第14章 全等三角形--几何模型（ 辅助线作法） 重点题型归纳练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章全等三角形-几何模型（辅助线作法)重点题型归纳练 20262027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、作垂线（高） 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°，AC=BC,AD是BC边上的中线，过点C作AD的 垂线交AB于点E,交AD于点F,连接DE.若记∠ADC为a,∠DEB为B,则+P的度数为() A.120° B.135 C.150° D.165 2.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为6，BD平分∠ABC.若M、N分别是BD、 BC上的动点，则CM+MN的最小值为 3.【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，OC是 ∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E 将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合.由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知：如图1，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D ,E,求证：PD=PE. 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程， 【定理应用】(1)如图2，△ABC的周长是12，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D, 若OD=2,则△ABC的面积为一， A N D E BB D M B 图1 图2 图3 (2)如图3，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，点M、N分别在OB和OA上，连接PM和PN,若 ∠PMO+∠PNO=180°，求证：PM=PN; 二、作平行线 4.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC,垂足为E,延长BC至点 Q,使CQ=A,连接PQ交AC于点D,则DE的长为() D A.1 B.1.8 C.2 D.2.5 5.已知，如图在等边△ABC中，点D为AB边上一点，点E为BC边上一点，连接DE并延长DE交AC 延长线于点F,DE=FE,过点E作EG⊥BC交AC于点G. D E (I)求证：BD=CF: (2)当DF⊥AB时，试判断以D、E、G为顶点的三角形的形状，并说明理由： 6.如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC. B 图1 图2 (1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE DB(填“>”“<”或“=”)； (2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想。 三、倍长中线模型经典证明 7.如图已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AE平分∠CAD交BC边于点E,∠BAD+∠CAE=90°， AD=5,则AC= D 8.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过思考： (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HIL (2)求得AD的取值范围是 A.8<AD<10B.8≤AD≤10C.1<AD<9D.1≤AD≤9 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 (3)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证： AE=2AD B B 图1 图2 9.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在△ABC中，AC=6,AB=8,D是 BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 图1 图2 ()嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长AD到点E，使 DE=AD,连接BE.可以判定△ADC≌aEDB,得出AC=BE,这样就能把线段AB、AC、2AD集中 在△ABE中，利用三角形三边的关系，探究得出AD的取值范围是 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE=DC,过E作EFI‖AB与AD相交于点F,且EF=AC】 求证：AD平分∠BAC. 四、角平分线作垂直模型 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E,连接BE，,AB=6, AC=8,BC=10,则△ABE的面积是() 9 e号 4 A. B.2 D.5 11.如图，CN平分△ABC的外角∠ACM,过点A作CN的垂线，垂足为点D,∠B=∠BAD.若AC=9, BC=6,则AD的长为 M 12.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=23°，∠C=38°，则∠BAD= D B 五、截长补短模型 13.如图，在△ABC中，∠B>90°，CD为∠ACB的角平分线，在AC边上取点E,使DE=DB,且 4BD>90,若A=a,2DCB=B ,则() A.∠AED=180°-a-2B B.∠AED=180°-a-B C.∠AED=90°-au+2B D.∠AED=90°+a+B 14.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB-AC=CD,∠B=35°，则∠C=() D A.60° B.70° C.75 D.80° 15.如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B=2LC,试探究线段AB,BD,AC之间的数量关系.由于角平 分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明 的解题思路如下： A A E D D 图1 图2 ①如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE ②由AB=AE,AD平分∠BAE,AD是公共边，可得△ABD≌△AED(理由： ),则 ∠B=∠AED,BD=DE ③由∠B=2∠C,则∠AED=2∠C 又因为∠AED=∠EDC+LC,所以LEDC=∠C,则DE=」 又由BD=DE,得BD=EC, ④根据上述的推理可知AB,BD,AC之间的数量关系为 (1)请你补全小明的解题思路. (2)参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，BD平分∠ABC,求证：AB+CD=BC. y ⊙ B C 图3 六、构造一线三垂直(K字)全等 16.如图，在△ABC中，∠ABC=9O°，AB=BC,D是线段BC上一点，连接AD,过点A作AE⊥AD, 且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长度为() D B A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 17.阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直， 所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形. D A C 图1 图2 图3 (1)问题解决： 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE 于点E,则CD与BE的数量关系是 (2)问题探究： 如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,BE⊥CE 于点E,AD=3cm,DE=1.8cm,求BE的长； (③)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，1(，0，CL,2.5)a4B 为等腰直角三角形，∠ACB=90, AC=BC,求B点坐标， 18.已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB,连接AD,在直线AC右侧作AE⊥AD, AE=AD A B D B D 图1 图2 图3 (①)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AC于F,若CD=l,EF=3;求CF (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点P.若∠BPC=30°.求证： BE=4AC: (3)如图3，当点D在CB延长线上时，连接BE交AC的延长线于点PDB:BC=3:4请直接写出S的值 (不需要计算过程). 七、延长相交 19.如图，动点C与线段AB构成△ABC,其边长满足AB=9,CA=2a+2,CB=2a-3.点D在∠ACB 的平分线上，且∠ADC=90°，△ABD的面积的最大值为() D 45 A.4 C.9 20.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C,且AE=EF,AB‖EF,AD平分 ∠BAE,CE=1,AB=8,则CF的长为 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，∠BAC的角平分线AD交BC于D,交∠ABC的角平分线于E, 过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证：AF+BD=AB 参考答案 题号 1 4 10 13 14 16 19 答案 B A B A A 1.B 本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，平行线的判 定以及性质等知识.过点B作BG LBC交CE的延长线于点G,证明△1CD≌aCBG(AAS) 可得 BG=CD.又点D是BC的中点，即得BG=D,从而可得△GBE2DBE(SAS) ,得∠G=∠BDE=a, 即可得C+B=135° 解：过点B作BG⊥BC交CE的延长线于点G,如图： .BG⊥BC,∠ACB=90° .BG∥AC. ∴.∠G=∠ACF .AC⊥BC,CE⊥AD ∴.∠ACF+∠DCF=∠ADC+∠DCF=90°， .∠ACF=∠ADC=a, ∴.∠G=∠ADC=a 又，∠ACD=∠CBG=90°，AC=CB. :△MCD2aCBG(AAS) .BG=CD :点D是BC的中点， .BD=CD .BG=BD .AC=BC,∠ACB=90°， .∠CBE=∠GBE=45°， 又，BE=BE, △GBE≌ADBE(SAS) ∴.∠G=∠BDE=a, .∠CBE=45°， ∴.∠BDE+∠DEB=180°-∠CBE=135°， 即a+B=135°， 故选：B. 2.3 在AB上取点E,使得BE=BN,连接CE、ME,过点C作CF⊥AB于点F,利用三角形面积公式求出 CF=3,再证明△BMB2,DMW (SAS）,得到BM=WN,则当B、M、C三点共线，且C上B时 CM+MN有最小值为CF的长，即可得解。 解：如图，在AB上取点E,使得BE=BN,连接CE、ME,过点C作CF⊥AB于点F, 在锐角三角形 中， 的面积为6， ABC AB=4△ABC ∴5AB.CF=×4CF=6 2 ∴.CF=3 :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD 在△BME和△BMN中， BE=BN ∠EBM=∠NBM BM=BM ∴.aBME≌aBMN(SAS) .EM =MN. .CM+MN=CM+EM zCE 2 CF, ∴当E、M、C三点共线，且CE⊥AB时，CM+MN有最小值为CF的长， .CM+MN的最小值为3. 3. 定理证明：证明：，PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PD0=∠PE0=90°， 在△PDO和△PEO中， 「∠AOC=∠BOC ∠PDO=∠PEO OP=OP ,△PDO≌APEO(AAS) .PD=PE: 定理应用：(1)12： (2)证明：过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E, A 0 N 、P M B 则∠PEO=∠PD0=90° ·.·∠AOC=∠BOC ∴PD=PE, '∠PWO+∠PNA=180°，且∠PMO+∠PWO=180°， ∴.∠PNA=∠PMO ,△PDN≌△PEM(AAS) .PM PN 定理证明：由垂直可得∠PD0=∠PB0=90,然后证明△D02aPBO(AAS) 进而问题可求证： 定理应用： (1)连接A0,过点O分别作OE⊥ABOF⊥AC,垂足分别为E、F,则有OE=OD=OE=2,然后根 据三角形的面积公式可进行求解： (2)过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则∠PEO=∠PEO=90°，PD=PE,由已知与平角性 质可得∠PWM=∠PM0,即得 PDN≌APEM(ASA)PM=PN [定理证明]：略 [定理应用]： (1)连接A0,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,如图所示： :BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,OD=2, .OE=OD=OF=2、 .S△MBc=SAOB+S△BOc+S△MOC ECDCO *2(8+8c+40. .△ABC的周长是12， 即AB+BC+AC=12, 1 8c=2×2x12=12: 故答案为：12； (2)略 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理.熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理 证明和运用，三角形面积公式，平角性质，是解题的关键， 4.C 过P作BC的平行线交AC于F,通过AAS证明△PFD≌△QCD,得FD=CD,再由△APF是等边三角 形，即可得出DE=AC 2 解：过P作BC的平行线交AC于F, ∴.∠Q=∠FPD :△ABC是等边三角形， ∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60° ∴△APF是等边三角形， ..AP=PF, .CO=PA, PF=CO 在△PFD中和△QCD中， ∠FPD=∠Q ∠PDF=∠QDC PF=CO ·aPFD≌△OCD(MAS) ∴.FD=CD :PE⊥AC于E,△APF是等边三角形， .AE=EF, ∴.AE+DC=EF+FD=ED .AC=4. DE=2, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角 形是解题的关键。 5.(1) 证明：过点D作DH∥AC交BC于H, D H E ∠DHB=∠ACB, :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC∠B=∠ACB=60 .∠B=∠DHIB=60° :DB=DH, :DH∥AC, :∠HDE=∠F,∠DHE=∠FCE. DE=FE, ∴.△DEH≌△FEC(AAS) :DH=FC, :.BD=CF (2) 以D、E、G为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由： 连结DG, G B H E :ED⊥AB于D, ∠B+∠DEB=90°∠B=60 ∴.∠DEB=90°-∠B=30 又：EG⊥BC,∠ACB=60°， ∴∠DEB+∠GED=90°∠EGC+∠GCE=90° ∴.∠GED=90°-∠DEB=60°∠EGC=90°-∠GCE=30° 由(1)知DH=BD,∠B=60°， ∴△BHD为等边三角形， ..∠BDH=60° .:.∠HDE=90°-∠BDH=30° ∠F=∠HDE=30 .∠F=∠EGC=30° ..GE=EF=DE, ∴△DEG为等边三角形： (I)过点D作DH∥AC交BC于H,证明 DEH≌AFEC(AAS) ,根据全等三角形的性质得出结论； (2)连结DG,根据补角的概念得到∠DEG=60°，根据等腰三角形的判定定理得到EG=EF,进而得 到EG=ED,根据等边三角形的判定定理证明即可： 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解 题的关键， (1)略 (2)略 6.(1)= (2AE=DB, 理由如下： 过E作EF∥BC交AC于F, 是等边三角形， B △ABC .∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC ∴.∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°」 ∴△AEF是等边三角形. .AE=EF=AF」 .∠ABC=∠ACB=∠AFE=60° ∴.∠DBE=∠EFC=I20°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60° DE=EC, .∠D=∠ECD ∴.∠BED=∠ECF ∠DEB=∠ECF, ∠DBE=∠EFC, 在 和 中， DEB△ECF DE=EC, △DEB≌△ECF(AAS) ∴.BD=EF=AE,即AE=BD (1)由△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC,由三线合一得到AE=BE, ∠BCE=2∠ACB=30°，由ED=EC,得∠D=∠BCE=30°，由外角的性质得到∠BED=30°，得到 ∠D=∠BED,则BD=BE,证得AE=DB; (2)过E作EF∥BC交AC于F,先证明△AEF是等边三角形，得到AE=EF=AF,再用AAS证明 △DEB≌aECF,得到BD=EF=AE,进而证得猜想 (1):△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC E为AB的中点， .AE=BE,∠BCE=2∠ACB=30°， .ED=EC, ∴.△CDE是等腰三角形， .∠D=∠BCE=30°， :∠ABC=∠D十∠BED, .∠BED=30°， .∠D=∠BED, .'BD=BE, ∴.AE=DB」 故答案为：= (2)略 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性 质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键. 7.10 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质， 作辅助线构造全等三角形是解题关键.延长AD至点F,使得AD=DF,连接BF,则AF=10,证明 △ACD≌△FBD(SAS) 得到AC=BF,∠C=∠DBF,再推出∠BAD=∠ABF,从而得到4=BF=AC, 即可得解. 解：如图，延长AD至点F,使得AD=DF,连接BF, D AD=5 .AF=10 :AD为BC边上的中线， ..BD=CD. 在△ACD和△FBD中， AD=FD ∠ADC=∠FDB CD=BD ∴.AACD≌AFBD(SAS) ∴AC=BF,∠C=∠DBF, :AE平分∠CAD .∠CAE=∠DAE. .∠BAD+∠CAE=90°， .∠BAD+∠DAE=∠BAE=9O°」 .∠ABE+∠AEB=90°. .:∠AEB=∠C+∠CAE .∴，∠ABE+∠C+∠CAE=∠ABE+∠DBF+∠CAE=∠ABF+∠CAE=90° .∠BAD=∠ABF, .AF BF. ..AC=AF=10. 故答案为：10. 8.(1)B(2)C (3)证明：延长AD到点F,连接CF,如图， D E.: 是 的中线， AD△ABC .BD=CD, 在△ABD和△FCD中， BD=CD ∠ADB=∠FDC AD=FD △ABD≌AFCD(SAS) ∴.AB=FC,∠B=∠FCD. .CE=AB ..CE=FC, 又∠B=∠FCD .∠ACB+∠FCD=∠ACB+∠B=180°-∠BAC, ∠BAC=∠BCA, ∴.∠ACB+∠FCD=180°-∠BCA=∠ACF, 而∠ACE=180°-∠BCA, .∠ACF=∠ACE. 在△ACF和△ACE中， CF=CE ∠ACF=∠ACE AC=AC 、△ACF≌△ACE(SAS) .AE=AF, .AF =2AD, ∴.AE=2AD」 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理 是解题的关键. (1)由全等三角形的判定定理解答即可： (2)根据三角形的三边关系计算： (3)延长AD到点F,连接CP,证明△ABDFCD(SAS)得4B=FC,∠B=∠FCD,再证明CE=C】 ∠ACF=∠ACE,从而可证明 ACF2ACE(SAS),得AB=AF,进一步可得结论. (I)解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE,如图1， .AD是BC边上的中线， ..CD=BD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠BDE=∠ADC AD=ED △ADC≌AEDB(SAS) 故选：B: (2)解：由(1)知△ADC≌aEDB, ..BE=AC=8, AB-BE<AE<AB+BE,AB=10, 即10-8<AE<10+8, .2<AE<18 AE =2AD, .1<AD<9, 故选：C; (3)略 9.(1)1<AD<7 (2) 证明：延长AD到点M,使MD=AD,连接EM. B D M 在△ADC与△MDE中， AD=MD ∠ADC=∠MDE DC=DE .∴△ADC≌AMDE(SAS) ∠DAC=∠M,AC=ME, EF AC, .EF=ME .∠EFM=∠M, :EFI‖AB .∴.∠EFM=∠BAD、 .∠DAC=∠BAD. 即AD平分∠BAC」 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形 的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题. (I)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,可以判定△ADC≌aEDB,得出AC=BE,这样就能把线 段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围； (2)延长AD到点M,使MD=AD,连接EM.证明△ADC≌△MDE,得出∠DAC=∠M,AC=ME, 得出∠EFM=∠M,由EF∥AB可得∠EFM=∠BAD,从而可得∠BAD=∠CAD,故可得AD平分 ∠BAC (I)解：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, B 是 的中点， .D BC .BD=CD, 在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠EDB BD=CD ∴.△ADC≌△EDB(SAS) ∴.BE=AC=6, 在△ABE中， AB-BE<AE<AB+BE, 即8-6<2AD<8+6, 解得1<AD<7, .AD的取值范围是1<AD<7: 故答案为：1<AD<7: (2)略 10.C 本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质.延长AE交BC于点F,作 AM⊥BC与点M,利用角平分线的定义可证 AEC≌AFEC(ASA ,可推出AE=EF,FC=AC=8,再 根据三角形面积可求得M,从而得到5，最后利用三角形中线的性质可如S一》，即可求得 2 答案 解：延长AE交BC于点F,作AM⊥BC与点M,如图所示， A D ，是 的角平分线， B F M C.·AE⊥CDCD△ABC ∠AEC=∠FEC=90°，∠ACE=∠FCE, 在△AEC和△FEC中， 「∠AEC=∠FEC EC=EC ∠ACE=∠FCE' .△AEC≌aFEC(ASA) .AE=EF,FC=AC, :∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10, .BF=BC-FC=BC-AC=10-8=2. S.wc =1AB-AC=BC.AM 2 2 AM=B.4C_6x8_24 BC-10-5, .S.4w=BF:AM=x2x2 1 、2424 2 2 55 .AE=EF, .=2 12412 故选：C. 4.9 此题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键. 延长AD交BM于点E,根据等角对等边推出AE=BE,易证△ACD≌aECD,根据全等三角形的性质得 出AC=EC,AD=ED,再根据线段的和差求出AE=BE,即可求解. 解：如图，AD的延长线交BM于点E, B EM∠B=∠BAD ∴.AE=BE, ,CN平分∠ACM, .∠ACN=∠ECN, :AD⊥C, .∠ADC=∠EDC=90°， 在△ACD和△ECD中， 「∠ACN=∠ECN CD=CD ∠ADC=∠EDC' .△ACD≌AECD(ASA) :AC=EC,AD=ED, AC=9, .EC=9, .BC=6. .BE=BC+EC=15, .AE=15. AD=15 2, 故答案为：2· 12.61 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质.延长AD交BC于点E,证明 AABD≌AEBD(ASA ,推出∠BAD=∠BEA,利用三角形的外角性质计算即可求解. 解：延长AD交BC于点E, E BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD, .∠ABD=∠EBD,∠ADB=∠EDB=90°， ..BD=BD △ABD≌AEBD(ASA) ∴.∠BAD=∠BEA, ,∠DAC=23°，∠C=38」 ∴.∠BAD=∠BEA=23°+38°=61°， 故答案为：61。 13.A 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，在AC上截取 CF=BC,证明aCFD≌△CBD,推出DF=DB=DE,根据等边对等角，结合三角形的内角和定理和平 角的定义，进行求解即可. 解：在AC上截取CF=BC, E D :CD为∠ACB的角平分线，∠DCB=B, .∠FCD=∠DCB=B, .CD=CD. ∴.△CFD≌ACBD ∴.DF=DB,∠CFD=∠B, DE DB. .DF=DB=DE. ∴.∠DFE=∠DEF, .180°-∠DFE=180°-∠DEF, .∠AED=∠CFD, ∴.∠AED=∠B, :∠A=a,∠ACB=2∠DCB-2B, ∠AED=∠B=180-a-2B； 故选A 14.B 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，在AB上截取一点E,使AE=AC,连 接DE,由角平分线得∠DAB=∠DAC,可得 DMB≌D1C(SAS),进而得DC=DE,∠AED=∠C,再 由AB-AC=CD得BE=CD,即可得∠B=∠EDB=3S°，再由三角形外角的性质得 ∠AED=∠B+∠BDE=35°+35°=70°，进而可得答案. 解：如图，在AB上截取一点E,使AE=AC,连接DE, B D :AD是△ABC的角平分线， .∠DAE=∠DAC ∴.在△DAE和△DAC中， AE=AC ∠DAE=∠DAC DA=DA △DAE≌△DAC(SAS) .DC=DE,∠AED=∠C. AB-AC=CD. .AB-AC=AB-AE BE CD. .∠B=∠EDB=35°， .∠AED=∠B+∠BDE=35°+35°=70°， ∴.∠C=70°， 故选：B. 15.(1)SAS,EC,AC=AB+BD,证明过程见详解 (2)见详解 (1)根据题意可直接进行求解； (2)在BC上截取BF=AB,连接DF,由题意易证△ABD≌△FBD,则有∠BFD=∠A=I0S°，然后可 得∠DFC=∠CDF=75°，进而问题可求证. (I)解：AC=AB+BD,理由如下： 如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE. .AD平分∠BAE, ∴.∠BAD=∠EAD」 AB=AE,AD=AD .△ABD≌△AED(SAS), ∴.∠B=∠AED,BD=DE, .LB=2∠C, ∴.∠AED=2∠C .·∠AED=∠EDC+∠C, .∠EDC=∠C, .DE=EC, .BD=DE, .'BD=EC .AC=AB+BD (2)证明：在BC上截取BF=AB,连接DF,如图所示： A D B F 图3 BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠FBD, .BD=BD, 、△ABD≌AFBD(SAS) .∠BFD=∠A=105°， .∠DFC=180°-∠DFB=75° ∠C=30°， ∴.∠FDC=∠DFB-∠C=75° ∴.∠DFC=∠CDF=75°， .FC=CD .BC=BF+FC=AB+CD 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性 质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键. 16.A 本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键 过点E作EG⊥AB于点G,则∠AGE=∠EGB=90°，先证明△AEG≌△DAB得到EG=AB, AG=BD=3.3,则有EG=BC,进而推出△EFG≌aCFB,得到GF=BF=2.5,再利用线段的和差即可 求解. 解：如图，过点E作EG⊥AB于点G, F ◇y D B 则∠AGE=∠EGB=90°， ∴.∠EAG+∠AEG=90°， ,AE⊥AD, ∴.∠EAD=90° .∠EAG+∠DAB=90°， ∴.∠AEG=∠DAB 又，∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD, △AEG≌ADAB(AAS) .'.EG=AB,AG=BD=3.3. .AB=BC, .EG=BC, 又，∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB, :△EFG≌aCFB(AAS) .GF=BF=2.5. .AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3 故选：A 17.(1)CD=BE (2)l.2cm 63.505) (I)通过“一线三垂直”模型，证明△ACD≌aCBE,得CD=BE 2)同理证△ACD≌aCBE,得CE=AD,再通过CD=CE-DE计算BE的长度. (3)作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证△ACM≌△CBN,结合A、C的坐标差得到线 段长度，即可计算B点坐标 (I)解：：△ABC是等腰直角三角形，AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ACB=∠D=∠E=90°，AC=BC」 又，∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， .∠DAC=∠BCE, 、△ACD≌ACBE(AAS) ∴.CD=BE 故答案为：CD=BE (2)解：AD⊥CE,BE⊥CE,∠ACB=90°， ..∠ADC=∠E=90° .∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90° .∴.∠CAD=∠BCE 在△ACD与△CBE中， I∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠E AC=BC ∴.△ACD≌ACBE(AAS) ∴.BE=CD,CE=AD=3cm, 又：DE=1.8cm, .BE CD=CE-DE =3-1.8=1.2(cm) (3)解：如图3过点B作EF∥y轴，过点A作AD∥y轴， 过点C作DEI‖x轴，DE分别与EF、AD交于点E、D, :AD∥y.DEx EF∥y 轴， 轴， 轴， D ----E A O ∴·AD⊥CE,BE⊥CE,AD=EF 又：∠ACB=90°， ∴.∠D=∠E=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90° ∴.∠CAD=∠BCE, 在△ACD与△CBE中， [∠CAD=∠BCE ∠D=∠E AC=BC ∴.△ACD≌aCBE(AAS) .DC=BE,AD=CE. A(-1,0),C(1,2.5) .AD=EF=CE=2.5,DC=BE=2. .BF=EF-BE=0.5,OF=1+2.5=3.5, B点坐标为 3.5,0.5) 【点睛】考查“一线三垂直”模型、全等三角形的判定(AAS)、等腰直角三角形的性质、平面直角坐 标系中点的坐标计算.解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐 标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度. 18.(1)2: (2) 证明：如图2，过点E作EN⊥AP, No---7E A D 图2 AE⊥AD,EN⊥AP, .∠AE=∠EAD=∠ACB=90°， :∠DAC+∠ADC=90,∠DAC+∠EAW=90°， .∠EAN=∠ADC. 又：AE=AD,∠ANE=∠ACD=90°， ,△ANE≌△DCA(AAS) .EN =AC, ..BC=AC, ∴BC=NE, 又：∠BPC=∠EPW,∠BCP=∠ENP=90, .△BCP≌AENP(AAS) ∴.BP=EP, ∴.BE=2BP, 在RIABCP中，∠BPC=30°. .BP=2BC=2AC. .BE=2BP=4AC: 3 1 (1)由结合已知得∠EAF=∠AD 结合题意证 △EAF≌aMDC(AMS),利用全等的性质代入计算即可： (2)如图2，过点E作EN1AP,由垂直得结合己知证 MNE≌ADCA(AAS),得到EN=AC,BC=NE 再证 BCP心ENP(MS)得BE=2BP,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半换算即可： (3)当点D在CB延长线上时，如图，交AP的延长线于N,由DB:BC=3:4,设DB=3a则 BC=AC=4和，解出DC=DB+BC=7a,分别△MNE2aDC4(4S,△BCP2*ENP(1S),利用全等的 性质求出AP,最后利用三角形面积公式计算即可. (I)解：，AE⊥AD,EF⊥AC, ∴.∠AFE=∠EAD=∠ACB=90°， .∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF=90°， .∠EAF=∠ADC, 又，AE=AD,∠AFE=∠ACD=90° .△EAF≌△ADC(AAS) ∴EF=AC=3,AF=CD=1. .CF=AC-AF=2: (2)略 (3)解：当点D在CB延长线上时，如图，交AP的延长线于N, B C Ph--- 图3 …DB:BC=3:4. .设DB=3a则BC=AC=4a, .'DC=DB+BC=7a. ,AE⊥AD,EN⊥AP, ·.∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°， .∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAW=90° ∴.∠EAN=∠ADC. 又：AE=AD,∠ANE=∠ACD=90°， :.aMNE≌aDCA(AMS) .EN=AC=4a,AN =CD=7a, CN=AN-AC=3a. 又：∠BPC=∠EPN,LBCP=∠ENP=90, ,△BCP≌△ENP(AAS) :CP-PN=1CN=3a 2 2, AP=AC+CP=lla 2, :S4m= S&ABD 1BDAC ”SAABE +Sag AP-BC+1APEN 2 BD.AC 3a.4a AP.(BC+EN)11a. 2a-(4a+4a) SAAND3 SAABE 11 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、三角形面积公式： 解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算. 19.A 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解 题关键. 延长AD,CB交于点E,首先利用“ASA”证明△ACD2aECD,由全等三角形的性质可得 AC=EC=2a+2,AD=ED S4D:SABE=1:2 ，进而可求 BE=5,结合三角形中线的性质知9 确定 △ABE面积的最大值，即可获得答案， 解：如下图，延长AD,CB交于点E, D ,CD为∠ACB的平分线， ∴.∠ACD=∠ECD, 在△ACD和△ECD中， ∠ACD=∠ECD CD=CD ∠ADC=∠EDC=90°· ∴.△ACD≌AECD(ASA) .AC=EC=2a+2.AD=ED :CB=2a-3 .BE=2a+2-(2a-3)=5 AD=ED ∴.SABD:S.ABE=1:2 当BE⊥AB时，△ABE的面积取最大值， 即RE 9x5=45 2 , 45 .S. 故选：A. 20.6 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造全等三角形解决问题.延长FE交AD的延长线于H.等角对等边可证明EA=EH=EF,进而证 明△HDC≌△ADB即可得到AB=CH=8,设CF=x,进而列出方程，即可解决问题. 解：如图，延长FE交AD的延长线于H, AD平分∠BAE, ∠BAD=∠HAE, ,FH‖AB ..∠H=∠BAD ∴.∠H=∠HAE, ∴EA=EH=EF,设CF=x,则EF=EA=EH=x+1, ∠H=∠BAD,∠HDC=∠ADB,DC=DB, ∴.AHDC≌△ADB(AAS) .AB=CH AB=8, ∴.x+1+1=8, x=6, 故答案为：6. 21. 证明：延长EF,BC相交于点M, C D .:∠ACB=90° ∴.∠CAB+∠CBA=90° AE平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴.∠EAB+∠EBA=45°」 .∠AEB=180°-45°=135°」 ∴.∠DEB=180°-135°=45， ,AE⊥EF, ∴.∠MEB=∠MED+∠DEB=90°+45°=135°=∠AEB 在△AEB和△MEB中， [∠AEB=∠MEB EB=EB ∠ABE=∠MBE' 片△AEBMER(ASA)） ∴.∠EAB=∠M,AE=ME,AB=MB, AE平分∠BAC, ∴.∠FAE=∠EAB, .∠FAE=∠M, 在△AEF和△MED中， ∠FAE=∠M AE=ME ∠AEF=∠MED=90°' ,△AEF≌2aMED(ASA) .AF =MD, ∴.AF+BD=MD+BD=MB=AB 延长EF,BC相交于点M,分别证明△AEB≌△MEB和△AEF≌△MED即可得解. 略 【点睛】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅 助线证明三角形全等是解题的关键.