3.2确定圆的条件导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案围绕“确定圆的条件”展开，通过“残破青铜镜复原”情境导入，引导学生探究经过一点、两点、三点作圆，逐步建构“不在同一直线上的三点确定一个圆”的核心知识，衔接三角形外接圆、外心概念及性质，形成知识支架。 资料以动手探究和情境问题驱动，通过尺规作图和外心位置推理，培养几何直观与演绎推理能力，发展数学思维。分层练习与实际应用问题设计，提升应用意识，帮助学生用数学眼光观察现实、用数学语言解决问题，促进深度学习。

3.2 确定圆的条件 学业质量要求: 1.通过动手探究经过一点、两点、三点作圆，理解不在同一条直线上的三点确定一个圆；认识三角形外接圆、外心、圆内接多边形等概念，掌握作三角形外接圆的尺规作图方法，发展几何直观与演绎推理能力. 2.探究锐角、直角、钝角三角形外心位置，能利用本节知识解决找残破圆形圆心等实际问题，体会转化思想，提升数学应用素养. 学习重点: 理解不在同一条直线上的三点确定一个圆；尺规作三角形外接圆，认识三角形外心. 学习难点: 理解三点共线时无法作出经过三点的圆；灵活运用外心性质进行简单推理.学习过程: 一、情境驱动，激趣引入 考古发现一块残破圆形青铜镜，想要复原铜镜，首先需要确定铜镜的圆心. 思考：确定一个圆需要哪些条件？已知几个点能够唯一确定一个圆？ 二、自主探究，建构新知 活动一 探究经过已知点作圆 1.经过一个已知点A作圆（图1） 可以画____个圆，圆心可以是平面内除点A以外任意一点. 2.经过两个已知点A，B作圆（图2） 可以画____个圆，圆心到点A，B距离相等，因此圆心在线段AB的________上. 图1 图2 图3 图4 3.经过 3 个已知点 A，B，C作圆 情况① 点A，B，C在同一条直线上（图3） 线段AB，BC的垂直平分线互相平行，无交点，____作出同时经过三点的圆. 情况② 点A，B，C不在同一条直线上（图4） 两条垂直平分线相交于一点O，OA=OB=OC，以 O 为圆心，OA长为半径可以作出唯一的圆. 结论：____________________________确定一个圆. 活动二 概念学习 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形________________的交点. 性质：外心到 的距离相等. 内接三角形：三角形是它外接圆的内接三角形. 多边形的外接圆：多边形所有顶点在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形. 思考：任意四边形都存在外接圆吗？ 例 尺规作图：已知△ABC，作△ABC的外接圆. 作法： ① 分别作边 AB，BC 的垂直平分线 的交点为 O. ② 以点 O 为圆心，OA 长为半径作圆. ⊙O 即为所求△ABC 的外接圆. 拓展探究：不同三角形外心位置 锐角三角形：外心在三角形________. 直角三角形：外心在________________. 钝角三角形：外心在三角形________. 三、合作探究，深度学习 1.请确定情境中残破青铜镜所在圆的圆心. 2.已知 AB=4，作半径为 3 且经过 A，B 两点的圆，这样的圆能作几个？若半径为 2 呢？ 四、分层练习，当堂评价 1.判断正误 （1）经过三个点一定可以作一个圆.（ ） （2）三角形的外心到三角形三边距离相等.（ ） （3）直角三角形外心是斜边中点.（ ） 2.将△ABC绕它的外心O旋转任意角度得到△DEF. 求证：点A，B，C，D，E，F 在同一个圆上. 五、小结与反思 根据下面知识结构图，自主完善本节课知识框架： 六、课后作业设计 1.三角形的外心具有的性质是（ ） A.到三顶点的距离相等 B.到三边的距离相等 C.外心必在三角形的内部 D.到顶点的距离等于它到对边中点的距离 2.如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置.（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹） 3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90o. (1)经过点A，B，D三点作⊙O； (2)点C是否在⊙O上？请说明理由. 课后作业设计参考答案 1.【答案】A 【知识点】三角形外心的定义与性质 【分析】三角形外心是三边垂直平分线的交点，核心性质为到三角形三个顶点距离相等；到三边距离相等的是内心，外心位置随三角形类型变化. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， ∴外心到三角形三个顶点的距离相等. B 选项为内心性质；钝角三角形外心在三角形外部，故C错误；D性质不成立. 故选 A. 2.【答案】作线段AB、BC垂直平分线，两条垂直平分线交点即为供水站位置 【知识点】不在同一直线上三点确定一个圆、垂直平分线性质、外心作图 【分析】到 A、B、C三点距离相等的点是△ABC 外接圆圆心，也就是线段AB、BC 垂直平分线的交点. 【详解】解：连接AB、BC， 分别作线段AB、线段BC的垂直平分线， 两条垂直平分线交于点P， ∴点 P 即为所求供水站位置. 3.（1）【答案】连接BD，取BD中点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O 【知识点】画直角三角形的外接圆 【分析】∵∠A=90°，直角三角形斜边中点到三个顶点距离相等， ∴BD为直径，圆心为BD中点. 【详解】解：连接BD，取BD中点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，⊙O 经过 A，B，D 三点. （2）【答案】点 C在⊙O上 【知识点】直角三角形斜边中线性质、点与圆的位置关系 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，证明OC=OD=OB，判定点 C 在圆上. 【详解】解：点C在⊙O上，理由如下： 连接 OC， ∵∠C=90°，O为BD中点， ∴OC= BD， 同理∵∠A=90°，O为BD 中点， ∴OA=OB=OD= BD， ∴OC=OB=OD， ∴点C在以 O为圆心，OB为半径的⊙O上. 学科网（北京）股份有限公司 $