河南部分学校2027届高三上学期素质评价二数学试题

HN2026092 高三数学 注意事项: 1.答题前,务必将自己的个人信息填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.“x>y”是“log2x>l0g2y”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2命题“VxeR,2<0"的否定是 AV红gR20 B.Hx∈R,x≥2 c1:eR,2≥0 D.3x∈R,x≥2 3.已知爪)是定义在R上的可导函数,若m1+2)-山=3,则∫(1)= 4 8 2 C.1 4.工程师调试一个精密温控系统,该系统的偏差值E(T)与温度T(T>0)的函数关系式为 ()=无-nT,若存在一个“平衡温度”7。,使得系统偏差值为0,则,∈ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.为提升学生的综合素养,某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动.高一某班 学生中选择阅读的有26名,选择科创的有21名,选择志愿服务的有19名,同时选择阅读 和科创的有6名,同时选择阅读和志愿服务的有4名,同时选择科创和志愿服务的有3名, 三类都选择的有2名.若该班每人至少选择了一类活动,则该班的总人数是 A.52 B.53 C.54 D.55 数学第1页(共4页) 6.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(2x+2)+f(-2x+2)=0,则一定 有f(2027)= A.f(1) B.f(2) C.f3) D.f4) 7.已知函数f(x)=x3+3x2+5x+3,过点E(-1,0)的两条直线m,n分别与f(x)的图象交于 点A,C和点B,D,且A,B,C,D均异于点E,若 EAB的面积为1,则四边形ABCD的面积为 A.2 B.4 C.8 D.16 8.设x∈R,将不大于x的最大整数记作[x],如[3.14]=3,[-3.14]=-4,则方程x2-[x] 2=0的解集中的元素有 A.无数个 B.4个 C.3个 D.2个 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知函数f(x)=x(为实数)的定义域为D,x1,x2∈D且x1≠x2,则下列说法正确的是 A.f(x)的图象不经过第四象限 B.若f(x)为偶函数,则 为偶数 c若a=则 2 D.f(x1x2)=f(x1)+f(x2) 10.已知a>0,b>0,且a+b=1,则下列说法正确的是 A2>号 B.√a+√b≥√2 C.若a<b,则sina-sinb>a-b D.若a<b,则blna<alnb 11.已知函数f(x)的定义域为D,若存在x1,x2∈D且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)且f'(x1)=f'(x2), 则称f(x)为“H函数”,则下列说法正确的是 A.f(x)=sinx为“H函数” B.若f(x)=x3+ax为“H函数”,则a<0 C.若f(x)为“H函数”,则f(x)不可能是偶函数 D.若f(x)=x2+lnx+bx为“H函数”,则b<-2√2 数学第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.函数f(x)=-2x3+7x2-8x的单调递增区间为 13.已知实数x,y满足2x2+2y2+3xy=2,则x-y的最大值是 14.已知函数f(x)=-e*ln(x+1)+aln(x+1)+be*-ab,若f(x)≤0恒成立,则a-b的取值 范围是 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 15.(13分) 已知函数f(x)=log(e-ax)(a>0且a≠1). (1)若a=e,求f(x)的定义域; (2)若f(x)的值域为R,求a的取值范围, 16.(15分) 已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R) (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(-1,3),求b,c的值 (2)若b=-2,且当x∈[m,n]时,f(x)的值域也为[m,n],其中m<n≤1. (i)证明:m+n=1; ( )求c的取值范围. 数学第3页(共4页) 17.(15分) 已知函数f(x)=xe-x-1. (1)求f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程; (2)求证:lnx≤f(x). 18.(17分) 已知函数f(x)=lnx+ax. (1)当a=-1时,求f(x)的极值; (2)若3x>0,f(x)≥0,求实数a的取值范围; (3)若当>0时)+号≥0,求实数a的取值范胤 19.(17分) 已知函数f(x)=-e-cosx,x∈(0,2m). (1)求不等式f(x)+f'(x)>-1的解集; (2)求f'(x)的极值点个数; (3)证明:f(x)的所有零点之和大于2 数学第4页(共4页)》HN2026092 高三数学·答案 一、选择题 1.答案B 命题透析本题考查充分条件与必要条件的判断： 解析log2x>log2y→x>y>0,所以“x>y”是“log2x>log2y”的必要不充分条件. 2.答案D 命题透析本题考查全称量词命题的否定及分式不等式的解法， 解析 式2<0，可得x<2,所以VxeR,2<0的否定为3xeR,≥2 解不等式1」 3.答案A 命题透析本题考查导数的定义 解析由导数的定义可知(1)=1im+2）=m1+2h）-f=1×1=1 -0（1+2h)-1 二20 h 2×2=4 4.答案B 命题透析本题考查函数的零点， 解析E()=7-hT在(0，+0)上单测递减，因为E(1)=1>0,且E(2)=子-1h2<0,所以，∈(1,2) 5.答案D 命题透析本题考查集合的运算 解析由题意作出Venn图如图： 志愿 服务 1 14 14科创 18 阅读 所以该班的总人数是14+1+14+2+2+4+18=55. 6.答案C 命题透析本题考查抽象函数及函数的图象与性质. 一1 解析因为f(x+1)为偶函数，所以f(-x+1)=f(x+1),即f(x)的图象关于直线x=1对称.在f(2x+2)+ f(-2x+2)=0中，令t=2x,得f(t+2)+f(-t+2)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)中心对称.所以f(x)是周 期为4的周期函数.所以f(2027)=f(506×4+3)=f代3) 7.答案B 命题透析本题考查三次函数图象的对称性 解析由已知，得f(x)=x3+3x2+3x+1+2(x+1)=(x+1)3+2(x+1),所以f(x)的图象关于点(-1,0)中 心对称.因为m,n都经过点E(-1,0),所以点A,C关于点E对称，点B,D也关于点E对称.所以四边形ABCD 为平行四边形，其面积为△EAB面积的4倍.所以四边形ABCD的面积为4. 8.答案C 命题透析本题考查新定义及不等式的求解 解析由题意可知，-1<≤，所以-[国-2=0可化为-1<-2≤，解得-1≤<125或专5< ≤2当-1≤x<125时，[幻=-1，此时原方程即为2-1=0，解得=-1或x=1(合去)：当5<<2时， [x]=1,此时原方程即为x2-3=0,解得x=√3或x=-√5（舍去）；当x=2时，原方程即为22-2-2=0，显然 成立.所以方程x2-[x]-2=0的解集为{-1，√3,2}，有3个元素. 二、选择题 9.答案AC 命题透析本题考查幂函数的性质. 解析对于A,当x>0时，x>0,所以f(x)的图象不经过第四象限，故A正确. 对于B,取a=子，则)=子=F为偶函数，但Q=子不是偶数，故B错误 对于c,当=方时=，则.作到-产，因为(6 2 +<所以压<√乎所以》<色)放 4 4 正确 对于D,由幂的运算性质，可得(x1x2)“=xx,所以f(x12)=f(x1)f(x2),故D错误. 10.答案ACD 命题透析本题考查基本不等式及导数的应用. 解析对于A,因为a-b=2a-1>-1,所以2·>2=号，放A正确 对于B,因为(a+6)2=1+2瓜≤1+a+6=2,所以6+，6≤，当且仅当a=6=2时，等号成立，故B 错误 2 对于C,由题意可知，0<a<b<1,记f(x)=sinx-x(0<x<1),则f'(x)=cosx-1<0,所以f(x)在(0,1)上单 调递减.因为a<b,所以f(a)>f(b),即sina-a>sinb-b.所以sina-sinb>a-b,故C正确， 对于D,记g()=0<x<1),则g()1n>0,所以g)在(0,1)上单调递增因为a<6,所以g@)< g(,即2<之所以6ma<ahb,放D正确 a 11.答案ABD 命题透析本题考查新定义及导数的应用. 解析对于A,因为f(x)=six为周期函数，所以任取x1∈R,都有x2=x1+2π，满足f(x1)=f八x2)和f'(x1)= f'(x2),所以f(x)=sinx为“H函数”，故A正确 对于B,存在x,eD且x1≠名2，使得(x)=fx名)，即+ax1=x号+a2,整理得(x-名)(x好+x+号+a)=0, 又x1≠x2,所以x+x1x2+x号+a=0.由题意知，f'(x)=3x2+a.由f'(x1)=f'(x2),得3x好+a=3x+a,即x= x号.又x1≠x2,所以x1=-x2,代人x好+x1x2+x2+a=0,可得x好+a=0,由题可知x号+a=0有两个不等实根，所 以a<0,故B正确. 对于C,与正弦函数同理，可得余弦函数f代x)=cosx是“H函数”，故C错误 对于Dx)的定义域为(0，+∞)f(x)=2x++b,由题意知，存在名%eD且名≠x(不妨设0<年<)， +Inx+x=+In x2+bx,D 使得{ 即 =,24++6=2++6,② 由①可得-6=血为二h+为+，由②可得 x2-x1 (名-)2-)=0，因为0<<，所以=2所以名+场>2-2√分=.由对数平均不等 武（证明略），可得五h2所以-b3-h+名+名之名为+出>22.所以b<-2见 x2-x1x2+x1 x2-x1 故D正确 三、填空题 12.答案（1，号（写成闭区间也对） 命题透析本题考查函数的单调区间. 解析f()=-62+14-8=-2(x-1)(3x-4),令()>0，可得1<x<号，所以)的单调递增区间 为1，) 13.答案2√2 命题透析本题考查不等式的解法及最值问题， 解析由2x+2y2+3知=2，可得2++子y=1,即(x-2=1-子又-≤任（当且仅当=-y —3 时取等号)，所以(x-y2=1-子y≤1+名(-y识.化简，得(x-y≤8，得-2,2≤x-y≤22.所以x-y 的最大值为2√万. 14.答案[1，+∞) 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质。 解析f(x)=-eln(x+1)+aln(x+1)+be-ab=(a-e)[ln(x+1)-b].记函数y1=a-e,y2=ln(x+1)-b, 则这两个函数分别是减函数和增函数.要使f(x)≤0恒成立，只需y1=a-e,y2=ln(x+1)-b有公共零点， 记公共零点为，则x>-1.所以a=e0,b=ln(x+1).所以a-b=e0-ln(xo+1).设g(x)=e-ln(x+1), >-1,则g(=中在(-1，+a)上单调递增g(0)=-0中=0，所以在(-1,0)上，g()<0, g(x)单调递减，在(0，+∞)上，g(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)=g(0)=1.又当x→+∞时，g(x)→+∞， 所以g(x)的值域为[1，+∞)，即a-b的取值范围是[1，+∞). 四、解答题 15.命题透析本题考查函数的定义域及利用导数研究函数的性质. 解析(1)若a=e,则f(x)=ln(e-ex), 要使f(x)有意义，则e-x>0.… (1分) 令g(x)=e-ex,则g'(x)=e-e 令g'(x)=0,可得x=1. (2分) 当x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x）mm=g(1)=0.…(4分） 因为g(x)>0,所以x≠1. 所以f(x)的定义域为x∈Rlx≠1}.… (6分) (2)令h(x)=e*-ax,则h'(x)=e-a.…(7分) 因为f(x)的值域为R,所以h(x)的值域包含(0，+o). (8分) 由h'(x)=0,可得x=lna, 当x<lna时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>lna时，h'(x)>0,h(x)单调递增，…(10分) 所以h(x)tm=h(lna)=a-alna=a(1-lna)≤0，解得a≥e 故实数a的取值范围是[e,+∞).。 …(13分) 16.命题透析本题考查函数的定义域与值域 解析(1)因为不等式f(x)<0的解集为(-1,3)， 所以-1,3是关于x的方程x2+bx+c=0的两个根。 所以-b=-1+3,c=-1×3,即b=-2,c=-3.…(4分) (2)(i)由题意可知，f(x)=x2-2x+c,f(x)的图象的对称轴为直线x=1.…(5分) 一4 当m<n≤l时，f(x)在[m,n]上单调递减， n=c-2m+m2,① 则 (7分) m=c-2n+n2,② ①-②，得n-m=-2(m-n)+(m-n)(m+n). 又m-n≠0，所以m+n=1. …(9分) 7"+w-1-=0J‘w+u元-=u- (ⅱ)由(i)可知， 即 l1-n=c-2n+n2,0=c-1-n+n2, 即关于x的方程x2-x+c-1=0在(-∞，1]上有两个不同的实根. (12分) 令g(x)=2-x+c-1,g(x)的图象开口向上且对称轴为直线x=2, 1 则610=c-1≥0， 解得1≤c<子 4=1-4(c-1)>0, 故c的取值范围是[1，子) (15分) 17.命题透析本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的性质， 解析(1)由题意可知，f'(x)=(x+1)e-1. 所以f"(-1)=-1. ....................................... …(3分) 又因为-1)=-名 所以所求切线方程为y+日=-(x+1),即y=-x-1-。,即+y+1+日=0 …(6分) (2)方法一：要证lnx≤f(x),只需证lnx+x-xe+1≤0. i记8()）=hx+-e2+1,则g'（)=(x+1(g-…(8分) 由x>0,得x+1>1>0,令(x)=-6,显然(x)在(0，+0)上单调递减 又h(2）=2-E>0,(1)=1-e<0, 所以%（合），使得(6)-号-=0，即有h6+6=0 …(11分)） 当0<x<时，h(x)>0,所以g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x>xo时，h(x)<0,所以g'(x)<0,g(x)单调递减. …(13分) 所以g(x)nr=g(x）=nx0+0-x0e0+1=0, 所以lnx+x-xe*+1≤0，即lnx≤f(x).… ……(15分）》 方法二：要证lnx≤f(x),只需证lnx+x-xe+l≤0，即证lnx+x+l≤xe=e+.…(9分) 令t=lnx+x,则teR,只需证t+l≤e. 一5 记p(t)=e-(t+1),则p'(t)=e-1.… (11分) 令p'(t)=0,可得t=0. 当t<0时，p(t)<0,p(t)单调递减，当>0时，p'(t)>0,p(t)单调递增。 所以p(t)m=p(0)=e°-(0+1)=0，… (13分) 所以p(t)≥0，即t+1≤e, 所以原不等式成立，即nx≤f(x)…(15分) 18.命题透析本题考查利用导数求函数的极值及求解不等式恒成立问题. 解析（1)当a=-1时，f(x)=lnx-x,定义域为(0，+oo),…(1分) f(到=-1=（1-刘，令f()=0,可得x=1.…(3分) 当x∈(0,1)时f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(1，+o)时f'(x)<0,fx)单调递减.…(4分) 所以当x=1时，f(x)取得极大值，且极大值为f(1)=0-1=-1,无极小值.…(5分) (2)3x>0,x)≥0，即3x>0,-a≤hx 设g()=n笔，只需-a≤g(x)……………………(6分) g1令g国=0，可得=e 所以当x∈(0，e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(e,+)时，g'(x)<0,g(x)单调递减.…(8分) 所以g(e=8(e)-=。 所以-a≤，a3-日 所以实数a的取值范围为[-。，+0） (10分) (3)因为当>0时，)+≥0，所以当x=1时1）+ 1≥0成立， 即0+a+1≥0成立，獬得a≥-1.…(11分) 下证a≥-1时符合题意. 当a≥-1时，有ax≥-，所以nx+ x+a≥nx+g --x. i记r(到)=h+实-，>0，则r()=g--1--山 … (13分) x2 x 记G(x)=e-1-x,x>0,则G'(x)=e-1-1. 所以当xe(0,1)时，G(x)<0,G(x)单调递减，当xe(1,+∞)时，G(x)>0,G(x)单调递增 而G(1)=e-1-1=0,所以G(x)≥0.…(15分) 所以当x∈(0,1)时，F'(x)<0,F(x)单调递减，当xe(1,+∞)时，F'(x)>0,F(x)单调递增. 一6 而(I)=h1+片-1=0，所以)≥0. 即当a空-1时，hx+名+as≥F)≥0 综上，实数a的取值范围为[一1，+∞).… (17分) 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)因为f代x)=-e--cos花，所以f(x)=e-+sinx,…(1分) f(x)+f'(x)=-el-*-cos x+e!-*+sinx>-1,sin x-cos x>-1; 即万nx-）>-1,即m(x-)>-号 …(2分) 因为e(0,2m),所以x-子∈(-平，7) 所以-<x-牙<，解得0<x< 即所求不等式的解集为(0,3) (4分) (2)由(1)知f'(x)=e-x+sinx,xe(0,2π)， 则f"(x）=-e-8+c0sx=-e-*(1-e-lc0sx).…(5分) 设g(x)=1-e-1cosx,x∈(0,2m), 则g(e)=-eco+cin=el(sin-cos)=万e-sin(x-平） 因为e(0,2m),所以x-开∈(-年，7军) 所以当x-年∈(-平，0），即x∈(0，)时，g(x)<0,(x)单调递减， 当x-平e(0,),即xe(年，)时，g'(x)>0,8()单调递增， 当x-平∈(m,7妥），即x(,2m时，g()<0,8()单调递减.…(7分) 又g0)=1-e>0,6(g）-1-号e>1-号>0， 8(）>8(）>0,8(）=1--1<1-e<0,g(2m)<g7）<0, 所以3%∈（平，7买），使得g()=1-e0-cos0=0,即e-0=cos0 所以f”(x0)=0.… …(9分) 当x∈(0，x)时，∫"(x)<0,∫'(x)单调递减，当x∈(x,2π)时，∫"(x)>0,f'(x)单调递增， 所以是f'(x)的极小值点f'(x)无极大值点. 一7 所以∫(x)的极值点个数为1.…(10分) (3)由(2)知了()=e+sin,且3∈（要，7），使得当xe(0,)时(）单调递减，当xe(化，2m)时， f'(x)单调递增 又e-0=os0,所以f(0)=e>0,f(o)=e-0+sin=cos+inx=2sin+零）) f'(2π）=e'-2m>0. 因为e(停，7得)，所以名+平∈（受2}所以r()=如+）<0 所以3x1e(0,x),使得f'(x1)=0,3x2∈(x0,2π)，使得f'(x2)=0 所以当xE(0,x1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(x1,x2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(x2,2π)时， f'(x)>0,f(x)单调递增， …(13分) 又f(a)=e>0(）=e-号-1<0，所以∈(m,3) 又()=-e号<0m)=1-。">0, 所以ae（受，，使得fa)=0.所以f)>f)=0. 又)=-e<0, 所以3B∈(m,3),使得f8)=0 又f2π)=-1-e-2m<0,f(x)在(x2,2π)上单调递增，所以f(x)在(x2,2π)上无零点. 故代在0,2m)上有两个零点aP,且号<a<m<B<受 由f)=fB)=0,可得co8a=-e-a,cosB=-e-8. (15分) 又a<B,所以1-a>1-B.所以e-a>e-B.所以-e-a<-e-B 所以cos&<cosB=cos(2π-B): 又受<a<m<B<,所以受<a<,受<2m-B<m 因为函数y=c0sx在（受，上单调递减，所以a>2m-B,即a+B>2m。 所以f(x)的所有零点之和大于2π. (17分) —8