专题14一元一次方程的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用，系统梳理从审题挖掘等量关系、掌握审设列解验答完整步骤，到熟悉和差倍分、行程、工程等常见模型的知识脉络，构建从基础方法到实际问题解决的学习支架。 资料通过15类分层题型（如配套问题、销售盈亏）及易错点辨析，引导学生用数学眼光发现现实问题中的数量关系，用数学思维推理列方程求解，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生强化练习，查漏补缺，提升应用意识与建模能力。

专题14一元一次方程的应用精讲学案 核心立意 学会审题挖掘等量关系，掌握列一元一次方程解应用题完整步骤，熟悉常见实际问题模型；会灵活选用直接、间接设未知数，列方程求解，重点注意解要符合现实实际意义，为本章重难点。 列方程解应用题的一般步骤 1. 审：审题，读懂题意，分清已知量、未知量；从“等于、比…多、比…少、总共”语句中找出核心等量关系（解题最关键） 2. 设：设未知数。分两种 直接设：问什么就设什么为x； 间接设：直接设不好列式时，设中间量为x。注意写单位。 3. 列：根据等量关系，列出一元一次方程。 4. 解：解这个一元一次方程，求出未知数的值。 5. 验：两层检验：①检验是否是方程的解；②检验结果是否符合现实实际意义（人数、物品不能负数，部分要取整数）。 6. 答：完整作答，带上单位。 口诀：审、设、列、解、验、答。 高频常见模型与等量关系 和差倍分问题 关键词：多、少、几倍、几分之几。 等量关系：较大量=较小量±差值；总量=各部分量之和。 行程问题 基本公式：路程=速度时间 ①相遇问题：两者路程之和 = 总路程； ②追及问题：快的路程 − 慢的路程 = 路程差； ③航行问题： 顺水速度=静水速度+水流速度； 逆水速度=静水速度−水流速度。 工程问题 把总工作量一般看作1 基本公式：工作量=工作效率工作时间； 等量关系：各部分工作量相加 = 总工作量。 销售利润问题 利润 = 售价 − 进价（成本） 利润率 = 100\% 售价 = 标价 × 折扣（折扣要换算，8折就是×0.8） 配套问题 关键：抓住配套比例。 例：一个甲配两个乙，则：甲的数量:乙的数量=1:2， 转化等式：2甲数量=1乙数量。 方案选择问题 ①先求出方案数值相等的临界点；②分别算出不同方案对应结果；③对比大小选出最优方案。 数字问题 两位数：十位数字a，个位数字b，这个两位数表示：10a+b，不能直接写成ab。 重点辨析 1. 设未知数、答句必须带单位；方程里面不要写单位。 2. 解方程得到的解数学上成立，但不一定符合现实。例如人数算出来小数，要舍去。 3. 等量关系不要拿题目问句来列方程；要用题目里面描述数量关系的句子。 4. 配套问题比例容易写反，一定要交叉相乘化成等式。 5. 利润率是相对于进价（成本），不是标价或者售价。 6. 直接设不好列式时，优先考虑间接设未知数。 ①找不到等量关系，凭感觉列方程。 ②单位不统一（行程：千米和米，小时和分钟，计算前要统一单位）。 ③配套比例写颠倒，等式列错。 ④打折计算错误，直接乘8而不是乘0.8。 ⑤只检验方程，忽略实际意义，出现负数、小数人数不做取舍。 ⑥数字问题，错误把两位数写成ab，正确是10a+b。 ⑦忘记写答，或者答不带单位。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★★ 题型二 工程问题 ★★★★ 题型三 销售盈亏问题 ★★★★ 题型四 比赛积分问题 ★ 题型五 方案选择 ★★★★ 题型六 数字问题 ★★★★ 题型七 几何问题 ★★★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★★★ 题型十 电费和水费问题 ★★★★ 题型十一 行程问题 ★★★★ 题型十二 比例分配 ★★★ 题型十三 日历问题 ★★★ 题型十四 古代问题 ★★★ 题型十五 其他问题 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频必考；★★★★难点压轴 题型一：配套问题 解题思路：①审题找出部件配套比例；②设生产某部件人数为x，另一类人数用总人数-x表示；③利用比例交叉相乘列等量关系式；④解方程；⑤检验结果为正整数，符合实际；⑥作答。 1．服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装．现有66名工人生产，每天最多能生产( )套． 【答案】168 【分析】要使每天生产的服装套数最多，需保证生产的上衣总数等于裤子总数，通过列方程求解生产上衣的工人数，再计算总套数． 【详解】解：设安排名工人生产上衣，则名工人生产裤子， 由题意得 ， 解得 ， ∴每天生产的总套数为 ． 2．如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【答案】A 【分析】根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可． 【详解】解：∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． 3．某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 【答案】加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】设加工螺栓x人，则加工螺母人，根据螺栓的个数的2倍等于螺母的个数，列方程求解即可； 【详解】解：设加工螺栓x人，则加工螺母人， 根据题意可得， 解得：， 答：加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 4．在数学综合实践活动中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体： 40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个A型几何体， 30个“三角插”基本单元和20个“圆部式”基本单元，可做成一个B型几何体． 请你根据制作方案，完成下列问题： (1)已知共有70张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元？ ①其中有x张长方形彩纸按图1裁剪，则共能制作_________个“三角插”基本单元；有张长方形彩纸按图2裁剪，则共能制作_________个“圆部式”基本单元； ②请你求出x的值． (2)经过进一步讨论，同学们决定用300张长方形彩纸制作A型和B型几何体共13个，同样在不浪费纸张的前提下，请问能制作多少个A型几何体？ 【答案】(1)①；；② (2)能制作11个A型几何体 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）①根据题意列出代数式即可； ②根据40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个型几何体，列出方程，解方程即可； （2）设共制作m个A型，个B型，根据制作的型和型几何体共用300张长方形彩纸，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①设70张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”； ②根据题意得：． 整理得：． 解得：． 即用60张彩纸制作“三角插”，用10张彩纸制作“圆部式”； （2）解：设共制作m个A型，个B型，根据题意得： ， 整理得：． 解得：． 答：能制作11个A型几何体． 题型二：工程问题 解题思路：①审题，无具体工程量时总工作量记为1，找出各对象工作效率；②一般设工作时间为x；③依据“各部分工作量之和=总工作量”列方程，公式：工作量=工作效率工作时间}，合作效率相加；④解方程；⑤检验；⑥作答。 5．某校组织学生们展开了一场拔草活动．八年级1班和2班共同负责校园实践区域的拔草任务，1班单独拔完需，2班单独拔完需，由于各班时间安排不一致，先由1班单独拔一段时间后，接着由2班单独拔完该实践区域剩余任务，1班和2班拔完该区域共用，则1班单独拔草__________． 【答案】 【分析】设1班单独拔草，则2班单独拔草，利用1班完成的工作量班完成的工作量总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论 【详解】解∶设1班单独拔草，则2班单独拔草， 根据题意得∶ 解得∶ 1班单独拔草． 6．现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚7尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设小老鼠第一天打洞的距离为尺，则大老鼠第一天打洞距离也为尺．由题意可得 ∴ 解得 ， 因此小老鼠第一天打洞距离为尺． 7．满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管小时可将全池水排完，单独打开乙管小时可将全池水排完，若两管同时打开小时后，关闭甲管让乙管排水小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？ 【答案】小时后可将余下水放完 【分析】设小时后可将余下水放完，根据工作效率工作时间工作总量，列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设小时后可将余下水放完， 根据题意可列方程：， 解得：， 答：小时后可将余下水放完． 8．某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 【答案】(1) (2) 解：由题意得：， ， ， ， ， ∴． 答：A工程队工作了5天，B工程队工作了15天． 【分析】（1）由工程共用时20天，列出代数式即可； （2）根据180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，结合（1）所设的未知数与结果，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵A工程队工作了x天，工程共用时20天， ∴B工程队工作了天． （2）略 题型三：销售盈亏 解题思路：①审题区分进价、标价、售价、折扣；②通常设进价为x；③选用公式列等式：利润=售价-进}，利润率=100\%，售价=标价折扣(小数)；④解方程；⑤根据利润正负判断盈亏；⑥作答。 9．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 【答案】 480元 【分析】以32元利润对应的成本百分率为突破口，先求成本，再计算定价； 【详解】解：设该商品的成本为元， ∵商品按的利润定价， ∴定价为元， ∵按九折出售， ∴实际售价为元， ∵实际获利32元， ∴，解得， ∴定价为（元）， 答：这一商品的定价是480元． 10．如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个，根据今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】解：设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个， 根据题意，得， 解得， 则早餐组合的收入为（元）， 故售出早餐组合的收入的范围是． 11．材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 【答案】(1) (2)； (3)卖出的价格是每股元 【分析】（1）先计算佣金低于5元，按5元计算，再用总收入减去每次交易的印花税，过户费，佣金即可求解； （2）设卖出的价格为每股元，根据不亏不盈时卖出，列方程解答，再求增长率即可； （3）设卖出的价格每股是元，根据盈利1000元时卖出，列方程解答． 【详解】（1）解：，, 佣金都按5元计算， （元） 即小王盈利元； （2）解：， ， 可以直接用公式计算佣金． 设卖出的价格为每股元， 由题意得： 即他卖出的价格为每股元， 增长的百分率为 ； （3）解：， 可以直接用公式计算佣金， 设卖出的价格每股是元， 依题意得： 答：卖出的价格是每股元． 12．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 题型四：比赛积分 解题思路：①审题看清胜、平、负计分规则，确认负场是否扣分；②设某类场数为x，其余场次用总场数-x表示；③按总积分=胜场得分+平场得分-负场扣分列方程；④解方程；⑤检验场次为非负整数；⑥作答。 13．甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 【答案】 8 6 【分析】设甲命中x发，则乙命中发，根据“结算分数时，甲比乙多10分”列出一元一次方程求解． 【详解】解：设甲命中x发，则乙命中发， 根据题意得， 解得 答：甲中8发，乙中6发． 14．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先设王刚答对了道题，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． 15．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1) 胜一场积分，负一场积分 (2) 这支球队胜了场 【分析】（）因为两队比赛场数相同，胜场数和负场数、积分都有差异，所以可设胜一场积分，负一场积分，根据两队的胜场、负场和积分情况列二元一次方程组求解； （）因为已知胜场和负场的积分，且胜场总积分与负场总积分相等，比赛总场数为场，所以这支球队胜了场，则负了场，根据胜场积分等于负场积分列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 根据表格积分信息列二元一次方程组：， 两式相加化简得，即， 代入第一个方程：， 解得， ∴， ∴胜一场积分，负一场积分； （2）解：设这支球队胜了场，总场数为场，则负了场， 根据胜场总积分等于负场总积分列方程：， 整理得， 解得． 16．为了丰富学生的课外生活，培养学生的兴趣爱好与体育意识，某中学七年级各班举行了盛大的篮球比赛．前四名班级的积分情况如表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 3 五班 8 5 3 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积______分，负一场积______分； (2)请直接写出：______，______； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 【答案】(1)2，1 (2)15，13 (3)该班级胜2场 (4) 小明的说法不正确，理由：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解得， 因为胜的场次不可能为负数，所以小明的说法不正确． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确找到等量关系是解题的关键． （1）由第一名即可求出胜一场的得分，由最后一名即可求出负一场的得分； （2）由（1）所求胜一场的得分和负一场的得分即可求出m和n的值； （3）设该班胜场次数为场，则负场次数为场，根据题意列出关于的方程，解出即可． （4）设该班级胜场，则负场，根据题意列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：胜一场得：（分）， 负一场积分为：（分）， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 经检验，符合题意 答：该班级胜2场 （4）略 题型五：方案选择 解题思路：①审题读懂各个方案收费规则；②设未知数，写出每种方案总费用的代数式；③令两方案费用相等，计算临界点；④分区间代入数值对比费用大小；⑤选出最优方案；⑥作答。 17．某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过200元，不予折扣； ②一次购物超过200元但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了482元，第二次购物付了170元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省__________元． 【答案】34 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先判断出王叔叔第一次购物优惠前超过元，根据等量关系式：没超过元的实际付款超过元部分是实际付款元，列方程，解方程，即可求解；能找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：， 王叔叔第一次购物优惠前超过元， 设王叔叔第一次购物优惠前为元，则有 ， 解得：， 两次所购物品一次购买应实际付款为： （元）， 节省的费用为： （元）， 故答案：． 18．如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差6元的2种快餐各1份，结账时，店员说：“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．”这位同学想了想说：“我还是只多买1瓶指定饮料吧，麻烦您以最便宜的方式给我结账，谢谢！”这位同学要付的金额是（    ） A．55 B．54 C．58 D．61 【答案】A 【分析】设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+6）元，根据“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样”即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其价格较高的快餐搭配1瓶指定饮料，求出该同学应付金额即可得出结论． 【详解】解：设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+6）元， 依题意得：x+（x+6）=29×2， 解得：x=26， ∴x+6=26+6=32， ∴这位同学要付的金额是x+29=26+29=55． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 19．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 20．列方程解应用题 元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． (3)买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等名同学和他们的名家长共人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用． 【答案】(1)个成人，个学生 (2)买团体票更省钱，理由见解析 (3)若4名学生同名家长按照团体票买，剩下的4名学生按照学生票买，总费用最低，为元 【分析】（1）根据题意，可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以算出团体票的费用，然后与（1）中比较大小，即可解答本题； （3）根据题意，分别算出分开买票和按照团体票买票或者部分按照团体票购买，进行比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设一共去了个成人，则学生人， ， 解得， ， 答：一共去了个成人，个学生； （2）解：买团体票更省钱， 理由：购买团体票时，花费为：（元）， ， 买团体票更省钱； （3）解：七班共有名学生，名家长， 若按团体票购买，费用为：（元）， 若4名学生同名家长按照团体票买，剩下的4名学生按照学生票买， 费用为：（元） 若分开购买，费用为：（元）， ， 按照团体票最优惠，总费用为元． 题型六：数字问题 解题思路：①审题，分清各个数位上的数字；②设某一数位数字为x，其余数位数字用含x式子表示；③两位数表示10a+b，三位数表示100a+10b+c，根据和、差条件列方程；④解方程；⑤检验数位数字为0‑9；⑥作答。 21．两个自然数相除，有两种表示的方法：，，根据两种表示方法，可以得出( )，( )． 【答案】 【分析】将a用两种含b的代数式表示，再列一元一次方程求解，先算出除数b，进而求得被除数a． 【详解】解 ∵，， ∴， ∴，解得：， 将代入，得． 22．幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（     ） 15 x 23 47 A．9 B．39 C．55 D．79 【答案】D 【分析】根据幻方性质：每行、每列、对角线的三数和相等求解． 【详解】解：设每行、每列、对角线的三数之和为，从右上到左下的对角线位置上的数依次为,左上第一个位置为， a 15 b x c 23 d 47 则从右上到左下的对角线和为：， 第二行的和为： 第三列的和为：，可得 ， 第一行的和为：， 把代入，得 ，化简后直接得到 ， 从左上到右下的对角线和为：， 把代入得 ，即 ， 再结合第二行的和， 把代入，得，解得． 23．小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 24．用“割尾法”判断一个三位数是否为的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的倍所得的差为．若是的整数倍，则是的整数倍．注：． 举例：对于三位数，割掉末位得，计算，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断是否为的整数倍； (2)已知三位数是的倍数，用“割尾法”求出个位数字（是的整数）； (3)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这个结论． 【答案】(1)是的整数倍 (2) (3)证明：已知，将其变形为， 进一步整理得， ∵是的整数倍，设（为整数），即， ∴将代入中，得， ∵为整数， ∴为整数， ∴是的整数倍， ∴若是的整数倍，则是的整数倍． 【分析】（1）根据“割尾法”计算即可． （2）根据是的倍数，得到是的整数倍，试算所有可能的的值，得到满足要求的的值． （3）设（为整数），将变形为，代入上式得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：对于三位数，割掉末位得，计算， ∵是的整数倍， ∴是的整数倍； （2）解：∵三位数是的倍数， ∴对于三位数，割掉末位得，计算， ∴是的整数倍， ∴可取的值为， ∵是的整数， 当时，，，不符合的取值范围， 当时，，解得，不符合的取值范围， 当时，，解得，不符合的取值范围， 当时，，解得，符合的取值范围， 当时，，解得，不符合的取值范围， ∴的值为； （3）略． 题型七：几何问题 解题思路：①审题分清周长、面积、体积变化关系；②设图形边长等关键量为x；③套用几何公式，形变不变类按变化前后相等建立等量；④解方程；⑤检验边长大于0；⑥作答。 25．如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 【答案】1287 【分析】设正方形的边长为，根据图形和题干条件中央的最小正方形的边长为，可以依次表示正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，进而可以用字母表示长方形的边长，由矩形的对边相等，得到等量关系，最后求解面积即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，， 解得，， 所以，． 26．下面的图不能用方程“”来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．每个小正方形表示x，共有4个小正方形，一共表示80，可列方程，不符合题意； B．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥体积为x，那么圆柱体积为，所以列方程，符合题意； C．阴影小三角形面积为x，那么大三角形的面积为，则可列方程，即，不符合题意； D．如图所示，3格长为x厘米，图形的周长一共有12格长，是3格长的4倍，可以列出方程，不符合题意． 27．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 28．如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 【答案】(1)线段的中点对应的数为 (2)点表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】（1）设线段的中点对应的数为，根据列方程求解； （2）根据题意列方程求解即可； （3）利用“电子蚂蚁运动的路程电子蚂蚁运动的路程110或130”列方程求解，进而可得点对应的数． 【详解】（1）解：设线段的中点对应的数为， 由，得， 解得 ， 即线段的中点对应的数为． （2）解：由图可知：数轴上两点之间的距离为， 设电子蚂蚁和电子蚂蚁运动秒后在点处相遇， 依题意，得， 解得， 所以点表示的数为． （3）解：设电子蚂蚁和电子蚂蚁 运动秒后在数轴上相距个单位长度， 依题意，得或， 解得或， 或， ∴点对应的数为或． 题型八：动点问题 解题思路：①审题明确点的运动速度、方向、运动范围；②设运动时间t为未知数；③用含t代数式表达线段长度；④依据线段和差、距离相等条件列方程；⑤检验时间不为负数，不超出运动区间；⑥作答。 29．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M从点A出发，沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，运动时间为秒．当线段的长为4个单位长度时，的值为_____． 【答案】6或10 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值方程的应用．根据题意可知当运动时间为t秒时，点M表示的数为，列出绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵点M从点A出发沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度， ∴当运动时间为t秒时，点M表示的数为， ∵， 则， 即或， 解得：或，即t的值为6或10． 故答案为：6或10． 30．如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 31．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1)4 (2)12个单位长度 (3)4秒，8秒 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点，两点的距离，掌握根据点表示的数求两点的距离是解题的关键． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）首先分析点的运动时间，然后根据点的运动速度和运动方向表示出点所表示的数，从而求解； （3）分两种情况：运动后的点在点右边4个单位长度；运动后的点在点左边4个单位长度：列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 故点所对应的数是4； （2）点运动到所用的时间为（秒）， 点B运动到所在的点， ， 答：间的距离为12个单位长度； （3）设经过秒，A，B两点相距4个单位长度， 分运动后的点在右边4个单位长度；运动后的点在左边4个单位长度两种情况．讨论如下： ①运动后的点在右边4个单位长度， ， 解得，（秒）; ②运动后的点在左边4个单位长度， ， 解得（秒）； 答：经过4秒或8秒两点相距4个单位长度． 32．如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3)、、 【分析】本题为数轴动点综合题，需要按照动点Q的运动状态划分三个时间段：Q未出发，Q向右运动未到达点C，Q到达C后折返向左．利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值列方程求解，求解后必须检验是否在对应取值范围． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，； （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足， ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、． 题型九：和差倍分问题 解题思路：①审题抓取关键词：一共、比…多、比…少、几倍；②优先设较小量为x，其余量用含x代数式表示；③依据总和或者差值建立等量列方程；④解方程；⑤检验；⑥作答。 33．小乐和同学们凑了一笔钱去银座采购郊游物品．已知一包火爆鸡丁7元钱，一袋香辣牛筋10元钱．如果给每人买1包火爆鸡丁和2袋香辣牛筋，还能剩下100元钱；如果给每人买2包火爆鸡丁和3袋香辣牛筋，还缺53元钱，那么一共有___________人． 【答案】 【分析】总钱数不变，根据两种购买方案分别表示出总钱数，利用总钱数相等列方程求解即可． 【详解】解：设一共有人，总钱数固定不变， 第一种方案每人花费：（元），总钱数可表示为； 第二种方案每人花费：（元），总钱数可表示为． ∵总钱数相等， ∴列方程得：， 解得：． 所以，一共有9人． 34．“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天．如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数这个问题，下面所列方程中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已设神舟十二号驻留天数为，所以可根据“航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天”列出符合题意的基础方程，再变形判断即可． 【详解】解：由题可列方程为：， 可变形为或． 35．小明和妈妈一共有存款12000元，小明取出自己存款的，妈妈取出自己存款的，捐给灾区，共剩下7400元，他俩原来存款各有多少？ 【答案】小明原来有存款2000元，妈妈原来有存款10000元． 【分析】根据总存款金额与剩余存款金额的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设小明原来存款元，则妈妈原来存款元．依题意得： ， 解得：， 妈妈原来存款：（元）． 答：小明原来有存款2000元，妈妈原来有存款10000元． 36．10月23日，以“菊开江南秀，新韵生态城”为主题的宜昌第35届菊花展在点军区江南开幕，组委会匠心设置了A，B两种园艺造型共16个．已知A，B两种造型的个数之比为，且搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是乙种菊花盆数的4倍，搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是搭配一个B种园艺造型所需甲种菊花盆数的倍；搭配一个B种园艺造型需要乙种菊花的盆数是搭配一个A种园艺造型所需乙种菊花盆数的2倍多10盆，搭配一个B种园艺造型共需甲、乙两种菊花270盆． (1)求A种造型有多少个？ (2)求搭配一个A种园艺造型、一个B种园艺造型各需甲、乙两种菊花各多少盆？ 【答案】(1)A种造型有4个 (2)搭配一个A种造型：甲种菊花盆，乙种菊花80盆；搭配一个B种造型：甲种菊花盆，乙种菊花盆 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据A、B两种造型的个数比和总数，设未知数，列一元一次方程求解A种造型的个数即可． （2）设A种造型需乙种菊花的盆数为未知数，根据题目中A、B两种造型甲、乙菊花盆数的关系，分别表示出B种造型甲、乙菊花的盆数，再根据B种造型总盆数列方程，求解得两种花的盆数即可． 【详解】（1）解：设A种造型有x个，则B种造型有个． 由，解得． 答：A种造型有4个． （2）解：设搭配一个A种造型需乙种菊花y盆，则需甲种菊花盆． 搭配一个B种造型需乙种菊花盆，需甲种菊花盆． 已知搭配一个B种造型共需甲、乙两种菊花270盆， ，解得：． 则搭配一个A种造型：甲种菊花（盆），乙种菊花80盆；搭配一个B种造型：甲种菊花（盆），乙种菊花（盆）． 题型十：电费和水费问题 解题思路：①审题读懂每一档用量和对应单价；②设总用量为x；③判断用量所处档位，总费用=第一档费用+超出部分费用；④列方程；⑤检验用量符合档位区间；⑥作答。 37．某地居民生活用电的基本价格为0.50元，规定每月基本用电量为，超过部分按基本价格增加20%收费．某用户在5月份用电，交电费52元，则的值为_____． 【答案】80 【分析】设每月基本用电量为，根据用电基本价格为0.50元，用户在5月份用电，共交电费52元，列方程求解． 【详解】解：设每月基本用电量为， 由题意得， ， 解得：， 即每月基本用电量为． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．   38．某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列关于的一元一次方程，理清题意，找到等量关系列出一元一次方程是解答本题的关键． 先判断出月份的用气量一定超过立方米，等量关系为：超过立方米的立方数所用的立方数，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：因为， 所以该用户月份的用气量一定超过了立方米，即， 根据等量关系：超过立方米的立方数所用的立方数， 所以可得方程：， 故选：A． 39．为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 【答案】295度 【分析】设王奶奶家4月份用电x度，推导出，再根据题意列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设王奶奶家4月份用电x度， ∵， ∴， 依题意，得 ， ， ． 答：王奶奶家4月份用电295度． 40．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 题型十一：行程问题 解题思路：①审题分清相遇、追及、航行类型，统一单位；②设时间或者速度为未知数；③利用\路程=速度时间列等量：相遇路程相加，追及路程相减，航行区分顺水逆水速度；④解方程；⑤检验；⑥作答。 41．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 【答案】 48秒 【分析】将环形跑道一圈长度设为单位1，先求出甲的速度，根据反向跑相遇时两人路程和为1圈列方程求解乙的速度，再计算乙跑一圈的时间． 【详解】解：甲跑一圈需要1分20秒，即秒， 设环形跑道一圈长度为单位，则甲的速度为，设乙的速度为， ∵甲乙反向跑，每秒相遇一次，相遇时两人总路程刚好为1圈， ∴， 解得， 因此乙跑一圈的时间为（秒）． 42．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为，规定到校时间固定，由于速度为时迟到2分钟，说明走完全程的时间比规定时间多小时，故规定到校时间为；由于速度为时提前2分钟，说明走完全程的时间比规定时间少小时，故规定到校时间为，再根据规定到校时间相等建立方程即可． 【详解】解：分钟小时， 设小明家到学校距离为， 由题意得， ． 43．某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】千米 【分析】根据路程速度时间，结合总路程等于三段路程之和，列出一元一次方程，进而求出甲乙两地的距离． 【详解】解：设甲、乙两地相距米， 千米米， 原来的骑行速度为：（米/分钟）， 列方程：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 米千米， 答：甲、乙两地相距千米． 44．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 题型十二：比例分配 解题思路：①审题读出各个量之间比例；②设每一份为x，各个量写成对应倍数乘x；③依据总和或者差值列方程；④解出x；⑤回代求出每个量；⑥作答。 45．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 _________元． 【答案】1380 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设原来甲有元，原来乙有元，根据题意列出方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设原来甲有元，原来乙有元， ， ， ， ∴， 故答案为：1380． 46．把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 47．今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 【答案】此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设此次植树活动中李村植树棵，因为张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，所以张村植树棵，根据张村和李村共同植树500棵，可列方程，解方程求出的值，即可求出两村植树的棵数 ． 【详解】解：设此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵， 根据题意得：， 解得：， （棵）， 答：此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵． 48．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 【答案】(1)， (2)① ②10个，20个． 【分析】（1）根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形，分别计算做a个A型铁盒和b个B型铁盒，各所需要的长方形与正方形个数，再相加即可解题； （2）①设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个； ②由长方形铁片100张，列方程，解方程即可解题． 本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的识图，找准等量关系，列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形， 故做a个A型铁盒需要个长方形，个正方形，做b个B型铁盒需要个长方形，个正方形， 故需要个长方形，个正方形， （2）①解：设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个， 故答案为：； ②解：根据题意，得， 解得， 此时， 故制作A型、B型两种铁盒的个数分别为10个，20个． 题型十三：日历问题 解题思路：①牢记日历规律：同行+1，同列+7；②优先设中间数为x，其余数用x1、x7表示；③根据数字之和列方程；④解方程；⑤检验数字在1‑31之间；⑥作答。 49．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 【答案】504 【分析】观察数表，可知，，，根据，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：观察数表，可知：，，， 根据题意得：， 解得：． 50．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，求出5个数的和为，然后根据4个选项中5个数的和，分别列出方程，求出5个数，进行判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意． 51．如图，在2026年1月的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为30？如果能，这三个日期数分别是多少？如果不能，请说明理由． 【答案】能，三个日期数分别是3、10、17 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程，注意相邻三行里同一列的三个日期之间相差7． 设中间的数为x，其它两个为与，表示出三个日期数之和，根据三个日期数之和为30，列出方程，如果求出的解符合题意，那么相邻三行里同一列的三个日期数之和能为30，否则不能． 【详解】解：设中间的数为x，其它两个为与， 根据题意得：， 解得， 则，， 观察日历可知这三个数符合题意． 答：能，这三个数分别是3，10，17． 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 (1)活动一 ：图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． ①移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 ，b是 ②移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 ，d是 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） (2)活动二：移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律： 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； ①若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 ； ②若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 （用含n的代数式表示g）． 【答案】(1)①5；11；②； (2)①11；② 【分析】（1）①②观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列式求解即可； （2）①根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可；②先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由图可知：； ②由图可知：； （2）解：①由题意得，， ∴； ②∵最小的数为， ∴其他8个数分别为， ∴， 解得． 题型十四：古代问题 解题思路：①读懂古文题意，翻译成现代数学语言；②选取合适量设未知数；③提取倍数、分配、盈亏关系列出方程；④解方程；⑤检验符合分物实际；⑥作答。 53．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数为x人，根据题意可列一元一次方程为______． 【答案】 【分析】根据两种出钱方式分别表示出物价，利用物价不变列一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意知，每人出，多出，因此物价可表示为；每人出，还差，因此物价可表示为． ∵物价为固定值，两种表示物价的式子相等， ∴可列方程为 ． 54．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 55．《孙子算经卷下第十九题》．今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问本米几何？（提示：一斗=10升） 【答案】60升 【分析】设本米有升，根据题意，得，解方程即可. 【详解】解：由一斗升，得一斗五升为15升， 设本米有升，根据题意，得 ， ， ， ； 答：本米升. 56．《三国志》里记录“曹冲称象”是流传很广的故事．孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为斤，求大象的体重． (1)根据上面的条件，下列结论，其中正确的是_________． 块条形石与个搬运工的重量之和等于象的重量； 该象的重量是斤； 块条形石的重量等于个搬运工的重量； 每块条形石的重量是斤． (2)求大象的体重．（请列方程进行求解） 【答案】(1)； (2)大象的体重为斤． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）根据题意进行分析即可； （）设每块条形石的重量是斤，则大象的重量为斤，则可列方程为，然后解方程即可． 【详解】（1）解：块条形石与个搬运工的重量之和等于象的重量，结论正确； 该象的重量是斤，结论错误； 块条形石的重量等于个搬运工的重量，结论正确； 每块条形石的重量是斤，结论错误； 故选：； （2）解：设每块条形石的重量是斤，则大象的重量为斤， 则可列方程为：， 解这个方程得，， ， 答：大象的体重为斤． 题型十五：其他问题 解题思路：①审题理清人员、物资调入、调出数量；②设未知数，调入加、调出减，写出调配之后的数量；③根据调配后相等或者倍数关系列方程；④解方程；⑤检验数量不为负数；⑥作答。 57．李明的故事书比王红多 26 本，如果李明给王红____________本后，反而比王红少2本． 【答案】 【分析】根据题意原来李明比王红多本，给书后李明减少本，王红增加本，两人数量差的变化为，结合给书后李明比王红少本即可计算． 【详解】解：设李明给王红本后满足条件， 原来李明比王红多本，给书后可得 ． 58．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图是一个不完整的三阶幻方，根据图文信息可知的值是（     ） x 5 6 y A． B．0 C．12 D．22 【答案】A 【分析】以第一行的和表示幻和，结合幻方各行列、对角线和相等的性质，逐步推导的值后代入计算. 【详解】解：设幻和为， 由第一行得， 则第三行第一列的数为， 根据右上到左下的对角线的和为，得到中间数为 根据 第二行的和为，得到 ， 解得； 则第三行第三列的数为， ∵ 左上到右下的对角线的和为， ∴ ， 解得； ∴ . 59．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，9月3日在首都北京举行盛大阅兵仪式．原州区某学校举行了以“铭记抗战史，唱响爱国情”为主题的歌咏比赛，比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？（用方程解答） 【答案】单人独唱有组，双人合唱有组 【分析】根据总组数与总人数的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设单人独唱有组，则双人合唱有组， 参赛总人数为人，单人独唱每组人，双人合唱每组人， ， 解得：， 双人合唱组数为（组）， 答：单人独唱有组，双人合唱有组． 60．《哪吒之魔童闹海》是《哪吒》系列电影的第二部，该片于2025年1月29日在中国大陆上映，2月14日在北美院线全面上映，2月22日起在港澳地区上映．3月10日，该片在欧洲37个国家及地区发行．3月21日，该片宣布延长上映至4月30日．4月4日，该片在日本上映． 2025年2月6日，该片登顶中国影史票房榜：2月7日，该片成为全球单一市场票房榜第一名，为中国影史首部百亿元票房影片；截至3月3日，该片全球观影人次突破3亿，其中内地观影人次超亿，已打破几十项中国影史纪录；截至3月29日11时27分，该片全球票房破154亿，连续30天获得单日票房冠军，刷新影史单片连续日冠天数纪录，登顶全球动画电影票房榜，同时位居全球影史票房榜第5名．截至2025年3月5日，电影《哪吒之魔童闹海》内地观影人次破3亿，成为中国影史首部观影人次破3亿电影． 小红一直关注该片的票房，并且她从该片在中国大陆上映的那天开始统计了一段时间内该片的总票房．她发现，该段时间内如果处最后一天外，每天按照5亿的票房算，且最后一天的票房为20亿．如果前三天的票房每天按照6亿算，后面每天的票房刚好都是7亿，那么小红是统计到几月几日？该段时间内的总票房是多少亿？ 【答案】小红统计到2月6日，该段时间内的总票房为60亿 【分析】设小红一共统计了x天的票房，根据两种假设下总票房相等列一元一次方程求解，再结合上映日期推算最终统计日期． 【详解】解：设小红一共统计了x天的票房， 由题意得，， 解得， 由于电影1月29日上映，小红一个统计了9天的票房，即统计到2月6日， 总票房为（亿）， 答：小红统计到2月6日，该段时间内的总票房为60亿． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14一元一次方程的应用精讲学案 核心立意 学会审题挖掘等量关系，掌握列一元一次方程解应用题完整步骤，熟悉常见实际问题模型；会灵活选用直接、间接设未知数，列方程求解，重点注意解要符合现实实际意义，为本章重难点。 列方程解应用题的一般步骤 1. 审：审题，读懂题意，分清已知量、未知量；从“等于、比…多、比…少、总共”语句中找出核心等量关系（解题最关键） 2. 设：设未知数。分两种 直接设：问什么就设什么为x； 间接设：直接设不好列式时，设中间量为x。注意写单位。 3. 列：根据等量关系，列出一元一次方程。 4. 解：解这个一元一次方程，求出未知数的值。 5. 验：两层检验：①检验是否是方程的解；②检验结果是否符合现实实际意义（人数、物品不能负数，部分要取整数）。 6. 答：完整作答，带上单位。 口诀：审、设、列、解、验、答。 高频常见模型与等量关系 和差倍分问题 关键词：多、少、几倍、几分之几。 等量关系：较大量=较小量±差值；总量=各部分量之和。 行程问题 基本公式：路程=速度时间 ①相遇问题：两者路程之和 = 总路程； ②追及问题：快的路程 − 慢的路程 = 路程差； ③航行问题： 顺水速度=静水速度+水流速度； 逆水速度=静水速度−水流速度。 工程问题 把总工作量一般看作1 基本公式：工作量=工作效率工作时间； 等量关系：各部分工作量相加 = 总工作量。 销售利润问题 利润 = 售价 − 进价（成本） 利润率 = 100\% 售价 = 标价 × 折扣（折扣要换算，8折就是×0.8） 配套问题 关键：抓住配套比例。 例：一个甲配两个乙，则：甲的数量:乙的数量=1:2， 转化等式：2甲数量=1乙数量。 方案选择问题 ①先求出方案数值相等的临界点；②分别算出不同方案对应结果；③对比大小选出最优方案。 数字问题 两位数：十位数字a，个位数字b，这个两位数表示：10a+b，不能直接写成ab。 重点辨析 1. 设未知数、答句必须带单位；方程里面不要写单位。 2. 解方程得到的解数学上成立，但不一定符合现实。例如人数算出来小数，要舍去。 3. 等量关系不要拿题目问句来列方程；要用题目里面描述数量关系的句子。 4. 配套问题比例容易写反，一定要交叉相乘化成等式。 5. 利润率是相对于进价（成本），不是标价或者售价。 6. 直接设不好列式时，优先考虑间接设未知数。 ①找不到等量关系，凭感觉列方程。 ②单位不统一（行程：千米和米，小时和分钟，计算前要统一单位）。 ③配套比例写颠倒，等式列错。 ④打折计算错误，直接乘8而不是乘0.8。 ⑤只检验方程，忽略实际意义，出现负数、小数人数不做取舍。 ⑥数字问题，错误把两位数写成ab，正确是10a+b。 ⑦忘记写答，或者答不带单位。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★★ 题型二 工程问题 ★★★★ 题型三 销售盈亏问题 ★★★★ 题型四 比赛积分问题 ★ 题型五 方案选择 ★★★★ 题型六 数字问题 ★★★★ 题型七 几何问题 ★★★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★★★ 题型十 电费和水费问题 ★★★★ 题型十一 行程问题 ★★★★ 题型十二 比例分配 ★★★ 题型十三 日历问题 ★★★ 题型十四 古代问题 ★★★ 题型十五 其他问题 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频必考；★★★★难点压轴 题型一：配套问题 解题思路：①审题找出部件配套比例；②设生产某部件人数为x，另一类人数用总人数-x表示；③利用比例交叉相乘列等量关系式；④解方程；⑤检验结果为正整数，符合实际；⑥作答。 1．服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装．现有66名工人生产，每天最多能生产( )套． 2．如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 3．某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 4．在数学综合实践活动中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体： 40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个A型几何体， 30个“三角插”基本单元和20个“圆部式”基本单元，可做成一个B型几何体． 请你根据制作方案，完成下列问题： (1)已知共有70张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元？ ①其中有x张长方形彩纸按图1裁剪，则共能制作_________个“三角插”基本单元；有张长方形彩纸按图2裁剪，则共能制作_________个“圆部式”基本单元； ②请你求出x的值． (2)经过进一步讨论，同学们决定用300张长方形彩纸制作A型和B型几何体共13个，同样在不浪费纸张的前提下，请问能制作多少个A型几何体？ 题型二：工程问题 解题思路：①审题，无具体工程量时总工作量记为1，找出各对象工作效率；②一般设工作时间为x；③依据“各部分工作量之和=总工作量”列方程，公式：工作量=工作效率工作时间}，合作效率相加；④解方程；⑤检验；⑥作答。 5．某校组织学生们展开了一场拔草活动．八年级1班和2班共同负责校园实践区域的拔草任务，1班单独拔完需，2班单独拔完需，由于各班时间安排不一致，先由1班单独拔一段时间后，接着由2班单独拔完该实践区域剩余任务，1班和2班拔完该区域共用，则1班单独拔草__________． 6．现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 7．满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管小时可将全池水排完，单独打开乙管小时可将全池水排完，若两管同时打开小时后，关闭甲管让乙管排水小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？ 8．某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 题型三：销售盈亏 解题思路：①审题区分进价、标价、售价、折扣；②通常设进价为x；③选用公式列等式：利润=售价-进}，利润率=100\%，售价=标价折扣(小数)；④解方程；⑤根据利润正负判断盈亏；⑥作答。 9．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 10．如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 11．材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 12．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 题型四：比赛积分 解题思路：①审题看清胜、平、负计分规则，确认负场是否扣分；②设某类场数为x，其余场次用总场数-x表示；③按总积分=胜场得分+平场得分-负场扣分列方程；④解方程；⑤检验场次为非负整数；⑥作答。 13．甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 14．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 15．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 16．为了丰富学生的课外生活，培养学生的兴趣爱好与体育意识，某中学七年级各班举行了盛大的篮球比赛．前四名班级的积分情况如表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 3 五班 8 5 3 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积______分，负一场积______分； (2)请直接写出：______，______； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 题型五：方案选择 解题思路：①审题读懂各个方案收费规则；②设未知数，写出每种方案总费用的代数式；③令两方案费用相等，计算临界点；④分区间代入数值对比费用大小；⑤选出最优方案；⑥作答。 17．某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过200元，不予折扣； ②一次购物超过200元但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了482元，第二次购物付了170元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省__________元． 18．如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差6元的2种快餐各1份，结账时，店员说：“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．”这位同学想了想说：“我还是只多买1瓶指定饮料吧，麻烦您以最便宜的方式给我结账，谢谢！”这位同学要付的金额是（    ） A．55 B．54 C．58 D．61 19．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 20．列方程解应用题 元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． (3)买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等名同学和他们的名家长共人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用． 题型六：数字问题 解题思路：①审题，分清各个数位上的数字；②设某一数位数字为x，其余数位数字用含x式子表示；③两位数表示10a+b，三位数表示100a+10b+c，根据和、差条件列方程；④解方程；⑤检验数位数字为0‑9；⑥作答。 21．两个自然数相除，有两种表示的方法：，，根据两种表示方法，可以得出( )，( )． 22．幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（     ） 15 x 23 47 A．9 B．39 C．55 D．79 23．小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 24．用“割尾法”判断一个三位数是否为的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的倍所得的差为．若是的整数倍，则是的整数倍．注：． 举例：对于三位数，割掉末位得，计算，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断是否为的整数倍； (2)已知三位数是的倍数，用“割尾法”求出个位数字（是的整数）； (3)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这个结论． 题型七：几何问题 解题思路：①审题分清周长、面积、体积变化关系；②设图形边长等关键量为x；③套用几何公式，形变不变类按变化前后相等建立等量；④解方程；⑤检验边长大于0；⑥作答。 25．如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 26．下面的图不能用方程“”来表示的是（    ） A． B． C． D． 27．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 28．如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 题型八：动点问题 解题思路：①审题明确点的运动速度、方向、运动范围；②设运动时间t为未知数；③用含t代数式表达线段长度；④依据线段和差、距离相等条件列方程；⑤检验时间不为负数，不超出运动区间；⑥作答。 29．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M从点A出发，沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，运动时间为秒．当线段的长为4个单位长度时，的值为_____． 30．如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 31．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 32．如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 题型九：和差倍分问题 解题思路：①审题抓取关键词：一共、比…多、比…少、几倍；②优先设较小量为x，其余量用含x代数式表示；③依据总和或者差值建立等量列方程；④解方程；⑤检验；⑥作答。 33．小乐和同学们凑了一笔钱去银座采购郊游物品．已知一包火爆鸡丁7元钱，一袋香辣牛筋10元钱．如果给每人买1包火爆鸡丁和2袋香辣牛筋，还能剩下100元钱；如果给每人买2包火爆鸡丁和3袋香辣牛筋，还缺53元钱，那么一共有___________人． 34．“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天．如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数这个问题，下面所列方程中不正确的是（     ） A． B． C． D． 35．小明和妈妈一共有存款12000元，小明取出自己存款的，妈妈取出自己存款的，捐给灾区，共剩下7400元，他俩原来存款各有多少？ 36．10月23日，以“菊开江南秀，新韵生态城”为主题的宜昌第35届菊花展在点军区江南开幕，组委会匠心设置了A，B两种园艺造型共16个．已知A，B两种造型的个数之比为，且搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是乙种菊花盆数的4倍，搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是搭配一个B种园艺造型所需甲种菊花盆数的倍；搭配一个B种园艺造型需要乙种菊花的盆数是搭配一个A种园艺造型所需乙种菊花盆数的2倍多10盆，搭配一个B种园艺造型共需甲、乙两种菊花270盆． (1)求A种造型有多少个？ (2)求搭配一个A种园艺造型、一个B种园艺造型各需甲、乙两种菊花各多少盆？ 题型十：电费和水费问题 解题思路：①审题读懂每一档用量和对应单价；②设总用量为x；③判断用量所处档位，总费用=第一档费用+超出部分费用；④列方程；⑤检验用量符合档位区间；⑥作答。 37．某地居民生活用电的基本价格为0.50元，规定每月基本用电量为，超过部分按基本价格增加20%收费．某用户在5月份用电，交电费52元，则的值为_____． 38．某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 39．为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 40．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 题型十一：行程问题 解题思路：①审题分清相遇、追及、航行类型，统一单位；②设时间或者速度为未知数；③利用\路程=速度时间列等量：相遇路程相加，追及路程相减，航行区分顺水逆水速度；④解方程；⑤检验；⑥作答。 41．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 42．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 43．某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 44．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 题型十二：比例分配 解题思路：①审题读出各个量之间比例；②设每一份为x，各个量写成对应倍数乘x；③依据总和或者差值列方程；④解出x；⑤回代求出每个量；⑥作答。 45．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 _________元． 46．把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 47．今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 48．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 题型十三：日历问题 解题思路：①牢记日历规律：同行+1，同列+7；②优先设中间数为x，其余数用x1、x7表示；③根据数字之和列方程；④解方程；⑤检验数字在1‑31之间；⑥作答。 49．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 50．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 51．如图，在2026年1月的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为30？如果能，这三个日期数分别是多少？如果不能，请说明理由． 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 (1)活动一 ：图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． ①移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 ，b是 ②移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 ，d是 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） (2)活动二：移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律： 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； ①若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 ； ②若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 （用含n的代数式表示g）． 题型十四：古代问题 解题思路：①读懂古文题意，翻译成现代数学语言；②选取合适量设未知数；③提取倍数、分配、盈亏关系列出方程；④解方程；⑤检验符合分物实际；⑥作答。 53．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数为x人，根据题意可列一元一次方程为______． 54．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 55．《孙子算经卷下第十九题》．今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问本米几何？（提示：一斗=10升） 56．《三国志》里记录“曹冲称象”是流传很广的故事．孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为斤，求大象的体重． (1)根据上面的条件，下列结论，其中正确的是_________． 块条形石与个搬运工的重量之和等于象的重量； 该象的重量是斤； 块条形石的重量等于个搬运工的重量； 每块条形石的重量是斤． (2)求大象的体重．（请列方程进行求解） 题型十五：其他问题 解题思路：①审题理清人员、物资调入、调出数量；②设未知数，调入加、调出减，写出调配之后的数量；③根据调配后相等或者倍数关系列方程；④解方程；⑤检验数量不为负数；⑥作答。 57．李明的故事书比王红多 26 本，如果李明给王红____________本后，反而比王红少2本． 58．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图是一个不完整的三阶幻方，根据图文信息可知的值是（     ） x 5 6 y A． B．0 C．12 D．22 59．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，9月3日在首都北京举行盛大阅兵仪式．原州区某学校举行了以“铭记抗战史，唱响爱国情”为主题的歌咏比赛，比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？（用方程解答） 60．《哪吒之魔童闹海》是《哪吒》系列电影的第二部，该片于2025年1月29日在中国大陆上映，2月14日在北美院线全面上映，2月22日起在港澳地区上映．3月10日，该片在欧洲37个国家及地区发行．3月21日，该片宣布延长上映至4月30日．4月4日，该片在日本上映． 2025年2月6日，该片登顶中国影史票房榜：2月7日，该片成为全球单一市场票房榜第一名，为中国影史首部百亿元票房影片；截至3月3日，该片全球观影人次突破3亿，其中内地观影人次超亿，已打破几十项中国影史纪录；截至3月29日11时27分，该片全球票房破154亿，连续30天获得单日票房冠军，刷新影史单片连续日冠天数纪录，登顶全球动画电影票房榜，同时位居全球影史票房榜第5名．截至2025年3月5日，电影《哪吒之魔童闹海》内地观影人次破3亿，成为中国影史首部观影人次破3亿电影． 小红一直关注该片的票房，并且她从该片在中国大陆上映的那天开始统计了一段时间内该片的总票房．她发现，该段时间内如果处最后一天外，每天按照5亿的票房算，且最后一天的票房为20亿．如果前三天的票房每天按照6亿算，后面每天的票房刚好都是7亿，那么小红是统计到几月几日？该段时间内的总票房是多少亿？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $