精品解析：吉林长春市长春净月高新技术产业开发区长春博硕学校2026-2027学年度 九年级上学期第一次学情自测数学试题

长春博硕学校2026-2027学年度上学期九年级第一次大练习 数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）米 A. B. C. D. 6. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 8. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 10. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为________． 11. 某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 13. 如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为______°． 14. 如图，在菱形中，，点，是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为，是的中点，连接，则；④若，则，其中正确结论是___________． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰作等腰． （2）在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 18. 如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为的矩形花园ABCD，求边AB的长． 19. 如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形． 20. 年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩/分 频数 频率 调查结论 … （1）上述表格中，______，______，______； （2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图； （3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？ 21. 某太阳能热水器水箱的最大水量为160升，在没有放水的情况下匀速注水．已知水箱的蓄水量y（升）与注水时间x（分）之间有如表对应关系． x（分） 0 4 8 12 y（升） 20 60 100 140 （1）①建立平面直角坐标系，如图，横轴表示注水时间x，纵轴表示水箱的蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （2）应用上述发现的规律解决下列问题： ①注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为多少升？ ②按上述速度注满水箱，需要多少分钟？ 22. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 23. 【教材呈现】 如图是数学教材华师版九年级上册第80页的部分内容． 3．如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：． 结合图①写出证明过程； 【结论应用】 如图①，设，，当点M、P、N三点共线时，、满足的数量关系为______； 【拓展延伸】 如图②，在中，D、E分别为、上的点，，连结，M、N分别为、上的点，连结，若，则的值为______． 24. 如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． （1）_____； （2）求的长（用含的代数式表示）； （3）在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； （4）连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校2026-2027学年度上学期九年级第一次大练习 数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断各选项，最简二次根式需满足：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A.的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式，符合题意； B.的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； C.，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； D.，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】不等式组的解集在数轴上表示正确的是， 故选C． 【点睛】考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则计算出正确结果，根据计算结果判断正误． 【详解】解：选项A：根据单项式乘以多项式的法则进行计算可得：，故选项A错误.； 选项B：根据完全平方公式计算可得：，故B选项错误； 选项C：根据合并同类项的法则计算可得：，故C选项错误.； 选项D：根据同底数幂的乘法法则计算可得：，故D选项正确． 4. 如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明相似，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 5. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 6. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 8. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时，， 解得， 由图象得，I随R的增大而减小， ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，列出不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解得． 10. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，再代入各个线段的长计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 11. 某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】已知5月产值和两个月增长后7月的产值，根据增长率的计算方法表示出7月产值，即可列出方程． 【详解】解：∵5月产值为万元，月均增长率为， ∴6月产值为万元， ∴7月产值为万元， ∵预计7月产值为万元， ∴可列出方程． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ，， ∴， ∴，  ，   的面积是4，  ，  ． 13. 如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，， ∴， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，点，是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为，是的中点，连接，则；④若，则，其中正确结论是___________． 【答案】 ①② 【解析】 【分析】根据菱形的性质说明是等边三角形，可得，再根据折叠的性质和三角形内角和定理得出，然后根据“两角相等的两个三角形相似”解答①；结合①可说明②；作交的延长线于点H，再根据直角三角形的性质求出，及，接着根据勾股定理求出，判断③即可；先设，则，再设，则，然后根据，表示出，接下来根据求出，进而得出，即可说明④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由折叠的性质得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，则①正确； ∵， ∴， ∴，则②正确； 如图，作交的延长线于点H， 在中，，由①得， ∴． ∵点M是的中点， ∴， ∴，则， ∴，则③不正确； 设，则，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，则④不正确． 正确的有①②． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算零指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，二次根式和负整数指数幂，再合并得到结果． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）移项后用直接开平方法转化为一元一次方程求解． （2）用配方法变形后开平方求解． 【小问1详解】 解：， ． 开平方得． 当时，解得． 当时，解得． 即，． 