第一次阶段测试卷（浙江专用，浙教版九上1-3章：二次函数、简单事件的概率与圆）2026-2027学年九年级数学上册浙教版

九年级数学上学期第一次月考测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（     ） A．黄河入海流 B．手可摘星辰 C．举头望明月 D．汗滴禾下土 3．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 6．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 7．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 8．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 9．已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 10．如图，的直径，为中点，点在上，，点是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A．8 B．12 C． D． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．二次函数的最大值是_____． 12．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 13．如图，AC，BC是的弦，P是外任意一点，连接AP，BP，则________（填“”“”或“”）． 14．已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 15．已知的半径为，弦的长为，则圆周角等于_____． 16．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 18．（6分）（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 19．（8分）已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 20．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 22．（10分）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（12分）如图是用两种深浅不同颜色的小瓷砖铺成的墙面的一部分，最中心深色小瓷砖称为第1层，向外依次称为第2层，第3层，…，可以猜想，每层小瓷砖的个数y和相应层数之间存在函数关系． (1)【问题探究】小明结合实际图案，很快得到了前4层小瓷砖的个数，并依据规律得到了第5、6层小瓷砖的个数，他将相关数据列表如下：    层数x   2   3   4   5   6 … 每层小瓷砖的个数y   8   16 24   a   b … 小明在平面直角坐标系中描出了上面表格中各对数值所对应的点，画出了图象并进行了验证，发现了y与x之间的函数关系式，请你先写出a，b的值分别是______，y与x之间的函数关系式是______． (2)【问题延伸】实际上，在前m层（m为奇数）中，深色小瓷砖的总个数与m之间也存在某种函数关系．重复上面分析问题的方法，可以得到与m之间的函数式为______． (3)【问题解决】若每块小瓷砖的边长为1，该墙面的一部分为边长为17的正方形，且其最外层为深色小瓷砖，则深色小瓷砖比浅色小瓷砖多了多少个？ 24．（12分）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次月考测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（     ） A．黄河入海流 B．手可摘星辰 C．举头望明月 D．汗滴禾下土 【答案】B 【详解】解：A选项：“黄河入海流”是必然发生的自然现象，属于必然事件，不符合要求； B选项：“手可摘星辰”中星辰在高空，人类不可能伸手摘到星辰，该事件一定不会发生，属于不可能事件，符合要求； C选项：“举头望明月”，是可能发生的事件，属于随机事件，不符合要求； D选项：“汗滴禾下土”是劳作时可能发生的事件，属于随机事件，不符合要求. 3．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 5．下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 【详解】解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 6．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 7．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 8．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 9．已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 10．如图，的直径，为中点，点在上，，点是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先作点关于的对称点，连接，连接交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，连接交于点，此时有最小值，最小值为的长，如图所示： ∴， ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．二次函数的最大值是_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题关键是明确二次函数的最值为顶点的纵坐标． 根据二次函数的顶点式，当开口向下时，函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为2． 故答案为：2． 12．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 13．如图，AC，BC是的弦，P是外任意一点，连接AP，BP，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 由三角形外角的性质可得，根据同弧所对的圆周角相等得到，由此得到答案． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 15．已知的半径为，弦的长为，则圆周角等于_____． 【答案】或 【分析】如图，连接、，由题意得，即可得到为等边三角形，即，在弦所对的优弧上任取一点，劣弧上任取一点，根据圆周角定理即可得到，再根据圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，即可求出的度数，再分点在优弧或劣弧上进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示：   ， 是等边三角形， ， ①在优弧上任取一点，连接，， 则， ②在劣弧上任取一点，连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， 当点在优弧上，则，当点在劣弧上时，． 16．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 18．（6分）（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 【答案】（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小．因为分所在的圆环面积最大，分所在的圆面积最小．（2）见解析 【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键是数形结合． （1）设三个圆的半径分别为、、，分别求出三个分区的面积，再比较面积的大小，即可求解； （2）只要保证分的区域面积最小，分的区域面积最大即可． 【详解】解：（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小，理由如下： 由小到大三个圆半径的比是， 设三个圆的半径分别为、、， 分区的面积为， 分区的面积为：， 分区的面积为：， ， 得分的可能性最大，得分的可能性最小； （2）如图即为所求． 19．（8分）已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 20．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． 【详解】（1）证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ； （2）解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 21．（10分）某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 【答案】(1) (2)不是（不一定）．理由是：仅根据前次极少的发球试验结果，无法反映事件发生的概率，因此第个球落在刁钻落点区的可能性不一定比常规落点区大 【分析】（1）根据等可能条件下概率公式，用刁钻落点小方格数量除以总方格数量，直接计算对应概率； （2）明确单次、少量试验得到的落点结果属于频率，频率不能代表事件发生的理论概率，据此判断可能性大小关系并说明理由． 【详解】（1）解：球台共划分个面积相等的小方格，乒乓球落在每个方格的可能性相同，其中刁钻落点区有个小方格， 所以（刁钻落点区）， 答：一次发球落在刁钻落点区的概率是． （2）略 22．（10分）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了弧与弦的关系、线段垂直平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧与弦的关系是解题关键． （1）连接，先根据弧与弦的关系可得，再得出垂直平分，由此即可得； （2）连接，先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴． （2）解：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 23．（12分）如图是用两种深浅不同颜色的小瓷砖铺成的墙面的一部分，最中心深色小瓷砖称为第1层，向外依次称为第2层，第3层，…，可以猜想，每层小瓷砖的个数y和相应层数之间存在函数关系． (1)【问题探究】小明结合实际图案，很快得到了前4层小瓷砖的个数，并依据规律得到了第5、6层小瓷砖的个数，他将相关数据列表如下：    层数x   2   3   4   5   6 … 每层小瓷砖的个数y   8   16 24   a   b … 小明在平面直角坐标系中描出了上面表格中各对数值所对应的点，画出了图象并进行了验证，发现了y与x之间的函数关系式，请你先写出a，b的值分别是______，y与x之间的函数关系式是______． (2)【问题延伸】实际上，在前m层（m为奇数）中，深色小瓷砖的总个数与m之间也存在某种函数关系．重复上面分析问题的方法，可以得到与m之间的函数式为______． (3)【问题解决】若每块小瓷砖的边长为1，该墙面的一部分为边长为17的正方形，且其最外层为深色小瓷砖，则深色小瓷砖比浅色小瓷砖多了多少个？ 【答案】(1)32，40， (2)（m为奇数） (3)33个 【分析】（1）根据图形直接得出，，根据函数图象得出每层个数y与相应层数之间存在一次函数关系，然后待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据题意列出表格，再平面直角坐标系中画出函数图象，得出是m的二次函数，然后用待定系数法求出函数解析式； （3）先根据题意算出瓷砖的层数，然后求出黑色瓷砖的总个数，再用总个数减去黑色瓷砖的个数，得出白色瓷砖的个数，最后求出两种瓷砖的个数差即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：第5层有瓷砖32块，第6层有瓷砖40块，因此，； 根据表格中的数据描点，连线，如图所示： 根据函数图象可知，每层的个数y与相应层数之间的函数图象为一条直线，因此每层的个数y与相应层数之间存在一次函数关系， 设，根据表格中数据得： ， 解得：， ∴； （2）解：相关数据列表如下：    层数m   1   3   5   7   9 … 小瓷砖总个数   1   17 49   97   161 … 根据表格中的数据描点、连线，如图所示： 根据图象可以看出与m的图象为抛物线的一部分，因此是m的二次函数，设， 根据表格中数据可得：， 解得：， ∴与m之间的函数式为； （3）解：根据题意得，， 解得：， 当时，， 而， ∴浅色瓷砖数为， （个） 答：深色比浅色多33个． 24．（12分）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明： 是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $