25.2 降次解一元二次方程 课时分层练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

25.2 降次——解一元二次方程 第1课时：直接开平方法·因式分解法·配方法 课时分层练 教材版本：新人教版九年级上册 | 适配内蒙古近3年中考考情 | 建议用时：35分钟 | 【基础达标篇】 一、选择题 1. 下列方程中，最适合用直接开平方法求解的是（　　） A. x² + 5x = 0 B. x² - 121 = 0 C. x² - 4x + 3 = 0 D. 2x² - 7x + 3 = 0 2. 用因式分解法解一元二次方程的核心依据是（　　） A. 等式的基本性质 B. 若ab = 0，则a = 0或b = 0 C. 完全平方公式 D. 平方差公式 3. 下列解方程的过程中，正确的是（　　） A. x² = 3x，两边同时除以x得x = 3 B. (x + 2)(x - 1) = 6，得x + 2 = 0或x - 1 = 0 C. x² - 16 = 0，因式分解得(x + 4)(x - 4) = 0 D. (x - 3)² = 4，开平方得x - 3 = 2，解得x = 5 4. 用配方法解方程x² - 6x + 1 = 0，配方正确的是（　　） A. (x - 3)² = 8 B. (x - 3)² = 10 C. (x + 3)² = 8 D. (x + 3)² = 10 5. 某矩形的长比宽多2m，面积为48 m²，设宽为x m，下列方程正确的是（　　） A. x(x - 2) = 48 B. x(x + 2) = 48 C. 2x(x + 2) = 48 D. x(x + 2) = 24 二、填空题 6. 一元二次方程3x² - 5x - 2 = 0的二次项系数是______，常数项是______。 7. 已知x = 1是方程x² + ax - 3 = 0的一个根，则a的值为________。 8. 方程x² = 4x的解为________________。 9. 用配方法解方程x² + 8x + 1 = 0，配方后得(x + ____)² = ____。 10. 直角三角形的两条直角边长恰好是方程x² - 7x + 12 = 0的两个根，则斜边长为________。 三、解下列方程 （一）用直接开平方法解下列方程 11. x² - 81 = 0 12. 2(3x - 1)² = 32 （二）用因式分解法解下列方程 13. x² - 9x = 0 14. 16x² - 25 = 0 15. x² - 8x + 16 = 0 16. x(x - 2) = 15 （三）用配方法解下列方程 17. x² + 4x - 5 = 0 18. x² - 7x + 12 = 0 19. 2x² - 4x - 1 = 0 20. 3x² + 6x - 9 = 0 【能力提升篇】 一、选择题 1. 方程x(x - 3) = 2(3 - x)的解是（　　） A. x = 3 B. x = -2 C. x₁ = 3，x₂ = -2 D. x₁ = -3，x₂ = 2 2. 解方程4(x + 1)² = 9(x - 2)²，最简便的方法是（　　） A. 直接开平方法 B. 平方差因式分解法 C. 配方法 D. 公式法 3. 用配方法解方程2x² - x - 1 = 0，配方正确的是（　　） A. 2(x - )² = B. (x - )² = C. (x - )² = D. (x + )² = 4. 若(x² + y²)(x² + y² - 2) = 8，则x² + y²的值为（　　） A. 4 B. -2 C. 4或-2 D. 4或2 二、填空题 5. 方程3x(2x + 5) = 2(2x + 5)的解为________________。 6. 用配方法解方程x² - mx + n = 0，配方后得(x - 3)² = 10，则m = ________，n = ________。 7. 直角三角形的两条直角边长是方程x² - 11x + 28 = 0的两个根，则斜边上的中线长为________。 三、用适当方法解下列方程 8. 4(x - 2)² - 9(x + 1)² = 0 9. 2x(x - 4) = 3(4 - x) 10. x² - 2x - 1 = 0 四、解答题 12. 阅读下面的解题过程，回答问题。（6分） 题目：解方程 3x(x - 2) = 5(x - 2) 小明的解答： 两边同时除以(x - 2)，得 3x = 5 所以 x = （1）小明的解法是否正确？若不正确，指出错误原因； （2）写出正确的解题过程。 13. 一块矩形铁皮长12dm，宽8dm，在四个角各剪去一个边长相同的小正方形，做成无盖长方体盒子。若盒子的底面积为32 dm²，求剪去的小正方形的边长。（8分） 参考答案与详细解析 【基础达标篇】 一、选择题 1. 答案：B 解析：直接开平方法适用于“平方项+常数项”的形式，B可直接化为x²=121，是标准原型。 2. 答案：B 解析：因式分解法的核心逻辑是“两式乘积为0，则至少其中一式为0”。 3. 答案：C 解析：A不能直接除以x，会丢根；B右边不为0，不能直接拆分因式；D开平方漏了负根。 4. 答案：A 解析：移项得x² - 6x = -1，两边加9得(x - 3)² = 8。 5. 答案：B 解析：宽为x，长为x+2，面积=长×宽，即x(x + 2) = 48。 二、填空题 6. 答案：3；-2 解析：一元二次方程一般形式ax²+bx+c=0中，a为二次项系数，c为常数项，注意符号。 7. 答案：2 解析：将x=1代入方程，1 + a - 3 = 0，解得a=2。 8. 答案：x₁=0，x₂=4 解析：移项因式分解得x(x - 4)=0，注意不能直接除以x丢根。 9. 答案：4；15 解析：配方常数项为一次项系数一半的平方，即4²=16，移项后右边为16 - 1 = 15。 10. 答案：5 解析：解方程得两直角边为3和4，由勾股定理得斜边长5。 三、解下列方程 （一）直接开平方法 11. 解：x² = 81 x = ±9 ∴ x₁ = 9，x₂ = -9 12. 解：(3x - 1)² = 16 3x - 1 = ±4 当3x-1=4时，x = ；当3x-1=-4时，x = -1 ∴ x₁ = ，x₂ = -1 （二）因式分解法 13. 解：x(x - 9) = 0 ∴ x₁ = 0，x₂ = 9 14. 解：(4x + 5)(4x - 5) = 0 ∴ x₁ = ﹣，x₂ = 15. 解：(x - 4)² = 0 ∴ x₁ = x₂ = 4 16. 解：整理得x² - 2x - 15 = 0 (x - 5)(x + 3) = 0 ∴ x₁ = 5，x₂ = -3 （三）配方法 17. 解：移项得x² + 4x = 5 配方得x² + 4x + 4 = 5 + 4，即(x + 2)² = 9 开平方得x + 2 = ±3 ∴ x₁ = 1，x₂ = -5 18. 解：移项得x² - 7x = -12 配方得x² - 7x + = -12 + ，即(x - )² = 开平方得x - = ± ∴ x₁ = 4，x₂ = 3 19. 解：二次项系数化1得x² - 2x - = 0 移项得x² - 2x = 配方得(x - 1)² = 开平方得x - 1 = ± ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 20. 解：二次项系数化1得x² + 2x - 3 = 0 移项得x² + 2x = 3 配方得(x + 1)² = 4 开平方得x + 1 = ±2 ∴ x₁ = 1，x₂ = -3 【能力提升篇】 一、选择题 1. 答案：C 解析：移项提取公因式(x-3)，注意3-x = -(x-3)的符号变化。 2. 答案：B 解析：移项后用平方差公式因式分解，比直接开平方更不易漏解，是最优解法。 3. 答案：A 解析：二次项系数化为1，再配方，注意系数运算。 4. 答案：A 解析：设t = x² + y²（t≥0），方程化为t(t-2)=8，解得t=4或t=-2（舍去）。 二、填空题 5. 答案：x₁ = -，x₂ = 解析：移项提取公因式(2x+5)，注意不要丢根。 6. 答案：6；-1 解析：展开(x-3)²=10得x² - 6x + 9 = 10，即x² - 6x - 1 = 0，对应系数得m=6，n=-1。 7. 答案： 解析：解方程得两直角边为4和7，斜边长为√65，斜边中线长为斜边的一半。 三、用适当方法解方程 8. 解：平方差因式分解： [2(x-2) + 3(x+1)][2(x-2) - 3(x+1)] = 0 (5x - 1)(-x - 7) = 0 ∴ x₁ = ，x₂ = -7 9. 解：移项得2x(x - 4) + 3(x - 4) = 0 提取公因式(x - 4)得(x - 4)(2x + 3) = 0 ∴ x₁ = 4，x₂ = - 10. 解：配方法： x² - 2x = 1 (x - 1)² = 2 x - 1 = ± ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 四、解答题 11. 解答： （1）不正确。 错误原因：方程两边同时除以含未知数的整式(x-2)，丢失了x=2这个根。 （2）正确过程： 移项得：3x(x - 2) - 5(x - 2) = 0 提取公因式得：(x - 2)(3x - 5) = 0 ∴ x - 2 = 0 或 3x - 5 = 0 解得x₁ = 2，x₂ = 12. 解答： 设剪去的小正方形边长为x dm。 盒子底面长为(12 - 2x) dm，宽为(8 - 2x) dm。 列方程：(12 - 2x)(8 - 2x) = 32 整理得：x² - 10x + 16 = 0 因式分解得：(x - 2)(x - 8) = 0 解得x₁ = 2，x₂ = 8（x=8时8-2x<0，舍去） 答：剪去的小正方形边长为2dm。 学科网（北京）股份有限公司 $