精品解析：浙江省台州市椒江区界牌中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学卷

2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列剪纸中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 抛出的篮球会落下 B. 买一张彩票，中1000万大奖 C. 14人中至少有2人是同月出生 D. 从装有红球、白球的袋中摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐—判断即可解答． 【详解】解：A、抛出的篮球会落下，是必然事件，故A不符合题意； B、买一张彩票，中1000万大奖，是随机事件，故B符合题意； C、14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，故C不符合题意； D、从装有红球、白球的袋中摸出黑球，是不可能事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3. 在下列二次函数中，其图象对称轴为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴．熟练掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键． 分别求出各选项的对称轴，然后判断作答即可． 【详解】解：A中的对称轴为直线，故不符合要求； B中的对称轴为直线，故不符合要求； C中的对称轴为直线，故不符合要求； D中的对称轴为直线，故符合要求； 故选：D． 4. 如图，四边形是的内接四边形，若 ， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，想办法求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，． ， ， 故选：B 5. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．对于反比例函数，可得，时，，图象在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：对于反比例函数， A、当时，，则点在它的图象上，故该选项不符合题意； B、，则它的图象在第二、四象限，故该选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意； D、当时，，则当时，，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 6. 以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解以原点为位似中心，与的相似比为，点的坐标为 点的坐标为或，即或 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：由题意：且， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是掌握当时，方程才有实数根． 8. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽为∶ m，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解∶道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得∶． 故选∶C． 9. 已知某函数的图象经过，两点，几名同学给出了如下四个推断： 甲：若该函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行； 乙：若该函数的图象为双曲线，则也在此函数图象上； 丙：若该函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与轴的负半轴相交； 丁：若该函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象的对称轴在直线的左侧； 推断合理的是（　　） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 乙、丁 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据过A、B两点的函数是一次函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可． 【详解】解：过，两点的直线的关系式为，则 ， 解得， 所以直线的关系式为， 直线与直线不平行，故甲错误； 过，两点的双曲线的关系式为，则， 所以双曲线的关系式为 当时， ∴也在此函数的图象上，故乙正确； 若过，两点的抛物线的关系式为， 当它经过原点时，则有 解得，， 对称轴， ∴当对称轴时，抛物线与y轴的交点在正半轴， 当时，抛物线与y轴的交点在负半轴，故丙说法不正确； ④若过，两点的抛物线的关系式为，有 ， ∴，即， 当抛物线开口向上时，有， ∴对称轴x=-， 因此函数图象对称轴在直线左侧，故丁正确， 综上所述，正确的有乙，丁． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提． 10. 如图，在矩形中，．，把矩形绕点C旋转，得到矩形且点B恰好落在上，连接交于点H．则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质及勾股定理等知识点，作于点L，由矩形的性质得，，，则，，由旋转得，，， 则，可证明，得，，再证明，则，求得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点L，则， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，， 由旋转得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解二元一次方程方程组，负整指数幂运算，先根据关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称，它们的横坐标、纵坐标各互为相反数，得到方程组，解之求出m、n的值，代入算式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12. 有A，B，C三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘A之前需先摘下B，直到3个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是A的概率是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．熟练掌握运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 先根据题意画树状图，确定所有等可能情况数和第二个摘下A的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有3种等可能的结果，其中第二个摘下的小球是A的情况有1种， ∴第二个摘下的小球是A的概率是． 故答案为：． 13. 写出一个根为的一元二次方程，它可以是___________， 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 只需要写出一个当时，关于的一元二次方程的左右两边相等的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，符合题意的一元二次方程可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 在一个圆中，如果的圆心角所对弧长为，那么这个圆的半径为___． 【答案】3 【解析】 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】解：设这个圆的半径为cm， 由题意可得：， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查根据弧长求圆的半径，解题的关键是掌握弧长公式，的圆心角所对弧长为． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，四边形的对角线，交于点O，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，，再在和中得出，，等量代换即可求出的值． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法，即可解方程； （2）利用配方法，即可解方程． 【小问1详解】 解：， 移项得 ， 系数化为1得 解得， 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练挑选正确地方法解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出绕点逆时针旋转的； （2）在旋转到的过程中，线段扫过的面积为___________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可； 本题考查了旋转作图，扇形的面积，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴线段扫过的面积， 故答案为：． 19. 如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D，过点C作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理及勾股定理． （1）由平行线的性质证得，根据切线的判定即可证得结论； （2）由垂径定理求得，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 九年级语文组举行诗歌朗诵比赛，24位参赛选手抽签决定比赛内容．在一个不透明的盒子里放有四张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有A．《沁园春·雪》毛泽东，B．《七律·长征》毛泽东，C．《乡愁》余光中，D．《你是人间四月天》林徽因四首诗． （1）初赛时，每位选手随机抽取一张卡片，记录下内容后再放回．24次抽签中抽到毛泽东诗词的有10次．则抽到毛泽东诗词的频率是__________． （2）决赛时，小远和小航两名并列第一要赛出一个特等奖，为了避免内容重复，小远先从盒子中随机抽取一张卡片，小航再从余下的卡片中随机抽取一张，用列表法或树状图法求两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了频率和列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）用抽到毛泽东诗词的次数除以总次数即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两人都抽到毛泽东诗词的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：（1）抽到毛泽东诗词的频率； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人都抽到毛泽东诗词的结果数为2， 所以两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 21. 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】（1）该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 （2）对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【小问1详解】 解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 22. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 23. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a； （3）点M与N都在该抛物线上，设点，，其中，若，求m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称轴、顶点在轴上的条件以及函数值比较． （1）直接利用对称轴公式求解； （2）顶点在x轴上时顶点纵坐标为0，代入对称轴横坐标求解a，并结合确定取值； （3）由知抛物线开口向下，点N的横坐标在时，在处最大，故恒成立需，解不等式得m的范围． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：∵该抛物线的顶点在x轴上，由（1）知，抛物线对称轴为， ∴抛物线的顶点为， 当时，，整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：∵，抛物线开口向下，对称轴为， 由点N的横坐标取值范围是可知，点N在对称轴右侧，此时函数递减， ∴在时最大，当时，， 要使恒成立，则， 即，化简得：， ∵， ∴，解得， 故m的取值范围为． 24. 如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 【答案】（1） 证明：如图①，作于点G，则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作于点G，则，得出，证明，得出，证明，根据等角对等边证明结论即可； （2）连接、、，作于点L，则，证明，得出，说明与重合，即圆心O在的高上，设，则，得出，，，得出，求出，得出，即可得出答案； （3）延长交于点I，交于点Q，作于点K，则，证明，设，则，，根据，求出，根据，得出，设，则，，得出，根据，得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图①，连接、、，作于点L，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴与重合，即圆心O在的高上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 【小问3详解】 解：如图②，延长交于点I，交于点Q，作于点P，作于点K，则， ∵，平分，，， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的面积是． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，圆内接四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列剪纸中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 抛出的篮球会落下 B. 买一张彩票，中1000万大奖 C. 14人中至少有2人是同月出生 D. 从装有红球、白球的袋中摸出黑球 3. 在下列二次函数中，其图象对称轴为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，若 ， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 6. 以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知某函数的图象经过，两点，几名同学给出了如下四个推断： 甲：若该函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行； 乙：若该函数的图象为双曲线，则也在此函数图象上； 丙：若该函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与轴的负半轴相交； 丁：若该函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象的对称轴在直线的左侧； 推断合理的是（　　） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 乙、丁 10. 如图，在矩形中，．，把矩形绕点C旋转，得到矩形且点B恰好落在上，连接交于点H．则的长为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为_______． 12. 有A，B，C三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘A之前需先摘下B，直到3个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是A的概率是________ ． 13. 写出一个根为的一元二次方程，它可以是___________， 14. 在一个圆中，如果的圆心角所对弧长为，那么这个圆的半径为___． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 16. 如图，四边形的对角线，交于点O，若，，，则________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出绕点逆时针旋转的； （2）在旋转到的过程中，线段扫过的面积为___________． 19. 如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D，过点C作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 九年级语文组举行诗歌朗诵比赛，24位参赛选手抽签决定比赛内容．在一个不透明的盒子里放有四张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有A．《沁园春·雪》毛泽东，B．《七律·长征》毛泽东，C．《乡愁》余光中，D．《你是人间四月天》林徽因四首诗． （1）初赛时，每位选手随机抽取一张卡片，记录下内容后再放回．24次抽签中抽到毛泽东诗词的有10次．则抽到毛泽东诗词的频率是__________． （2）决赛时，小远和小航两名并列第一要赛出一个特等奖，为了避免内容重复，小远先从盒子中随机抽取一张卡片，小航再从余下的卡片中随机抽取一张，用列表法或树状图法求两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 21. 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 22. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 23. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a； （3）点M与N都在该抛物线上，设点，，其中，若，求m的取值范围． 24. 如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $