25.2降次解一元二次方程分层分类训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法及根的性质，以分层训练构建从基础到应用的知识逻辑，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配方法|12题|配方过程选择与解答|从直接配方到含系数变形，构建配方步骤逻辑| |公式法|8题|a,b,c确定及求根计算|衔接配方法推导公式，强化公式应用规范性| |因式分解法|10题|方程求解与实际应用|体现降次本质，对比配方法公式法适用场景| |根的判别式|4题|根的情况判断|基于方程解法，深化根的存在性判定逻辑| |根与系数关系|6题|系数与根的关系计算|承接判别式，构建根的数量与关系的关联|

25.2 降次——解一元二次方程 考点1 配方法 考点2 公式法 考点3 因式分解法 考点4 一元二次方程根的判别式 考点5 一元二次方程根与系数的关系 基 础 达 标 练 考点1 配方法 1.（2026春•婺城区期末）解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝3 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣1）2＝1 2.（2026春•寿县期末）用配方法解方程x2+4x＝﹣1时，配方结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5 3.（2026春•颍州区期末）用配方法解方程2x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝7 B．（x+1）2＝9 C．2（x﹣1）2＝7 D．2（x﹣2）2＝9 4.（2026春•亳州期末）将方程x2﹣2x﹣3＝0化为（x﹣m）2＝n的形式，n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026春•坊子区期末）小亮用配方法解方程2x2﹣8x+6＝0的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得2x2﹣8x＝﹣6…第一步 二次项系数化为1，得x2﹣4x＝①…第二步 配方，得x2﹣4x+②＝1…第三步 ①②处应分别填入的数是（　　） A．3，22 B．﹣3，22 C．3，42 D．﹣3，42 6.（2026春•路桥区期末）用配方法解方程x2+6x＝1时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 7.（2025秋•宝安区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 8.（2026春•柯桥区期中）将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 9．（2026春•福山区期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝98 B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为 D．3y2﹣4y﹣2＝0化为 10．（2026春•金寨县期末）解一元二次方程：x2﹣6x﹣4＝0． 11.（2025秋•晋江市期末）解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 12．（2026•龙岗区校级模拟）解方程：2x2+4x﹣2＝0． 考点2 公式法 13．（2026春•那坡县校级期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+5＝0时，首先要确定a，b，c的值，正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝5 B．a＝﹣3，b＝2，c＝5 C．a＝3，b＝2，c＝﹣5 D．a＝3，b＝﹣2，c＝5 14．（2026春•桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 15．（2026春•莱州市期中）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 16．（2026春•庐阳区校级期中）一元二次方程的较小的实数根应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 17.（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 18．（2026春•明水县校级月考）解方程： （1）x2﹣2x+1＝25； （2）x2﹣5x﹣5＝0． 19．（2026•依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0． 20．（2025秋•泉州期末）解方程：2x2﹣5x﹣1＝0． 考点3 因式分解法 21.（2026•乌当区校级二模）关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 22．（2026春•西湖区期末）方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝2，x2＝﹣2 23．（2026春•栖霞市期末）等腰三角形一边长为4，另一边是方程x2+x﹣6＝0的根，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．6或10 B．8 C．10 D．8或10 24．（2025秋•贵州期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 25.（2025秋•太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0 C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0 26．（2026•庆元县二模）解一元二次方程x2﹣2x＝1时，小龙同学的错误解法如图． （1）你认为x1＝1是方程的解吗？请判断并说明理由． （2）选择正确的方法解方程：x2﹣2x＝1． x2﹣2x＝1 解：x（x﹣2）＝1 所以x＝1或x﹣2＝1 所以x1＝1，x2＝3 27．（2026春•新泰市期中）解下列方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣8x﹣2＝0． 28．（2026春•鼓楼区校级期末）解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2+2x﹣3＝0． 29．（2026春•新泰市期末）用适当的方法求解下列方程： （1）3x（x﹣1）＝2x﹣2； （2）2x2+x﹣2＝0． 30.（2026•茂名一模）对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　　 （填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 考点4 一元二次方程根的判别式 31．（2026•科尔沁区校级模拟）关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k2+6＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 32.（2026•东兴区校级三模）定义新运算m@n＝m2﹣mn﹣2．例如1@2＝12﹣1×2﹣2＝﹣3，则关于x的方程x@a＝2的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 33.（2026•思明区模拟）已知方程2x2﹣3x﹣1＝0，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（　　） A．a＝2，b＝3，c＝1 B．a＝2，b＝﹣3，c＝1 C．a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝1 34．（2026•晋中二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C． D．﹣1 考点5 一元二次方程根与系数的关系 35．（2026春•萨尔图区校级月考）已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 36．（2026春•连江县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0两根为x1，x2，且x1＝2x2，则m的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 37．（2026•瑶海区三模）如果x1，x2是一元二次方程﹣2x2+3x+6＝0的两个根，则x1+x2＝（　　） A． B．﹣3 C． D．3 38．（2026•十堰二模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0有两个实数根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．8 D．﹣8 39．（2026春•青阳县期末）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，则（　　） A．﹣9 B．﹣8 C．7 D．10 40．（2026春•柯桥区期末）关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0中，k＞0，则该方程的根的情况是（　　） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 能 力 进 阶 练 41.（2026春•宁明县期末）把方程x2+8x﹣1＝0化成（x+m）2＝n的形式，其中m，n为实数，则n的值是（　　） A．1 B．5 C．16 D．17 42（2026春•栖霞市期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 43.（2026春•舒城县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 44．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 45.（2026春•新泰市期中）关于x的一元二次方程mx2+nx+p＝0（m，n，p为常数，且m≠0，p≠0），下列说法： ①若方程mx2+nx+p＝0有两个不相等的实数根，则方程px2﹣nx+m＝0也有两个不相等的实数根； ②若方程mx2+nx+p＝0的一个根为x＝k（k≠0），则必为方程px2﹣nx+m＝0的一个根； ③若方程mx2+nx+p＝0的两根之积为1，则m＝p．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 真 题 提 前 练 46．（2026•上海）下列方程无实数根的是（　　） A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2＝0 C．x2+2x＝0 D．x2+2＝0 47.（2026•绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20 48．（2026•宜宾）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 49．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 降次——解一元二次方程 考点1 配方法 考点2 公式法 考点3 因式分解法 考点4 一元二次方程根的判别式 考点5 一元二次方程根与系数的关系 基 础 达 标 练 考点1 配方法 1.（2026春•婺城区期末）解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝3 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣1）2＝1 1.A【解析】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，（x﹣2）2＝2， 2.（2026春•寿县期末）用配方法解方程x2+4x＝﹣1时，配方结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5 2.A【解析】x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝3，（x+2）2＝3． 3.（2026春•颍州区期末）用配方法解方程2x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝7 B．（x+1）2＝9 C．2（x﹣1）2＝7 D．2（x﹣2）2＝9 3.C【解析】2x2﹣4x﹣5＝0，2x2﹣4x＝5，，，2（x﹣1）2＝7． 4.（2026春•亳州期末）将方程x2﹣2x﹣3＝0化为（x﹣m）2＝n的形式，n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.D【解析】原方程移项得x2﹣2x＝3，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方1进行配方，得x2﹣2x+1＝3+1，整理得 （x﹣1）2＝4，∴n＝4． 5．（2026春•坊子区期末）小亮用配方法解方程2x2﹣8x+6＝0的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得2x2﹣8x＝﹣6…第一步 二次项系数化为1，得x2﹣4x＝①…第二步 配方，得x2﹣4x+②＝1…第三步 ①②处应分别填入的数是（　　） A．3，22 B．﹣3，22 C．3，42 D．﹣3，42 5.B【解析】由题知，2x2﹣8x+6＝0，2x2﹣8x＝﹣6，x2﹣4x＝﹣3，x2﹣4x+22＝1，所以①②处应分别填入的数是﹣3，22． 6.（2026春•路桥区期末）用配方法解方程x2+6x＝1时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 6.B【解析】由题知，x2+6x＝1，x2+6x+9＝1+9，（x+3）2＝10，所以等号两边应同时加上9． 7.（2025秋•宝安区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 7.【解析】x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3． 8.（2026春•柯桥区期中）将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 8.C【解析】根据配方法的步骤可知：一次项系数一半的平方为（）2＝9，∴配方时方程两边需同时加上9，即“▲”表示的数是9． 9．（2026春•福山区期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝98 B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为 D．3y2﹣4y﹣2＝0化为 9.D【解析】A．错误，应为x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，不符合题意；B．错误，x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，不符合题意；C．错误，2t2﹣7t﹣4＝0化为（t）2，不符合题意；D．3y2﹣4y﹣2＝0化为（y）2，正确，符合题意． 10．（2026春•金寨县期末）解一元二次方程：x2﹣6x﹣4＝0． 10.解：∵x2﹣6x﹣4＝0， ∴x2﹣6x+9＝4+9， ∴（x﹣3）2＝13， ∴x﹣3＝±， ∴x1＝3，x2＝3． 11.（2025秋•晋江市期末）解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 11.解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． 12．（2026•龙岗区校级模拟）解方程：2x2+4x﹣2＝0． 12.解：由原方程，得 x2+2x+1＝1+1， （x+1）2＝2， 则x+1＝±， 解得 x1＝﹣1，x2＝﹣1． 考点2 公式法 13．（2026春•那坡县校级期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+5＝0时，首先要确定a，b，c的值，正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝5 B．a＝﹣3，b＝2，c＝5 C．a＝3，b＝2，c＝﹣5 D．a＝3，b＝﹣2，c＝5 13.D【解析】∵给定方程为3x2﹣2x+5＝0，符合一般形式，∴对比可得a＝3，b＝﹣2，c＝5． 14．（2026春•桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 14.C【解析】原方程移项得x2﹣2x﹣1＝0，，对比题干给出的式子，可知□处应填2． 15．（2026春•莱州市期中）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 15.D【解析】∵是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，∴a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，∴a+b+c＝2+（﹣6）+（﹣3）＝﹣4+（﹣3）＝﹣（4+3）＝﹣7，即a+b+c＝﹣7， 16．（2026春•庐阳区校级期中）一元二次方程的较小的实数根应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 16.B【解析】原方程整理得，∵a＝1，，c＝38，∴判别式，由求根公式得，∵，∴较小的实数根为，又∵72＝49，82＝64，且49＜63＜64， ∴，即，不等式同减5得；因此较小的实数根在2和3之间． 17.（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 17.D【解析】由题意得，a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴，∵方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，∴a的值为. 18．（2026春•明水县校级月考）解方程： （1）x2﹣2x+1＝25； （2）x2﹣5x﹣5＝0． 18.解：（1）原方程整理得：（x-1）2＝25， 开方得：x﹣1＝±5， ∴x1＝6，x2＝﹣4； （2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣5， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣5）＝45＞0， ∴， ∴． 19．（2026•依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0． 19.解：∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0， 则x， 即x1＝1，x2． 20．（2025秋•泉州期末）解方程：2x2﹣5x﹣1＝0． 20.解：2x2﹣5x﹣1＝0， ∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， ∴x， 即x1，x2． 考点3 因式分解法 21.（2026•乌当区校级二模）关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 21.C【解析】x2+5x＝0，x（x+5）＝0，x＝0或x+5＝0，解得x1＝0，x2＝﹣5． 22．（2026春•西湖区期末）方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝2，x2＝﹣2 22.C【解析】由题知，x2＝2x，x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2． 23．（2026春•栖霞市期末）等腰三角形一边长为4，另一边是方程x2+x﹣6＝0的根，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．6或10 B．8 C．10 D．8或10 23.C【解析】x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，∴三角形另一边长为2，∴等腰三角形一边为4，另一边为2，若腰为4，底为2，则三边为4、4、2，∵4+2＞4，满足三角形三边关系，∴此时三角形的周长为：4+4+2＝10，若腰为2，底为4，则三边为2、2、4，∵2+2＝4，不满足三角形三边关系，∴2、2、4三边不能构成三角形；综上，这个等腰三角形的周长为10． 24．（2025秋•贵州期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 24.C【解析】∵甲同学两边同时除以x时，未考虑x＝0的情况，导致漏解；乙同学移项得x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0，∴完全正确的是乙． 25.（2025秋•太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0 C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0 25.C【解析】由（x+1）（x+2）＝0得，x1＝﹣1，x2＝﹣2，所以A选项不符合题意；由（x﹣1）（x﹣2）＝0得，x1＝1，x2＝2，所以B选项不符合题意；由（x+1）（x﹣2）＝0得，x1＝﹣1，x2＝2，所以C选项符合题意；由（x﹣1）（x+2）＝0得，x1＝1，x2＝﹣2，所以D选项不符合题意． 26．（2026•庆元县二模）解一元二次方程x2﹣2x＝1时，小龙同学的错误解法如图． （1）你认为x1＝1是方程的解吗？请判断并说明理由． （2）选择正确的方法解方程：x2﹣2x＝1． x2﹣2x＝1 解：x（x﹣2）＝1 所以x＝1或x﹣2＝1 所以x1＝1，x2＝3 26.解：（1）由题意，∵当x1＝1时，左边＝1﹣2＝﹣1，右边＝1， ∴左边≠右边， ∴x1＝1不是方程的解； （2）由题意，∵x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+1＝2， ∴（x﹣1）2＝2， ∴， ∴，． 27．（2026春•新泰市期中）解下列方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣8x﹣2＝0． 27.解：（1）原方程因式分解可得：（x+1）2＝4， 开平方得x+1＝±2， 移项得x＝﹣1±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （2）∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则， 所以，． 28．（2026春•鼓楼区校级期末）解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2+2x﹣3＝0． 28.解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝±， x1＝2，x2＝2； （2）2x2+2x﹣3＝0， ∵Δ＝22﹣4×2×（﹣3）＝4+24＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 29．（2026春•新泰市期末）用适当的方法求解下列方程： （1）3x（x﹣1）＝2x﹣2； （2）2x2+x﹣2＝0． 29.解：（1）原方程整理得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， ∴（3x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴3x﹣2＝0或x﹣1＝0， ∴，x2＝1； （2）∵a＝2，b＝1，c＝﹣2， ∴Δ＝12﹣4×2×（﹣2）＝1+16＝17＞0， ∴， ∴，． 30.（2026•茂名一模）对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　　 （填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 30.解：（1）根据题意，可知步骤②两边同时除以（x﹣2）， 未考虑（x﹣2）可能为0的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②， 故答案为：②； （2）3（x﹣2）2＝x2﹣4， 3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣（x+2）]＝0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0， （x﹣2）（2x﹣8）＝0， x﹣2＝0或2x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 考点4 一元二次方程根的判别式 31．（2026•科尔沁区校级模拟）关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k2+6＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 31.C【解析】由条件可知：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（k2+6）＝36﹣8k2﹣48＝﹣8k2﹣12，∵k2≥0，∴﹣8k2≤0，∴Δ＝﹣8k2﹣12≤﹣12＜0，因此方程无实数根． 32.（2026•东兴区校级三模）定义新运算m@n＝m2﹣mn﹣2．例如1@2＝12﹣1×2﹣2＝﹣3，则关于x的方程x@a＝2的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 32.C【解析】由题意，关于x的方程可转化为方程x2﹣ax﹣4＝0，Δ＝a2﹣4×（﹣4）＝a2+16＞0. 33.（2026•思明区模拟）已知方程2x2﹣3x﹣1＝0，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（　　） A．a＝2，b＝3，c＝1 B．a＝2，b＝﹣3，c＝1 C．a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝1 33.C【解析】由题知，因为关于x的方程为2x2﹣3x﹣1＝0，所以a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 34．（2026•晋中二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C． D．﹣1 34.D【解析】由条件可知：（﹣2）2﹣4×1×3m＞0．解得 ．选项D：，符合条件． 考点5 一元二次方程根与系数的关系 35．（2026春•萨尔图区校级月考）已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 35.B【解析】∵a，b是直角三角形的直角边，∴a＞0，b＞0．由a﹣b＝1，两边平方得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1．将a2+b2＝25代入上式，得25﹣2ab＝1，解得ab＝12．∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25+2×12＝49，且a+b＞0，∴a+b＝7．∵a，b是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，∴a+b＝﹣p，ab＝q．代入得7＝﹣p，12＝q，即p＝﹣7，q＝12. 36．（2026春•连江县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0两根为x1，x2，且x1＝2x2，则m的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 36.B【解析】由题知，因为关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0两根为x1，x2，所以x1+x2＝6． 又因为x1＝2x2，所以2x2+x2＝6，解得x2＝2，则22﹣6×2+m＝0，解得m＝8. 37．（2026•瑶海区三模）如果x1，x2是一元二次方程﹣2x2+3x+6＝0的两个根，则x1+x2＝（　　） A． B．﹣3 C． D．3 37.C【解析】∵x1，x2是一元二次方程﹣2x2+3x+6＝0的两个根，∴a＝﹣2，b＝3，∴. 38．（2026•十堰二模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0有两个实数根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．8 D．﹣8 38.D【解析】由条件可知：，，∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）═﹣5﹣3＝﹣8． 39．（2026春•青阳县期末）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，则（　　） A．﹣9 B．﹣8 C．7 D．10 39.D【解析】由条件可知：，即，∴，∵x1+x2＝﹣（﹣3）＝3，∴． 40．（2026春•柯桥区期末）关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0中，k＞0，则该方程的根的情况是（　　） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 40.C【解析】∵Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）＝﹣4k﹣3，而k＞0，∴Δ＜0，∴方程没有实数解． 能 力 进 阶 练 41.（2026春•宁明县期末）把方程x2+8x﹣1＝0化成（x+m）2＝n的形式，其中m，n为实数，则n的值是（　　） A．1 B．5 C．16 D．17 41.D【解析】∵x2+8x﹣1＝0，∴x2+8x＝1，∴x2+8x+16＝1+16，∴（x+4）2＝17，∴m＝4，n＝17. 42（2026春•栖霞市期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 42.C【解析】2x2﹣20x+25＝0，方程左右两边同时除以2可得：，故小明正确；由等式的性质可得，故小丽正确；所以，（x﹣5）225，，故小红负责的式子出现错误. 43.（2026春•舒城县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 43.B【解析】若x＞﹣x，即x＞0，则x，解得x＝2（负值舍去）；若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x，解得x＝﹣1（正值舍去）. 44．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 44.B【解析】ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程，Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0，由求根公式，得x，∴x＝1或，∵a＞0，x1＞x2，∴x1＝1，，∴，解得a＜5，∴0＜a＜5. 45.（2026春•新泰市期中）关于x的一元二次方程mx2+nx+p＝0（m，n，p为常数，且m≠0，p≠0），下列说法： ①若方程mx2+nx+p＝0有两个不相等的实数根，则方程px2﹣nx+m＝0也有两个不相等的实数根； ②若方程mx2+nx+p＝0的一个根为x＝k（k≠0），则必为方程px2﹣nx+m＝0的一个根； ③若方程mx2+nx+p＝0的两根之积为1，则m＝p．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 45.D【解析】①由条件可知，∵px2﹣nx+m＝0 是一元二次方程，∴，∴方程 px2﹣nx+m＝0 也有两个不相等的实数根，①正确，符合题意；②∵x＝k（k≠0）是 mx2+nx+p＝0的根，∴mk2+nk+p＝0，两边同除以 k2（k≠0），整理得：，即 ，∴ 满足px2﹣nx+m＝0，∴是该方程的根，②正确，符合题意；③根据韦达定理，一元二次方程 mx2+nx+p＝0的两根之积为 ，若两根之积为 1，则：，即p＝m，故 ③正确，符合题意；综上，三个说法都正确，因此正确的个数是3． 真 题 提 前 练 46．（2026•上海）下列方程无实数根的是（　　） A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2＝0 C．x2+2x＝0 D．x2+2＝0 46.D【解析】A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；C、Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；D、Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，方程无实数根，故符合题意． 47.（2026•绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20 47.A【解析】由题知，因为x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9，所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16． 48．（2026•宜宾）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 48.D【解析】∵x2﹣9x+14＝0，∴（x﹣7）（x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣7＝0，解得x＝2或x＝7，∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7，∴该菱形的面积为． 49．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 49.A【解析】由题知，因为2☆x＝3，所以2x2﹣2x＝3，整理得，2x2﹣2x﹣3＝0，则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0，所以该方程有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $25.2降次—解一元二次方程 考点1配方法 考点2 公式法 考点3因式分解法 考点4一元二次方程根的判别式 考点5一元二次方程根与系数的关系 基础达标练 考点1配方法 1.(2026春·婺城区期末)解一元二次方程x-4x+2=0,配方后正确的是() A.(x-2)2=2B.(x-1)2=3C.(x-2)2=4D.(x-1)2=1 2.(2026春·寿县期末)用配方法解方程x+4x=-1时，配方结果正确的是() A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=5 3.(2026春·颍州区期末)用配方法解方程2x-4x-5=0时，原方程应变形为（) A.(x+1)2=7B.(x+1)3=9C.2(x-1)2=7D.2(x-2)2=9 4.(2026春•毫州期末)将方程x2-2x-3=0化为(x-m)2=n的形式，n的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2026春·坊子区期末)小亮用配方法解方程2x-8x+6=0的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得2x2-8x=-6…第一步 二次项系数化为1，得x2-4x=①…第二步 配方，得x2-4+②=1…第三步 ①②处应分别填入的数是() A.3,22 B.-3,22 C.3,4 D.-3,42 6.（2026春·路桥区期末)用配方法解方程x+6x=1时，要使等号左边变成一个完全平方式， 等号两边应同时加上() A.12 B.9 C.6 D.3 7.（2025秋•宝安区期末)用配方法解方程x2-2x=2时，左右两边需同时加上常数是（) A.1 B.-2 C.2 D.-1 8.（2026春·柯桥区期中)将一元二次方程x2-6x=1配方，得到方程x2-6x+▲=1+▲，其中 “▲”表示的数是() A.3 B.6 C.9 D.10 9.（2026春·福山区期中)用配方法解下列方程时，配方正确的是（) A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=98 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 C.2P-71-4=0化为c-3)2-器 D.32-4y-2=0化为0-》=9 10.(2026春·金寨县期末)解一元二次方程：x-6x-4=0. 11.(2025秋•晋江市期末)解方程：x2-4x-3=0. 12.(2026·龙岗区校级模拟)解方程：2x+4x-2=0. 考点2公式法 13.(2026春·那坡县校级期末)用公式法解一元二次方程3x2-2x+5=0时，首先要确定4，b, c的值，正确的是() A.a=3,b=2,c=5 B.a=-3,b=2,c=5 C.a=3,b=2,c=-5 D.a=3,b=-2,c=5 14.(2026春·桥西区期末)用公式法解方程x-1=2x时，得x=口 ±J4-4×(-1) 则“口”处应 2 填() A.1 B.-1 C.2 D.-2 15.(2026春·菜州市期中)若x= 6±36-4×2×(-3) 2X2 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则a什b+c =() A.5 B.7 C.-5 D.-7 16.(2026春·庐阳区校级期中)一元二次方程x2-3V√x+19=0的较小的实数根应在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 17.（2026春·张店区校级月考)利用公式法解得一元二次方程3x2-11x-1=0的两个根为a, b,且a>b,则a的值为（ A.-11+109 B.-11+V133 C.11+109 D.11+V133 6 6 6 6 18.(2026春•明水县校级月考)解方程： (1)x2-2x+1=25: (2)x2-5x-5=0. 19.(2026·依安县校级三模)用公式法解方程：5x2-4x-1=0. 20.（2025秋·泉州期末)解方程：2x2-5x-1=0. 考点3 因式分解法 21.(2026乌当区校级二模)关于x的一元二次方程x+5x=0的解为() A.x=0 B.x=-5 C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,x2=5 22.(2026春·西湖区期末)方程x2=2x的解是() A.x=2 B.x=0 C.x1=0,x2=2 D.x1=2,x2=-2 23.(2026春·栖霞市期末)等腰三角形一边长为4，另一边是方程x+x-6=0的根，则这个 等腰三角形的周长是() A.6或10 B.8 C.10 D.8或10 24.(2025秋•贵州期末)某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2=3x,解答过 程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x,得x=3. 移项，得x-3x=0 x(x-3)=0. ∴.x-3=0或x=0,解得x1=3,2=0. 其中完全正确的是（) A.甲 B.都正确 C.乙 D.都不正确 25.（2025秋·太原期末)关于x的一元二次方程的两根为x1=-1,x2=2,则这个一元二次方 程可能是() A.(x+1)(x+2)=0 B.(x-1)(x-2)=0 C.(x+1)(x-2)=0 D.(x-1)(x+2)=0 26.(2026·庆元县二模)解一元二次方程x-2x=1时，小龙同学的错误解法如图. (1)你认为x1=1是方程的解吗？请判断并说明理由. (2)选择正确的方法解方程：x2-2x=1. x2-2x=1 解：x(x-2)=1 所以x=1或x-2=1 所以x1=1,x2=3 27.(2026春•新泰市期中)解下列方程： (1)x2+2x+1=4: (2)3x2-8x-2=0. 28.(2026春·鼓楼区校级期末)解方程： (1)x2-4x+2=0: (2)2x2+2x-3=0. 29.(2026春•新泰市期末)用适当的方法求解下列方程： (1)3x（x-1)=2x-2; (2)2x2+x-2=0. 30.(2026·茂名一模)对于解方程3(x-2)2=x2-4,小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3(x-2)=(x+2)(x-2),…步骤① 等号两边同时除以（x-2),得3（x-2)=(x+2),…步骤② 去括号，得3x-6=x+2,…步骤③ 移项、合并同类项，得2x=8,…步骤（④ 系数化为1.得x=4.…步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 (填序号). (2)请给出正确的解答过程. 考点4一元二次方程根的判别式 31.(2026·科尔沁区校级模拟)关于x的一元二次方程2x2-6++6=0根的情沉为（) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 32.（2026·东兴区校级三模)定义新运算@n=m2-m-2.例如1@2=12-1×2-2=-3， 则关于x的方程x@a=2的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 33.(2026·思明区模拟)已知方程2x2-3x-1=0,利用根的判别式△=b2-4c判断方程的根 的情况，则，b,c对应的值为() A.=2,b=3,c=1 B.a=2,b=-3,c=1 C.a=2,b=-3,c=-1 D.a=-2,b=-3,c=1 34.(2026·晋中二模)关于x的一元二次方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根，则m的 值可以是() A.2 B.1 c D.-1 考点5一元二次方程根与系数的关系 35.(2026春·萨尔图区校级月考)已知Rt△4BC的两条直角边a,b分别是一元二次方程x+p+q =0的两个根，且a+b2=25,a-b=1,则p和q的值分别为() A.-1,5 B.-7,12 C.3,4 D.7,-12 36.(2026春连江县期末)若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0两根为x1,x2,且x1=2x2, 则m的值为() A.10 B.8 C.6 D.4 37.(2026·瑶海区三模)如果x1,x2是一元二次方程-2x2+3x+6=0的两个根，则x1+x2=() A.- B.-3 c D.3 38.（2026·十堰二模)已知一元二次方程x2-3x-5=0有两个实数根为x1,x2,则x12-x1 x2的值为（) A.3 B.-3 C.8 D.-8 39.(2026春·青阳县期末)一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根分别是x1、x2,则x+3x2= () A.-9 B.-8 C.7 D.10 40.(2026春·柯桥区期末)关于x的一元二次方程x2-x++1=0中，k>0,则该方程的根的 情况是() A.两实数根之和为1 B.两实数根之积为1 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 能力进阶练 41.(2026春·宁明县期末)把方程x2+8x-1=0化成(x+m)2=n的形式，其中m,n为实数， 则n的值是() A.1 B.5 C.16 D.17 42(2026春·栖霞市期中)老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元 二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依 次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的 式子出现错误的是( 老师 小明 小丽 小红 小亮 25 2x2-20x+25=0x2-10x+ =0Px2-10x+25-25= 25 x=5+2 x+5)P= 25 2 x=5- 5v2 A.小明 B.小丽 C.小红 D,小亮 43.（2026春·舒城县期末)定义新运算：对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号mx{a, b}表示a,b中的较大值，如：max{1,3}=3,因此m0x{-1,-3)=-1;按照这个规定， 若c,-x)=22红二，则x的值是（） A.-1 B.-1或2+5C.2+V5 D.1或2-V5 44.(2026春·拱墅区校级期中)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x+a-4=0(a>0), 设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1>x),若y是关于a的函数，且y=x1-x2,若 y>0,则() A.0<a<3 B.0<a<5 C.a>3 D.a>5 45.（2026春·新泰市期中)关于x的一元二次方程x2+x+p=0（m,n,p为常数，且m≠0， p≠0)，下列说法： ①若方程mx2+x+p=0有两个不相等的实数根，则方程px2-+m=0也有两个不相等的实数 根； ②若方程++p=0的一个根为x=k(k≠0)，则x=-子必为方程pm2-+m=0的一个根： ③若方程x++p=0的两根之积为1，则m=p.其中正确的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 真题提前练 46.(2026·上海)下列方程无实数根的是() A.x2-2x=0 B.x2-2=0 C.x2+2x=0 D.x2+2=0 47.(2026·绥化)已知x1,2是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根，则x1+x2-2x12的值为() A.16 B.-16 C.20 D.-20 48.(2026·宜宾)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面 积是() A.4 B.5 C.6 D.7 49.(2026·内江)对于实数a、b,定义运算“☆”如下：1☆b=ab2-ab,例如：3☆2=3×22 -3×2=6,则方程2☆x=3的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定