第十三章 三角形 --三角形中的几何模型重点题型 归纳练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形“8”字、“A”字、燕尾、双内角平分线四大几何模型，通过折叠椅、可调躺椅等生活情境题与选择、填空、解答梯度训练，强化模型应用与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|6题|四大模型基础应用|生活情境融入，如“和谐8字形”“规形图”| |填空|3题|模型角度计算|结合实际场景，如折叠椅角度问题| |解答|6题|模型证明与拓展|分层设计，含基础证明、探究拓展（如第11题规形图多问）|

第十三章三角形一三角形中的几何模型重点题型归纳练 20262027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、应用“8”字模型证明与求值 1.如图，AB和CD交于点O,AC⊥AB于点A,连接BD.若∠B=40°，∠D=75°，则∠C的度数是 () B A.250 B.30° C.35 D.40° 2.如图，BE与AC、AD分别交于点G、F,则LB+∠C+∠D+∠E-∠A=。 3.(1)生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则 ∠A,∠B,∠C∠D 之间的数量关系一。 (2)在图2中∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若 ∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是 D D A A1M 24 图1 图2 4.如图，AD,BC相交于点O,连接AB,CD A (1)求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)若∠A=57°，∠B=35°，∠C=60°，求∠D的度数. 二、应用“A”字模型证明与求值 5.如图，在△ABC中，若∠B+∠C=a,∠1+∠2=B,则下列选项正确的是() A.=B B.a>B C.a<B D.B=2a 6.如图，∠B+∠C与∠I+∠2的数量关系正确的是() B A.∠B+∠C<∠1+∠2 B.∠B+∠C>∠I+∠2 C.∠B+∠C=∠1+∠2 D.∠B+∠C+∠1+∠2=360° 7.如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示.若AB∥CD,BC与AD相交于点O, 点F在DA的延长线上，∠FAB=I15°，∠AOB=60°，则∠BCD的度数是(） B ○ 图1 图2 A.45° B.50° C.55° D.60° 三、应用燕尾模型证明与求值 &.如图，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边X,XZ恰好经过点B,C,若 ∠A=50°，则∠ABX+∠ACX的度数是() A.30° B.40° C.50° D.60° 9.如图是可调躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠E=40°.为了舒适， 需调整∠CDF大小，使∠EFD=14O°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 _度 D、 E E A B 10.已知：如图，点D在∠BAC的内部.求证： B (1)∠BDC>∠A: (2)∠BDC=∠B+∠C+∠A (3)如果点D在线段BC的另一侧，又会有怎样的结论？ 11.如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们把这样的图形叫做“规形图”. B B 图1 图2 图3 (1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A∠B、∠C之间的关系，并说明理由： (②)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边TY、XZ恰好经过点B、C, 若∠A=36°，直接写出∠ABX十∠ACX的结果： ②如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠A=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数. 四、应用“双内角”平分线模型证明与求值 12.如图，P为△ABC内一点，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,且∠A=100°，则∠BPC的度数是 () P A.100° B.110° C.140° D.130° 13.如图.在△ABC中，B0平分∠ABC,C0平分∠ACB,若∠A=70°，则∠BOC的度数为， 14.结合图形，解答下列各题： A 图1 图2 【问题】 (I)如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB.若∠A=80°，则∠BEC=一： 【探究】 (2)如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB.试猜想∠BEC和∠A有怎样的关系，并说明理 由： 【应用】 (3)如图2，在△ABC中，BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=n°，则∠BEC= 15.综合与探究 【感知】如图L,在△ABC中，BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线. 【应用】 图1 图2 ()若∠ABC=50,∠ACB=70°，则∠BPC=_；若∠BAC=70°，则∠BPC=_: (2)求∠BPC与∠A之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形ABCD中，BP,CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量 关系 参考答案 题号 1 5 6 7 8 12 答案 A A B c 1.A 先由三角形内角和定理求出∠BOD的度数，再由对顶角相等可得∠AOC的度数，然后根据垂直的定义得 到∠A=90°，最后根据余角的性质求解即可. 解：在△BOD中，∠B0D=180°-∠B-∠D=180°-40°-75°=65°， .∠AOC=∠BOD=65° :AC⊥AB ∴.∠A=90° ∴.∠C=90°-∠AOC=25° 2. 180 根据三角形外角的性质可得∠BGA=∠B+∠C,∠EFA=∠E+∠D,再根据平角的定义和三角形内角和定 理即可得答案 解：：∠BGA和∠EFA分别是△BCG和△EFD的外角， .∠BGA=∠B+∠C,∠EFA=∠E+∠D ∠B+∠C+∠D+∠E=∠BGA+∠EFA=180°-∠AGF+180°-∠AFG=360°-（∠AGF+∠AFG) ∠A=180°-(ZAGF+∠ABG) ∠B+∠C+LD+∠E-∠A=360°-(LAGF+∠AFG)-[180°-（∠AGF+∠AFG)]=180° 3 ∠A+∠D=∠C+∠B 40° (1)根据三角形的内角和得到∠A0D=180°-（∠A+∠D),∠COB=180°-(B+∠C),由对顶角相等即可 得到结论： (2)根据题意可得∠0AD+42°=∠OCB+38°，得到∠OCB-∠0AD=4°，根据角平分线得到 4-号401D,3=00B,再根据∠1+∠D=3+∠p得到 :∠P=∠1+∠D-∠3=(0AD-∠0CB)+∠D,即可得到答案. 解：(1)：∠A0D=180°-（∠A+∠D),∠C0B=180°-(LB+∠C 而∠AOD=∠BOC. .∠A+∠D=∠C+∠B: (2)∠D=42°，∠B=38°， .∠0AD+42°=∠0CB+38°， ∠OCB-∠OAD=4°， ·∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点， 4=040.2=500, 2 I+∠D=∠3+∠P, 2P=1+2D-∠3=0MD-∠0c周+D=x(-49+42=40. 4.(1)证明：：∠A+∠B+∠A0B=180°，∠C+∠D+∠C0D=180°， .∠A+∠B=180°-∠AOB,∠C+∠D=180°-∠C0D ,∠AOB=∠COD, ∴.∠A+∠B=∠C+∠D； (2)32° (1)根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°-∠A0B,∠C+∠D=180°-∠C0D,再由对顶角相等，即 可求证； (2)由(1)中的结论解答即可. (1)略 (2)解：由(1)得：∠A+∠B=∠C+∠D, ∠A=57°，∠B=35°，∠C=60°， .57°+35°=60°+∠D, .∠D=32° 5.A 解：：∠B+∠C=180°-∠A,∠1+∠2=180°-∠A, ∠B+∠C=∠I+∠2， 即a=B, 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 6.C 根据三角形内角和定理得∠A+∠1+∠2=180°，∠A+∠B+∠C=180°，即可得到结论∠1+∠2=∠B+∠C. 解：：∠A+∠1+∠2=180°，∠A+∠B+∠C=180°， .∠1+∠2=∠B+∠C 7.C 先根据三角形外角的性质求出∠B,再根据平行线的性质求解即可. :∠FAB=115°，∠AOB=60°， ∴.∠B=∠FAB-∠AOB=115°-60°=55° :AB∥CD ∴.∠BCD=∠B=55° 8.B 利用三角形的内角和定理进行求解即可. 解：在△ABC中，∠A=50°， .∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° ~三角尺YZ的两条直角边W,X忆分别经过点B,C, .∠BXC=90°. ∴在△XBC中，∠XBC+∠XCB=180°-∠BXC=90° .∠ABX+∠ACX=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=130°-90°=40° 9.30 延长EF交BD于G.根据三角形内角和公式求出∠ACB=7O°，可得∠DCE=70°，根据三角形外角的性 质得∠EFD=∠CDF+∠E+∠DCE,然后代入数据求解即可. 解：延长EF交BD于G. 0 G :∠CAB=50°∠CBA=60° .∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=70°. ∴.∠DCE=∠ACB=70° :∠EFD=∠CDF+∠DGF,∠DGF=∠E+∠DCE, ∴.∠EFD=∠CDF+∠E+∠DCE .∠CDF=140°-70°-40°=30° 10.(I)证明：延长CD交AB于点E,如图， B .·∠BDC=∠B+∠BED ..∠BDC>∠BED ∠BED=∠A+∠C, ∴.∠BED>∠A .∴.∠BDC>∠A (2)证明：延长CD交AB于点E,如图， B :∠BDC=∠B+∠BED∠BED=∠A+∠C ∴.∠BDC=∠B+∠C+∠A (3) ∠BDC+∠B+∠C+∠BAC=360° 证明如下： 连接AD,如图， B :∠B+∠BDA+∠BAD=180°∠C+∠CDA+∠CAD=180° ∴.∠B+∠BDA+∠BAD+∠C+∠CDA+∠CAD=360° ∴.∠BDC+∠B+∠C+∠BAC=360° (I)运用三角形外角的性质可得∠BDC>∠BED,∠BED>∠A,由此可证明. (2)运用三角形外角的性质来进行推理即可. (3)运用三角形内角和的性质来进行推理即可. (1)略 (2)略 (3)略 11.(I)解：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是： 过点A、D作射线AF, .∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD. .∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B, 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C； (2)①54°：②85 (1)作射线AF,根据三角形的外角的性质可得结论：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C: (2)①先根据三角尺可知：∠X=90°，根据(1)的结论可得：∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°，从 而得结论： ②先根据(I)的结论可得：∠ADB+∠AEB的度数，由角平分线可得： ∠ADC+∠AC=ADB+∠AB)=45°，从而得结论. (1)略： (2)解：.∠BXC=90」 由(1)知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°， .∠A=36° .∠ABX+∠ACX=54°： ②、∠A=40°，∠DBE=130° ∴.∠ADB+∠AEB=130°-40°=90°， :DC平分∠ADB,EC平分∠AEB, ∠ADC=ADR,∠ABc=AB, ·∠ADC+∠ABC=(∠ADB+∠AEB)=45. ∴.∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85° 12.C 先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出LPBC+∠PCB的度数，进 而可得出结论， 解：在△ABC中，∠A=100°， .∠ABC+∠ACB=180°-100°=80° :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, &∠PBC+∠PcB=(ABC+ZACB)=x80P=40 ∴.∠BPC=180°-40°=140° 13.125° 先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=1I0°，再利用角平分线的定义得到 0BC=∠ABC,L0CB=,ZACB,求出∠0BC+∠OCB=55°，最后利用三角形内角和定理即可求 2 解：.∠A=70°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, :208c-MBc.∠ocB-aCB, OBC+Z0CB-(ABCACB) .∠OBC+∠OCB=55°， .·∠BOC+∠OBC+∠OCB=180° 、∠B0C=180°-（∠0BC+∠OCB)=180°-55°=125 14.(①)130°： ②∠BEC=90°+2"，理由见解析， 2 (3)60°+2n° 3 (1)根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可： (2)根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可： (3)根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-n°，再由BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三 等分∠ACB·得到∠EC-号A8C，∠BCB-号AcB,于是∠BC+∠BB-1C+AC到，得根 3 据三角形的内角和定理得到∠BEC的大小. (1)解：：∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠A=80°， .∠ABC+∠ACB=100° :BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB, Bc-4Bc.∠BcB-ac. ,∠BEC=18O°-（∠EBC+∠ECB) =180-(ac+aca) =180°-2×10° =130°， 故答案为：130°： (②解：∠BC90+m,提如下， :∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠A=n°， .∠ABC+∠ACB=180°-n°， ,BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB, A.∠BBC=)∠ABC,∠BCB=,∠ACB. 2 2 ,∠BEC=18O°-（∠EBC+∠ECB) =180-(2MBc+∠4C8) =180-080-9】 =180-90+2 1 =90+2° (3)解：如图2， 图2 由三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-n°， :BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB, :∠EBC=LABC,∠BCB=2∠ACB 3 2 ∠Ec+∠ECB-3(ABc+∠CB)-l80e-r）=120-r ∠BEc=-180-(☑BC+☑Bc8)=180-（I20-号r-60+号r 15.(1)120°，125° )<BPC=90+)∠A,理白见解折 2 (3)∠A+∠D=2∠BPC (1)根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可： (2)根据角平分线，三角形内角和定理进行求解： (3)结合(2)的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解. (1)解：若∠ABC=50,∠ACB=70°， 由条件可知<P8C=<4C=259∠PCB=4CB=35”, .∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=120°： 若∠BAC=70°， :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∠Pmc-=24ac∠B=2<AB, :∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180P-2180P-∠BAC)=90P+2∠BMC， .∠BAC=70°. :<BrC=0+<BAC=0+x70=l12s。 2 (2)解：∠BPC=90°+)∠A;理由如下： 2 :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∠PBc=3ABc∠PCB=<4CB, ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB =180°-（∠PBC+∠PCB) =180-(∠4Bc+∠4B) =-180-080-∠40 -90°+5∠A, 2 (3)解：∠A+∠D=2∠BPC, 如图，延长BMCD交于点B,由(2知，∠BPC=90+)∠E, E 由条件可知∠BAD+∠CDA=∠E+∠E+∠ADE+∠DAE=180°+∠E, .∠E=∠BAD+∠CDA-180°， ∠ac=0o+号E =90°+（∠BAD+∠CDA-180) =90°+（∠BAD+∠CDA1-90° =)(∠BAD+∠CDA, 即∠BAD+∠CDA=2∠BPC」