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得， 即． 开平方得． 当时，解得． 当时，解得． 即，． 17. 图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰作等腰． （2）在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点作图即可； （2）取格点，连接，取上任意一点（非格点），连接，根据网格的特点可得，与平行，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为的矩形花园ABCD，求边AB的长． 【答案】5m 【解析】 【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形花园ABCD的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出边AB的长． 【详解】解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m， 依题意得：x（20﹣2x）＝50， 整理得：x2﹣10x+25＝0， 解得：x1＝x2＝5． 答：边AB的长为5m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形． 【答案】 证明：∵D是边BC的中点， ∴BD=CD， ∵DF=ED， ∴四边形BFCE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点， ∴BE=CE， ∴四边形BFCE是菱形． 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE=CE，于是得到四边形BFCE是菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质定理是解题的关键． 20. 年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩/分 频数 频率 调查结论 … （1）上述表格中，______，______，______； （2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图； （3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？ 【答案】（1），， （2）， 补全频数分布直方图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，频数分布直方图，中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用组数据求出抽取的学生人数，进而即可求解； （）根据中位数的定义即可求解，再根据（）的结果补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的频率即可求解． 【小问1详解】 解：由数据可知，抽取的学生人数为， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵抽取了名学生， ∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数， ∴中位数落在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计成绩不低于分的学生有人． 21. 某太阳能热水器水箱的最大水量为160升，在没有放水的情况下匀速注水．已知水箱的蓄水量y（升）与注水时间x（分）之间有如表对应关系． x（分） 0 4 8 12 y（升） 20 60 100 140 （1）①建立平面直角坐标系，如图，横轴表示注水时间x，纵轴表示水箱的蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （2）应用上述发现的规律解决下列问题： ①注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为多少升？ ②按上述速度注满水箱，需要多少分钟？ 【答案】（1）①见解析；②是，y＝10x+20；（2）①110升；②14分钟 【解析】 【分析】（1）①先描点，再连线即可； ②利用待定系数法求解即可； （2）①结合（1）的图象解答即可； ②把y=160代入函数关系式解答即可． 【详解】解：（1）①如图所示： ②观察图象，这些点都在同一条直线上， 所以变量x，y满足一次函数关系式，则设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， 根据表格可得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为y=10x+20； （2）①由图象可知，x=9时，y=10×9+20=110，即注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为110升； ②当10x+20=160时，解得x=14， 即按上述速度注满水箱，需要14分钟． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 22. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 【答案】（1） （2）解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； 【小问2详解】 略． 23. 【教材呈现】 如图是数学教材华师版九年级上册第80页的部分内容． 3．如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：． 结合图①写出证明过程； 【结论应用】 如图①，设，，当点M、P、N三点共线时，、满足的数量关系为______； 【拓展延伸】 如图②，在中，D、E分别为、上的点，，连结，M、N分别为、上的点，连结，若，则的值为______． 【答案】教材呈现： 证明：∵P是的中点，M是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴； 结论应用：； 拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，是的中位线，则，，再证，即可得出结论； （2）由中位线可知，，得，，则，当点、、三点共线时，，可知，即可求解； （3）连结，在上，取，可证，，可求得，，，，再证明，根据勾股定理即可求解． 【详解】教材呈现：略 结论应用：由上可知，是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴，，则， 当点、、三点共线时，， 即：， ∴，即， 故答案为：； 拓展延伸：连结，在上，取， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，，， 则，， ∵，则， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． （1）_____； （2）求的长（用含的代数式表示）； （3）在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； （4）连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）的长为或 （3）的取值范围为或 （4）的值为秒或秒或秒， 【解析】 【分析】（）先由勾股定理算出，再结合求出，最后用勾股定理算出的长度为； （）分两个时间段讨论的长度当时，点在上，由得相似三角形，按比例求出；当时，点在上，同理由相似关系求出，最终得到长度的分段表达式 （）重叠部分为四边形意味着点必须落在的内部；当点在上且点在上时，临界情况是点落在边上，利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围； 当点在上且点在线段上时，同样利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围；最后将两个范围合并； （）本题需分类讨论垂直于哪条边以及点的位置；， 此时点必须落在高上；分点在上和点在上两种情况，利用构造相似比列方程求解； 时：此时点只能在上，利用角度互余关系证明，通过对应边成比例列方程求解； 最后汇总所有符合条件的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：当时， 由题意得：， ∵ ∴， ∴， ， 当时， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或； 【小问3详解】 解:当点在上且点在上时，如图， 由（）知： ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或； 【小问4详解】 解：当与的边或垂直时，的值为秒或秒或秒， 理由： 当点在上且点在上时，，如图 由（）知： ， ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在上且时，如图 由（）知： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $