精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2027届高三上学期9月阶段检测数学试题（物理方向）

新蔡一高2026-2027学年上学期9月月考高三数学试题（理科） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 2. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 【答案】C 【解析】 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 3. 已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A. B. C. －1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由函数图象可知，函数为奇函数，而选项C是偶函数，排除C; 选项B，当,,与图象矛盾，排除B. 若函数为则时，，排除D，故选A. 4. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，推导出时的表达式，通过导数求解切线斜率，再结合点斜式求切线方程. 【详解】设，则，则 因为是奇函数，满足， 所以 当时，即切点为 对求导得，切线斜率 由点斜式得切线方程，整理得. 5. 已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 当时，恒成立，即在定义域内单调递增，不合题意； 当时，或， 所以或时，单调递增， 时，单调递减， 所以在处取得极小值，所以，解得 . 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的范围，根据题意得到不等式，求出答案 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 7. 设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若  ，即 ，则 ，不等式  恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当  时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当  时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 8. 如图，在中，为角的平分线，若，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定理得出与的比值，再结合正弦定理和倍角公式即可求得. 【详解】因为为角的平分线，所以， 又因为，所以，不妨设， 在中，， 又，所以，即， 因为在中，，所以，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数的最值以及基本不等式求解即可. 【详解】已知非负实数满足，因此，得，. 选项A.将代入得，开口向下，对称轴为， 最大值，正确. 选项B.将代入得，函数在上单调递减， 最小值在处取得，错误. 选项C..由A知，因此， 等号在​时成立，正确. 选项D.. 由基本不等式，因此，等号在​时成立，正确. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 11. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；求出、的表达式，可求出的最小值，可判断C选项；利用同角三角函数的基本关系和诱导公式可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，可得到函数的图象， 对于A选项，因为， 所以函数的图象关于直线对称，A对； 对于B选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，由可得或， 解得或， 若，，则， 由题意可知，故， 若，，同上可知， 若，，则， 当时，取最小值，即， 综上所述，，C对； 对于D选项，因为，，所以， 则， 故，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与函数的图象关于直线对称可知与互为反函数，求出解析式后根据复合函数单调性求单调区间. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以， ，因为在上单调递减，在上单调递减，上单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知的单调递增区间是. 13. 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得方程的根即为方程与的根，画出函数的图象，再数形结合即可求出的取值范围． 【详解】由， 则方程的根即为方程与的根． 函数的图象如下： 结合函数的图象可知，有个不同的根， 则要有个不同的根，才能使方程有个实数根， 所以由图象可知． 14. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得第一次、第二次和第三次旋转时走过的路程，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】根据题意，第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是； 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是； 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 所以点三次共走过的路径是． 四、解答题 15. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 （1）救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】（1） （2）；能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【小问1详解】 在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）， ∴由正弦定理可得，； ，即. ，； ； . ∴由正弦定理可得，， ，. ； ，，即为钝角. 为钝角三角形． （2）4 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，. 的面积为， ，解得. ，，解得． 17. 已知函数，其导函数为. （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数. 【答案】（1）（i） （ii）极大值为，无极小值 （2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点 【解析】 【分析】（1）（i）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，（ii）结合题意求出，再结合导数研究单调性，进而求解极值即可. （2）对进行求导得到的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 （i）由题意得，则切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即. （ii）由题意得， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示， 1 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由题意得，令， 则，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，； 当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点；当时，有2个零点. 18. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. 【小问2详解】 对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 19. 若函数在区间上的最大值与最小值之差为定值，则称函数是在区间上的“距函数”. （1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值； （3）若对任意，关于的不等式恒成立且实数的最小值为. （i）求的值； （ii）已知函数是在区间上的“1距函数”，求实数的值. 【答案】（1）不是，理由如下： ； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减； ，； 当时，，在上单调递增； ，； 在区间上，； ； 函数不是区间上的“2距函数”. （2） 是定义在上的奇函数 ，得 . ，解得； . ， ，即在区间上单调递增. ，； ； 是区间上的“距函数”，且. （3）（i） （ii）或 【解析】 【分析】（1）分析的分段形式以及单调性，求出其在的最大值和最小值，计算两者的差值与2比较即可； （2）由是的奇函数，结合求出，，再求出在上的单调性，求出的最大值和最小值，最后计算最值的差值得到. （3）（i）将不等式变形为，构造函数利用其单调性转化为，求出左侧函数的最大值即可得到的最小值； （ii）先确定的单调性与极值点，再根据区间与极值点的位置关系分类讨论，分别求出区间内的最大值与最小值，令最值差值为1求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i），则. 令，则，即在上单调递增. ，即，则. 对任意，关于的不等式恒成立，等价于对任意恒成立. 令，，则； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增； ； ，即的最小值. （ii）由得函数是在区间上的“1距函数”，即区间内最大值与最小值的差为1. ，的定义域为. . 令，解得. 当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. ①当，即，此时在上单调递增，，，则，方程无解，舍去； ②当，即时，，则； ，解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，此时在上单调递减， ，，则，得，解得，（不符合题意，舍去）； ④当，即时，此时在上单调递减， ，，则 ，得，解得 （不符合题意，舍去），； ⑤当，即时，，则； ，解得，不符合题意，舍去； ⑥当时，此时在上单调递增，，，则，方程无解，舍去； 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2026-2027学年上学期9月月考高三数学试题（理科） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 3. 已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A. B. C. －1 D. 4. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为角的平分线，若，，则（ ） A. B. C. D. 0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是4 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 11. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 若，则 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 13. 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是_______． 14. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是________． 四、解答题 15. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 （1）救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 17. 已知函数，其导函数为. （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数. 18. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 19. 若函数在区间上的最大值与最小值之差为定值，则称函数是在区间上的“距函数”. （1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值； （3）若对任意，关于的不等式恒成立且实数的最小值为. （i）求的值； （ii）已知函数是在区间上的“1距函数”，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $