直线与圆 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

直线与圆 一句话总纲 直线圆题型别硬算！几何秒杀优先，抓圆心斜率，数形结合稳拿满分！ 一、倾斜角与斜率 倾斜角与斜率是直线题型的底层基础，核心公式为 （）。 用于刻画直线倾斜程度，是求解直线方程、判定位置关系的前置条件。解题关键是精准对应倾斜角范围与斜率的正负、增减规律。 第一步、确定直线倾斜角 的取值范围 ； 第二步、 时，代入 计算斜率； 第三步、已知两点坐标 ，用 求解； 第四步、根据斜率正负，判断直线的升降趋势； 第五步、结合题意，为后续直线位置关系、方程求解铺垫条件。 • 例题剖析 例题1.1　设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率的取值范围是 例题1.2　已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例题1.3　若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、直线方程求法 直线方程有多种表达形式，按需选用即可。已知一点和斜率用点斜式，已知两点用两点式，方便快速写出直线表达式。核心是根据题干给出的条件，挑选最简形式，最后整理成一般式 。 第一步、审题，提取已知条件：定点、斜率或两个点坐标； 第二步、匹配对应方程模型：点斜式 、斜截式 ； 第三步、代入数值，写出初步方程； 第四步、去括号移项，整理为一般式； 第五步、检验特殊情况，确认直线不存在斜率时单独写 。 • 例题剖析 例题2.1　(1) 直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程。 (2) 设直线的方程为，若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程 例题2.2　已知 的顶点为 , , . (1)求过点且平行于直线的直线方程; (2)求边上的中线所在直线方程; (3)求边上的高所在直线方程. 例题2.3　已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________。 例题2.4　已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为。 (1)求点的坐标; (2)求边所在直线的方程; (3)求的平分线所在直线的方程. 三、直线平行垂直判断 平行与垂直是两条直线最核心的位置关系，依靠斜率就能快速判定。两直线平行满足斜率相等，垂直满足斜率乘积为 。遇到含一般式的直线，也能直接用系数快速判断，不用额外求斜率。 判定方式 平行 垂直 斜率形式 k 1 = k 2 k 1 ⋅ k 2 = − 1 一般式 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 1 B 2 = A 2 B 1 若 A 1 C 2 = A 2 C 1 重合 若 A 1 C 2 ≠A 2 C 1 平行 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 • 例题剖析 例题3.1　已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 例题3.2　已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 四、直线交点问题 直线交点问题是直线综合题型的基础考点，核心是联立两条直线方程求解公共点坐标。适用于求交点、证明直线共点、结合几何图形定点求值等题型。解题关键是精准解二元一次方程组，同时结合直线位置关系判断交点情况。 第一步、写出两条直线的标准方程，整理为二元一次整式形式； 第二步、联立两直线方程，构建方程组 ； 第三步、采用消元法求解方程组，得出 的值； 第四步、有唯一解即为交点坐标，无解则直线平行，无数解则直线重合。 • 例题剖析 例题4.1　已知直线，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线平行 D. 经过直线与直线的交点，且与直线垂直的直线方程为 例题4.2　经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为 A. B. C. D. 五、距离公式应用 距离公式是直线与圆题型的计算核心，主要分为两点间距离、点到直线距离、两平行线距离三类。广泛用于求线段长度、圆的弦长、切线距离、最值求解等题型。解题核心是精准区分场景，对应套用公式即可快速解题。 第一步、根据题干场景，判定所需的距离公式类型； 第二步、两点距离代入公式：； 第三步、点到直线距离代入公式：； 第四步、两平行线 距离代入：； 第五步、化简计算，得出最终距离结果。 • 例题剖析 例题5.1　已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 例题5.2　已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 六、圆的方程求法 圆的方程分为标准式与一般式，是解析几何圆板块的基础。已知圆心半径优先用标准方程，已知多点坐标就选用一般方程待定系数求解。解题关键是选对方程形式，求出圆心坐标与半径。 第一步、审题提取条件，判断选用标准式还是一般式； 第二步、标准式：，直接代入圆心和半径； 第三步、一般式：，将点坐标代入建立方程组； 第四步、解方程组算出参数； 第五步、转化得到圆心 与半径 。 • 例题剖析 例题6.1　已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 例题6.2　已知圆，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 例题6.3　在平面直角坐标系中，已知点,，若动点满足。 (1)求点的轨迹方程； (2)若,，判断是否存在点满足，若存在，请求出点；若不存在，请说明理由。 七、线圆位置关系判断 线圆位置关系判断有 几何法、代数法 两套通用解法，两种方法均可判定直线与圆的位置关系，根据题目条件灵活选用即可。解题关键是准确完成距离计算或是联立方程，依据对应条件完成判定。 第一步、几何法提取圆心、半径 ，计算圆心到直线距离 ； 第二步、代数法联立直线与圆方程，整理得到一元二次方程； 第三步、对照判定条件，得出直线与圆的位置关系。 判定方法 核心操作 相交 相切 相离 几何法 比较圆心到直线距离 与半径 代数法 联立方程计算判别式 • 例题剖析 例题7.1　已知圆，直线，设直线与圆相交于，两点 (1) 若直线恒过定点，求出点坐标 (2) 求弦中点的轨迹方程 (3) 求相交弦长度的最小值及相应的的值 例题7.2　若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上都有可能 例题7.3　直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） 相交且相交弦长为 相交且相交弦长为 相切 相离 例题7.4　直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例题7.5　若关于的方程恰有1个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 八、圆的切线问题 圆的切线问题是线圆几何的高频考点，分为过圆上一点和过圆外一点两种题型。核心逻辑是利用“圆心到切线距离等于半径”的几何性质解题，比代数联立计算更快捷。解题关键是区分点位位置，匹配对应的切线公式与求解方法。 第一步、判断已知点在圆上还是圆外，确定切线求解模型； 第二步、点在圆上 ，圆标准方程 ，直接套用切线公式 ； 第三步、点在圆外，设切线斜率为 ，写出点斜式切线方程； 第四步、利用圆心到直线距离 列方程求解斜率； 第五步、补全斜率不存在的竖直切线情况，整理出最终切线方程。 • 例题剖析 例题8.1　过点作圆的切线，则切线方程为________。 例题8.2　已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程; (2)过点作圆的切线，求切线的方程; 九、圆的弦长问题 圆的弦长问题是线圆相交的核心计算题型，优先使用几何勾股法求解，计算量远小于代数联立法。适用于所有直线截圆求弦长的题目，是考试最常用的秒杀技巧。解题关键是利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形换算。 第一步、提取圆的圆心坐标和半径 ； 第二步、计算圆心到截线的弦心距 ； 第三步、代入弦长公式 ； 第四步、化简求值，直接得到最终弦长结果。 • 例题剖析 例题9.1　已知点，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 过点P的直线与圆C都相交 B. 点P与圆C上的点之间距离的最大值为5 C. 若圆C关于过点P的直线对称，则直线的斜率为 D. 若过点P的直线截圆C的弦长最小，则的方程为 例题9.2　已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为______。 例题9.3　过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 例题9.4　已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 十、圆圆位置关系判断 圆圆位置关系判断是圆综合题型的基础考点，依靠 两圆圆心距 与两圆半径的大小关系判定。 • 例题剖析 例题10.1　已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为________。 例题10.2　下列说法正确的是（ ） . A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 实数 , 满足方程 , 则的最大值是 D. 已知圆和圆的公共点为 , , 则 十一、圆上点最值问题 圆上点最值是直线与圆高频小题考点，包含点点距离、点线距离、斜率最值三类核心题型。全程采用几何临界法求解，避开复杂代数运算，解题速度更快。解题关键是依托圆心、半径、定点、定直线的位置关系判断极值。 第一步、提取圆的圆心 和半径 ； 第二步、判断最值题型：点点最值、点线最值、斜率最值； 第三步、点点最值：计算定点到圆心距离 ，最大值 ，最小值 ； 第四步、点线最值：计算圆心到直线距离 ，最大值 ，最小值 ； 第五步、斜率最值：过定点作圆的切线，切线斜率即为最值临界值。 • 例题剖析 例题11.1　已知实数，满足，则的最大值为 例题11.2　已知点在圆上。 (1)求的最大值和最小值; (2)求的最大值与最小值; (3)求的最大值与最小值。 例题11.3　已知实数, 满足方程, 则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 ! 易错警示：1. 混淆距离与距离平方，误判B选项的结果 2. 忘记C选项中距离的倍数关系导致范围错误 十二、阿波罗尼斯圆应用 阿波罗尼斯圆是解析几何高频轨迹模型，指平面内到两个定点的距离之比为非1定值的点的运动轨迹。常用于轨迹求解(A、B)最值化简(A、B)定点定值类题型，能大幅简化复杂的坐标运算。解题核心是牢牢抓住距离比值条件，通过坐标代入化简得到圆的方程。 第一步(A、B)设出动点 与两个定点 ； 第二步(A、B)根据题意列出距离比例式 ； 第三步(A、B)代入两点距离公式，对等式两边平方去根号； 第四步(A、B)整理化简方程，消去二次项(A、B)一次项与常数项； 第五步(A、B)将结果整理为圆的标准式或一般式，确定轨迹圆心与半径。 • 例题剖析 例题12.1　阿波罗尼斯（约公元前262 ~ 公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，当，，不共线时，面积的最大值是______ ． 例题12.2　在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 例题12.3　已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线上的点到直线的最小距离为 C. 曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D. 若点坐标为，则的最小值为 专题总结 本专题是高中解析几何的拿分重头戏，全程贯彻“能几何不代数，能口算不联立”的偷懒提分法则。单纯考直线，直接套斜率、位置关系、距离公式快速拿捏基础分。只要出现圆的题型，死死抓牢圆心、半径两大核心，切线、弦长、线圆、圆圆位置通通快速判断。遇到轨迹题，距离比值定值直接锁定阿波罗尼斯圆，不用盲目化简运算。碰到最值难题，全部套用圆心临界法，告别复杂计算，轻松秒杀圆上点各类最值题型。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆 一句话总纲 直线圆题型别硬算！几何秒杀优先，抓圆心斜率，数形结合稳拿满分！ 一、倾斜角与斜率 倾斜角与斜率是直线题型的底层基础，核心公式为 （）。 用于刻画直线倾斜程度，是求解直线方程、判定位置关系的前置条件。解题关键是精准对应倾斜角范围与斜率的正负、增减规律。 第一步、确定直线倾斜角 的取值范围 ； 第二步、 时，代入 计算斜率； 第三步、已知两点坐标 ，用 求解； 第四步、根据斜率正负，判断直线的升降趋势； 第五步、结合题意，为后续直线位置关系、方程求解铺垫条件。 • 例题剖析 例题1.1　设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率的取值范围是 解析/答案：答案： 解析：直线斜率与倾斜角满足关系，结合倾斜角范围分区间讨论：当时，单调递增，可得；当时，仍单调递增，可得；对两个区间的结果取并集，即得到斜率的取值范围。 例题1.2　已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：D 解析：记点为，计算得直线的斜率，直线的斜率。当直线由顺时针转到与轴重合时，直线的斜率满足；当直线由轴顺时针转到与重合时，直线的斜率满足。因此直线与线段相交时，斜率的取值范围是。 例题1.3　若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：C 解析：的几何意义是点与定点连线的斜率，根据可行域，当点与点重合时，斜率取得最小值，；当点与点重合时，斜率取得最大值，。由于可行域包含边界，因此的取值范围是。 二、直线方程求法 直线方程有多种表达形式，按需选用即可。已知一点和斜率用点斜式，已知两点用两点式，方便快速写出直线表达式。核心是根据题干给出的条件，挑选最简形式，最后整理成一般式 。 第一步、审题，提取已知条件：定点、斜率或两个点坐标； 第二步、匹配对应方程模型：点斜式 、斜截式 ； 第三步、代入数值，写出初步方程； 第四步、去括号移项，整理为一般式； 第五步、检验特殊情况，确认直线不存在斜率时单独写 。 • 例题剖析 例题2.1　(1) 直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程。 (2) 设直线的方程为，若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程 解析/答案：答案：(1) ；(2) 或 解析：(1) 根据点斜式方程公式，代入点和斜率，可得，整理得。 (2) 分情况讨论：当时，直线方程为，与轴平行，在轴上没有截距，不符合题意；当时，令，得直线在轴的截距为，令，得直线在轴的截距为，根据题意建立方程，整理得，解得或，分别代入原方程得直线方程为或。 例题2.2　已知 的顶点为 , , . (1)求过点且平行于直线的直线方程; (2)求边上的中线所在直线方程; (3)求边上的高所在直线方程. 解析/答案：答案：(1) (2) (3) 解析：(1) 直线的斜率为，设平行于直线的直线方程为，将代入得，整理得所求直线方程为。 (2) 由中点坐标公式得线段的中点，计算得，由点斜式得直线方程为，整理得。 (3) 因为是边上的高，故，由得直线的斜率为，又过点，由点斜式得，整理得。 例题2.3　已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________。 解析/答案：答案： 解析：设点关于直线的对称点为，根据对称点性质：的中点在直线上，且与直线垂直，列方程组得： 解得，即对称点为。 反射光线经过点和，由点斜式得直线方程为，整理得。 例题2.4　已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为。 (1)求点的坐标; (2)求边所在直线的方程; (3)求的平分线所在直线的方程. 解析/答案：答案：(1)；(2)；(3) 解析：(1)设，因为边上的高过点，所以。中点为，代入中线方程得，整理得。联立方程组，解得，即。 (2)设，点在中线上，故。高所在直线斜率为，由与高垂直得，即，整理得。联立，解得，即。由、得，点斜式得方程为，整理得。 (3)由坐标得，，，。计算得，故角平分线方向向量为，斜率为。点斜式得方程，整理得。 三、直线平行垂直判断 平行与垂直是两条直线最核心的位置关系，依靠斜率就能快速判定。两直线平行满足斜率相等，垂直满足斜率乘积为 。遇到含一般式的直线，也能直接用系数快速判断，不用额外求斜率。 判定方式 平行 垂直 斜率形式 k 1 = k 2 k 1 ⋅ k 2 = − 1 一般式 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 1 B 2 = A 2 B 1 若 A 1 C 2 = A 2 C 1 重合 若 A 1 C 2  = A 2 C 1 平行 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 • 例题剖析 例题3.1　已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 解析/答案：答案：AC 解析：对于A：直线的方程可化为，由，解得，即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与该直线垂直，则直线的斜率，故B错误； 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误。 例题3.2　已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 解析/答案：答案：AD 解析：对A选项，将整理为，联立方程组，解得，故恒过定点，A正确。 对B选项，若，由平行条件得，即，解得或，但时两直线重合，不满足平行，故B错误。 对C选项，由方向向量为得斜率，斜率也为，解得，此时斜率为，两直线斜率乘积为，不垂直，故C错误。 对D选项，将化为斜截式得，当时，斜率，纵截距为，故直线始终不过第四象限，D正确。 四、直线交点问题 直线交点问题是直线综合题型的基础考点，核心是联立两条直线方程求解公共点坐标。适用于求交点、证明直线共点、结合几何图形定点求值等题型。解题关键是精准解二元一次方程组，同时结合直线位置关系判断交点情况。 第一步、写出两条直线的标准方程，整理为二元一次整式形式； 第二步、联立两直线方程，构建方程组 ； 第三步、采用消元法求解方程组，得出 的值； 第四步、有唯一解即为交点坐标，无解则直线平行，无数解则直线重合。 • 例题剖析 例题4.1　已知直线，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线平行 D. 经过直线与直线的交点，且与直线垂直的直线方程为 解析/答案：答案：AB 解析：选项A：将直线整理为斜截式得，可得斜率为，故A正确； 选项B：点到直线的距离，故B正确； 选项C：直线的斜率为，与直线的斜率不相等，两直线不平行，故C错误； 选项D：联立，解得交点为；直线的斜率为，与其垂直的直线斜率为，故所求直线方程为，即，不是，故D错误。 例题4.2　经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为 A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：先讨论斜率不存在的情况：当直线斜率不存在时，，求得直线与两条已知直线的交点分别为和，两交点中点坐标为，不符合点平分线段的要求，舍去。当直线斜率存在时，设，由题意得，。联立，解得交点为；联立，解得交点为。因为点是两交点的中点，根据中点坐标公式得，解得，因此直线的方程为。 五、距离公式应用 距离公式是直线与圆题型的计算核心，主要分为两点间距离、点到直线距离、两平行线距离三类。广泛用于求线段长度、圆的弦长、切线距离、最值求解等题型。解题核心是精准区分场景，对应套用公式即可快速解题。 第一步、根据题干场景，判定所需的距离公式类型； 第二步、两点距离代入公式：； 第三步、点到直线距离代入公式：； 第四步、两平行线 距离代入：； 第五步、化简计算，得出最终距离结果。 • 例题剖析 例题5.1　已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：直线的斜率为，由得斜率存在，因此，解得。将代入方程，化为同系数一般式得。根据平行线间距离公式，代入得。 例题5.2　已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 解析/答案：答案：8 解析：由于的底固定，面积最大等价于点P到直线的距离最大。设与直线平行的切线方程，当与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或。其中切线距离直线最远，计算得最大距离，代入面积公式得。 六、圆的方程求法 圆的方程分为标准式与一般式，是解析几何圆板块的基础。已知圆心半径优先用标准方程，已知多点坐标就选用一般方程待定系数求解。解题关键是选对方程形式，求出圆心坐标与半径。 第一步、审题提取条件，判断选用标准式还是一般式； 第二步、标准式：，直接代入圆心和半径； 第三步、一般式：，将点坐标代入建立方程组； 第四步、解方程组算出参数； 第五步、转化得到圆心 与半径 。 • 例题剖析 例题6.1　已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 解析/答案：答案：B 解析：因为方程表示圆，因此需要二次项系数相等且不为0，即，解得或。 当时，方程化为，此时，方程不表示圆，舍去该解。 当时，方程化为，配方得，可得圆心坐标为。 综上，圆心坐标为。 例题6.2　已知圆，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 解析/答案：答案： 解析：设动点，由在圆上可得。设中点，根据中点坐标公式得，解得，。将代入圆的方程，得，化简后得到，即为点的轨迹方程。 例题6.3　在平面直角坐标系中，已知点,，若动点满足。 (1)求点的轨迹方程； (2)若,，判断是否存在点满足，若存在，请求出点；若不存在，请说明理由。 解析/答案：答案：(1)；(2)不存在 解析：(1) 由题意得，，根据向量数量积的坐标运算，由，得，展开整理得，即点的轨迹方程为。 (2) 假设存在点满足，由两点间距离公式得，两边平方后整理得。联立方程组，两式相减得，将该式代入，整理得，计算判别式得，该一元二次方程无实根，因此不存在满足条件的点。 七、线圆位置关系判断 线圆位置关系判断有 几何法、代数法 两套通用解法，两种方法均可判定直线与圆的位置关系，根据题目条件灵活选用即可。解题关键是准确完成距离计算或是联立方程，依据对应条件完成判定。 第一步、几何法提取圆心、半径 ，计算圆心到直线距离 ； 第二步、代数法联立直线与圆方程，整理得到一元二次方程； 第三步、对照判定条件，得出直线与圆的位置关系。 判定方法 核心操作 相交 相切 相离 几何法 比较圆心到直线距离 与半径 代数法 联立方程计算判别式 • 例题剖析 例题7.1　已知圆，直线，设直线与圆相交于，两点 (1) 若直线恒过定点，求出点坐标 (2) 求弦中点的轨迹方程 (3) 求相交弦长度的最小值及相应的的值 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：将直线的方程整理为，该式对任意实数恒成立，因此满足，解得，即定点的坐标为。 (2) 答案：（圆内部的部分） (2) 解析：设弦中点为，圆圆心为，由垂径定理得，因此在以为直径的圆上。中点为，半径为，因此轨迹方程为，由于中点在圆内部，故轨迹为该圆在圆内部的部分。 (3) 答案：弦长度最小值为，对应的 (3) 解析：易知在圆内部，直线恒过圆内定点。圆心到直线的距离最大时，弦长最小，最大距离。由弦长公式，代入，得。此时，，故直线的斜率。 例题7.2　若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上都有可能 解析/答案：答案：B 解析：圆的圆心为，半径。直线与圆有两个公共点，说明圆心到直线的距离小于半径。圆心到直线的距离为，由得，整理得。点到圆心的距离的平方为，大于半径的平方，因此点在圆外。 例题7.3　直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） 相交且相交弦长为 相交且相交弦长为 相切 相离 解析/答案：答案：B 解析：设直线的倾斜角为，旋转后所得直线的倾斜角为，则，。由两角和的正切公式可得：，因此旋转后直线方程为，整理得。圆的圆心为，半径。计算圆心到直线的距离：，由于，可知直线与圆相交。再根据弦长公式得相交弦长为。 例题7.4　直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：曲线满足，平方整理得，因此该曲线是圆心在原点、半径为1的上半圆。直线恒过定点。 直线与曲线有两个不同交点，即直线与上半圆有两个公共点。当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径1，由点到直线距离公式得： 解得。当直线过点时，代入得，解得；当直线过点时，代入得，解得。 结合图形可得，当时，直线与上半圆有两个不同交点，因此选A。 例题7.5　若关于的方程恰有1个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：将方程根的个数转化为两个函数图象的交点个数，方程恰有1个实根等价于与的图象只有一个交点。由，平方得，即该函数图象是圆心在原点、半径为2的上半圆，定义域；是斜率为1的平行线系，纵截距为。当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，对应切点在下半部分，舍去。当直线过左端点，代入得，此时直线与半圆有两个交点；当直线过右端点，代入得，此时直线与半圆有一个交点。结合图象可得：当时，直线与半圆仅有1个交点；当时，直线与半圆相切，也仅有1个交点，因此的取值范围是。 八、圆的切线问题 圆的切线问题是线圆几何的高频考点，分为过圆上一点和过圆外一点两种题型。核心逻辑是利用“圆心到切线距离等于半径”的几何性质解题，比代数联立计算更快捷。解题关键是区分点位位置，匹配对应的切线公式与求解方法。 第一步、判断已知点在圆上还是圆外，确定切线求解模型； 第二步、点在圆上 ，圆标准方程 ，直接套用切线公式 ； 第三步、点在圆外，设切线斜率为 ，写出点斜式切线方程； 第四步、利用圆心到直线距离 列方程求解斜率； 第五步、补全斜率不存在的竖直切线情况，整理出最终切线方程。 • 例题剖析 例题8.1　过点作圆的切线，则切线方程为________。 解析/答案：答案： 解析：将点代入圆方程左侧，计算得，与右侧相等，可知点在圆上。由圆的标准方程得圆心坐标为，计算得，根据圆的切线垂直于过切点的半径，可得切线斜率为。利用点斜式写出切线方程为，整理得切线方程为。 例题8.2　已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程; (2)过点作圆的切线，求切线的方程; 解析/答案：答案：(1) (2)或 解析：(1)设圆心，由圆与切线的性质，圆心与切点的连线垂直于切线，切线斜率为，因此连线斜率为。由斜率公式得，解得，即圆心为。计算半径，因此圆的标准方程为。 (2)分两种情况讨论：当切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到该直线的距离为，等于半径，因此是圆的切线；当切线斜率存在时，设切线方程为，整理得，由圆心到切线的距离等于半径，得，解方程得，代入得切线方程为。综上，切线方程为或。 九、圆的弦长问题 圆的弦长问题是线圆相交的核心计算题型，优先使用几何勾股法求解，计算量远小于代数联立法。适用于所有直线截圆求弦长的题目，是考试最常用的秒杀技巧。解题关键是利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形换算。 第一步、提取圆的圆心坐标和半径 ； 第二步、计算圆心到截线的弦心距 ； 第三步、代入弦长公式 ； 第四步、化简求值，直接得到最终弦长结果。 • 例题剖析 例题9.1　已知点，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 过点P的直线与圆C都相交 B. 点P与圆C上的点之间距离的最大值为5 C. 若圆C关于过点P的直线对称，则直线的斜率为 D. 若过点P的直线截圆C的弦长最小，则的方程为 解析/答案：答案：AD 解析：对于A项，将点代入圆方程得，故点在圆内部，因此过点的直线与圆都相交，A正确； 对于B项，点到圆心的距离，圆内一点到圆上点的最大距离为，不等于5，故B错误； 对于C项，圆关于直线对称，说明直线经过圆心，因此直线的斜率，不等于，故C错误； 对于D项，若过点的直线截圆的弦长最小，则圆心到直线的距离最大，此时。的斜率为，因此的斜率为，由点斜式整理得直线的方程为，故D正确。 例题9.2　已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为______。 解析/答案：答案： 解析：圆的圆心为，半径，由题意可知其中一条切线为轴，切点为。设另一条切线的方程为，由圆心到切线的距离等于半径得：，解得，因此的方程为。联立，解得切点的坐标为。结合和，求得直线的方程为。的最小值即为原点到直线的距离，由点到直线的距离公式得，因此的最小值为。 例题9.3　过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 解析/答案：答案： 解析：圆的圆心为，半径。先计算圆心到直线的距离。连接，，，由圆的切线性质可得，且，可得。根据二倍角余弦公式，。随增大而增大，因此当取最小值时，取得最小值，代入计算得。 例题9.4　已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：由圆，得圆心，半径。四边形的面积为。在中，，因此要使四边形的面积最小，只需要最小，的最小值为圆心到直线的距离。当时，，可得，因此，即四边形面积最小值为。 十、圆圆位置关系判断 圆圆位置关系判断是圆综合题型的基础考点，依靠 两圆圆心距 与两圆半径的大小关系判定。 • 例题剖析 例题10.1　已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为________。 解析/答案：答案：2 解析：首先根据圆的一般方程求出两圆的圆心和半径：圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径。 计算两圆圆心距得，又，，可得，因此两圆相交。根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有2条公切线。 例题10.2　下列说法正确的是（ ） . A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 实数 , 满足方程 , 则的最大值是 D. 已知圆和圆的公共点为 , , 则 解析/答案：答案：BCD 解析：逐一分析各选项： 选项A：若两直线互相垂直，由直线垂直的条件得，解得或，因此“两直线垂直”不能推出“”，但“”可以推出“两直线垂直”，故“两直线垂直”是“”的必要不充分条件，A错误； 选项B：直线斜率，可得，设倾斜角为，，且，因此，B正确； 选项C：原方程化为，表示圆上动点与定点连线的斜率，设斜率为，直线方程为，由圆心到直线的距离小于等于半径得：，解得，即，故的最大值为，C正确； 选项D：将两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程为，即，圆圆心到直线的距离，由弦长公式得，D正确。 十一、圆上点最值问题 圆上点最值是直线与圆高频小题考点，包含点点距离、点线距离、斜率最值三类核心题型。全程采用几何临界法求解，避开复杂代数运算，解题速度更快。解题关键是依托圆心、半径、定点、定直线的位置关系判断极值。 第一步、提取圆的圆心 和半径 ； 第二步、判断最值题型：点点最值、点线最值、斜率最值； 第三步、点点最值：计算定点到圆心距离 ，最大值 ，最小值 ； 第四步、点线最值：计算圆心到直线距离 ，最大值 ，最小值 ； 第五步、斜率最值：过定点作圆的切线，切线斜率即为最值临界值。 • 例题剖析 例题11.1　已知实数，满足，则的最大值为 解析/答案：答案： 解析：先将原圆的一般方程配方化为标准方程，得，该方程表示以为圆心，半径为的圆。设，整理得直线方程，由于满足条件的在圆上，因此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径。根据点到直线的距离公式可得：，化简得，解得，因此的最大值为。 例题11.2　已知点在圆上。 (1)求的最大值和最小值; (2)求的最大值与最小值; (3)求的最大值与最小值。 解析/答案：答案：(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为； (3)最大值为，最小值为。 解析：先将原圆方程整理为，得圆心，半径。 (1) 表示圆上点与定点连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最值。设切线方程为，整理得。由圆心到切线距离等于半径得，解得或，因此最大值为，最小值为。 (2) 设，即，为动直线的截距，当直线与圆相切时截距取得最值。圆心到直线距离，解得，即或，因此最大值为，最小值为。 (3) 将原式配方得，表示圆上点到定点距离的平方加。计算得圆心到的距离，因此圆上点到的最大距离为，最小距离为，因此原式最大值为，最小值为。 例题11.3　已知实数, 满足方程, 则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 ! 易错警示：1. 混淆距离与距离平方，误判B选项的结果 2. 忘记C选项中距离的倍数关系导致范围错误 解析/答案：答案：AC 解析：将原方程配方得，因此该方程表示圆心为，半径的圆，逐项分析如下： 选项A：设，化为直线方程，由点在圆上可知直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离不大于半径，即，化简得，解得，因此的最大值为，A正确； 选项B：表示圆上的点到点的距离的平方，圆心到的距离，因此圆上点到的最小距离为，最小距离的平方为，不是，B错误； 选项C：，表示圆上点到直线的距离的倍，圆心到该直线的距离，因此圆上点到直线的距离范围是，所以的取值范围是，C正确； 选项D：表示圆上点与定点连线的斜率，设斜率为，直线方程为，当直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径，即，平方整理得，解得，最大值为，D错误。 十二、阿波罗尼斯圆应用 阿波罗尼斯圆是解析几何高频轨迹模型，指平面内到两个定点的距离之比为非1定值的点的运动轨迹。常用于轨迹求解(A、B)最值化简(A、B)定点定值类题型，能大幅简化复杂的坐标运算。解题核心是牢牢抓住距离比值条件，通过坐标代入化简得到圆的方程。 第一步(A、B)设出动点 与两个定点 ； 第二步(A、B)根据题意列出距离比例式 ； 第三步(A、B)代入两点距离公式，对等式两边平方去根号； 第四步(A、B)整理化简方程，消去二次项(A、B)一次项与常数项； 第五步(A、B)将结果整理为圆的标准式或一般式，确定轨迹圆心与半径。 • 例题剖析 例题12.1　阿波罗尼斯（约公元前262 ~ 公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，当，，不共线时，面积的最大值是______ ． 解析/答案：答案： 解析：建立平面直角坐标系，设，，动点，根据条件得，两边平方化简得，即点的轨迹为圆心在，半径为的圆。 以为底，，高为点到（轴）的距离，面积。由轨迹方程得，当时，取得最大值，因此面积的最大值为。 例题12.2　在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：设，可得，，代入后两边平方，整理得，因此的轨迹是圆心为，半径为的圆。计算得，的面积，其中是到轴的距离，圆上的最大值等于圆的半径，因此面积最大值为。 例题12.3　已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线上的点到直线的最小距离为 C. 曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D. 若点坐标为，则的最小值为 解析/答案：答案：ABD 解析：设点的坐标为，根据题意得，即，因此，整理得，即，曲线是以为圆心，为半径的圆，故A正确； 圆心到直线的距离为，则曲线上的点到直线的最小距离为，故B正确； 圆心到直线的距离为，若曲线上恰有三点到直线距离为，则，即，解得或，故C错误； 由得，因此，由两点间线段最短得，因此，故D正确。 专题总结 本专题是高中解析几何的拿分重头戏，全程贯彻“能几何不代数，能口算不联立”的偷懒提分法则。单纯考直线，直接套斜率、位置关系、距离公式快速拿捏基础分。只要出现圆的题型，死死抓牢圆心、半径两大核心，切线、弦长、线圆、圆圆位置通通快速判断。遇到轨迹题，距离比值定值直接锁定阿波罗尼斯圆，不用盲目化简运算。碰到最值难题，全部套用圆心临界法，告别复杂计算，轻松秒杀圆上点各类最值题型。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $