第11讲 一元一次方程及其解法 优等生讲义2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第11讲 一元一次方程及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解等式的基本性质，能正确判断等式变形的对错 · 掌握一元一次方程的定义，能识别方程并求参数值 · 理解方程解的概念，会代入检验与求参数 · 掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1 · 能运用新定义运算与方程解决数轴、新运算等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等式的基本性质 等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，结果仍相等 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 等式两边不能除以0，这是运用性质时的易错点 判断变形正误时，逐一核对加减乘除是否同时作用于两边 概念辨析例题：下列变形中，不正确的是（D）若ac=bc，则a=b，为什么？ 解析：当c=0时，ac=bc=0恒成立，但a与b可以取任意值，不能由ac=bc直接推出a=b ☆ 2.一元一次方程的概念 只含一个未知数，未知数的最高次数为1，两边都是整式的方程叫一元一次方程 一般形式：ax+b=0（a≠0） 含参一元一次方程：未知数次数为1且系数不为0 分式方程（分母含未知数）和多元方程不是一元一次方程 概念辨析例题：已知(m-1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，求m的值 解析：由一元一次方程的定义：|m|=1且m-1≠0，得m=±1且m≠1，故m=-1 ☆ 3.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 检验一个数是否为方程的解：代入方程看左右两边是否相等 已知方程的解求参数：把解代入方程，建立关于参数的方程 含污染常数类问题：设常数未知，把解代入后求解 概念辨析例题：已知x=3是方程2(x-1)-a=0的解，求a的值 解析：把x=3代入方程，得2(3-1)-a=0，即4-a=0，解得a=4 ☆ 4.解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不漏乘不含分母的项 去括号注意符号变化，移项要变号，合并同类项只动系数 解得x=时注意符号，结果可代入检验 概念辨析例题：解方程-=1 解析：两边同乘6：3(x+1)-2(x+2)=6，去括号得3x+3-2x-4=6，即x-1=6，解得x=7 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等式性质1 两边同加（或减）同一个数或式子 结果仍相等 等式性质2 两边同乘同一个数，或除以同一个不为0的数 除数不能为0 一元一次方程 ax+b=0（a≠0） 未知数次数为1且系数不为0 方程的解 使方程两边相等的未知数的值 代入检验左右两边是否相等 解方程步骤 去分母→去括号→移项→合并→系数化1 去分母不漏乘、移项要变号 新定义运算 按规则转化为普通方程求解 注意分情况讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】等式的性质（第1-9题） · 逐条核对变形是否同时作用于等号两边 · 同乘或同除时，注意除数不能为0 · “不一定成立”类题目举反例：取c=0验证 · 性质1与性质2混合使用时要逐步变形，不可跳步 1．（2025秋•武冈市期末）下列等式变形中，一定正确的是（　　） A．若xy＝1，则 B．若x2＝2x，则x＝2 C．若2a﹣b＝4，则b＝﹣2a+4 D．若，则x＝﹣2 【分析】性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【解答】解：若xy＝1，那么，则A符合题意； 若x2＝2x，那么x＝2或0，则B不符合题意； 若2a﹣b＝4，那么b＝2a﹣4，则C不符合题意； 若，那么x＝﹣18，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了等式的性质，正确记忆等式的性质是解题关键． 2．（2025秋•邗江区期末）如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（　　） A．若a＝2b，则a+c＝2b+c B．若a＝2b，则a﹣c＝2b﹣c C．若a＝2b，则ac＝2bc D．若a+c＝2b+c，则a＝2b 【分析】结合图形前后变化和等式的基本性质，即可得解． 【解答】解：根据题意，设立方块为a，小球为b，圆柱体为c， 由左图可知：a＝2b， 由右图可知：a+c＝2b+c， 故选项A说法正确，符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是关键． 3．（2025秋•承德期末）若3a＝2b+4，则下列等式不一定成立的是（　　） A．3a﹣4＝2b B．3a+1＝2b+5 C．3ac＝2bc+4 D． 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．3a＝2b+4， 等式两边都减4，得3a﹣4＝2b，故本选项不符合题意； B．3a＝2b+4， 等式两边都加1，得3a+1＝2b+5，故本选项不符合题意； C．3a＝2b+4， 等式两边都乘c，得3ac＝2bc+4c，故本选项符合题意； D．3a＝2b+4， 等式两边都除以3，得ab，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 4．（2025秋•黔东南州期末）下列说法一定正确的是（　　） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则 C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若，则x＝y 【分析】根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若x＝y，则x+c＝y+c，故选项A错误； B．若x＝y，则，故选项B错误； C．若|x|＝|y|，则x＝±y，故选项C错误； D．若，则x＝y，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 5．（2024•盐田区校级开学）下列等式的性质运用错误的是（　　） A．如果a＝b，那么a+2019＝b+2019 B．如果a＝b，那么﹣5a＝﹣5b C．如果，那么a＝b D．如果a＝b，那么 【分析】根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．如果a＝b，那么a+2019＝b+2019，故选项A正确； B．如果a＝b，那么﹣5a＝﹣5b，故选项B正确； C．如果，那么a＝b，故选项C正确； D．如果a＝b，那么，故选项D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 6．（2025秋•赣州期末）下列等式变形，错误的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则 【分析】根据等式的性质对各选项判断即可． 【解答】解：A．若x＝y，则x+2＝y+2，正确，故选项A不符合题意； B．若x＝y，则3x＝3y，正确，故选项B不符合题意； C．若a+1＝b+1，则a＝b，正确，故选项C不符合题意； D．当a＝0时，由x＝y不能推出，错误，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 7．（2025秋•绵阳期末）下列变形中，不正确的是（　　） A．若﹣3﹣a＝﹣3﹣b，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解． 【解答】解：根据等式的性质逐项分析判断如下： A、若﹣3﹣a＝﹣3﹣b，等式两边同时加3，可得﹣a＝﹣b，等式两边同时除以﹣1，可得a＝b，变形正确，不合题意； B、若，等式两边同时乘3，可得a＝b，变形正确，不合题意； C、若a＝b，等式两边同时除以c2+1（c2+1≥1＞0），可得，变形正确，不合题意； D、若ac＝bc，当c＝0时，a不一定等于b，变形不正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 8．（2025秋•大田县期末）下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 【分析】等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A．如果ax＝ay（a≠0），所以ax÷a＝ay÷a（a≠0）那么x＝y，故原说法错误，不符合题意； B．如果a＝b，那么a﹣5＝b﹣5，故原说法错误，不符合题意； C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b，说法正确，符合题意； D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b﹣2，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 9．（2025秋•河东区期末）下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，或者同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立．据此逐项判断即可． 【解答】解：A、等式两边加3，得a＝b，选项变形正确，不符合题意； B、等式两边乘2，得a＝b，选项变形正确，不符合题意； C、∵c2+1≥1，分母恒不为零，等式两边除以c2+1，选项变形正确，不符合题意； D、当c＝0时，ac＝bc恒成立，但a与b可能不相等，选项变形错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是关键． 【考点2】一元一次方程的定义（第10-17题） · 识别方程：一元、次数为1、两边都是整式 · 含参定义题：未知数次数为1且系数不为0，列式求参数 · 系数含参时排除使系数为0的参数值 · 先化简再判断：合并后次数为1且整式的才是 10．（2025秋•乌海期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x+z+1＝0 B．x2﹣2x＝5 C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义即可求解． 【解答】解：A．x+z+1＝0中含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； B．x2﹣2x＝5中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，该选项不符合题意； C.是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； D.符合一元一次方程的定义，该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，理解“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 11．（2025秋•顺城区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+y＝5 B．2x+1＝0 C．xy﹣2＝3 D． 【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A、方程x+y＝5中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、方程2x+1＝0是一元一次方程，符合题意； C、方程xy﹣2＝3中含有两个未知数，且xy的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； D、方程中含有分式，不是一元一次方程，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 12．（2025秋•岳塘区期末）已知方程（m﹣1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0或1 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于m的方程，继而求出m的值． 【解答】解：根据一元一次方程的特点可得， 解得m＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义以及绝对值，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答． 13．（2025秋•永兴县期末）下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A．x+2＝﹣6 B． C．x+5y＝20 D．x2﹣17＝25x 【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一元一次方程的定义逐项判断如下： A、x+2＝﹣6中有1个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，符合题意； B、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； C、x+5y＝20中有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、x2﹣17＝25x中含有一个未知数，但未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 14．（2025秋•南昌期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．无法确定 【分析】根据一元一次方程的定义，x的次数必须为1且系数不为零，据此求得m的值即可． 【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣1+3＝0是一元一次方程， ∴根据一元一次方程的定义得，|m|﹣1＝1，且m﹣2≠0， 由|m|﹣1＝1，得m＝±2， 当m＝2时，m﹣2＝0，系数为零，不符合条件； 当m＝﹣2时，m﹣2＝﹣4≠0，符合条件， 综上所述，m的值为﹣2，选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 15．（2025秋•扬州期末）已知关于x的方程xm﹣1+3＝2是一元一次方程，则m＝ 　2　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：根据题意得： m﹣1＝1， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 16．（2024秋•富平县期末）已知是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程． 【分析】先根据一元一次方程的定义求出k的值，再解方程即可． 【解答】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴4k﹣5＝1，k≠0， 解得k， ∴x1， 解得x． 【点评】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 17．（2024秋•浦东新区校级期末）已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程． （1）求出a的值； （2）求出方程的解． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得|a﹣2|＝1，且a﹣3≠0，再求出a值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，|a﹣2|＝1，且a﹣3≠0， 解得：a＝1； （2）根据（1）可知，方程为﹣2x﹣5＝8， ﹣2x＝13， 解得：． 【点评】本题主要考查了绝对值，一元一次方程的定义，掌握相应的定义是关键． 【考点3】一元一次方程的解（第18-21题） · 已知解求参数：把解代入方程建立关于参数的方程 · 污染常数问题：设被污染的数为未知数，代入解后求解 · 解的检验：代入后看左右两边是否相等 · 含绝对值或分数的解要分类讨论或先化简 18．（2025秋•潮南区期末）已知x＝3是方程2（x﹣1）﹣a＝0的解，则a的值是（　　） A． B． C．4 D．﹣4 【分析】使方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解． 【解答】解：将x＝3代入方程得， 2×（3﹣1）﹣a＝0， 解得：a＝4， 故选：C． 【点评】本题考查方程的解的定义．熟练掌握方程解的定义是解答本题的关键． 19．（2025秋•崆峒区校级期末）笑笑在做作业时，不小心将方程2（x+■）﹣3＝x+7中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是x＝4，则被污染的常数■是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将方程的解x＝4代入原方程，通过计算即可求出被污染的常数■． 【解答】解：由条件可得2×（4+■）﹣3＝4+7， ∴2×（4+■）＝14， ∴4+■＝7， ∴■＝3， 故被污染的常数是3． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2025秋•石家庄期末）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　） A． B． C． D． 【分析】设被墨水遮盖的常数是a，则把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，即可求解． 【解答】解：设被墨水遮盖的常数是a， ∵方程的解是x＝1， ∴， 解得：， 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．理解定义是关键． 21．（2025秋•汉阳区期末）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a的值是（　　） A．16 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】将x＝3代入方程3x+2a＝13，得到关于a的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：将x＝3代入方程3x+2a＝13， 得9+2a＝13， 解得a＝2． 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【考点4】解一元一次方程（第22-30题） · 去分母：两边同乘最小公倍数，不漏乘不含分母的项 · 去括号：负号变号，数字因数先乘进去 · 移项变号，合并同类项只动系数 · 系数化为1：两边同除以未知数系数，注意符号 22．（2026•宣威市开学）若代数式2x﹣3与的值互为相反数，则x的值为　　 ． 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值． 【解答】解：根据题意可知，， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 解得：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，相反数，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 23．（2025秋•绵阳期末）解方程去分母正确的是（　　） A．（x+1）﹣3＝3（2x+7） B．3（x+1）﹣3＝2x+7 C．（x+1）﹣9＝（2x+7） D．（x+1）﹣9＝3（2x+7） 【分析】方程的每一项都乘以最小公倍数，去掉分母得到结果，即可做出判断． 【解答】解：， 方程两边同时乘以3得：（x+1）﹣9＝3（2x+7）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 24．（2026春•招远市期中）下列解方程中变形步骤正确的有（　　） ①由3x+4＝4x﹣5，得：3x+4x＝﹣4﹣5； ②由去分母，得：2x﹣3x+3＝6； ③由2（3x+1）﹣3（x﹣3）＝1去括号，得：6x+2﹣3x﹣9＝1； ④由，得：x＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据去分母、去括号、移项、未知数系数化为1每一步变形判断即可． 【解答】解：①由3x+4＝4x﹣5，得：3x﹣4x＝﹣4﹣5，原变形错误； ②由去分母，得：2x﹣3x﹣3＝6，原变形错误； ③由2（3x+1）﹣3（x﹣3）＝1去括号，得：6x+2﹣3x+9＝1，原变形错误； ④由，得：x，原变形错误． 所以变形步骤正确的有0个， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 25．（2023秋•南海区校级期中）一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，a*b＝2a+b，若x*4＝26，则x＝（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【分析】根据新定义运算求出x的值，即可解答． 【解答】解：由x*4＝2x+4＝26， 可得x＝11， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是理解新定义运算． 26．（2025秋•昌平区期末）多项式ax﹣m和3ax﹣n（a，m，n为常数，a≠0）的值由x的取值决定．如表是当x取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于x的方程ax﹣m＝n﹣3ax的解是（　　） x ﹣1 0 1 3 ax﹣m ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 3ax﹣n ﹣11 ﹣5 1 13 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3 【分析】结合表格数据找到使ax﹣m和3ax﹣n（a，m，n为常数，a≠0）的值互为相反数的x的值即可． 【解答】解：由表格数据可得当x＝1时， ax﹣m的值为﹣1，3ax﹣n的值为1， 那么关于x的方程ax﹣m＝n﹣3ax的解是x＝1， 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次方程，代数式求值，理解其解的意义是解题的关键． 27．（2025秋•聊城期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．将5x﹣4＝2x+6移项，得5x+2x＝6﹣4 B．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，得2x﹣6＝3x+18 C．将去分母，得3﹣2x+2＝1 D．方程可化为 【分析】A．将5x﹣4＝2x+6移项，然后判断即可； B．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，然后判断即可； C．根据等式的基本性质，将去分母，然后判断即可； D．根据分数的基本性质将方程中的分子和分母化成整数，然后判断即可． 【解答】解：A．∵将5x﹣4＝2x+6移项得5x﹣2x＝6+4， ∴此选项的变形错误， 故此选项不符合题意； B．∵将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号得：2x﹣6＝3x﹣18， ∴此选项的变形错误， 故此选项不符合题意； C．∵将去分母得：3﹣2x﹣2＝6， ∴此选项的变形错误， 故此选项不符合题意； D．∵方程可化为， ∴此选项的变形正确， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的一般步骤． 28．（2025秋•广州期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6 C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1 【分析】去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【解答】解：原方程两边同乘6得：， 即3（x+1）﹣（x+2）＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 29．（2025秋•丰润区期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．3x﹣2x＝﹣4+1，合并同类项，得x＝﹣5 B．1+x＝4，移项，得x＝4﹣1 C．2x﹣（1﹣3x）＝5，去括号，得2x﹣1﹣3x＝5 D．2x＝﹣3，系数化为1，得 【分析】根据运算法则逐一运算判断即可． 【解答】解：A：3x﹣2x＝﹣4+1合并后为x＝﹣3，而不是x＝﹣5，选项变形错误，不符合题意； B：1+x＝4，移项得：x＝4﹣1，选项变形正确，符合题意； C：2x﹣（1﹣3x）＝5，去括号得：2x﹣1+3x＝5，选项变形错误，不符合题意； D：2x＝﹣3，系数化为1得：，选项变形错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 30．（2023秋•南岗区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用解一元一次方程的方法和步骤解方程； （2）利用解一元一次方程的方法和步骤解方程． 【解答】解：（1）， 去分母，得：18x＝2， 系数化为1，得：x； （2）． 整理方程，得：12， 去分母，得：8x＝36， 系数化为1，得：x． 【点评】本题考查了解一元一次方程得方法和步骤，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法与步骤． 【考点5】创新及压轴题（第31-35题） · 新定义运算：按定义写出运算式，转化为普通方程求解 · “有且只有三个解”类问题：结合绝对值的几何意义分类讨论 · “和解方程”类定义：解出方程后按新定义列等式 · 纠错类：按解方程步骤逐一步骤定位错误 31．（2025春•扬州期末）定义运算a⊗b＝a（2﹣b），下面给出了关于这种运算的四个结论： ①1⊗（﹣3）＝5． ②若3⊗x＝3x，则x＝1． ③若a+b＝0，则（a⊗a）+（b⊗b）＝2ab． ④若a⊗b＝0，则a＝0． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据新定义运算，解一元一次方程的方法，对各小题进行判断即可． 【解答】解：①由新定义，得1⊗（﹣3）＝1×（2+3）＝1×5＝5，故①正确； ②由新定义，得3（2﹣x）＝3x， 去括号，得6﹣3x＝3x， 移项、合并同类项，得6x＝6， 将系数化为1，得x＝1，故②正确； ③由新定义，得a⊗a＝a（2﹣a），b⊗b＝b（2﹣b）， ∵（a⊗a）+（b⊗b） ＝a（2﹣a）+b（2﹣b） ＝2a﹣a2+2b﹣b2 ∵a+b＝0， ∴b＝﹣a， ∴（a⊗a）+（b⊗b） ＝2a﹣a2﹣2a﹣a2 ＝﹣2a2， 2ab＝2a•（﹣a）＝﹣2a2， ∴左右相等，故③正确； ④由新定义，得a⊗b＝a（2﹣b）＝0， ∴a＝0或2﹣b＝0，即a＝0或b＝2．故④错误， 综上所述，其中正确的结论有①②③． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，新定义，有理数的混合运算，理解新定义，解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 32．（2026春•洛阳期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．21 D．5或21 【分析】根据定义运算“*”的规则，分两种情况讨论：当x≥3时和当x＜3时，分别代入方程x*3＝12求解，并验证解是否满足条件． 【解答】解：当x≥3时，x*3＝3x﹣3＝12， ∴3x＝15， 解得x＝5，符合x≥3； 当x＜3时，原式＝x﹣9＝12， ∴x＝21（舍去）； 故选：A． 【点评】本题考查了定义新运算，解题的关键是熟练掌握新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程． 33．（2024秋•武昌区期末）对于有理数a，b，c，我们规定：a⊗b⊗c＝|a﹣|b﹣c||； 例如1⊗2⊗3＝|1﹣|2﹣3||＝|1﹣1|＝0． 【知识运用】 （1）若x⊗1⊗0＝3，则x＝ 　4或﹣2　 ． 【知识迁移】 （2）若关于x的方程a⊗3⊗x＝1011有且只有三个不相等的解，求a的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若d＜c＜b＜a＜0，p|d﹣a|，|p﹣q|＝k（c﹣b），且d⊗b⊗c＝a⊗3b⊗3c，求k的值． 【分析】（1）根据自定义运算法则求解即可； （2）由题易得|3﹣x|＝a﹣1011或|3﹣x|＝a+1011，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可； （3）先由d⊗b⊗c＝a⊗3b⊗3c，变形整理可得a﹣d＝2b﹣2c，再利用p﹣q|c﹣b||d﹣a|a﹣d＝2b﹣2c和|p﹣q|＝k（c﹣b）可得k（c﹣b）（c﹣b），即可得解． 【解答】解：（1）∵a⊗b⊗c＝|a﹣|b﹣c||，x⊗1⊗0＝3， ∴|x﹣|1﹣0||＝3， |x﹣1|＝3， x﹣1＝3或﹣3， x＝4或﹣2； 故答案为：4或﹣2； （2）∵a⊗3⊗x＝1011， ∴|a﹣|3﹣x||＝1011， ∴|3﹣x|＝a﹣1011或|3﹣x|＝a+1011， ∵原方程存在三个不等解， ∴a﹣1011＝0或a+1011＝0， ∵|3﹣x|≥0，a+1011＞a﹣1011， ∴a﹣1011＝0， ∴a＝1011， ∴|3﹣x|＝0或|3﹣x|＝1011+1011， ∴x＝3或2025或﹣2019， 答：a的值为1011，方程的解为3或2025或﹣2019； （3）∵d⊗b⊗c＝|d﹣|b﹣c||，a⊗3b⊗3c＝|a﹣|3b﹣3c||， ∵d⊗b⊗c＝a⊗3b⊗3c， ∴|d﹣|b﹣c||＝|a﹣|3b﹣3c||，即|d﹣|b﹣c||＝|a﹣3|b﹣c||， ∵d＜c＜b＜a＜0， ∴b﹣c＞0， ∴|d﹣b+c|＝|a﹣3（b﹣c）|， ∴b﹣c﹣d＝3b﹣3c﹣a， 整理可得2b﹣2c﹣a+d＝0， ∴a﹣d＝2b﹣2c， ∵|p﹣q|＝k（c﹣b）且p﹣q|c﹣b||d﹣a|，a﹣d＝2b﹣2c， ∴k（c﹣b）|（b﹣c）﹣（a﹣d）|， ∴k（c﹣b）|b﹣c﹣2b+2c| |c﹣b| （c﹣b）， ∴k． 【点评】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 34．（2025秋•白城期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的是　③　 （填序号）． ①3x＝﹣5；②5x＝﹣2；③． （2）若关于x的一元一次方程4x＝8a﹣12是“和解方程”，求a的值． 【分析】（1）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先解关于x的一元一次方程，再根据“和解方程”的定义，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）由方程， 解得：， ∵， ∴方程是“和解方程”； 由方程5x＝﹣2， 解得：， ∵， ∴方程5x＝﹣2不是“和解方程”； 由方程3x＝﹣5， 解得：， ∵， ∴方程3x＝﹣5不是“和解方程”； 故答案为：③； （2）由方程4x＝8a﹣12，解得：x＝2a﹣3， ∵一元一次方程4x＝8a﹣12是“和解方程”， ∴4+（8a﹣12）＝2a﹣3， 解得：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解“和解方程”的定义是解题关键． 35．（2024秋•驻马店校级期末）聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项（﹣1），得到的一元一次方程的解为x＝2． （1）请你求出a的值； （2）求出方程正确的解； （3）根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【分析】（1）根据题意解答； （2）根据解一元一次方程的方法解答； （3）根据解一元一次方程的步骤解答． 【解答】解：（1）根据题意得：2x﹣1＝x+a﹣1， x＝a， ∴a＝2； （2） 1， 左右两边同时乘以3得：2x﹣1＝x+2﹣3， 移项得：2x﹣x＝2﹣3+1， 合并同类项得：x＝0； （3）注意事项：移项时，注意符号变化．（不唯一） 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解法和一元一次方程的解的意义． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•金牛区期末）关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程，则m＝　﹣3　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义，需满足未知数的次数为1且一次项系数不为0，据此列式求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程， ∴， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是关键． 【练习 2】（2025秋•普陀区期末）由3x﹣7＝5x+12，得﹣7﹣12＝5x﹣3x，在此变形过程中方程的两边同时加上了　﹣3x﹣12　 ． 【分析】根据等式的性质解答即可． 【解答】解：3x﹣7＝5x+12， 方程两边同时减去3x，可得﹣7＝5x﹣3x+12， 方程两边再同时减去12，得﹣7﹣12＝5x﹣3x， 相当于在方程两边同时加上：﹣3x﹣12． 故答案为：﹣3x﹣12． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【练习 3】（2024秋•汉台区期末）如果x＝3是方程﹣ax﹣b＝5﹣2x的解，那么3﹣6a﹣2b＝ 　1　 ． 【分析】先把x＝3代入方程得到﹣3a﹣b＝﹣1，再把3﹣6a﹣2b变形为3+2（﹣3a﹣b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x＝3是方程﹣ax﹣b＝5﹣2x的解， ∴﹣3a﹣b＝﹣1， ∴3+2（﹣3a﹣b）＝3+2×（﹣1）＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了整体代入的方法． 【练习 4】（2025秋•武昌区期末）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a＝ 　2　 ． 【分析】根据一元一次方程的解的定义把x＝3代入方程3x+2a＝13中即可求出a的值． 【解答】解：把x＝3代入方程3x+2a＝13中，得3×3+2a＝13， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键． 【练习 5】（2025秋•西湖区期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是　3　 ． 【分析】根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是， 设常数为x，由题意，得 ， 解得x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键． 【练习 6】（2025春•泰山区期末）将4个数abcd排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若8，则x的值是　2　 ． 【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值． 【解答】解：根据题得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8， 整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0， 即4x＝8， 解得：x＝2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了解一元一次方程，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 【练习 7】（2024秋•贵州期末）解方程： （1）5x﹣14＝﹣2x； （2）． 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后把系数化为1； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1． 【解答】解：（1）方程移项，得5x+2x＝14， 合并同类项，得7x＝14， 系数化为1，得x＝2． （2）方程去分母，得3（x+1）﹣（x+3）＝6， 去括号，得3x+3﹣x﹣3＝6， 移项，得3x﹣x＝6+3﹣3， 合并同类项，得2x＝6， 系数化为1，得x＝3． 【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【练习 8】（2022秋•长沙县校级月考）对于有理数x，y，定义两种新运算“☆”与“¤”，规定：x☆y＝|x|+|x﹣y|，x¤y＝|x+y|﹣|x﹣y|． （1）计算：2☆3＝　3　 ，（﹣3）¤2＝　﹣4　 ． （2）若x，y满足x+y＞0且x﹣y＜0，化简：x¤y＝　2x ； （3）如图：已知数轴上A表示的数为10，点P为数轴上一动点，点M为线段AP的一个三等分点，设点P表示的数为x，点M表示的数为m． ①若关于x的方程x¤10＝b有无数解，求b的值； ②若m☆10＝12，求此时点P表示的数． 【分析】（1）根据题目所给定义，直接计算即可； （2）根据所给条件，根据题目所给定义，代入计算即可； （3）①根据条件，分类讨论：当x≥10时，﹣10≤x＜10时，x≤﹣10时，分别求出对应的值即可； ②同理，根据条件，分类讨论：当m≥10时，0≤m＜10时，m≤0时，分别求出对应的值即可． 【解答】解：（1）2☆3＝|2|+|2﹣3|＝2+1＝3， （﹣3）¤2＝|﹣3+2|﹣|﹣3﹣2|＝1﹣5＝﹣4， 故答案为：3，﹣4 （2），∵x+y＞0，x﹣y＜0， ∴x¤y＝|x+y|﹣|x﹣y|＝x+y+x﹣y＝2x， 故答案为：2x； （3）①由题意，得|x+10|﹣|x﹣10|＝b有无数解， 当x≥10时， x+10﹣x+10＝b， ∴当b＝20时方程有无数解， 当﹣10≤x＜10时， x+10+x﹣10＝b，即2x＝b， ∴此时方程有唯一解， 当x≤﹣10时， ﹣x﹣10+x﹣10＝b， ∴当b＝﹣20时方程有无数解， 综上所述：b＝20或b＝﹣20； ②由题意，得|m|+|m﹣10|＝12； 当m≥10时， m+m﹣10＝12， 解得m＝11， ∵M为线段AP的一个三等分点， ∴11＝10或11＝10， 解得x＝13或， ∴此时点P表示的数为13或． 当0≤m＜10时， m﹣m+10＝12， ∴无解； 当m≤0时， ﹣m+（10﹣m）＝12， 解得m＝﹣1， ∵M为线段AP的一个三等分点， ∴﹣1＝10或﹣1＝10， 解得x＝﹣23或， ∴此时点P表示的数为﹣23或． 综上所述：点P表示的数为13或或﹣23或． 【点评】本题利用新定义运算考查数轴，绝对值运算，整式的运算，一元一次方程的解法，线段的倍分关系，分类讨论思想，理解新定义，以及利用线段的倍分关系列方程是解题的关键． 【练习 9】（2025秋•虞城县期末）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程3x+1＝7的解为x＝2，方程1+x＝0的解为x＝﹣1，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． （1）请判断方程2x﹣3＝1与方程3y+y＝﹣4是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程与方程5x＝x+8是互为“美好方程”，求m的值． 【分析】（1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据方程的解得出答案即可； （2）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据关于x的方程与方程5x＝x+8是互为“美好方程”得出2＝1，最后根据等式的性质求出方程的解即可． 【解答】解：（1）2x﹣3＝1， 2x＝1+3， 2x＝4， x＝2， 3y+y＝﹣4， 4y＝﹣4， y＝﹣1， x+y＝2+（﹣1）＝1， 所以方程2x﹣3＝1与方程3y+y＝﹣4是互为“美好方程”； （2）解方程，得x， 解方程5x＝x+8，得x＝2， ∵关于x的方程与方程5x＝x+8是互为“美好方程”， ∴2＝1， ∴1﹣2， ∴1， ∴m＝2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 等式性质是变形依据，除以的数必须不为0，这是判断正误的关键 · 判断一元一次方程抓住“一个未知数、次数为1、整式”三个条件 · 已知解求参数：代入建立方程；污染常数问题设未知数代入 · 解方程严格按五步走，去分母不漏乘、去括号变号、移项变号 · 新定义与综合题先翻译成普通方程，再分类讨论求解 【作业 1】（2025秋•南京期末）将四个数a，b，c，d排列成，并且规定．若的值为6，则x＝　1　 ． 【分析】根据题意建立方程，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：由题意可得，2（x+2）﹣3（1﹣x）＝6， 2x+4﹣3+3x＝6， 5x＝5， x＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【作业 2】（2026春•牟平区期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　） A． B． C． D．x＝4 【分析】把x＝4代入方程3x﹣1＝2x+k求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【解答】解：由条件可知：3×4﹣1＝2×4+k， 解得k＝3， 原方程为：﹣3x﹣1＝2x+3， 解这个方程，得． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键． 【作业 3】（2024秋•高邮市期末）解方程： （1）4﹣x＝3（2﹣x）； （2）． 【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：4﹣x＝6﹣3x， 移项合并得：2x＝2， 解得：x＝1； （2）去分母得：2x+2﹣6＝6﹣9x， 移项合并得：11x＝10， 解得：x． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 【作业 4】（2024秋•大竹县期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”． （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值． 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解． 【解答】解：（1）关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”．理由： 方程2x＝5x﹣12的解是：x＝4， 方程3（y﹣1）﹣y＝1的解是：y＝2． ∵|x﹣y|＝|4﹣2|＝2， ∴这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是：； 方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m的解是：． ∵关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”， ∴， 整理，得：， ∵m为正数， ∴或， 解得：或． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•沭阳县校级月考）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，则B＝（1﹣2）x﹣3＝﹣x﹣3．根据以上方法，解决下列问题： （1）若A＝﹣5x2﹣2x+1，则B＝　﹣3x+1　 ； （2）若A＝4x2+5（2x﹣2），求出关于x的方程B＝2的解； （3）已知关于x的二次多项式A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，经过处理后得到一次多项式B＝5x+6，求m﹣n的值． 【分析】（1）根据新定义，先计算二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差，作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项，即可写出多项式B； （2）根据题意列方程﹣6x﹣10＝2，解方程，即可求解； （3）先根据定义列出多项式B，结合题意B＝5x+6，比较系数，即可求解． 【解答】解：（1）∵A＝﹣5x2﹣2x+1，二次项系数为﹣5，一次项系数为﹣2，差为（﹣5）﹣（﹣2）＝﹣3，常数项为1 ∴B＝﹣3x+1； 故答案为：﹣3x+1； （2）∵A＝4x2+5（2x﹣2）＝4x2+10x﹣10，二次项系数为4，一次项系数为10，差为4﹣10＝﹣6，常数项为﹣10， ∴B＝﹣6x﹣10， ∵B＝2， ∴﹣6x﹣10＝2， ﹣6x＝12， x＝﹣2； （3）已知关于x的二次多项式A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，经过处理后得到一次多项式B＝5x+6， ∵A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，二次项系数为2（m﹣3），一次项系数为﹣1，常数项为n+2， ∴B＝[2（m﹣3）﹣（﹣1）]x+（n+2）＝（2m﹣6+1）x+（n+2）＝（2m﹣5）x+（n+2）， ∵B＝5x+6， ∴2m﹣5＝5，n+2＝6， 解得：n＝4，m＝5， ∴m﹣n＝5﹣4＝1． 【点评】本题考查整式加减的应用，解一元一次方程，正确进行计算是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元一次方程及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解等式的基本性质，能正确判断等式变形的对错 · 掌握一元一次方程的定义，能识别方程并求参数值 · 理解方程解的概念，会代入检验与求参数 · 掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1 · 能运用新定义运算与方程解决数轴、新运算等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等式的基本性质 等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，结果仍相等 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 等式两边不能除以0，这是运用性质时的易错点 判断变形正误时，逐一核对加减乘除是否同时作用于两边 概念辨析例题：下列变形中，不正确的是（D）若ac=bc，则a=b，为什么？ 解析：当c=0时，ac=bc=0恒成立，但a与b可以取任意值，不能由ac=bc直接推出a=b ☆ 2.一元一次方程的概念 只含一个未知数，未知数的最高次数为1，两边都是整式的方程叫一元一次方程 一般形式：ax+b=0（a≠0） 含参一元一次方程：未知数次数为1且系数不为0 分式方程（分母含未知数）和多元方程不是一元一次方程 概念辨析例题：已知(m-1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，求m的值 解析：由一元一次方程的定义：|m|=1且m-1≠0，得m=±1且m≠1，故m=-1 ☆ 3.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 检验一个数是否为方程的解：代入方程看左右两边是否相等 已知方程的解求参数：把解代入方程，建立关于参数的方程 含污染常数类问题：设常数未知，把解代入后求解 概念辨析例题：已知x=3是方程2(x-1)-a=0的解，求a的值 解析：把x=3代入方程，得2(3-1)-a=0，即4-a=0，解得a=4 ☆ 4.解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不漏乘不含分母的项 去括号注意符号变化，移项要变号，合并同类项只动系数 解得x=时注意符号，结果可代入检验 概念辨析例题：解方程-=1 解析：两边同乘6：3(x+1)-2(x+2)=6，去括号得3x+3-2x-4=6，即x-1=6，解得x=7 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等式性质1 两边同加（或减）同一个数或式子 结果仍相等 等式性质2 两边同乘同一个数，或除以同一个不为0的数 除数不能为0 一元一次方程 ax+b=0（a≠0） 未知数次数为1且系数不为0 方程的解 使方程两边相等的未知数的值 代入检验左右两边是否相等 解方程步骤 去分母→去括号→移项→合并→系数化1 去分母不漏乘、移项要变号 新定义运算 按规则转化为普通方程求解 注意分情况讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】等式的性质（第1-9题） · 逐条核对变形是否同时作用于等号两边 · 同乘或同除时，注意除数不能为0 · “不一定成立”类题目举反例：取c=0验证 · 性质1与性质2混合使用时要逐步变形，不可跳步 1．（2025秋•武冈市期末）下列等式变形中，一定正确的是（　　） A．若xy＝1，则 B．若x2＝2x，则x＝2 C．若2a﹣b＝4，则b＝﹣2a+4 D．若，则x＝﹣2 2．（2025秋•邗江区期末）如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（　　） A．若a＝2b，则a+c＝2b+c B．若a＝2b，则a﹣c＝2b﹣c C．若a＝2b，则ac＝2bc D．若a+c＝2b+c，则a＝2b 3．（2025秋•承德期末）若3a＝2b+4，则下列等式不一定成立的是（　　） A．3a﹣4＝2b B．3a+1＝2b+5 C．3ac＝2bc+4 D． 4．（2025秋•黔东南州期末）下列说法一定正确的是（　　） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则 C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若，则x＝y 5．（2024•盐田区校级开学）下列等式的性质运用错误的是（　　） A．如果a＝b，那么a+2019＝b+2019 B．如果a＝b，那么﹣5a＝﹣5b C．如果，那么a＝b D．如果a＝b，那么 6．（2025秋•赣州期末）下列等式变形，错误的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则 7．（2025秋•绵阳期末）下列变形中，不正确的是（　　） A．若﹣3﹣a＝﹣3﹣b，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 8．（2025秋•大田县期末）下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 9．（2025秋•河东区期末）下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 【考点2】一元一次方程的定义（第10-17题） · 识别方程：一元、次数为1、两边都是整式 · 含参定义题：未知数次数为1且系数不为0，列式求参数 · 系数含参时排除使系数为0的参数值 · 先化简再判断：合并后次数为1且整式的才是 10．（2025秋•乌海期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x+z+1＝0 B．x2﹣2x＝5 C． D． 11．（2025秋•顺城区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+y＝5 B．2x+1＝0 C．xy﹣2＝3 D． 12．（2025秋•岳塘区期末）已知方程（m﹣1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0或1 13．（2025秋•永兴县期末）下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A．x+2＝﹣6 B． C．x+5y＝20 D．x2﹣17＝25x 14．（2025秋•南昌期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．无法确定 15．（2025秋•扬州期末）已知关于x的方程xm﹣1+3＝2是一元一次方程，则m＝ _____ ． 16．（2024秋•富平县期末）已知是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程． 17．（2024秋•浦东新区校级期末）已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程． （1）求出a的值； （2）求出方程的解． 【考点3】一元一次方程的解（第18-21题） · 已知解求参数：把解代入方程建立关于参数的方程 · 污染常数问题：设被污染的数为未知数，代入解后求解 · 解的检验：代入后看左右两边是否相等 · 含绝对值或分数的解要分类讨论或先化简 18．（2025秋•潮南区期末）已知x＝3是方程2（x﹣1）﹣a＝0的解，则a的值是（　　） A． B． C．4 D．﹣4 19．（2025秋•崆峒区校级期末）笑笑在做作业时，不小心将方程2（x+■）﹣3＝x+7中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是x＝4，则被污染的常数■是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2025秋•石家庄期末）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•汉阳区期末）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a的值是（　　） A．16 B．﹣2 C．2 D．4 【考点4】解一元一次方程（第22-30题） · 去分母：两边同乘最小公倍数，不漏乘不含分母的项 · 去括号：负号变号，数字因数先乘进去 · 移项变号，合并同类项只动系数 · 系数化为1：两边同除以未知数系数，注意符号 22．（2026•宣威市开学）若代数式2x﹣3与的值互为相反数，则x的值为___________________ ． 23．（2025秋•绵阳期末）解方程去分母正确的是（　　） A．（x+1）﹣3＝3（2x+7） B．3（x+1）﹣3＝2x+7 C．（x+1）﹣9＝（2x+7） D．（x+1）﹣9＝3（2x+7） 24．（2026春•招远市期中）下列解方程中变形步骤正确的有（　　） ①由3x+4＝4x﹣5，得：3x+4x＝﹣4﹣5； ②由去分母，得：2x﹣3x+3＝6； ③由2（3x+1）﹣3（x﹣3）＝1去括号，得：6x+2﹣3x﹣9＝1； ④由，得：x＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 25．（2023秋•南海区校级期中）一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，a*b＝2a+b，若x*4＝26，则x＝（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 26．（2025秋•昌平区期末）多项式ax﹣m和3ax﹣n（a，m，n为常数，a≠0）的值由x的取值决定．如表是当x取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于x的方程ax﹣m＝n﹣3ax的解是（　　） x ﹣1 0 1 3 ax﹣m ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 3ax﹣n ﹣11 ﹣5 1 13 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3 27．（2025秋•聊城期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．将5x﹣4＝2x+6移项，得5x+2x＝6﹣4 B．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，得2x﹣6＝3x+18 C．将去分母，得3﹣2x+2＝1 D．方程可化为 28．（2025秋•广州期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6 C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1 29．（2025秋•丰润区期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．3x﹣2x＝﹣4+1，合并同类项，得x＝﹣5 B．1+x＝4，移项，得x＝4﹣1 C．2x﹣（1﹣3x）＝5，去括号，得2x﹣1﹣3x＝5 D．2x＝﹣3，系数化为1，得 30．（2023秋•南岗区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【考点5】创新及压轴题（第31-35题） · 新定义运算：按定义写出运算式，转化为普通方程求解 · “有且只有三个解”类问题：结合绝对值的几何意义分类讨论 · “和解方程”类定义：解出方程后按新定义列等式 · 纠错类：按解方程步骤逐一步骤定位错误 31．（2025春•扬州期末）定义运算a⊗b＝a（2﹣b），下面给出了关于这种运算的四个结论： ①1⊗（﹣3）＝5． ②若3⊗x＝3x，则x＝1． ③若a+b＝0，则（a⊗a）+（b⊗b）＝2ab． ④若a⊗b＝0，则a＝0． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 32．（2026春•洛阳期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．21 D．5或21 33．（2024秋•武昌区期末）对于有理数a，b，c，我们规定：a⊗b⊗c＝|a﹣|b﹣c||； 例如1⊗2⊗3＝|1﹣|2﹣3||＝|1﹣1|＝0． 【知识运用】 （1）若x⊗1⊗0＝3，则x＝ _________ ． 【知识迁移】 （2）若关于x的方程a⊗3⊗x＝1011有且只有三个不相等的解，求a的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若d＜c＜b＜a＜0，p|d﹣a|，|p﹣q|＝k（c﹣b），且d⊗b⊗c＝a⊗3b⊗3c，求k的值． 34．（2025秋•白城期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的是_____ （填序号）． ①3x＝﹣5；②5x＝﹣2；③． （2）若关于x的一元一次方程4x＝8a﹣12是“和解方程”，求a的值． 35．（2024秋•驻马店校级期末）聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项（﹣1），得到的一元一次方程的解为x＝2． （1）请你求出a的值； （2）求出方程正确的解； （3）根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•金牛区期末）关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程，则m＝_______ ． 【练习 2】（2025秋•普陀区期末）由3x﹣7＝5x+12，得﹣7﹣12＝5x﹣3x，在此变形过程中方程的两边同时加上了___________ ． 【练习 3】（2024秋•汉台区期末）如果x＝3是方程﹣ax﹣b＝5﹣2x的解，那么3﹣6a﹣2b＝ _____ ． 【练习 4】（2025秋•武昌区期末）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a＝ _____ ． 【练习 5】（2025秋•西湖区期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是_____ ． 【练习 6】（2025春•泰山区期末）将4个数abcd排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若8，则x的值是_____ ． 【练习 7】（2024秋•贵州期末）解方程： （1）5x﹣14＝﹣2x； （2）． 【练习 8】（2022秋•长沙县校级月考）对于有理数x，y，定义两种新运算“☆”与“¤”，规定：x☆y＝|x|+|x﹣y|，x¤y＝|x+y|﹣|x﹣y|． （1）计算：2☆3＝_____ ，（﹣3）¤2＝_______ ． （2）若x，y满足x+y＞0且x﹣y＜0，化简：x¤y＝_______ ； （3）如图：已知数轴上A表示的数为10，点P为数轴上一动点，点M为线段AP的一个三等分点，设点P表示的数为x，点M表示的数为m． ①若关于x的方程x¤10＝b有无数解，求b的值； ②若m☆10＝12，求此时点P表示的数． 【练习 9】（2025秋•虞城县期末）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程3x+1＝7的解为x＝2，方程1+x＝0的解为x＝﹣1，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． （1）请判断方程2x﹣3＝1与方程3y+y＝﹣4是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程与方程5x＝x+8是互为“美好方程”，求m的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 等式性质是变形依据，除以的数必须不为0，这是判断正误的关键 · 判断一元一次方程抓住“一个未知数、次数为1、整式”三个条件 · 已知解求参数：代入建立方程；污染常数问题设未知数代入 · 解方程严格按五步走，去分母不漏乘、去括号变号、移项变号 · 新定义与综合题先翻译成普通方程，再分类讨论求解 【作业 1】（2025秋•南京期末）将四个数a，b，c，d排列成，并且规定．若的值为6，则x＝_____ ． 【作业 2】（2026春•牟平区期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　） A． B． C． D．x＝4 【作业 3】（2024秋•高邮市期末）解方程： （1）4﹣x＝3（2﹣x）； （2）． 【作业 4】（2024秋•大竹县期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”． （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值． 【作业 5】（2025秋•沭阳县校级月考）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，则B＝（1﹣2）x﹣3＝﹣x﹣3．根据以上方法，解决下列问题： （1）若A＝﹣5x2﹣2x+1，则B＝__________ ； （2）若A＝4x2+5（2x﹣2），求出关于x的方程B＝2的解； （3）已知关于x的二次多项式A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，经过处理后得到一次多项式B＝5x+6，求m﹣n的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $