精品解析：浙江金华市义乌市绣湖中学2026-2027学年九年级上学期第一次作业检测（数学）试题卷

绣湖中学九年级上册第一次作业检测（数学）试题卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 2. 妈妈收到一条天气预报信息：明天最高气温，最低气温，降水可能性为．根据以上信息，判断下列说法中正确的是：明天（ ） A. 一定下雨 B. 不可能下雨 C. 下雨的可能性较大 D. 下雨的可能性较小 【答案】D 【解析】 【分析】根据降水可能性，对比各选项的可能性描述判断正误． 【详解】解：已知明天降水可能性为，则A．一定下雨对应可能性，与不符，错误； B．不可能下雨对应可能性，与不符，错误； C．下雨可能性较大指可能性超过，，错误； D．，即下雨的可能性较小，正确． 3. 现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．秀秀投掷一次正方体，出现“★”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等可能事件的概率计算方法，用出现“★”的面数与总面数的比求解． 【详解】解：投掷一次正方体，共有6种等可能的结果，其中出现“★”的结果有3种，故所求概率为． 4. 已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①； ② ； ③ ； ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象和性质对各结论进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下可得， 结论①正确； 抛物线对称轴为：，得， 结论②正确； 抛物线与轴交于正半轴得， 结论③正确； 抛物线与轴有两个交点， ， 结论④正确；   故正确的有4个 ． 5. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数和二次函数的性质，逐项判断各函数在时的增减性即可． 【详解】解：A．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意； B．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为，∴当时，随增大而减小，故此选项符合题意； C．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意； D．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 7. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 8. 已知抛物线的开口向下，关于x的方程的解，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 根的情况无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向得到的取值范围，再判断根的判别式的符号，即可确定方程的根的情况． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴关于x的方程是一元二次方程， ∵， ∴，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 9. 如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像，如图2，且与之间的函数关系式为（），则变阻器消耗的电功率最大是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与之间的函数关系式为，再化成顶点式，最后利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：由题意可得：当时，， ∴，解得：， ∴， ∴当时，变阻器消耗的电功率最大，最大值为，即选项D符合题意． 10. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【详解】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过确定好二次函数的开口方向以及对称轴，再写出任意一个符合条件的二次函数即可． 【详解】解：∵当时，y随x增大而增大， ∴二次函数开口向上，对称轴可以取直线， ∴符合条件的二次函数可以为：． 故答案为：． 12. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 13. 某同学向如图所示的飞镖游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个飞镖游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是． 14. 如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：解：观察图象可知当和时， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 15. 如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴，代入得： ∴抛物线的顶点坐标为 ∵当时，即， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点坐标为和 ∵的“特征三角形”是等腰直角三角形， ∴，即 解得：． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标． 16. 已知二次函数为常数， , 点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，关于直线的对称点坐标为，任何结合图象可得，求解作答即可． 【详解】∵二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为， ∴关于直线的对称点坐标为， 如图， ∵点是该函数图象上一点，当时，， ∴， 解得，， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）； （2）． 【答案】（1）开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】（）利用配方法把一般式转化为顶点式，进而即可求解； （）利用配方法把一般式转化为顶点式，进而即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 18. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）若点在函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点和代入计算即可； （2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m． 【小问1详解】 解：将点和代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）或7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式的应用． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式判别即可； （2）令，得：，利用根与系数的关系，结合完全平方公式得出，再由得出，即可得出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或7． 20. 某市林业局考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活的概率为 （精确到0.1）； （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉．估计还需要移植多少棵？ 【答案】（1）0.9，0.9 （2）①18000棵，②80000棵 【解析】 【分析】（1）根据统计图可得频率，利用频率估计概率可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【小问1详解】 解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 【小问2详解】 解：①（棵）， ∴估计这批花卉成活的棵数为18000棵； ②（棵）， ∴估计还需要移植80000棵． 21. 二次函数y＝ax2﹣4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax2﹣4x＋c＞0的解集； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1）y=-x2-4x； （2）-4＜x＜0； （3）P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4）． 【解析】 【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）直接利用函数图象得出不等式ax2-4x+c＞0的解集； （3）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可． 【小问1详解】 ∵二次函数y＝ax2﹣4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）， ， 解得： ， 所以，此二次函数的解析式为：y=-x2-4x； 【小问2详解】 由图可得：不等式ax2-4x+c＞0的解集为：-4＜x＜0； 【小问3详解】 ∵点A的坐标为（-4，0）， ∴AO=4， 设点P到x轴的距离为h， 则S△AOP=×4h=8， 解得h=4， ①当点P在x轴上方时，-x2-4x=4， 解得：x=-2， 所以，点P的坐标为（-2，4）， ②当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4， 解得， 所以，点P的坐标为（-2+2，-4）或（-2-2，-4）， 综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（3）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解． 22. 综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【小问1详解】 解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 【小问2详解】 解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 23. 已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，函数与方程的关系，二次函数最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用待定系数法求得解析式为，再根据二次函数的性质即可求解； （2）当时，由开口方向和对称轴知函数最小值取在当时， 再分别求出当时的函数值，确定最大值即可； （3）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，原点在上方，顶点在线段下方，当时，原点在上方，在下方，根据抛物线与线段只有一个交点分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 即：抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵且对称轴为直线， ∴当时，函数最小值取在当时，为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，，当时，， 则当时函数的最大值为， 即：，， ； 【小问3详解】 解：点坐标为， 的解析式为， ，则顶点为， 若，则，若，则， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方， ，解得； 当时，原点在上方，在下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解， 即：有两个相等的解，且该解在0到4之间， ， ， 解得：， 又，则， ， ； 综上，抛物线与线段只有一个交点时，或． 24. 如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； （3）点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，P的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）根据全等三角形性质得出可得出，然后进行求解即可； （3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论． 【小问1详解】 解：（1）将和代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 由得对称轴为直线，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E， ∴， ∵以P、E、F为顶点的三角形与全等， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：存在， 设，，而， ①以为对角线，则的中点即为的中点，如图： ∴， 解得， ∴， ②以为对角线， ∴， 解得， ∴， ③以为对角线， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绣湖中学九年级上册第一次作业检测（数学）试题卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 妈妈收到一条天气预报信息：明天最高气温，最低气温，降水可能性为．根据以上信息，判断下列说法中正确的是：明天（ ） A. 一定下雨 B. 不可能下雨 C. 下雨的可能性较大 D. 下雨的可能性较小 3. 现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．秀秀投掷一次正方体，出现“★”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①； ② ； ③ ； ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的开口向下，关于x的方程的解，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 根的情况无法判断 9. 如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像，如图2，且与之间的函数关系式为（），则变阻器消耗的电功率最大是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式______． 12. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 13. 某同学向如图所示的飞镖游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是__________． 14. 如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 15. 如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________． 16. 已知二次函数为常数， , 点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围_______. 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）； （2）． 18. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）若点在函数的图象上，求m的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 20. 某市林业局考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活的概率为 （精确到0.1）； （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉．估计还需要移植多少棵？ 21. 二次函数y＝ax2﹣4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax2﹣4x＋c＞0的解集； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出P点的坐标． 22. 综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 23. 已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 24. 如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； （3）点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $