第8讲 列代数式与代数式的值 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第8讲 列代数式与代数式的值 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能列代数式表示简单数量关系 · 会求代数式的值（直接代入法） · 掌握整体代入法求代数式的值 · 能根据几何图形列代数式 · 能解决列代数式的实际应用与创新问题 📚 知识梳理 ☆ 1.简单的列代数式 代数式：用运算符号把数与字母连接起来的式子（单独的数或字母也是代数式） 列代数式步骤：读题找数量关系→设字母→按关系写式子 关键词翻译：和、差、积、商、倍、几分之几 「a与b的平方差」写a2−b2；「a与b的差的平方」写(a−b)2 概念辨析例题：“m与1的差的2倍”用代数式表示为______ 解析：先求差m−1，再取2倍，所以为2(m−1)。注意“差的2倍”整体是2×(m−1)，不是2m−1。 ☆ 2.代数式与几何 几何图形求面积、周长可列代数式 阴影面积=大图形面积−空白面积 边长变化：正方形边长增加2，面积增加(a+2)2−a2 分割图形：各部分面积之和等于整体面积 概念辨析例题：一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了______ 解析：原面积a2，增加后面积(a+2)2=a2+4a+4，增加量=(a+2)2−a2=4a+4。 ☆ 3.代入求值 求代数式的值：把字母的值代入式子计算 代入时注意负数、分数用括号括起来 先化简再代入可使计算简便 运算程序（流程图）求值：按流程逐步计算 概念辨析例题：当x＝−1时，求代数式3x+2的值 解析：代入：3×(−1)+2=−3+2=−1。注意把x=−1整体代入，−1要用括号。 ☆ 4.整体代入法 当无法直接求出每个字母的值时，把整个式子看作一个整体代入 已知x+2y=−3，求2x+4y+1：先变形2(x+2y)+1 利用恒等式（如(x−2)5展开系数和）赋值代入 整体思想是代数求值的重要方法 概念辨析例题：已知x+2y的值是−3，则式子2x+4y+1的值是______ 解析：2x+4y+1=2(x+2y)+1=2×(−3)+1=−6+1=−5。整体代入x+2y=−3即可，不需分别求x、y。 ☆ 5.创新及压轴题 运算程序图：按输入→计算→输出流程 规律探究：从特殊到一般找规律列式 新情境定义：密码规则、日历圈数等转化为代数式 整体与赋值法：给字母特殊值求系数和 概念辨析例题：已知(x−2)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=______ 解析：令x=1代入：左边=(1−2)5=(−1)5=−1，右边=a+b+c+d+e+f，所以a+b+c+d+e+f=−1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 代数式 用运算符号连接数与字母 单独数或字母也是代数式 列式关键词 和差积商、倍、几分之几 “平方差”与“差的平方”不同 代入求值 字母值代入原式 负数分数加括号 整体代入 把整体式子代入 先变形出整体 赋值法 令x取特殊值 常用于系数和 ⚠️ 核心考点 【考点1】简单的列代数式（第1-5题） · 找数量关系再列式 · 注意关键词顺序（差的平方vs平方差） · 乘号省略、系数写前 · 检查是否符合题意 1．（2026春•镇江月考）边长分别为2a和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（　　） A．2a2 B．2 C．5a2﹣3a D．72a2 【分析】根据已知图形得出阴影部分的面积是：，求出结果即可得解． 【解答】解：边长分别为2a和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， ＝（2a）2+a2﹣3a2， ＝2a2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积． 2．（2025秋•河东区期中）如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东6km处设置第一个广告牌，之后每往东10km就设置一个广告牌．一汽车在A地的东2km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　） A．10n+6 B．10n+2 C．10n﹣2 D．10n﹣6 【分析】根据题意，经过第一个广告牌时行驶了6﹣2＝4千米；经过第2个广告牌时行驶了（4+10）千米；经过第3个广告牌时行驶了（4+10+10）千米，从而推出经过第n个广告牌时行驶的路程． 【解答】解：经过第1个广告牌时，此车所行驶的路程为6﹣2＝4； 经过第2个广告牌时，此车所行驶的路程为（4+10）； 经过第3个广告牌时，此车所行驶的路程为4+10+10＝4+2×10； 经过第4个广告牌时，此车所行驶的路程为4+10+10+10＝4+3×10； ⋯ 经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为4+10（n﹣1）＝10n﹣6． 故选：D． 【点评】本题主要考查了利用代数式表示规律问题，解题的关键是发现汽车所行驶的路程的变化规律，并能用代数式表示出来． 3．（2025秋•潮安区期末）“m与1的差的2倍”用代数式可以表示成（　　） A．2m﹣1 B．m﹣2 C．2（1﹣m） D．2（m﹣1） 【分析】根据题意列出代数式即可． 【解答】解：表示成2（m﹣1）， 故选：D． 【点评】本题考查了列代数式，读懂题意列出代数式是解本题的关键． 4．（2025秋•运城月考）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把办公椅80元．各自的优惠方案如下：甲厂家：买一张桌子送三把椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价的八折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干把办公椅，设购买办公椅x把（x≥9），则下列说法错误的是（　　） A．若在甲厂家购买需付（1680+80x）元 B．若在乙厂家购买需付（1920+64x）元 C．若购买15把办公椅，则在甲厂家购买划算 D．若购买20把办公椅，则在乙厂家购买划算 【分析】根据甲、乙厂家的优惠方案分别列出总价表达式，再比较特定椅子数量下的总价即可判断． 【解答】解：根据甲、乙厂家的优惠方案分别列出总价表达式如下： 甲厂家：买一张桌子送三把椅子，购买3张桌子和x把椅子（x≥9）， ∴需付金额为：3×800+80×（x﹣3×3）＝1680+80x（元）； ∵乙厂家：全部打八折， ∴需付金额为：（3×800+80x）×0.8＝1920+64x（元）； 对于选项C：当x＝15时， 甲厂家总价：1680+80×15＝2880（元）， 乙厂家总价：1920+64×15＝2880（元）， 两者总价相等，故在甲厂家购买并不划算，选项C错误，符合题意； 对于选项D：当x＝20时， 甲厂家总价：1680+80×20＝3280（元）， 乙厂家总价：1920+64×20＝3200（元）， 乙厂家总价更低，故选项D正确，不符合题意； 选项A和B根据上述计算均正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意． 5．（2026•贵州）a，b两数的平方差用代数式可表示为（　　） A．a2﹣b2 B．a﹣b2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b 【分析】根据题意列出代数式即可． 【解答】解：运算顺序为：先分别求a，b的平方，再求两个平方的差， ∵a的平方为a2，b的平方为b2， ∴两数的平方差可表示为a2﹣b2． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式，理解题意是关键． 【考点2】代数式与几何（第6-10题） · 面积用整体减空白 · 周长列式 · 分割图形分部分求和 · 边长变化写差式 6．（2025秋•北仑区期末）现代密码学与数学有着密切关系．密码学爱好者小北制定了一种数字和字母相对应的密码规则，他将26个英文字母a，b，c…z依次对应正整数1～26，并摆放到如图所示的密码盘中，其中1～12位于内圈，依次对应字母a～l；13～26位于外圈，依次对应字母m～z．内外圈的数字均绕中心点O顺时针转动，且每转动一个单位便对应其相邻数字．现定义一种密文a[m]，表示数字a顺时针转动m个单位后所对应的数字，而该数字所对应的字母即为明文．例如：接收的密文内容为“15[3]3[2]1[15]”，15[3]表示外圈数字15顺时针转动3个单位后对应的数字，即15[3]＝18，对应英文字母“r”；同理3[2]＝5，对应英文字母“e”；1[15]＝4，对应英文字母“d”，所以密文破译后的明文为“red”．若小北向小仑传输的密文为“24[3]2[23]15[200]10[2026]”，则小仑破译后的明文应为（　　） A．“make” B．“mash” C．“milk” D．“math” 【分析】根据题目中给出的规律分析即可． 【解答】解：小北向小仑传输的密文为“24[3]2[23]15[200]10[2026]， 24[3]＝13，对应英文字母“m”； 2[23]＝1，对应英文字母“a”； 15[200]＝20，对应英文字母“s”； 10[2026]＝8，对应英文字母“h”； 则小仑破译后的明文应为：mash， 故选：B． 【点评】本题考查列代数式，根据题目中的信息求解是解题的关键． 7．（2025秋•南岗区期末）某同学在10月的日历上圈出了三个数a，b，c，设a＝x，并求出它们的和为3x+24，则这三个数在日历中的排位位置是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【分析】设a＝x，用含x的代数式表示出b，c的值，再将三个数相加，即可得出结论． 【解答】解：A．设a＝x，则b＝x+7，c＝x+14， ∴a+b+c＝x+x+7+x+14＝3x+21，选项A不符合题意； B．设a＝x，则b＝x+7，c＝x+8， ∴a+b+c＝x+x+7+x+8＝3x+15，选项B不符合题意； C．设a＝x，则b＝x+8，c＝x+16， ∴a+b+c＝x+x+8+x+16＝3x+24，选项C符合题意； D．设a＝x，则b＝x+6，c＝x+12， ∴a+b+c＝x+x+6+x+12＝3x+18，选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出三个数的和是解题的关键． 8．（2024秋•威县校级期末）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，则阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（　　） A．x﹣y+5 B．2x+y+5 C．2x﹣y+5 D．x+y+5 【分析】由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和，即可进行判断． 【解答】解：∵大长方形的宽为xcm， 小长方形的长为（y﹣15）cm， 小长方形的宽为5cm． ∴阴影A的较短边为：x﹣2×5＝（x﹣10）cm； 阴影B的较短边为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 x﹣10+x﹣y+15＝（2x﹣y+5）cm， 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，根据图形各边之间的数量关系来列代数式是解题的关键． 9．（2023秋•阿荣旗期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+3）（x+2）﹣2 B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．x2+3x+6 【分析】根据图形列出代数式x（x+3）+3×2＝x（x+3）+6或（x+3）（x+2）﹣2x或3（x+2）+x2，整理得到阴影部分面积＝x2+3x+6，再找出选项即可． 【解答】解：图中阴影部分的面积是x（x+3）+3×2＝x（x+3）+6＝x2+3x+6或（x+3）（x+2）﹣2x＝x2+3x+6或3（x+2）+x2＝x2+3x+6， 即只有选项A符合题意，选项B、选项C、选项D都不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式，能正确列出代数式是解此题的关键． 10．（2026春•东海县期末）一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 【分析】一个正方形的边长是a，若边长增加2，则边长变为（a+2），根据正方形的面积公式和作差法求得答案． 【解答】解：根据题意，得（a+2）2﹣a2＝4a+4． 故选：D． 【点评】本题考查了列代数式．解题的关键是掌握正方形的面积公式． 【考点3】代入求值（第11-16题） · 代入时负数加括号 · 先化简再代入 · 运算程序逐步算 · 恒等式赋值法 11．（2025秋•路南区期末）已知3x﹣y+5＝0，则代数式2y﹣6x+7的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．﹣17 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵2y﹣6x+7＝﹣6x+2y+7， ∵3x﹣y+5＝0， ∴3x﹣y＝﹣5， ∴当3x﹣y＝﹣5时，原式＝﹣6x+2y+7＝﹣2（3x﹣y）+7＝﹣2×（﹣5）+7＝17． 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 12．（2026•南沙区二模）当x＝﹣1时，代数式3x+2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝3×（﹣1）+2＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 13．（2025秋•博山区期末）按如图所示的运算程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．68 B．4 C．﹣2 D．﹣8 【分析】利用程序图中的程序列式计算即可． 【解答】解：输入x的值为﹣1，则（﹣1）2×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0， 重新输入x的值为﹣2，则（﹣2）2×2﹣4＝8﹣4＝4＞0， ∴输出y的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型，正确理解程序图中的程序并准确列出算式是解题的关键． 14．（2026春•西安校级期中）已知（x﹣2）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32 D．243 【分析】令x＝1，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【解答】解：根据题意，令x＝1，代入等式可得， 左边＝（1﹣2）5＝（﹣1）5＝﹣1， 右边＝a•15+b•14+c•13+d•12+e•1+f＝a+b+c+d+e+f， ∴a+b+c+d+e+f＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了代数式求值，掌握代数式求值的方法是关键． 15．（2025秋•雷州市期末）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2025，则当x＝﹣1时，px3+qx+1的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝1时，px3+qx+1＝p+q+1＝2025， ∴p+q＝2024， ∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣2024+1＝﹣2023． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 16．（2025秋•丰泽区校级期末）若，则a0+2026的值为（　　） A．2010 B．2018 C．2034 D．2042 【分析】把特殊值x＝0代入后，进行计算求解． 【解答】解：当x＝0时， （3x﹣2）4 ＝（3×0﹣2）4 ＝（﹣2）4 ＝16， ∴a0＝16， ∴a0+2026＝16+2026＝2042， 故选：D． 【点评】此题考查了代数式的求值能力，关键是能正确理解并运用特殊值法进行计算． 【考点4】整体代入法（第17-19题） · 观察代数式与已知整体的关系 · 先变形再整体代入 · 系数配凑整体 · 不求单个字母值 17．（2025秋•江门期末）已知式子x+2y的值是﹣3，则式子2x+4y+1的值是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当x+2y＝﹣3时，原式＝2（x+2y）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 18．（2025秋•栖霞区校级期末）当x＝﹣2时，式子2x2﹣3ax+7的值为3，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】将x＝﹣2代入式子2x2﹣3ax+7，并令其等于3，解方程求a即可． 【解答】解：由题意可得： ∴2×（﹣2）2﹣3a×（﹣2）+7＝3， ∴8+6a+7＝3， ∴15+6a＝3， ∴6a＝3﹣15＝﹣12， ∴a＝﹣12÷6＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次方程，正确进行计算是解题关键． 19．（2025秋•盘锦校级期末）在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘A（固定）中放置一个重物，在右侧托盘B（可左右移动）．中放置一个质量为8g的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与支点C的距离xcm（0＜x≤50），记录容器与水的总质量yg的数据如下： 托盘B与点C的距离x/cm 50 40 25 20 10 容器与水的总质量 10 12.5 20 25 50 当托盘B与支点C的距离x＝5时，容器与水的总质量y的值为　100　 ． 【分析】根据表格数据可得y与x的乘积不变，成反比例，据此即可求解． 【解答】解：y与x的乘积不变，成反比例，xy＝500， ∴当托盘B与支点C的距离x＝5时，容器与水的总质量y的值为， 故答案为：100． 【点评】本题主要考查反比例关系的应用，根据各数量之间的关系写出关系式是解题的关键． 【考点5】创新及压轴题（第20-23题） · 运算程序按流程 · 找规律从特殊到一般 · 新情境转化为代数式 · 赋值法求系数和 20．（2025秋•京口区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【尝试】 （1）若数抽上点P表示数为﹣3，将点P向右移动5个单位长度到点Q，则终点Q表示的数是 　2　 ；P、Q两点之间的距离是 　5　 ． （2）若数抽上点P表示数为3，将点P先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到点Q，则终点Q表示的数是 　4　 ，P、Q两点之间的距离是 　1　 ． 【归纳】一般地，若点P表示的数为m，将点P向右移动n（n＞0）个单位长度，再向左移动p（p＞0）个单位长度到达终点Q，则终点Q表示的数是 m+n﹣p ，P、Q两点之间的距离是 　|n﹣p|　 ． 【应用】甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点A表示的数是﹣5，乙选择的游戏起点B表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如表： “剪刀、石头、布”的结果 A、B两点移动方式 平局 点A向右移动0.5个单位，点B向左移动0.5个单位 甲胜 点A向右移动2个单位，点B向右移动1个单位 乙胜 点A向左移动1个单位，点B向左移动2个单位 设甲、乙两人共进行了k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）． ①当k＝3时，其中平局一次，甲胜一次，点A最终位置表示的数为 　﹣3.5　 ，点B最终位置表示的数为 　1.5　 ，此时A、B两点间的距离为 　5　 ． ②当k＝10时，其中平局x次，甲胜y次，点A最终位置表示的数为 　1.5x+3y﹣15　 （用含x、y的式子表示），点B最终位置表示的数为 　1.5x+3y﹣17　 （用含x、y的式子表示），此时A、B两点间的距离为 　2　 ． 【分析】【尝试】（1）根据“向左移动就减，向右移动就加”和两点之间的距离公式求解； （2）根据“向左移动就减，向右移动就加”和两点之间的距离公式求解； 【归纳】根据“向左移动就减，向右移动就加”和两点之间的距离公式求解； 【应用】根据“向左移动就减，向右移动就加”和两点之间的距离公式求解． 【解答】解：【尝试】（1）﹣3+5＝2，PQ＝|2﹣（﹣3）|＝5， 故答案为：2，5； （2）3﹣4+5＝4，AB＝|3﹣4|＝1， 故答案为：4，1； 【归纳】终点B表示的数是：m+n﹣p，AB＝|m+n﹣p﹣m|＝|n﹣p|， 故答案为：m+n﹣p，|n﹣p|； 【应用】①当k＝3时，点A最终位置表示的数为﹣5+0.5+2﹣1＝﹣3.5， 点B最终位置表示的数为 3﹣0.5+1﹣2＝1.5， 此时A、B两点间的距离为|1.5﹣（﹣3.5）|＝5， 故答案为：﹣3.5，1.5，5； ②﹣5+0.5x+2y﹣（10﹣x﹣y）＝1.5x+3y﹣15， 3﹣0.5x+y﹣2（10﹣x﹣y）＝1.5x+3y﹣17， |1.5x+3y﹣15﹣（1.5x+3y﹣17）|＝2， 故答案为：1.5x+3y﹣15，1.5x+3y﹣17，2． 【点评】本题考查了代数式的值，数轴和列代数式，掌握数轴上点的移动规律和两点之间的距离公式是解题的关键． 21．（2025秋•南开区期末）小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为10cm；如图②，5个纸杯的高度为14cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（2n+4）cm B．（2n+3）cm C．（n+10）cm D．（n+8）cm 【分析】先求出每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高2cm，再列代数式即可． 【解答】解：由题意可得：每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：（14﹣10）÷（5﹣3）＝2cm， ∴把n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为：10+（n﹣3）×2＝（2n+4）cm． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 22．（2026春•江都区期中）如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若a+b＝3，ab＝2，求图中盲区的总面积． 【分析】（1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）由a+b＝3，ab＝2，可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝5，再整体代入法求解即可． 【解答】解：（1）由图可得， 盲区的总面积为：2+（2b）•（2b）•2a ＝4ab+6b2+4b2+10a2﹣4ab ＝10a2+10b2； （2）∵a+b＝3，ab＝2， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝32﹣2×2 ＝9﹣2×2 ＝9﹣4 ＝5， ∴10a2+10b2＝10（a2+b2）＝10×5＝50， 即图中盲区的总面积为50． 【点评】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，利用完全平方公式的变形求解图形面积，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键． 23．（2025秋•白云区期末）【综合与实践】 在数学研究中，特殊一一般一类比推广，是我们几何常用的探究方式． O是直线AB上的一定点，射线OC与射线OD都在直线AB的上方，且∠COD＝90°． 【特殊】 （1）如图，当OE平分∠BOC，且∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数； 【一般】 （2）当OE平分∠BOC，且∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，请用含α的代数式表示∠DOE，并证明你的结论； 【类比推广】 （3）当，且∠AOC＝α（0°＜α＜180°且α≠45°）时，请用含α的代数式表示∠DOE，直接写出你的结论． 【分析】（1）首先确定∠BOC的度数，再根据角平分线的定义确定∠COE，然后由∠DOE＝∠COD﹣∠COE求解即可； （2）首先确定∠BOC＝180°﹣α，再根据角平分线的定义可知，然后由∠DOE＝∠COD﹣∠COE求解即可； （3）首先确定当∠BOE＝∠BOD，即OD，OE在同一直线上时，α＝45°，此时不符合题意；然后分当0＜α＜45°时和45°＜α＜180°时两种情况讨论，即可获得答案． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝20°； （2），证明如下： 当OE平分∠BOC，且∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时， ∵∠AOC＝α， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴； （3）当0＜α＜45°时，；当45°＜α＜180°时，，证明如下： 当，且∠AOC＝α（0°＜α＜180°且α≠45°）时， 根据题意，∠AOC＝α，， ∴∠BOC＝180°﹣α，∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°﹣α， ∵， ∴， 当∠BOE＝∠BOD，即OD，OE在同一直线上时， 可得，解得α＝45°，此时不符合题意， ①当0＜α＜45°时，如图所示， 此时； ②当45°＜α＜180°时，如图所示， 此时． 综上所述，当0＜α＜45°时，；当45°＜α＜180°时，． 【点评】本题主要考查了角平分线、几何图形中角度计算等知识，正确理解题意，理清各角关系是解题关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•洛宁县期末）下列代数式与文字表述，不正确的是（　　） A．a的立方与b的和可表示为a3+b B．a，b两数的差的立方可表示为（a﹣b）3 C．（x+y）2可叙述为“x与y两数和的平方” D．若x比y的3倍少2，则y可用含x的代数式表示为 【分析】根据各个量之间的关系，即可列代数式进行判断． 【解答】解：A、a的立方与b的和可表示为a3+b是正确的，不符合题意； B、a，b两数的差的立方可表示为（a﹣b）3是正确的，不符合题意； C、（x+y）2可叙述为“x与y两数和的平方”是正确的，不符合题意； D、若x比y的3倍少2，则y可用含x的代数式表示为，原来的说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 【练习 2】（2025秋•苏州校级期末）已知m2+mn+1＝0，n2+3mn+7＝0，则2m2+11mn+3n2的值是（　　） A．﹣27 B．﹣23 C．﹣21 D．﹣8 【分析】通过将已知等式分别乘以适当的系数后相加，构造出目标表达式，从而求解． 【解答】解：∵m2+mn+1＝0， ∴2（m2+mn+1）＝0， 即2m2+2mn+2＝0①， ∵n2+3mn+7＝0， ∴3（n2+3mn+7）＝0， 即3n2+9mn+21＝0②． ①+②得：（2m2+2mn+2）+（3n2+9mn+21）＝0， ∴2m2+11mn+3n2+23＝0， ∴2m2+11mn+3n2＝﹣23． 故选：B． 【点评】本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•武威期末）实数a满足a2﹣3a﹣3＝0，则﹣2a2+6a+2031的值为　2025　 ． 【分析】由已知方程变形得到a2﹣3a的值，然后代入计算即可． 【解答】解：由条件可得a2﹣3a＝3， 则原式＝﹣2（a2﹣3a）+2031＝﹣2×3+2031＝﹣6+2031＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题考查了代数式的求值，熟练掌握该知识点是关键． 【练习 4】（2023秋•秦都区校级期中）如图是某小区的一块长为b米、宽为2a米的长方形草地，现在在该长方形的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花台．（π取3） （1）求修建后剩余草坪（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）当a＝10，b＝40时，剩余草坪的面积是多少平方米？ 【分析】（1）用矩形的面积减去四个圆的面积列出算式，再整理可得； （2）将a和b的值代入计算可得． 【解答】解：（1）修建后剩余草坪的面积为2ab﹣4πa2＝2ab﹣πa2（平方米）． （2）当a＝10，b＝40时， 剩余草坪的面积2ab﹣πa2＝2×10×40﹣3×102＝800﹣300＝500（平方米）． 【点评】此题考查列代数式，代数式求值，关键是观察图形，要明确草坪的面积等于长方形的面积减去半径为a的圆的面积． 【练习 5】（2025秋•临夏州期末）积石山气候适宜、土壤肥沃，盛产花椒、党参等特色农产品．某特产店出售包装好的优质花椒，其销售数量x（单位：袋）与售价y（单位：元）之间的关系如表（表中0.2元是固定包装费）： 销售数量x/袋 1 2 3 4 … 售价y/元 2.3+0.2 4.6+0.2 6.9+0.2 9.2+0.2 … （1）写出用销售数量x表示售价y的代数式； （2）求20袋花椒的售价； （3）若买这种花椒花费了23.2元，问买了多少袋？ 【分析】（1）根据表格中的数据，可得出每袋花椒的售价为2.3元，结合售价＝2.3×花椒的代数式+固定包装费，即可用销售数量x表示售价y的代数式； （2）代入x＝20，求出y值即可； （3）代入y＝23.2，求出x值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝2.3x+0.2； （2）当x＝20时，y＝2.3×20+0.2＝46.2． 答：20袋花椒的售价为46.2元； （3）当y＝23.2时，2.3x+0.2＝23.2， 解得：x＝10． 答：买了10袋． 【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各数量之间的关系，用销售数量x表示售价y的代数式是解题的关键． 【练习 6】（2025秋•呼玛县期末）某商场在“双十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： ①如果不超过500元，则不予优惠； ②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠； ③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠． （1）促销期间，小红看中两件商品，若单独购买，则应分别付款480元和520元；若合并购买，则她总共只需付款 　838或910　 元． （2）促销期间，小红选中的某商品标价为a元（a＞800），则她应需付款 　（0.6a+160）　 元． （3）促销期间，若小红在该商场先后购买过A，B两件商品，最后发现两件商品标价总额为2000元（B商品金额更大），设A商品标价总额为x元，求小红两次购物总共付款多少钱？ 【分析】（1）根据相应的优惠方法进行运算即可； （2）对照相应的优惠标准进行求解即可； （3）分类进行讨论，从而可求相应的值． 【解答】解：（1）设付款520元的衣服的原价为x，则有： 【练习 7】8x＝520， 解得：x＝650， 设付款480元的衣服的原价为y，则有： 【练习 8】8y＝480， 解得：y＝600， ∴当480元的衣服是原价时：480+650＝1130（元）， 则合并购买需付款为：800×80%+（1130﹣800）×60%＝640+198＝838（元）； 当480元的衣服不是原价时：600+650＝1250（元）， 则合并购买需付款为：800×80%+（1250﹣800）×60%＝640+270＝910（元）． 故答案为：838或910； （2）小红应付款为：800×80%+（a﹣800）×60% ＝640+0.6a﹣480 ＝0.6a+160， 故答案为：（0.6a+160）； （3）当x＜500时，2000﹣500＝1500＞800，则应付款为：x+0.8×800+0.6（2000﹣x﹣800）＝1360+0.4x（元）； 当500≤x≤800时，2000﹣800＝1200＞800，则应付款为：0.8x+0.8×800+0.6（2000﹣x﹣800）＝1360+0.2x（元）； 当800＜x＜1000时，2000﹣1000＝1000＞800，则应付款为：0.8×800+0.6（x﹣800）+0.8×800+0.6（2000﹣x﹣800）＝1520（元）． 【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． 💯 课后巩固 复习建议 · 列代数式：先找数量关系，注意“平方差a2−b2”与“差的平方(a−b)2”的区别 · 代入求值：字母值加括号代入，先化简再代入更简便 · 整体代入：把已知整体式子直接代入，注意系数配凑变形 · 赋值法：令字母取特殊值（如x=1）求展开式系数和 · 几何问题用“整体−空白”求阴影面积，边长变化用差式 【作业 1】（2025秋•衡阳期末）已知x+y＝1，则2x+2y﹣（x+y）2＝　1　 ． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当x+y＝1时，原式＝﹣（x+y）2+2（x+y）＝﹣12+2×1＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【作业 2】（2025秋•韩城市期中）一个两位数M，个位上的数字为a，十位上的数字为b，若把个位与十位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则M﹣N的值为 　9b﹣9a ． 【分析】先求出M和N，再计算M﹣N即可． 【解答】解：∵一个两位数M，个位上的数字为a，十位上的数字为b， ∴M＝10b+a， ∵个位与十位上的数字交换位置得到一个新两位数N， ∴N＝10a+b， ∴M﹣N＝10b+a﹣10a﹣b＝9b﹣9a， 故答案为：9b﹣9a． 【点评】本题考查的是列代数，正确理解题意并列出代数式是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•金山区期末）用代数式表示：m与n的差的平方 　（m﹣n）2 ． 【分析】根据题意，可以用m、n的代数式表示出m与n的差的平方． 【解答】解：由题意可得， m与n的差的平方是：（m﹣n）2， 故答案为：（m﹣n）2． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【作业 4】（2026•湖州一模）若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，2a+b＝15，则两位数的数值是　63　 ． 【分析】按定义列出方程（10a+b）﹣（10b+a）＝27，求出a、b的值即可． 【解答】按定义列出方程（10a+b）﹣（10b+a）＝27，求出a、b的值即可．解：由题意得，， ∵， ∴（10a+b）﹣（10b+a）＝27， 整理得9a﹣9b＝27，即a﹣b＝3， 联立得方程组 ， 将两个方程相加，得3a＝18， 解得a＝6， 把a＝6代入a﹣b＝3，得b＝3， ∴． 故答案为：63． 【点评】本题考查了列代数式．明确新的定义是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•河东区期末）某商品进价为每件a元，商店将价格提高20%为零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动，这时每件商品的售价为　0.96a 元（用含a的代数式表示）． 【分析】利用“旺季后价格＝旺季价格，旺季价格＝进价×（1+提高的百分数）”列出代数式并计算． 【解答】解：由题意，得a×（1+20%）×0.8 ＝1.2×0.8a ＝0.96a（元）． 故答案为：0.96a． 【点评】本题考查了列代数式，掌握销售类问题的等量关系是解决本题的关键． 【作业 6】（2026春•三水区期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）． （1）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）2，结论①； 图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：a2+b2+2ab ，结论② 图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：c2+2ab ，结论③． （2）思考： 结合结论①和结论②，可以得到一个等式 　（a+b）2＝a2+b2+2ab ． 结合结论②和结论③，可以得到一个等式 a2+b2＝c2 ． （3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且．S1+S2+S3＝20，求S2的值． （4）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a＝3，b＝4，斜边c＝5，求图中阴影部分面积和． 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积； （2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （3）根据结论②求出S1+S3＝S2，然后进行计算即可得解； （4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【解答】解：（1）图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； 故答案为：a2+b2+2ab，c2+2ab； （2）结合结论①和结论②，可以得到一个等式：（a+b）2＝a2+b2+2ab； 结合结论②和结论③，可以得到一个等式：（a+b）2＝c2+2ab，即a2+b2＝c2． 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab，a2+b2＝c2． （3）， ∵a2+b2＝c2， ∴， ∵S1+S2+S3＝20， ∴2S2＝20， 解得S2＝10； （4）由（3）可知：S1+S3＝S2， ∴阴影部分面积和为：， ∵a＝3，b＝4， ∴阴影部分面积和为：． 【点评】本题考查了列代数式，整式的运算的运用，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•离石区期末）某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）． （1）若该班需购买乒乓球x盒，用含x的式子分别表示在甲、乙两家商店购买的费用； （2）若购买40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ 【分析】（1）在甲商店购买是5副球拍的钱加上（x﹣5）盒乒乓球的钱，在乙商店购买是5副球拍加上x盒乒乓球的总价乘以0.9； （2）求出当x＝40时，甲、乙两商店需要的费用，比较谁更合算． 【解答】解：（1）在甲商店买需要的费用是100×5+25（x﹣5）＝（25x+375）元， 在乙商店买需要的费用是（100×5+25x）×0.9＝（22.5x+450）元； （2）当x＝40时， 甲：25×40+375＝1375（元）， 乙：22.5×40+450＝1350（元）， 因为1375＞1350， 所以去乙商店购买更合算． 【点评】本题考查列代数式和代数式求值的应用，解题的关键是根据题意列出代数式． 【作业 8】（2023秋•甘井子区期末）大连市新中考体育考试，新增专项技能三选一项目考试（足，篮，排），其中篮球项目为：运球绕杆往返．为更好地提高学生篮球专项技能，某校为学生制定了训练 计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线l处开始运球，到达折返线m后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小红在活动一中速度是在活动二中速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为x米/秒． （1）假设小红参加两项活动球均未掉落，求小红在两项活动中的用时相差多少秒？（用含x的式子表示） （2）若小红在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小红在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线A→B→C…→M运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，小红和小强依次完成活动三后，小强说：“咱俩共用时42秒．”小红说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米．”求这两名同学各跑了多少秒？ 【分析】（1）根据题意，利用分式减法运算求解即可； （2）根据题意，列出分式方程，求解即可； （3）根据题意，设小红跑了t秒，则小强跑了（42﹣t）秒，列出分式方程，求解即可． 【解答】解：（1）（秒）， 答：小红在两项活动中的用时相差秒． （2）4＝28， 化简，得24， 解得：x， 检验：当x时，7x≠0， ∴原分式方程的解为x， ∴1.4x＝1.44， 答：小红在活动一中的速度为4米/秒． （3）设小红跑了t秒，则小强跑了（42﹣t）秒， ∴， 解得：t＝27， 检验：当t＝27时，42﹣t≠0， ∴原分式方程的解为t＝27， ∴42﹣t＝42﹣27＝15（秒）， 答：小红同学跑了27秒，小强同学跑了15秒． 【点评】本题考查分式方程解实际应用题，解题的关键是读懂题意和掌握分式方程的解法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 列代数式与代数式的值 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能列代数式表示简单数量关系 · 会求代数式的值（直接代入法） · 掌握整体代入法求代数式的值 · 能根据几何图形列代数式 · 能解决列代数式的实际应用与创新问题 📚 知识梳理 ☆ 1.简单的列代数式 代数式：用运算符号把数与字母连接起来的式子（单独的数或字母也是代数式） 列代数式步骤：读题找数量关系→设字母→按关系写式子 关键词翻译：和、差、积、商、倍、几分之几 「a与b的平方差」写a2−b2；「a与b的差的平方」写(a−b)2 概念辨析例题：“m与1的差的2倍”用代数式表示为______ 解析：先求差m−1，再取2倍，所以为2(m−1)。注意“差的2倍”整体是2×(m−1)，不是2m−1。 ☆ 2.代数式与几何 几何图形求面积、周长可列代数式 阴影面积=大图形面积−空白面积 边长变化：正方形边长增加2，面积增加(a+2)2−a2 分割图形：各部分面积之和等于整体面积 概念辨析例题：一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了______ 解析：原面积a2，增加后面积(a+2)2=a2+4a+4，增加量=(a+2)2−a2=4a+4。 ☆ 3.代入求值 求代数式的值：把字母的值代入式子计算 代入时注意负数、分数用括号括起来 先化简再代入可使计算简便 运算程序（流程图）求值：按流程逐步计算 概念辨析例题：当x＝−1时，求代数式3x+2的值 解析：代入：3×(−1)+2=−3+2=−1。注意把x=−1整体代入，−1要用括号。 ☆ 4.整体代入法 当无法直接求出每个字母的值时，把整个式子看作一个整体代入 已知x+2y=−3，求2x+4y+1：先变形2(x+2y)+1 利用恒等式（如(x−2)5展开系数和）赋值代入 整体思想是代数求值的重要方法 概念辨析例题：已知x+2y的值是−3，则式子2x+4y+1的值是______ 解析：2x+4y+1=2(x+2y)+1=2×(−3)+1=−6+1=−5。整体代入x+2y=−3即可，不需分别求x、y。 ☆ 5.创新及压轴题 运算程序图：按输入→计算→输出流程 规律探究：从特殊到一般找规律列式 新情境定义：密码规则、日历圈数等转化为代数式 整体与赋值法：给字母特殊值求系数和 概念辨析例题：已知(x−2)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=______ 解析：令x=1代入：左边=(1−2)5=(−1)5=−1，右边=a+b+c+d+e+f，所以a+b+c+d+e+f=−1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 代数式 用运算符号连接数与字母 单独数或字母也是代数式 列式关键词 和差积商、倍、几分之几 “平方差”与“差的平方”不同 代入求值 字母值代入原式 负数分数加括号 整体代入 把整体式子代入 先变形出整体 赋值法 令x取特殊值 常用于系数和 ⚠️ 核心考点 【考点1】简单的列代数式（第1-5题） · 找数量关系再列式 · 注意关键词顺序（差的平方vs平方差） · 乘号省略、系数写前 · 检查是否符合题意 1．（2026春•镇江月考）边长分别为2a和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（　　） A．2a2 B．2 C．5a2﹣3a D．72a2 2．（2025秋•河东区期中）如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东6km处设置第一个广告牌，之后每往东10km就设置一个广告牌．一汽车在A地的东2km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　） A．10n+6 B．10n+2 C．10n﹣2 D．10n﹣6 3．（2025秋•潮安区期末）“m与1的差的2倍”用代数式可以表示成（　　） A．2m﹣1 B．m﹣2 C．2（1﹣m） D．2（m﹣1） 4．（2025秋•运城月考）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把办公椅80元．各自的优惠方案如下：甲厂家：买一张桌子送三把椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价的八折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干把办公椅，设购买办公椅x把（x≥9），则下列说法错误的是（　　） A．若在甲厂家购买需付（1680+80x）元 B．若在乙厂家购买需付（1920+64x）元 C．若购买15把办公椅，则在甲厂家购买划算 D．若购买20把办公椅，则在乙厂家购买划算 5．（2026•贵州）a，b两数的平方差用代数式可表示为（　　） A．a2﹣b2 B．a﹣b2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b 【考点2】代数式与几何（第6-10题） · 面积用整体减空白 · 周长列式 · 分割图形分部分求和 · 边长变化写差式 6．（2025秋•北仑区期末）现代密码学与数学有着密切关系．密码学爱好者小北制定了一种数字和字母相对应的密码规则，他将26个英文字母a，b，c…z依次对应正整数1～26，并摆放到如图所示的密码盘中，其中1～12位于内圈，依次对应字母a～l；13～26位于外圈，依次对应字母m～z．内外圈的数字均绕中心点O顺时针转动，且每转动一个单位便对应其相邻数字．现定义一种密文a[m]，表示数字a顺时针转动m个单位后所对应的数字，而该数字所对应的字母即为明文．例如：接收的密文内容为“15[3]3[2]1[15]”，15[3]表示外圈数字15顺时针转动3个单位后对应的数字，即15[3]＝18，对应英文字母“r”；同理3[2]＝5，对应英文字母“e”；1[15]＝4，对应英文字母“d”，所以密文破译后的明文为“red”．若小北向小仑传输的密文为“24[3]2[23]15[200]10[2026]”，则小仑破译后的明文应为（　　） A．“make” B．“mash” C．“milk” D．“math” 7．（2025秋•南岗区期末）某同学在10月的日历上圈出了三个数a，b，c，设a＝x，并求出它们的和为3x+24，则这三个数在日历中的排位位置是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 8．（2024秋•威县校级期末）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，则阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（　　） A．x﹣y+5 B．2x+y+5 C．2x﹣y+5 D．x+y+5 9．（2023秋•阿荣旗期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+3）（x+2）﹣2 B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．x2+3x+6 10．（2026春•东海县期末）一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 【考点3】代入求值（第11-16题） · 代入时负数加括号 · 先化简再代入 · 运算程序逐步算 · 恒等式赋值法 11．（2025秋•路南区期末）已知3x﹣y+5＝0，则代数式2y﹣6x+7的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．﹣17 12．（2026•南沙区二模）当x＝﹣1时，代数式3x+2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 13．（2025秋•博山区期末）按如图所示的运算程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．68 B．4 C．﹣2 D．﹣8 14．（2026春•西安校级期中）已知（x﹣2）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32 D．243 15．（2025秋•雷州市期末）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2025，则当x＝﹣1时，px3+qx+1的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023 16．（2025秋•丰泽区校级期末）若，则a0+2026的值为（　　） A．2010 B．2018 C．2034 D．2042 【考点4】整体代入法（第17-19题） · 观察代数式与已知整体的关系 · 先变形再整体代入 · 系数配凑整体 · 不求单个字母值 17．（2025秋•江门期末）已知式子x+2y的值是﹣3，则式子2x+4y+1的值是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 18．（2025秋•栖霞区校级期末）当x＝﹣2时，式子2x2﹣3ax+7的值为3，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 19．（2025秋•盘锦校级期末）在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘A（固定）中放置一个重物，在右侧托盘B（可左右移动）．中放置一个质量为8g的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与支点C的距离xcm（0＜x≤50），记录容器与水的总质量yg的数据如下： 托盘B与点C的距离x/cm 50 40 25 20 10 容器与水的总质量 10 12.5 20 25 50 当托盘B与支点C的距离x＝5时，容器与水的总质量y的值为________ ． 【考点5】创新及压轴题（第20-23题） · 运算程序按流程 · 找规律从特殊到一般 · 新情境转化为代数式 · 赋值法求系数和 20．（2025秋•京口区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【尝试】 （1）若数抽上点P表示数为﹣3，将点P向右移动5个单位长度到点Q，则终点Q表示的数是 _____ ；P、Q两点之间的距离是 _____ ． （2）若数抽上点P表示数为3，将点P先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到点Q，则终点Q表示的数是 _____ ，P、Q两点之间的距离是 _____ ． 【归纳】一般地，若点P表示的数为m，将点P向右移动n（n＞0）个单位长度，再向左移动p（p＞0）个单位长度到达终点Q，则终点Q表示的数是 __________ ，P、Q两点之间的距离是 __________ ． 【应用】甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点A表示的数是﹣5，乙选择的游戏起点B表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如表： “剪刀、石头、布”的结果 A、B两点移动方式 平局 点A向右移动0.5个单位，点B向左移动0.5个单位 甲胜 点A向右移动2个单位，点B向右移动1个单位 乙胜 点A向左移动1个单位，点B向左移动2个单位 设甲、乙两人共进行了k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）． ①当k＝3时，其中平局一次，甲胜一次，点A最终位置表示的数为 _________ ，点B最终位置表示的数为 ________ ，此时A、B两点间的距离为 _____ ． ②当k＝10时，其中平局x次，甲胜y次，点A最终位置表示的数为 _______________ （用含x、y的式子表示），点B最终位置表示的数为 _______________ （用含x、y的式子表示），此时A、B两点间的距离为 _____ ． 21．（2025秋•南开区期末）小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为10cm；如图②，5个纸杯的高度为14cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（2n+4）cm B．（2n+3）cm C．（n+10）cm D．（n+8）cm 22．（2026春•江都区期中）如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若a+b＝3，ab＝2，求图中盲区的总面积． 23．（2025秋•白云区期末）【综合与实践】 在数学研究中，特殊一一般一类比推广，是我们几何常用的探究方式． O是直线AB上的一定点，射线OC与射线OD都在直线AB的上方，且∠COD＝90°． 【特殊】 （1）如图，当OE平分∠BOC，且∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数； 【一般】 （2）当OE平分∠BOC，且∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，请用含α的代数式表示∠DOE，并证明你的结论； 【类比推广】 （3）当，且∠AOC＝α（0°＜α＜180°且α≠45°）时，请用含α的代数式表示∠DOE，直接写出你的结论． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•洛宁县期末）下列代数式与文字表述，不正确的是（　　） A．a的立方与b的和可表示为a3+b B．a，b两数的差的立方可表示为（a﹣b）3 C．（x+y）2可叙述为“x与y两数和的平方” D．若x比y的3倍少2，则y可用含x的代数式表示为 【练习 2】（2025秋•苏州校级期末）已知m2+mn+1＝0，n2+3mn+7＝0，则2m2+11mn+3n2的值是（　　） A．﹣27 B．﹣23 C．﹣21 D．﹣8 【练习 3】（2025秋•武威期末）实数a满足a2﹣3a﹣3＝0，则﹣2a2+6a+2031的值为_________ ． 【练习 4】（2023秋•秦都区校级期中）如图是某小区的一块长为b米、宽为2a米的长方形草地，现在在该长方形的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花台．（π取3） （1）求修建后剩余草坪（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）当a＝10，b＝40时，剩余草坪的面积是多少平方米？ 【练习 5】（2025秋•临夏州期末）积石山气候适宜、土壤肥沃，盛产花椒、党参等特色农产品．某特产店出售包装好的优质花椒，其销售数量x（单位：袋）与售价y（单位：元）之间的关系如表（表中0.2元是固定包装费）： 销售数量x/袋 1 2 3 4 … 售价y/元 2.3+0.2 4.6+0.2 6.9+0.2 9.2+0.2 … （1）写出用销售数量x表示售价y的代数式； （2）求20袋花椒的售价； （3）若买这种花椒花费了23.2元，问买了多少袋？ 【练习 6】（2025秋•呼玛县期末）某商场在“双十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： ①如果不超过500元，则不予优惠； ②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠； ③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠． （1）促销期间，小红看中两件商品，若单独购买，则应分别付款480元和520元；若合并购买，则她总共只需付款 ____________ 元． （2）促销期间，小红选中的某商品标价为a元（a＞800），则她应需付款 _______________ 元． （3）促销期间，若小红在该商场先后购买过A，B两件商品，最后发现两件商品标价总额为2000元（B商品金额更大），设A商品标价总额为x元，求小红两次购物总共付款多少钱？ 💯 课后巩固 复习建议 · 列代数式：先找数量关系，注意“平方差a2−b2”与“差的平方(a−b)2”的区别 · 代入求值：字母值加括号代入，先化简再代入更简便 · 整体代入：把已知整体式子直接代入，注意系数配凑变形 · 赋值法：令字母取特殊值（如x=1）求展开式系数和 · 几何问题用“整体−空白”求阴影面积，边长变化用差式 【作业 1】（2025秋•衡阳期末）已知x+y＝1，则2x+2y﹣（x+y）2＝_____ ． 【作业 2】（2025秋•韩城市期中）一个两位数M，个位上的数字为a，十位上的数字为b，若把个位与十位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则M﹣N的值为 __________ ． 【作业 3】（2025秋•金山区期末）用代数式表示：m与n的差的平方 ___________ ． 【作业 4】（2026•湖州一模）若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，2a+b＝15，则两位数的数值是_______ ． 【作业 5】（2025秋•河东区期末）某商品进价为每件a元，商店将价格提高20%为零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动，这时每件商品的售价为__________ 元（用含a的代数式表示）． 【作业 6】（2026春•三水区期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）． （1）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）2，结论①； 图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：______________ ，结论② 图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：___________ ，结论③． （2）思考： 结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ____________________ ． 结合结论②和结论③，可以得到一个等式 _____________ ． （3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且．S1+S2+S3＝20，求S2的值． （4）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a＝3，b＝4，斜边c＝5，求图中阴影部分面积和． 【作业 7】（2025秋•离石区期末）某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）． （1）若该班需购买乒乓球x盒，用含x的式子分别表示在甲、乙两家商店购买的费用； （2）若购买40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ 【作业 8】（2023秋•甘井子区期末）大连市新中考体育考试，新增专项技能三选一项目考试（足，篮，排），其中篮球项目为：运球绕杆往返．为更好地提高学生篮球专项技能，某校为学生制定了训练 计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线l处开始运球，到达折返线m后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小红在活动一中速度是在活动二中速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为x米/秒． （1）假设小红参加两项活动球均未掉落，求小红在两项活动中的用时相差多少秒？（用含x的式子表示） （2）若小红在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小红在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线A→B→C…→M运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，小红和小强依次完成活动三后，小强说：“咱俩共用时42秒．”小红说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米．”求这两名同学各跑了多少秒？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $