专题04 直线与圆距离综合（高效培优专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆距离问题，通过四类题型系统整合对称最值、点线距离、点圆距离及综合应用，构建从基础模型到综合解答的递进训练体系，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线、圆中两点距离与对称（将军饮马模型）|6题|以古典问题为背景，考查轴对称求最短路径|基于对称性质，延伸至圆与直线的位置关系| |圆上点到直线距离最值|6题|结合光线反射等情境，应用圆心到直线距离公式|从点线距离基础概念过渡到圆的几何性质应用| |圆上动点到定点距离的最值|7题|涉及轨迹方程、切线长等，综合圆的定义与距离公式|深化圆的方程与定点距离关系，培养空间观念| |直线与圆距离综合解答大题|7题|整合前三种题型，考查综合分析与问题解决能力|形成“模型-性质-应用”的完整逻辑链，提升数学应用意识|

专题04 直线与圆距离综合 题型一 直线、圆中两点距离与对称（将军饮马模型） 题型二 圆上点到直线距离最值 题型三 圆上动点到定点距离的最值 题型四 直线与圆距离综合解答大题 题型一：直线、圆中两点距离与对称（将军饮马模型） 1．在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A． B． C． D． 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》并头两句为“白日登山望锋火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为___________ 题型二 圆上点到直线距离最值 1．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 2．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是 A． B． C． D． 4．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 5．已知直线， ，则下列说法正确的是（    ） A．恒过定点 B．不存在实数a使得 C．当时， D．当时，点到直线的距离为1 6．平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（    ） A．该曲线关于轴和轴均对称 B．曲线方程为 C．的最大值为3 D．的最大值为 题型三 圆上动点到定点距离的最值 1．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定 2．已知直线 与圆 相交于 、 两点，则（   ） A．直线过定点 B．圆的周长为 C．当 ，则 D．圆心到直线的最大距离为 2 . 3．点到直线上的距离为__________. 4．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点到两定点A，B的距离之比满足且，为常数），则点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹为圆，该圆的标准方程为__________；过点A的直线交圆于两点C，D，且，则__________. 5．动点到定点与到定直线的距离之比为的轨迹方程为___________. 6．点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 7．已知定点，动点到定点距离之比为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程． 题型四 直线与圆距离综合 1．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知实数满足曲线的方程，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆距离综合 题型一 直线、圆中两点距离与对称（将军饮马模型） 题型二 圆上点到直线距离最值 题型三 圆上动点到定点距离的最值 题型四 直线与圆距离综合解答大题 题型一：直线、圆中两点距离与对称（将军饮马模型） 1．在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出将军出发点关于河岸所在直线的对称点，再连接交河岸所在直线于点，则由对称性可知为最短距离，求解即可． 【详解】解：如图， 设关于河岸线所在直线的对称点为， 根据题意，设军营所在区域为以圆心为，半径的圆上和圆内所有点，为最短距离，先求出的坐标， 的中点为，，直线的斜率为1， 则，解得，，，又， 所以， 故选：C． 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，求出的坐标，即可求出． 【详解】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马 ”的最短总路程， 设， 则，解得， 则 故“将军饮马”的最短总路程为 故选：A 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断. 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故答案为： 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 【答案】4 【分析】利用“将军饮马”模型，应用点关于直线对称求对称点，再由两点距离最短求最短总路程. 【详解】如图，    设点关于直线对称的点为， 则，解得， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故答案为：4 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》并头两句为“白日登山望锋火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为___________ 【答案】 【分析】先找点关于直线的对称点，然后计算对称点到点的距离即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 得与直线垂直，点与点的中点坐标为 建立方程组，解得：， 所以 所以， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 题型二 圆上点到直线距离最值 1．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 2．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线关于直线对称，利用对称性求出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得. 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 3．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程． 【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B. 【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题． 4．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 5．已知直线， ，则下列说法正确的是（    ） A．恒过定点 B．不存在实数a使得 C．当时， D．当时，点到直线的距离为1 【答案】ACD 【分析】对于A：直线的方程可化为，即可判断定点；对于B：根据直线垂直列式求解即可；对于C：根据直线平行列式求解，并代入检验即可；对于D：直接代入即可求点到直线的距离. 【详解】因为直线， ， 对于选项A：直线的方程可化为，所以恒过定点，故A正确； 对于选项B：若，则，解得， 即时，，故B错误； 对于选项C：若，则，解得， 当时，直线， ，满足； 当时，直线， ，满足； 综上所述：，故C正确； 对于选项D：当时，点到直线的距离为，故D正确； 故选：ACD. 6．平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（    ） A．该曲线关于轴和轴均对称 B．曲线方程为 C．的最大值为3 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于B：根据题意结合两点间距离公式求曲线的轨迹方程；对于A：根据方程分析对称性；对于C：举反例说明即可；对于D：利用等面积法可得，即可得最值. 【详解】对于选项B：由题意可知：，即， 整理可得，故B正确； 对于选项A：用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 综上所述：该曲线关于轴和轴对称，故A正确； 对于选项C：因为曲线方程为， 令，可得，解得或，即或， 可知点在曲线上，则的最大值不为3，故C错误； 对于选项D：因为， 即，可得， 当且仅当时，等号成立， 即，可得，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 题型三 圆上动点到定点距离的最值 1．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，即可得答案. 【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆， 故选：A 2．已知直线 与圆 相交于 、 两点，则（   ） A．直线过定点 B．圆的周长为 C．当 ，则 D．圆心到直线的最大距离为 2 . 【答案】BCD 【分析】根据直线方程求定点坐标求解选项A；根据圆的一般方程求圆的半径求解选项B；根据直线与圆相交的弦长公式求解选项C；根据垂直关系确定时，圆心C到直线l的距离最大，即可求解选项D. 【详解】 对A，由可得，，所以直线l过定点，A错误； 对B，圆C：的圆心为半径， 所以圆的周长为，B正确； 对C，设圆心到直线的距离为，因为，所以， 所以，解得，C正确； 对D，设l过定点，则，当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确； 故选：BCD. 3．点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 4．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点到两定点A，B的距离之比满足且，为常数），则点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹为圆，该圆的标准方程为__________；过点A的直线交圆于两点C，D，且，则__________. 【答案】 【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求. 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，.    5．动点到定点与到定直线的距离之比为的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】根据题干，利用直接法求轨迹方程. 【详解】由已知得， 平方得， 即， 故答案为：. 6．点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 【答案】 【分析】连接切点与圆心，则该连线垂直于切线，利用勾股定理，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【详解】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为．   故答案为：. 7．已知定点，动点到定点距离之比为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意列出等式，再化简即可得到轨迹方程. （2）根据条件得出四点共圆，进而求出以为直径的圆的方程，然后利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程即可. 【详解】（1）设，由题意知， 得， 所以点的轨迹的方程为 （2）连接PE，QE，则 所以四点共圆，其圆是以为直径的圆， 因为，的中点为， ， 所以为直径的圆的方程为 所以所在直线方程为， 即 题型四 直线与圆距离综合 1．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 2．已知实数满足曲线的方程，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式，以及直线和圆的位置关系，求出最小值即可. 【详解】因为曲线的方程， 所以，表示圆心为，半径为的圆， 又表示动点到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 故圆上的点到直线距离的最小值为， 故. 故选：D. 3．已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出圆的圆心和半径，设，即，则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距，求出圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，为最大值或最小值，则，代入和的值，计算求出的值，即可得到的最小值. 【详解】，， 圆心，半径为， 设，即， 则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距， 圆心到直线的距离为， 当直线与圆相切时，为最大值或最小值， 则，，， ，或， ，，. 故选：A. 4．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的位置，然后判断出时有最小值，结合几何关系计算出结果. 【详解】因为，所以在圆内， 记圆心为，由条件可知，圆心，半径， 记圆心到直线的距离为，所以， 当取最大值时，有最小值， 当时，取最大值， (理由：当时，，当与不垂直时，设，则， 在中，显然，所以) 此时，， 所以的最小值为， 故选：C.    5．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可求得点轨迹方程为，再求方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可解. 【详解】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D 7．已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。 【详解】直线恒过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $