专题2.1 反比例函数的概念（4大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

专题2.1 反比例函数的概念 知识点1：反比例关系与反比例函数的定义   1.反比例关系：若两个变量的每一组对应值的乘积是一个不为0的常数，则称这两个变量成反比例关系，表达式为（为常数，）。成反比例关系，不一定就是反比例函数。   2. 反比例函数定义：一般地，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，叫做比例系数。   3. 三种等价表达形式 形式类别 表达式 说明 分式一般式 最常用标准形式，在分母位置 乘积式 快速求比例系数，两组变量直接相乘 负指数幂形式 自变量的指数为，多用于求参数题型   4. 取值范围：自变量，函数值；分母不能为零，因此函数图像与轴、轴没有交点。 知识点2：反比例函数与反比例关系辨析   1. 核心结论：反比例函数中，变量与一定成反比例关系。   2. 易错辨析：若，只能说明与成反比例关系，不是的反比例函数，反比例函数自变量必须是本身。 知识点3：待定系数法确定反比例函数解析式   1. 核心原理：反比例函数仅有一个待定系数，只需一组对应值，即可求出，确定完整解析式。   2. 求解步骤   （1）设反比例函数解析式；   （2）代入一组对应数值，求解常数；   （3）将代回原式，写出完整函数表达式。 知识点4：实际问题中的反比例函数模型   1. 常见定值模型：面积、体积、总工程量、总路程、物理公式（杠杆、压强、做功）等场景中，总量固定时，两个变量乘积为定值，可构建反比例函数模型。   2. 自变量双重取值限制：既要满足代数式有意义（），又要符合实际现实意义，长度、时间、数量等变量通常取正数。 【基础必考题型】 【题型1】识别判断反比例函数 1.核心知识点   反比例函数三种等价形式；比例系数的限定条件；反比例关系与反比例函数的区别。 2.解题方法技巧   ①将函数式子变形为、、三种标准形式；   ②严格校验，且自变量仅为单一，不含多项式分母；   ③排除含常数项、分母为的非反比例函数形式。 【例题1】.（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·北京东城·开学考试）反比例函数中，比例系数_______． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】根据反比例函数定义求参数 1.核心知识点   反比例函数负指数形式特征，自变量指数必须为；比例系数不为0的双重限定条件。 2.解题方法技巧   ①根据定义列方程，令自变量指数等于，求出参数候选值；   ②代入校验比例系数，舍去使系数为0的无效参数；   ③必须同时满足指数、系数两个条件，缺一不可。 【例题2】.（2026九年级上·山东·专题练习）若是反比例函数，则的值为_________． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）若函数是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·全国·单元复习）若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 【题型3】代入求值与求比例系数k 1.核心知识点   函数自变量与函数值的对应关系；利用快速求解比例系数的方法。 2.解题方法技巧   ①已知函数图像上的点，直接横纵坐标相乘快速求；   ②已知自变量求函数值、已知函数值求自变量，直接代入解析式计算；   ③注意可正可负，不可默认。 【例题3】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【变式题3-3】.（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【培优高频题型】 【题型4】几何背景列反比例函数关系式 1.核心知识点   几何面积、体积计算公式；固定几何总量，构建反比例函数数学模型。 2.解题方法技巧   ①根据几何公式列等式，整理变形为标准形式；   ②结合几何边长、高为正数的特征，补充自变量取值范围；   ③区分正比例与反比例模型，找准固定不变的几何总量。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·河南周口·期中）物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·江西上饶·期中）在资源有限的环境中，某种动物的种群密度D与其平均个体活动领域面积S成反比，即（k为常数）．在某片森林中，当该动物的平均个体活动领域面积为平方公里时，其种群密度为每平方公里25只．则常数k的值为_________． 【题型5】生活情境建立反比例函数模型 1.核心知识点   工程、行程、消费等生活场景，提取恒定总量，抽象反比例函数模型。 2.解题方法技巧   ①精准定位题目中固定不变的总量；   ②根据“变量×变量=定值”整理出函数解析式；   ③结合生活实际，限定自变量为非负数或正整数。 【例题5】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是________． （2）当时，放水的平均速度为________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 【变式题5-2】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 【变式题5-3】.（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【题型6】跨学科物理情境反比例建模 1.核心知识点   结合杠杆、压强、做功等物理公式，剥离跨学科情境，抽象反比例函数模型。 2.解题方法技巧   ①识别物理公式中的恒定常量与变化变量；   ②整理公式变形为反比例函数标准形式；   ③统一物理单位，结合学科常识限定自变量取值。 【例题6】.（2026·湖北武汉·二模）已知蓄电池的电压为定值时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当电阻是时，电流，则电流关于电阻的函数关系式是______． 【变式题6-1】.（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 _____ （填“大”或“小”）． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在电压不变的情况下，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为_________． 【变式题6-3】.（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长_______m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 易错点 1、求解反比例函数参数时，忽略核心条件，仅判断自变量指数，导致参数求解错误。 2、混淆反比例关系与反比例函数，误将复合变量成比例直接判定为反比例函数。 3、误将分母含多项式的函数判定为反比例函数，概念认知模糊。 4、实际建模题型中，只书写函数解析式，遗漏自变量取值范围，忽略现实约束。 5、默认比例系数为正数，忽略可取负值的情况。 重点 1、掌握反比例函数核心定义，熟练运用三种等价表达式，精准识别反比例函数。 2、牢记反比例函数参数求解的双重条件，规范求解字母参数。 3、熟练运用待定系数法，快速求解反比例函数解析式。 4、能从表格、几何、生活情境中提取定值，建立规范的反比例函数模型。 5、清晰区分反比例关系与反比例函数的联系与本质区别。 难点 1、复合自变量情境下，精准辨析反比例关系与反比例函数的差异。 2、跨学科、生活化陌生情境中，剥离冗余背景，抽象标准反比例函数模型。 3、多条件约束综合题型，联立多重限制条件，精准筛选有效参数。 4、新定义、说理探究题型，实现知识迁移，严谨完成推理与文字说理。 【对应练习题】 一、单选题 1．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 2．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 二、填空题 4．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 5．反比例函数过点，若点B在该图象上，则________． 6．已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 三、解答题 7．已知函数 （为常数）． (1)若该函数是反比例函数，则________； (2)若该函数是正比例函数，则________． 8．已知反比例函数 ，当时，． (1)求函数解析式； (2)当时，求对应的函数值． 9．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 反比例函数的概念 知识点1：反比例关系与反比例函数的定义   1.反比例关系：若两个变量的每一组对应值的乘积是一个不为0的常数，则称这两个变量成反比例关系，表达式为（为常数，）。成反比例关系，不一定就是反比例函数。   2. 反比例函数定义：一般地，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，叫做比例系数。   3. 三种等价表达形式 形式类别 表达式 说明 分式一般式 最常用标准形式，在分母位置 乘积式 快速求比例系数，两组变量直接相乘 负指数幂形式 自变量的指数为，多用于求参数题型   4. 取值范围：自变量，函数值；分母不能为零，因此函数图像与轴、轴没有交点。 知识点2：反比例函数与反比例关系辨析   1. 核心结论：反比例函数中，变量与一定成反比例关系。   2. 易错辨析：若，只能说明与成反比例关系，不是的反比例函数，反比例函数自变量必须是本身。 知识点3：待定系数法确定反比例函数解析式   1. 核心原理：反比例函数仅有一个待定系数，只需一组对应值，即可求出，确定完整解析式。   2. 求解步骤   （1）设反比例函数解析式；   （2）代入一组对应数值，求解常数；   （3）将代回原式，写出完整函数表达式。 知识点4：实际问题中的反比例函数模型   1. 常见定值模型：面积、体积、总工程量、总路程、物理公式（杠杆、压强、做功）等场景中，总量固定时，两个变量乘积为定值，可构建反比例函数模型。   2. 自变量双重取值限制：既要满足代数式有意义（），又要符合实际现实意义，长度、时间、数量等变量通常取正数。 【基础必考题型】 【题型1】识别判断反比例函数 1.核心知识点   反比例函数三种等价形式；比例系数的限定条件；反比例关系与反比例函数的区别。 2.解题方法技巧   ①将函数式子变形为、、三种标准形式；   ②严格校验，且自变量仅为单一，不含多项式分母；   ③排除含常数项、分母为的非反比例函数形式。 【例题1】.（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 【变式题1-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在函数的图象上，则横纵坐标之积等于2．由于点在函数的图象上，则，据此逐项判断横纵坐标之积是否等于2即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． A、，故点不在该反比例函数图象上； B、，故点不在该反比例函数图象上； C、，故点在该反比例函数图象上； D、，故点不在该反比例函数图象上． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·北京东城·开学考试）反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义判断各选项函数类型，即可得到答案． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合定义； 选项B：是二次函数，不符合定义； 选项C：符合 （）的形式，是反比例函数，符合要求； 选项D：是正比例函数，不符合定义． 【题型2】根据反比例函数定义求参数 1.核心知识点   反比例函数负指数形式特征，自变量指数必须为；比例系数不为0的双重限定条件。 2.解题方法技巧   ①根据定义列方程，令自变量指数等于，求出参数候选值；   ②代入校验比例系数，舍去使系数为0的无效参数；   ③必须同时满足指数、系数两个条件，缺一不可。 【例题2】.（2026九年级上·山东·专题练习）若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 【变式题2-1】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）若函数是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式 反比例函数的一般形式为（），即，因此指数必须为． 【详解】函数是反比例函数， ， ， ． 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·全国·单元复习）若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解定义是解题的关键；由题意得，求出a的值即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以a的值为， ，即． 【题型3】代入求值与求比例系数k 1.核心知识点   函数自变量与函数值的对应关系；利用快速求解比例系数的方法。 2.解题方法技巧   ①已知函数图像上的点，直接横纵坐标相乘快速求；   ②已知自变量求函数值、已知函数值求自变量，直接代入解析式计算；   ③注意可正可负，不可默认。 【例题3】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 【变式题3-2】.（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 【变式题3-3】.（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【培优高频题型】 【题型4】几何背景列反比例函数关系式 1.核心知识点   几何面积、体积计算公式；固定几何总量，构建反比例函数数学模型。 2.解题方法技巧   ①根据几何公式列等式，整理变形为标准形式；   ②结合几何边长、高为正数的特征，补充自变量取值范围；   ③区分正比例与反比例模型，找准固定不变的几何总量。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 【答案】函数表达式为，是h的反比例函数，这个函数的比例系数是360，当时， 【分析】由题意得到，即可得到比例系数，再将代入求解即可． 【详解】解：由题意，得（定值）， ∴ 是h的反比例函数，比例系数是360， 当时，． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·河南周口·期中）物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 【答案】反 【分析】根据正反比例的定义，对给定公式变形，结合恒定的条件，即可判断与的比例关系． 【详解】解：由压强公式，变形可得， 根据正反比例的定义，若两个变量的乘积为定值，则两个变量成反比例关系， 已知压力恒定，即与的乘积为定值，因此压强与受力面积成反比例关系． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·江西上饶·期中）在资源有限的环境中，某种动物的种群密度D与其平均个体活动领域面积S成反比，即（k为常数）．在某片森林中，当该动物的平均个体活动领域面积为平方公里时，其种群密度为每平方公里25只．则常数k的值为_________． 【答案】1 【分析】已知与的函数关系式，以及和的对应值，将对应值代入关系式即可计算得到常数． 【详解】解：由题意可知 ，， 将，代入得， ， 解得 ． 【题型5】生活情境建立反比例函数模型 1.核心知识点   工程、行程、消费等生活场景，提取恒定总量，抽象反比例函数模型。 2.解题方法技巧   ①精准定位题目中固定不变的总量；   ②根据“变量×变量=定值”整理出函数解析式；   ③结合生活实际，限定自变量为非负数或正整数。 【例题5】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是________． （2）当时，放水的平均速度为________． 【答案】 400 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及求函数值．根据“水量放水速度放水时间”即可列出v与t的函数表达式，再将代入求解即可． 【详解】解：某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：①，②． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】根据题意可设， 再代入已知对应值求出比例系数，即可得到所求函数表达式． 【详解】解：根据题意可设， 将，代入得， 解得， ， 故答案为：． 【变式题5-2】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数值求出比例系数，即可得到最终函数表达式． 【详解】解：设与的函数表达式为 ， 将 代入表达式，得 ， 解得 ， 因此与之间的函数表达式为 ． 【变式题5-3】.（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设反比例函数的一般形式，再代入已知的和的值求出待定系数，即可得到函数表达式. 【详解】解：因为与成反比例函数关系， 所以设， 将，代入得： ， 因此出水速度与水管横截面积的函数表达式为， 【题型6】跨学科物理情境反比例建模 1.核心知识点   结合杠杆、压强、做功等物理公式，剥离跨学科情境，抽象反比例函数模型。 2.解题方法技巧   ①识别物理公式中的恒定常量与变化变量；   ②整理公式变形为反比例函数标准形式；   ③统一物理单位，结合学科常识限定自变量取值。 【例题6】.（2026·湖北武汉·二模）已知蓄电池的电压为定值时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当电阻是时，电流，则电流关于电阻的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数的表达式． 根据实际问题中的反比例关系设电流关于电阻的函数关系式是，代入已知数值，得到，得到函数关系式． 【详解】解：设电流关于电阻的函数关系式是， 当时，， 代入关系式得：， 解得， ∴电流关于电阻的函数关系式是． 【变式题6-1】.（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 _____ （填“大”或“小”）． 【答案】小 【分析】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据杠杆原理及的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时的值越来越大，β的度数越来越大，此时的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为：小． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在电压不变的情况下，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 根据反比例函数关系，设电流与电阻的函数表达式为，利用给定条件时，求即可求解． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 当时，，代入得， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长_______m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据表格中的数据可得波长与频率成反比例函数关系，则可设，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把代入解析式中求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知频率与波长的乘积一定，即波长与频率成反比例函数关系， 设波长λ关于频率f的函数解析式为， 把代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， ∴当时，此电磁波的波长λ为． 故答案为：5． 易错点 1、求解反比例函数参数时，忽略核心条件，仅判断自变量指数，导致参数求解错误。 2、混淆反比例关系与反比例函数，误将复合变量成比例直接判定为反比例函数。 3、误将分母含多项式的函数判定为反比例函数，概念认知模糊。 4、实际建模题型中，只书写函数解析式，遗漏自变量取值范围，忽略现实约束。 5、默认比例系数为正数，忽略可取负值的情况。 重点 1、掌握反比例函数核心定义，熟练运用三种等价表达式，精准识别反比例函数。 2、牢记反比例函数参数求解的双重条件，规范求解字母参数。 3、熟练运用待定系数法，快速求解反比例函数解析式。 4、能从表格、几何、生活情境中提取定值，建立规范的反比例函数模型。 5、清晰区分反比例关系与反比例函数的联系与本质区别。 难点 1、复合自变量情境下，精准辨析反比例关系与反比例函数的差异。 2、跨学科、生活化陌生情境中，剥离冗余背景，抽象标准反比例函数模型。 3、多条件约束综合题型，联立多重限制条件，精准筛选有效参数。 4、新定义、说理探究题型，实现知识迁移，严谨完成推理与文字说理。 【对应练习题】 一、单选题 1．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 【答案】C 【详解】解：要使函数有意义，需，即自变量的取值范围是的一切实数． 2．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：这是的形式（），是正比例函数，不是反比例函数． B选项：这是的形式（），符合反比例函数定义． C选项：化简：这不是的形式，不是反比例函数． D选项：化简：这是二次函数，不是反比例函数． 3．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据运送总量固定，V与t的乘积为非零常数的特点判断函数类型． 【详解】解：由题意得，，整理得，符合反比例函数关系． 二、填空题 4．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】3 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解： 点在反比例函数的图象上， ． 5．反比例函数过点，若点B在该图象上，则________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征，利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，得到函数解析式，再将点的坐标代入解析式求解的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点， 将代入解析式得， ∴反比例函数的解析式为， 点在该反比例函数图象上， 将代入解析式得 解得． 6．已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 三、解答题 7．已知函数 （为常数）． (1)若该函数是反比例函数，则________； (2)若该函数是正比例函数，则________． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据反比例函数的定义，得且，解答即可； （2）根据正比例函数的定义，且，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得且， 故且， 故且， 综上所述，． （2）解：根据题意，得且 且 故且 综上． 8．已知反比例函数 ，当时，． (1)求函数解析式； (2)当时，求对应的函数值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将，代入 ，得， ， ∴解析式： （2）解：把代入， ． 9．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【答案】(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $