第十一章实数和二次根式（单元测试提升卷） 2026-2027学年北京版八年级数学上册

第十一章 实数和二次根式（单元测试提升卷）数学 2026-2027学年八年级上册 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2分，共16分） 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．若，则的值是（   ） A．1 B． C．2021 D． 4．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为－1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D．1.6 5．根据下表，下列说法错误的是（   ） n 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 9 4 1 0 1 4 9 A．当时，代数式和的值相等 B．是方程的一个解 C．随着n的值增大，代数式和的值都在增大 D．n的值每增加1，的值也增加1 6．按一定规律排列的代数式：，，，，…，则第个代数式是（   ） A． B． C． D． 7．化简正确的是（   ） A． B． C． D． 8．对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题2分，共16分） 9．比较大小． （1） ____3；（2）_____；（3）_____． 10．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________； 11．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为_____． 12．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为________． 13．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 14．n为自然数，且是整数，那么n的值可能是_______．（写出一个即可） 15．观察表中的数据信息： a … … 则下列结论：①；②只有3个正整数a满足；③；④，其中正确的是__________（填写序号） 16．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 三、解答题（共68分） 17．计算 (1)； (2)． 18．求下列各式中x的值： (1) (2) 19．长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 20．已知：，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 21．我国古代《九章算术》中记载了“方田”、“圆田”面积计算方法，并提出“周三径一”的圆周率．结合所学知识，解决下列问题： 已知：一个圆与一个正方形的面积都是． (1)求圆的半径和正方形的边长（用含的式子表示） (2)圆和正方形中哪一个的周长较大？通过计算说明理由（精确到0.1）．（参考数据：，，） 22．我们在学习无理数时，曾估计过的近似值，某数学研究小组运用学过的知识对的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段： ①因为，所以； 又，所以更接近2； ②设，则________， 由于，接近0，可把略去，得到方程________； ③的近似值为________． (1)请将上述报告补充完整； (2)请用类似的方法求的近似值（精确到0.1）； (3)借助该思路，在（2）得到的近似值的基础上再进行探索，直接写出更精确的近似值为____________（精确到0.01）． 23．阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)比大小______；（直接填，，，或中的一种） (3)求式子的值； (4)已知是正整数，，，，求． 24．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 25．小丽根据学习“二次根式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小丽的探求过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律： 【特例1】； 【特例2】； 【特例3】； 【特例4】________（填写一个符合上述运算特征的例子）； 【猜想】 （2）用含n的式子表示上述运算规律为________（n为正整数）； 【应用】 （3）化简：． 26．阅读材料： 小聪通过网络搜索，查到了三种平均数的定义，如下： 对于两个数， 称为这两个数的算术平均数， 称为这两个数的几何平均数， 称为这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，则___________，___________； (2)小聪发现当两数异号时，在实数范围内没有意义，所以只研究当都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式、二次根式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形，以及它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请在图2，图3中用阴影画出面积分别为的图形； ②借助图形可知：当都是正数时，的大小关系是：___________．（把从小到大排列，并用“<”或“”号连接） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 实数和二次根式（单元测试提升卷）数学 2026-2027学年八年级上册 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2分，共16分） 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质以及分母有理化规则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C．该选项化简时仅给分母乘2，分子未同乘2，改变了原分数大小，变形错误，不符合题意； D．该式隐含，初中此类题型默认，则，故选项D正确，符合题意． 2．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在3到4之间， 故选：B． 3．若，则的值是（   ） A．1 B． C．2021 D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，求出的值是解答本题的关键． 先根据非负数的性质求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为－1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D．1.6 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数是，且点在点右侧， ∴点表示的数为：， 故选：． 5．根据下表，下列说法错误的是（   ） n 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 9 4 1 0 1 4 9 A．当时，代数式和的值相等 B．是方程的一个解 C．随着n的值增大，代数式和的值都在增大 D．n的值每增加1，的值也增加1 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，已知字母的值求代数式的值．结合表格数据以及每个选项的内容进行分析，得出选项C错误，因为代数式的值在从负数到零的过程中减小，并非一直随增大而增大，即可作答． 【详解】解：A、当时，，原选项内容说法正确，故该选项不符合题意； B、观察表格信息，得出当时，则，，原选项内容说法正确，故该选项不符合题意； C、观察表格信息，得出代数式的值在从负数到零的过程中减小，并非一直随增大而增大，原选项内容说法不正确，故该选项符合题意； D、观察表格信息，n的值每增加1，的值也增加1，原选项内容说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．按一定规律排列的代数式：，，，，…，则第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知第n个代数式（单项式）的系数为，次数为n，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， 以此类推，可知，第个代数式是． 7．化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先判断x的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，首先分别联立求出三个函数的交点，求的最大值，需找到使三个函数的最小值最大，最大值出现在函数交点处． 【详解】解：设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第一个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， ∵ ∴最大值为． 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 9．比较大小． （1） ____3；（2）_____；（3）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的性质、实数的大小比较．根据算术平方根的性质、实数的大小关系是解决此题即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， 又∵， ∴， 故答案为：． 10．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________； 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分母不为零，涉及解不等式，由题中式子，结合二次根式有意义的条件得到，求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是， 解得， 故答案为：． 11．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及求代数式的值，先估算出m，n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的数的大小，二次根式的化简；根据数轴得出，根据二次根式的性质，化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 13．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 14．n为自然数，且是整数，那么n的值可能是_______．（写出一个即可） 【答案】2（或 9、14、17、18，任写一个即可）． 【分析】此题考查了利用二次根式的性质化简，根据题意得到或或或或，进而求解即可． 【详解】解：∵n为自然数，且是整数 ∴或或或或 解得或或或或． 故答案为：2（或 9、14、17、18，任写一个即可）． 15．观察表中的数据信息： a … … 则下列结论：①；②只有3个正整数a满足；③；④，其中正确的是__________（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查无理数的估计，①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；②先根据的取值范围确定a的取值范围，再由a的取值范围确定a的正整数值；③利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；④先估计的值，再判断即可． 【详解】解：①， ， ，故①正确； ②， ， 其中整数有：232，233，234共3个，故②正确； ③，， ，， ，， ，故③正确； ④由①知， ，故④错误． 故答案为：①②③． 16．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【答案】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】， ， ， ， ． 三、解答题（共68分） 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）先化最简二次根式，再计算加减即可； （2）根据二次根式乘除混合运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 = （2）解：原式 18．求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是利用平方根的定义和性质解方程，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用平方根的定义求解是解题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴； （2）解： ∴． 19．长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 【答案】小明的想法不可行，见解析 【分析】根据长方形长与宽的比例设未知数，利用长方形面积公式求出长方形的宽，再比较长方形宽与待裁圆形的直径大小，即可判断想法是否可行． 【详解】解：小明的想法不可行． 设长方形的长为，则宽为， 由题意得，， 则， ， ， 长方形的宽为， ，即， ， 想从中裁出半径为的圆形画纸，则圆形画纸的直径为，， ∴， 不能裁出． 答：小明的想法不可行，他不能从这张长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸． 20．已知：，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值． （1）根据平方差公式和，可以求得所求式子的值； （2）根据完全平方公式和，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， ， ； ； （2）解：； ． 21．我国古代《九章算术》中记载了“方田”、“圆田”面积计算方法，并提出“周三径一”的圆周率．结合所学知识，解决下列问题： 已知：一个圆与一个正方形的面积都是． (1)求圆的半径和正方形的边长（用含的式子表示） (2)圆和正方形中哪一个的周长较大？通过计算说明理由（精确到0.1）．（参考数据：，，） 【答案】(1)圆的半径为，正方形的边长为 (2) 解：圆的周长为，正方形的周长为， ∵， ∴正方形的周长较大． 【分析】（1）根据圆和正方形的面积公式求解； （2）分别计算圆和正方形的周长比较即可． 【详解】（1）解：∵一个圆与一个正方形的面积都是，设圆的半径为r，正方形的边长为a， ∴，， ∴，； （2）略 22．我们在学习无理数时，曾估计过的近似值，某数学研究小组运用学过的知识对的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段： ①因为，所以； 又，所以更接近2； ②设，则________， 由于，接近0，可把略去，得到方程________； ③的近似值为________． (1)请将上述报告补充完整； (2)请用类似的方法求的近似值（精确到0.1）； (3)借助该思路，在（2）得到的近似值的基础上再进行探索，直接写出更精确的近似值为____________（精确到0.01）． 【答案】(1)，，； (2)3.2 (3)3.16 【分析】此题考查无理数的估算，完全平方公式计算，正确理解题意是解题的关键： （1）根据完全平方公式去括号，得一元一次方程，解方程即可； （2）仿照例题进行计算即可； （3）仿照例题进行计算即可； 【详解】（1）②设，则， 由于，接近0，可把略去，得到方程； ③的近似值为． 故答案为：，，； （2）设，则， 把略去，得到方程， 解得 所以 故的近似值为． （3）设，则， 把略去，得到方程， 解得 所以 故的近似值为． 23．阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)比大小______；（直接填，，，或中的一种） (3)求式子的值； (4)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3)2018 (4) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化，进行求解即可； （2）逆用分母有理化，进行判断即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【详解】（1）解：，； 故与互为有理化因式，分母有理化得， 故答案为：， （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 24．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根，算术平方根以，估算无理数的大小，分母有理化． （）根据算术平方根的定义估算无理数即可解答； （）估算的值，确定，的值，再代入计算，分母有理化即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为：，即 ∴的小数部分为：，即； （2）解：∵，其中是整数，且，而， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．小丽根据学习“二次根式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小丽的探求过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律： 【特例1】； 【特例2】； 【特例3】； 【特例4】________（填写一个符合上述运算特征的例子）； 【猜想】 （2）用含n的式子表示上述运算规律为________（n为正整数）； 【应用】 （3）化简：． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探究，正确得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：（答案不唯一） （2）∵特例1：； 特例2：； 特例3：， …， ∴ （3）． 26．阅读材料： 小聪通过网络搜索，查到了三种平均数的定义，如下： 对于两个数， 称为这两个数的算术平均数， 称为这两个数的几何平均数， 称为这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，则___________，___________； (2)小聪发现当两数异号时，在实数范围内没有意义，所以只研究当都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式、二次根式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形，以及它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请在图2，图3中用阴影画出面积分别为的图形； ②借助图形可知：当都是正数时，的大小关系是：___________．（把从小到大排列，并用“<”或“”号连接） 【答案】(1)； (2)①用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ② 【分析】（1）将分别代入的公式中求值即可； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、长方形和直角三角形的面积公式即可得到答案； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：①， ， ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $