15．（2025秋•南陵县期末）如图，某公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成长方形花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为__________ 米，花圃的长BC为______________ 米；（用含a、b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a、b的式子表示） （3）若a＝20，b＝5，篱笆的单价为80元/米，请计算篱笆的总价． 16．（2025秋•临渭区期末）综合与实践 素材1 如图1是某学校操场最内侧跑道的平面图（可剖分为两个大小相同的半圆和一个长方形），该跑道由两段等长的直道和两段相等的半圆形弯道组成，其中直道的长记为am，半圆形弯道的直径记为bm． 素材2 如图1，为了设计田赛比赛场地，某兴趣小组通过查阅资料，得知学校操场最内侧跑道的周长为：160+40π（m）． 素材3 如图2，该兴趣小组设计了“投铅球”项目的圆形比赛场地（阴影部分）和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），r＝10m． 任务1 分析数量关系 （1）分别求出a，b的值； 任务2 确定场地面积 （2）先用含a，b，r的代数式表示两项比赛场地的总面积S（阴影部分面积的和），再求S的值（π取3）． 【考点4】规律总结题（第17-19题） · 符号规律：奇偶项交替变号，用(-1)n+1表示 · 系数规律：连续奇数、偶数或其他数列，先写通项 · 数字谜题类问题：设数字各数位为未知数，列方程 · 新定义数类：严格按定义验证条件，用代数推理求解 17．（2024秋•拱墅区校级期末）观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+⋯的构成规律，则： （1）它的第5项是________ ； （2）当x＝1时，多项式前200项的和为_________ ． 18．（2025秋•渝中区校级期末）一个四位自然数（其中a，b，c，d为整数，且1≤a，b，c，d≤9），若满足a+d＝b+c＝12，则称这个四位数为“十二和数”．例如：四位数3579，因3+9＝5+7＝12，所以3579是“十二和数”．已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是_________ ；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记．若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为_________ ． 19．（2024秋•长寿区期末）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x），例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）431，则f（4532）＝ ________ ；若四位数x＝1000a+100b+10c+d，满足100a+10b+c+168＝111d，f（x）＝7﹣25d，则x＝ _________ ． 【考点5】创新及压轴题（第20-21题） · 纠错题按步骤定位错误：去括号、合并、符号三步逐一检查 · “标准答案与字母无关”转化为对应项系数为0 · 含不确定系数时先合并含参项，再根据条件解参数 · 化简后代入数值求值，注意符号运算的准确性 20．（2025秋•潮阳区期末）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． （2a2b﹣5ab）﹣2（a2b﹣ab） ＝2a2b﹣5ab﹣2a2b﹣2ab第一步 ＝2a2b﹣2a2b﹣5ab﹣2ab第二步 ＝﹣7ab第三步 （1）以上步骤第一步是进行________ ，依据是__________ ； （2）以上步骤第_____ 步开始出现错误． （3）请你进行正确化简，并求当a＝2，b＝﹣3时，式子的值． 21．（2025秋•辽源期末）小洁在求多项式△x2+6x+8与6x+15x2﹣1的差时，发现系数“△”印刷不清楚． （1）她把“△”猜成18，请细心的你帮小洁求出两多项式的差． （2）小洁的妈妈说：“你猜错了，我查到的该题的标准答案与字母x无关”，则聪明的你也判断下小洁该将“△”猜成多少？ 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•南昌期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为C1，C2，C3，C4，长方形⑤的周长为C5，整个大长方形的周长为C，则下列关系式不正确的是（　　） A．C1+C2＝C3 B．C＝2C5 C．C1+2C2＝C4 D．C1+C2+C5＝C 【练习 2】（2025•南山区）如图，从边长为a+5的大正方形纸片中剪去一个边长为a+1的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（　　） A．2a+10 B．2a+6 C．8a+24 D．8a+8 【练习 3】（2025秋•应县期末）如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为x，方框正中心的数为y，若y＝nx，则n的值为__________________ ． 【练习 4】（2025秋•广州期末）一个长方形的一边为3a+5b，另一边长为a﹣2b，则周长为__________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 去括号时牢记“负号变号、数字先乘进去”，从源头避免符号错误 · 合并同类项只动系数，字母与指数照抄，最后按降幂排列 · “值与字母无关”问题：先合并，令含该字母项的系数为0 · 图形问题善用设辅助未知数与平移法，把周长面积用代数式表示 · 规律题分别观察符号、系数、指数三者的变化，写出通项后再作答 【作业 1】（2025•南山区）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是（　　） A．4m B．3m+2n C．2m+3n D．6n 【作业 2】（2024秋•九龙坡区期末）已知无论x，y取什么值，多项式（2x2﹣my+9）﹣（nx2﹣5y﹣4）的值都等于定值13，则m+n＝_____ ． 【作业 3】（2024春•南岸区校级月考）如果一个自然数A能分解成：A＝M×N，其中M和N都是两位数，且M与N的十位数字之和为8，个位数字之和为7，则称A为“霸气数”，把A分解成A＝M×N的过程叫做“霸气分解”．例如：因为1472＝23×64，2+6＝8，3+4＝7，所以1472是“霸气数”；因为391＝23×17，2+1≠8，所以391不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为 _________ ；若自然数A是“霸气数”，“霸气分解”为A＝M×N，将M的个位数字与N的十位数字之和记为P（A），将M的十位数字与N的个位数字之和记为Q（A），若为整数，则满足条件的自然数A的最大值为 _________ ． 【作业 4】（2026•温县模拟）将正奇数按照如图方式排列，我们称“3”是第2行第2个数，“15”是第4行第3个数，若“2023”是第m行第n个数，则m+n的和为 _______ ． 【作业 5】（2025秋•竞秀区期末）棋子游戏：如图，有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚．按如下顺序进行操作： 第1次：从左边一堆中取出3枚放入中间一堆； 第2次：从右边一堆中取出4枚放入中间一堆； 第3次：从中间一堆中取出与右边一堆剩余棋子数相同的棋子数放入右堆． （1）若每堆均有棋子7枚，那么第1次操作结束后，中间一堆棋子的数量是_______ 枚； （2）3次操作结束后，若右边一堆比左边一堆多15枚棋子，问最初每堆有多少枚棋子？ （3）嘉嘉认为：“3次操作结束后，中间一堆的棋子数目与开始所放棋子数目无关”．你认为嘉嘉的说法正确吗？请说明理由． 【作业 6】（2025秋•朔州期末）综合与实践 问题情境：某水上景区提供快艇租赁服务，收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分 15公里以内（含15公里）不收费；超过15公里，超过的部分按1元/公里 （注：租赁费用由里程费、时长费、远途费三部分构成） 问题解决： （1）小涵一家租赁一艘快艇，行驶里程为10公里，租赁时间为40分钟，小涵一家需支付的费用为_______ 元； （2）小琳一家租赁一艘快艇，行驶里程为m（m＞15，m为正整数）公里，租赁时间为n（n为正整数）分钟，求小琳一家需支付的费用； （3）若小悦和小爽各租赁一艘快艇，小悦比小爽的行驶里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），直接写出他们的租赁时长相差多少分钟． 【作业 7】（2025秋•浉河区期末）如图，长为50cm，宽为（4a+3）cm的大长方形被分割为8小块，除阴影部分A，B外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为acm． （1）每个小长方形较长的一边长是 ____________ cm，阴影部分B的较短的一边长是 ____________ cm（用含a的式子表示）； （2）当a＝10时，求阴影部分A，B的周长之和的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $